| L’Almageste de Ptolémée |
| Calcul d’éclipse solaire |
par Pierre Paquette · 24 novembre 2022
Ce qui suit est une traduction de l’Appendice A, exemple 12
de la version anglaise de l’Almageste par Toomer,
sauf pour les passages entre crochets [ ], qui sont mes additions.
VI 10. Compte tenu de l’année, du mois et du lieu, calculer l’éclipse solaire.
Il n’y a pas d’exemple d’éclipse solaire dans l’Almageste ; j’ai donc choisi l’éclipse du 16 juin 364, que Théon a observée à Alexandrie, et a donné comme exemple de calcul dans son commentaire sur l’Almageste, d’abord d’après l’Almageste, puis selon les Tables faciles (édition de Bâle p. 332–339, cf. Rome). Un calcul quelque peu différent de la même éclipse apparaît également dans certains manuscrits du Petit commentaire de Théon sur les Tables faciles, et a été publié in extenso par Tihon, « Calcul de l’éclipse ».
Exemple : Nabonassar 1112, Thout, Alexandrie.
À partir du tableau VI 3, calculer la conjonction moyenne
| | Jours de Thout | κ | α | ω |
|---|
| Période : | 1 101 | 22;41,45 | 19;11,56° | 222;53,32° | 65;41,57° |
|---|
| Année : | 11 | 1;09,39 | 358;28,11° | 271;04,19° | 211;12,03° |
|---|
| Année : | 1 112 | 23;51,24j | 17;40,07° | 133;57,51° | 276;54,00°. |
|---|
Heure de la conjonction moyenne : 23;51,24 j = Thout 24 [à] 8 h 34.
ω se situe dans les limites écliptiques de l’éclipse solaire, qui est donc possible.
Calcul de la conjonction vraie
| D’après le tableau III 6, c(κ) : | −0;41° | équation solaire |
| D’après le tableau IV 10, c(α) : | −3;50° | équation lunaire |
Position vraie en latitude : ω = ω + c(α) = 273;04° à la conjonction moyenne.
Δλ = −0;41° + 3;50° = 3;09°.
Mouvement horaire vrai de la Lune en longitude : 0;32,56° + 0;32,40 × 3⅔′ = 0;34,56° (Théon : 0;34,56°).
Δt = 3;09 × 13⁄12 ÷ 0;34,56 = 5;52 h.
Heure de la vraie conjonction : 8 h 34 + 5 h 52 = 14 h 26 (Théon : 2 + ⅓ + ⅒ heures après midi ).
Mouvement sur Δt : 3;09 × 13⁄12 ≈ 3;25°.
Nous ajoutons ceci à la position en latitude : ω = 276;29° à la vraie conjonction.
En 5;52 h, le mouvement moyen en anomalie est de 3;12°, donc à la vraie conjonction α = 137;10° .
Pour trouver l’heure de la conjonction apparente à Alexandrie, nous devons d’abord trouver l’heure locale vraie, c’est-à-dire appliquer l’équation du temps.
Longitude vraie du Soleil à la conjonction moyenne : κ + λa + c(κ) = 17;40° + 65;30° − 0;41° = 82;29°.
Mouvement du Soleil de la conjonction moyenne à la conjonction vraie : Δλ/12 = 0;16°.
Longitude vraie du Soleil à la conjonction vraie : 82;45°.
Donc l’équation du temps par rapport à l’ère Nabonassar (cf. exemple 8 pour la méthode) : +24 min.
Heure de la conjonction vraie par rapport à midi à Alexandrie : 14 h 50.
Calcul de la conjonction apparente
(1) Calcul de parallaxe (cf. exemple 10 )
D’après le tableau II 13, Clima III, λ = ♊ 22;45°, [à] 14 h 50 :
distance zénithale : 38;28° angle : 17;35°.
