EcliptiQc | L’Almageste de Ptolémée

Malgré tout le soin qu’il a apporté à son travail, Ptolémée a néanmoins commis des erreurs de calcul un peu partout dans son Almageste. Ses cordes, par exemple, peuvent être erronées de près de 10″.

Rappelons ici ce qu’est une corde. Comme le diagramme ci-⁠contre l’indique, il s’agit de la longueur du segment de droite (en bleu) compris entre les deux côtés d’un angle, le long d’un cercle de diamètre donné. Ptolémée utilise un cercle d’un rayon de 60 parties (arbitraires), noté 60^p, donc d’un diamètre de 120^p. Il rappelle souvent cela, par exemple : « où l’hypoténuse mesure 120^p ».

La trigonométrie n’avait pas encore été découverte à l’époque de Ptolémée, la seule fonction qu’il connaissait était donc la corde. Il est toutefois possible d’obtenir d’autres identités trigonométriques à partir de celle-⁠ci, mais au prix de la complexité des calculs. Par exemple, en notation moderne, nous dirions que Crd arc x = 2 sin (x ÷ 2). La seule différence entre cette fonction et celle utilisée par Ptolémée est qu’il a multiplié toutes ses valeurs par 60, puisque son rayon de base était de 60, contre 1 utilisé aujourd’hui. Il importe de préciser que Ptolémée utilisait le système de numérotation sexagésimal, alors il n’avait qu’à déplacer ses valeurs vers la gauche d’un rang, et le tour était joué : par exemple, la corde de 0,5° est de 0;0,31,25… mais Ptolémée donne 0;31,25….

Le tableau ci-⁠dessous donne la valeur des cordes des angles des colonnes grises, avec le même nombre de positions sexagésimales que Ptolémée le fait. Les valeurs ont été calculées par un algorithme informatique moderne.