D’après le tableau V 18, ζ = 38;28°, α = 137;10° (latitude de la lune négligée) :
| parallaxe totale du Soleil : | 0;01,45° | |
| parallaxe totale de la Lune : | 0;39,35° | (à partir des cols. 3 et 4 uniquement) |
| différence en parallaxe : | 0;37,50°. | |
Parallaxe en longitude (pour [un] angle [de] 17;35°) : pλ = 0;36°.
Le temps entre la conjonction vraie et la conjonction apparente est trouvé en divisant ce qui précède par la vraie vitesse horaire de la Lune : 0;36 ÷ 0;34,56 ≈ 1;02 h.
D’où l’heure de la conjonction apparente (première approximation) : 15 h 52
(2) Deuxième calcul de parallaxe, pour le temps corrigé
D’après le tableau II 13, Clima III, λ = ♊ 22;45°, [à] 15 h 52 :
distance zénithale : 51;48° angle : 18;32°.
En 1 h 02 le mouvement en anomalie est d’environ 0;33°, donc α pour le temps corrigé est 137;10° + 0;33° = 137;43°.
En négligeant la latitude lunaire, comme précédemment, du tableau V 18, [pour] ζ = 51;48°, α = 137;43° :
| parallaxe totale du Soleil : | 0;02,15° |
| parallaxe totale de la lune : | 0;49,47° |
| différence en parallaxe : | 0;47,32° |
Parallaxe en longitude (pour [un] angle [de] 18;32°) : p′λ = 0;45°.
Calcul de l’« épiparallaxe » :
Différence entre les première et deuxième parallaxes en longitude,
d = p′λ − pλ = 0;45° − 0;36° = 0;09°.
Un incrément supplémentaire, f, est trouvé par f:d = d:p, donc f = 0,09 × 0,09 ÷ 0,36 ≈ 0,02, et l’épiparallaxe = d + f = 0,11°.
Parallaxe finale en longitude : 0;36° + 0;11° = 0;47°.
Pour tenir compte du mouvement du Soleil, ajouter 1⁄12 à ceci : 13⁄12 × 0,47° ≈ 0,51°.
Temps entre la conjonction vraie et la conjonction apparente : 0;51 ÷ 0;34,56 ≈ 1 h 28.
D’où [le] temps de [la] conjonction apparente : 2 h 50 + 1 h 28 = 16 h 18 (Théon : 16⅓ h)
Position de la Lune à ce moment :
| λ : | ♊ | 22;45° | + | 0;51° | = | ♊ | 23;36° |
| ω : | | 276;29° | + | 0;51° | = | | 277;20° |
| α : | | 137;10° | + | 0;51° | = | | 138;01° |
Calcul des circonstances de l’éclipse
Calcul de la parallaxe en latitude
D’après le tableau II 13, Clima III, λ = ♊ 23;36°, [à] 16 h 18 :
distance zénithale : 57:18° angle : 19;46°.
D’après le tableau V 18, avec ζ = 57;18°, α = 138;01° :
| parallaxe totale du Soleil : | 0;02,24° |
| parallaxe totale de la Lune : | 0;53,02° |
| différence de parallaxe : | 0;50,38° |
Parallaxe en latitude (cf. exemple 10 ) pour un angle [de] 19;46° : pβ = 0;17°.
Nous convertissons cela en distance le long de l’orbite de la Lune en multipliant par 12 :
Δω = 12 · pβ = 3;24° (Théon utilise le facteur 11½ et obtient 3;19°).
Puisque ω est 277;20°, la Lune est juste après le nœud ascendant. L’effet de la parallaxe est vers le sud, donc son effet sur ω est négatif.
Position finale de la Lune sur orbite : 277;20° − 3;24° = 273;56°, argument apparent de latitude.
Du tableau VI 8, [partie] I, [pour un] argument [de] 273;56° :
| À la plus grande distance | À la plus petite distance |
| Magnitude | Durée | Magnitude | Durée |
| 4;08 doigts | 23;44,28 minutes de trajet | 4;56 doigts | 26;18,52 minutes de trajet |
Δ : 0;48 doigts et 2;34,24 minutes.
À partir [du tableau VI 8, partie] III, [pour l’]argument α = 138;01° : soixantièmes : 51,39 .
Magnitude : 4;08 + 0;48 × 0;51,39 = 4;49 doigts.
Durée : 23;44,28 + 2;34,24 × 0;51,39 = 25;57 minutes de trajet.
On augmente cette dernière [valeur] de 1⁄12e, pour tenir compte du mouvement du Soleil : 28;07′, et on divise par la vitesse horaire de la Lune, 0;34,56°, pour obtenir la demi-durée de l’éclipse : 0;28,07 ÷ 0;34,56 ≈ 0;48,18 h (Théon : ½ + ¼ + 1⁄20 = 0;48 h).
Ainsi[, les] circonstances de l’éclipse (en négligeant la variation de la distance zénithale pendant l’éclipse) [sont] :
| Magnitude : | 4;49 doigts | (Théon : 4;39,18 doigts) |
| Début de l’éclipse, Alexandrie : | 15 h 30 | (Théon : 15 h 32) |
| mi-éclipse, Alexandrie : | 16 h 18 | (Théon : 16 h 20) |
| fin de l’éclipse, Alexandrie : | 17 h 06 | (Théon : 17 h 08) |
(Théon poursuit en calculant les différences du début et de la fin de l’éclipse en raison de la variation de la distance zénithale, cf. Almageste VI 10 p. 312–313 . Celles-ci sont de 12 minutes plus tôt et 7 minutes plus tard, respectivement, vérifiant les déclarations de Ptolémée à propos l’effet sur les intervalles).
En utilisant des tables modernes (celles de P.V. Neugebauer, Astronomische Chronologie), je trouve :
| phase maximale à Alexandrie : | 5,6 doigts |
| horaires des phases à Alexandrie: | début: | 15 h 18 |
| milieu: | 16 h 28 |
| fin: | 17 h 24 |
(Fin de la traduction de l’exemple 12 de l’Appendice A de la traduction de Toomer.)
L’application SkySafari 6 Pro donne comme heures de début et de fin 15 h 08 et 16 h 52, respectivement. Stellarium 23.2 donne quant à lui 15 h 13 min 15 s pour le début et 16 h 57 min 17 s pour la fin. Le site EclipseWise de Fred Espenak, une sommité dans le monde de l’astronomie en ce qui a trait aux éclipses, donne 15 h 13 min 18 s pour le début et 16 h 57 min 20 s pour la fin, avec le maximum à 16 h 07 min 50 s, et une magnitude de 0,343, correspondant à 4;07 doigts.
L’heure exacte dépend d’un paramètre spécifique appelé ΔT ou delta-T (sans lien avec ΔT mentionné ailleurs dans cette page), qui est la différence entre le Temps Universel (TU), qui dépend de la rotation de la Terre, et le Temps Dynamique Terrestre, qui en est indépendant. Nous connaissons assez bien la valeur de ΔT pour les quelque 400 dernières années, mais il est impossible à prévoir adéquatement pour le futur, et nos modèles pour le passé lointain dépendent de la précision des témoignages — qui laisse souvent à désirer. On peut notamment lire à ce sujet « Long-Term Fluctuations in the Earth’s Rotation: 700 BC to AD 1990 », de Francis Richard Stephenson et Leslie V. Morrison (Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering, Vol. 351, Nº 1695 [1995]: 165–202), ou « The Eclipse of Theon and Earth’s Rotation », de J.M. Steele (dans New Insights From Recent Studies in Historical Astronomy: Following in the Footsteps of F. Richard Stephenson, p. 47–61, Springer, 2015).
Références et suggestions de lecture
Légende : 📜 Manuscrit · 📖 Livre ou chapitre de livre · 📰 Article · 🌐 Site web
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- [Anonyme]. « 10. Febr. Gesammtsitzung der Akademie. » Monatsberichte der königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Vol. 183 (1859): 182–186.
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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 56 UTC