Arc (°)	Corde (p)	Soixantièmes (p)	Arc (°)	Corde (p)	Soixantièmes (p)	Arc (°)	Corde (p)	Soixantièmes (p)	Arc (°)	Corde (p)	Soixantièmes (p)
0½	0;31,25	1;02,50	45½	46;24,19	0;57,53	90½	85;13,20	0;44,08	135½	111;03,53	0;23,40
1	1;02,50	1;02,50	46	46;53,16	0;57,47	91	85;35,24	0;43,56	136	111;15,43	0;23,25
1½	1;34,15	1;02,49	46½	47;22,09	0;57,41	91½	85;57,22	0;43,45	136½	111;27,26	0;23,09
2	2;05,39	1;02,49	47	47;51,00	0;57,34	92	86;19,15	0;43,33	137	111;39,00	0;22,54
2½	2;37,04	1;02,49	47½	48;19,47	0;57,27	92½	86;41,01	0;43,21	137½	111;50,27	0;22,39
3	3;08,28	1;02,48	48	48;48,30	0;57,21	93	87;02,42	0;43,09	138	112;01,47	0;22,23
3½	3;39,53	1;02,48	48½	49;17,11	0;57,14	93½	87;24,16	0;42,57	138½	112;12,58	0;22,08
4	4;11,17	1;02,47	49	49;45,47	0;57,07	94	87;45,45	0;42,45	139	112;24,02	0;21,53
4½	4;42,40	1;02,47	49½	50;14,21	0;57,00	94½	88;07,07	0;42,33	139½	112;34,59	0;21,37
5	5;14,04	1;02,46	50	50;42,51	0;56,53	95	88;28,24	0;42,21	140	112;45,47	0;21,22
5½	5;45,27	1;02,45	50½	51;11,18	0;56,46	95½	88;49,34	0;42,09	140½	112;56,28	0;21,06
6	6;16,49	1;02,44	51	51;39,41	0;56,39	96	89;10,39	0;41,56	141	113;07,01	0;20,51
6½	6;48,11	1;02,43	51½	52;08,00	0;56,32	96½	89;31,37	0;41,44	141½	113;17,26	0;20,35
7	7;19,33	1;02,42	52	52;36,16	0;56,25	97	89;52,29	0;41,32	142	113;27,44	0;20,20
7½	7;50,54	1;02,41	52½	53;04,29	0;56,17	97½	90;13,15	0;41,19	142½	113;37,54	0;20,04
8	8;22,15	1;02,40	53	53;32,37	0;56,10	98	90;33,55	0;41,07	143	113;47,56	0;19,48
8½	8;53,35	1;02,39	53½	54;00,43	0;56,03	98½	90;54,28	0;40,55	143½	113;57,50	0;19,33
9	9;24,54	1;02,38	54	54;28,44	0;55,55	99	91;14,55	0;40,42	144	114;07,36	0;19,17
9½	9;56,13	1;02,36	54½	54;56,42	0;55,48	99½	91;35,16	0;40,30	144½	114;17,15	0;19,01
10	10;27,31	1;02,35	55	55;24,35	0;55,40	100	91;55,31	0;40,17	145	114;26,46	0;18,46
10½	10;58,49	1;02,33	55½	55;52,25	0;55,32	100½	92;15,40	0;40,04	145½	114;36,09	0;18,30
11	11;30,05	1;02,32	56	56;20,12	0;55,25	101	92;35,42	0;39,52	146	114;45,24	0;18,14
11½	12;01,21	1;02,30	56½	56;47,54	0;55,17	101½	92;55,38	0;39,39	146½	114;54,31	0;17,59
12	12;32,36	1;02,28	57	57;15,33	0;55,09	102	93;15,27	0;39,26	147	115;03,30	0;17,43
12½	13;03,50	1;02,27	57½	57;43,07	0;55,01	102½	93;35,10	0;39,13	147½	115;12,22	0;17,27
13	13;35,04	1;02,25	58	58;10,38	0;54,53	103	93;54,47	0;39,00	148	115;21,05	0;17,11
13½	14;06,16	1;02,23	58½	58;38,04	0;54,45	103½	94;14,17	0;38,47	148½	115;29,41	0;16,55
14	14;37,28	1;02,21	59	59;05,27	0;54,37	104	94;33,41	0;38,35	149	115;38,08	0;16,40
14½	15;08,38	1;02,19	59½	59;32,46	0;54,29	104½	94;52,58	0;38,21	149½	115;46,28	0;16,24
15	15;39,47	1;02,17	60	60;00,00	0;54,21	105	95;12,09	0;38,08	150	115;54,40	0;16,08
15½	16;10,56	1;02,14	60½	60;27,10	0;54,12	105½	95;31,13	0;37,55	150½	116;02,44	0;15,52
16	16;42,03	1;02,12	61	60;54,17	0;54,04	106	95;50,11	0;37,42	151	116;10,40	0;15,36
16½	17;13,09	1;02,10	61½	61;21,19	0;53,56	106½	96;09,02	0;37,29	151½	116;18,28	0;15,20
17	17;44,14	1;02,07	62	61;48,16	0;53,47	107	96;27,46	0;37,16	152	116;26,08	0;15,04
17½	18;15,17	1;02,05	62½	62;15,10	0;53,39	107½	96;46,24	0;37,03	152½	116;33,40	0;14,48
18	18;46,20	1;02,02	63	62;41,59	0;53,30	108	97;04,55	0;36,49	153	116;41,04	0;14,32
18½	19;17,21	1;02,00	63½	63;08,44	0;53,21	108½	97;23,20	0;36,36	153½	116;48,20	0;14,16
19	19;48,21	1;01,57	64	63;35,25	0;53,13	109	97;41,38	0;36,22	154	116;55,28	0;14,00
19½	20;19,19	1;01,54	64½	64;02,01	0;53,04	109½	97;59,49	0;36,09	154½	117;02,28	0;13,44
20	20;50,16	1;01,51	65	64;28,33	0;52,55	110	98;17,54	0;35,56	155	117;09,20	0;13,28
20½	21;21,12	1;01,48	65½	64;55,01	0;52,46	110½	98;35,51	0;35,42	155½	117;16,04	0;13,12
21	21;52,06	1;01,45	66	65;21,24	0;52,37	111	98;53,43	0;35,29	156	117;22,40	0;12,56
21½	22;22,58	1;01,42	66½	65;47,43	0;52,28	111½	99;11,27	0;35,15	156½	117;29,08	0;12,40
22	22;53,49	1;01,39	67	66;13,57	0;52,19	112	99;29,04	0;35,01	157	117;35,27	0;12,24
22½	23;24,39	1;01,36	67½	66;40,06	0;52,10	112½	99;46,35	0;34,48	157½	117;41,39	0;12,07
23	23;55,27	1;01,33	68	67;06,11	0;52,01	113	100;03,59	0;34,34	158	117;47,43	0;11,51
23½	24;26,13	1;01,29	68½	67;32,12	0;51,52	113½	100;21,16	0;34,20	158½	117;53,39	0;11,35
24	24;56,58	1;01,26	69	67;58,07	0;51,42	114	100;38,26	0;34,06	159	117;59,26	0;11,19
24½	25;27,41	1;01,22	69½	68;23,59	0;51,33	114½	100;55,29	0;33,53	159½	118;05,06	0;11,03
25	25;58,22	1;01,19	70	68;49,45	0;51,23	115	101;12,25	0;33,39	160	118;10,37	0;10,47
25½	26;29,01	1;01,15	70½	69;15,27	0;51,14	115½	101;29,14	0;33,25	160½	118;16,00	0;10,30
26	26;59,39	1;01,11	71	69;41,04	0;51,04	116	101;45,57	0;33,11	161	118;21,15	0;10,14
26½	27;30,15	1;01,08	71½	70;06,36	0;50,55	116½	102;02,32	0;32,57	161½	118;26,22	0;09,58
27	28;00,48	1;01,04	72	70;32,03	0;50,45	117	102;19,01	0;32,43	162	118;31,21	0;09,42
27½	28;31,20	1;01,00	72½	70;57,26	0;50,35	117½	102;35,22	0;32,29	162½	118;36,12	0;09,25
28	29;01,50	1;00,56	73	71;22,43	0;50,26	118	102;51,36	0;32,15	163	118;40,55	0;09,09
28½	29;32,18	1;00,52	73½	71;47,56	0;50,16	118½	103;07,44	0;32,00	163½	118;45,29	0;08,53
29	30;02,44	1;00,48	74	72;13,04	0;50,06	119	103;23,44	0;31,46	164	118;49,56	0;08,37
29½	30;33,08	1;00,44	74½	72;38,07	0;49,56	119½	103;39,37	0;31,32	164½	118;54,14	0;08,20
30	31;03,30	1;00,39	75	73;03,05	0;49,46	120	103;55,23	0;31,18	165	118;58,24	0;08,04
30½	31;33,49	1;00,35	75½	73;27,58	0;49,36	120½	104;11,02	0;31,04	165½	119;02,26	0;07,48
31	32;04,07	1;00,31	76	73;52,46	0;49,26	121	104;26,34	0;30,49	166	119;06,20	0;07,31
31½	32;34,22	1;00,26	76½	74;17,29	0;49,15	121½	104;41,58	0;30,35	166½	119;10,06	0;07,15
32	33;04,35	1;00,22	77	74;42,06	0;49,05	122	104;57,16	0;30,20	167	119;13,43	0;06,59
32½	33;34,46	1;00,17	77½	75;06,39	0;48,55	122½	105;12,26	0;30,06	167½	119;17,12	0;06,42
33	34;04,55	1;00,12	78	75;31,06	0;48,45	123	105;27,29	0;29,52	168	119;20,33	0;06,26
33½	34;35,01	1;00,08	78½	75;55,29	0;48,34	123½	105;42,25	0;29,37	168½	119;23,46	0;06,10
34	35;05,05	1;00,03	79	76;19,46	0;48,24	124	105;57,13	0;29,23	169	119;26,51	0;05,53
34½	35;35,06	0;59,58	79½	76;43,58	0;48,13	124½	106;11,55	0;29,08	169½	119;29,48	0;05,37
35	36;05,05	0;59,53	80	77;08,04	0;48,03	125	106;26,29	0;28,53	170	119;32,36	0;05,20
35½	36;35,01	0;59,48	80½	77;32,06	0;47,52	125½	106;40,55	0;28,39	170½	119;35,16	0;05,04
36	37;04,55	0;59,43	81	77;56,02	0;47,41	126	106;55,15	0;28,24	171	119;37,48	0;04,48
36½	37;34,47	0;59,38	81½	78;19,52	0;47,31	126½	107;09,27	0;28,09	171½	119;40,12	0;04,31
37	38;04,36	0;59,32	82	78;43,38	0;47,20	127	107;23,32	0;27,55	172	119;42,28	0;04,15
37½	38;34,22	0;59,27	82½	79;07,17	0;47,09	127½	107;37,29	0;27,40	172½	119;44,35	0;03,58
38	39;04,05	0;59,22	83	79;30,52	0;46,58	128	107;51,19	0;27,25	173	119;46,34	0;03,42
38½	39;33,46	0;59,16	83½	79;54,21	0;46,47	128½	108;05,02	0;27,10	173½	119;48,25	0;03,26
39	40;03,25	0;59,11	84	80;17,44	0;46,36	129	108;18,37	0;26,56	174	119;50,08	0;03,09
39½	40;33,00	0;59,05	84½	80;41,02	0;46,25	129½	108;32,05	0;26,41	174½	119;51,43	0;02,53
40	41;02,33	0;59,00	85	81;04,15	0;46,14	130	108;45,25	0;26,26	175	119;53,09	0;02,36
40½	41;32,03	0;58,54	85½	81;27,22	0;46,03	130½	108;58,38	0;26,11	175½	119;54,27	0;02,20
41	42;01,30	0;58,48	86	81;50,23	0;45,52	131	109;11,43	0;25,56	176	119;55,37	0;02,03
41½	42;30,54	0;58,42	86½	82;13,19	0;45,40	131½	109;24,41	0;25,41	176½	119;56,39	0;01,47
42	43;00,15	0;58,37	87	82;36,09	0;45,29	132	109;37,32	0;25,26	177	119;57,32	0;01,30
42½	43;29,33	0;58,31	87½	82;58,54	0;45,18	132½	109;50,15	0;25,11	177½	119;58,17	0;01,14
43	43;58,49	0;58,25	88	83;21,32	0;45,06	133	110;02,50	0;24,56	178	119;58,54	0;00,58
43½	44;28,01	0;58,18	88½	83;44,05	0;44,55	133½	110;15,18	0;24,41	178½	119;59,23	0;00,41
44	44;57,10	0;58,12	89	84;06,33	0;44,43	134	110;27,38	0;24,25	179	119;59,44	0;00,25
44½	45;26,16	0;58,06	89½	84;28,54	0;44,32	134½	110;39,51	0;24,10	179½	119;59,56	0;00,08
45	45;55,19	0;58,00	90	84;51,10	0;44,20	135	110;51,56	0;23,55	180	120;00,00	0;00,00

Références et suggestions de lecture

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