Planètes mineures triples

Appendice I : Définitions

Les orbites des planètes et des satellites sont définies par un minimum de six paramètres, expliqués dans le tableau ci-dessous. Suite au tableau, on trouve un diagramme interactif.

Symbole	Paramètre	Définition
	Époque	Le moment pour lequel les valeurs mentionnées ci-dessous sont données ou sont valides.
a	Demi-grand axe	La moitié de la dimension maximale de l’ellipse orbitale.
e	Excentricité	Une mesure de l’« étirement » de l’ellipse orbitale. Elle est égale à $ \displaystyle e = \sqrt { 1 - \frac {b^2}{a^2} } $, où b est la moitié de la dimension minimale de l’ellipse orbitale (aussi appelée le demi-petit axe).
i	Inclinaison	L’angle entre l’ellipse orbitale et le plan de référence. Dans ce document, le plan de référence est celui de l’équateur terrestre à l’époque J2000,0. D’autres plans de référence existent dans les documents d’æstronomie, dont le plan de l’écliptique, défini comme étant celui de l’orbite de la Terre autour du Soleil ; le plan invariable (habituellement, celui du système solaire, mais on peut aussi parler de celui d’une planète ou planète mineure et son ou ses satellites), défini comme passant par le barycentre du système et perpendiculaire à son vecteur de moment angulaire ; ou le plan équatorial du corps principal.
Ω	Longitude du nœud ascendant	L’angle, mesuré le long du plan de référence, entre le point de référence (habituellement, l’équinoxe vernal ; symbole ♈︎) et le nœud ascendant. Le nœud ascendant est le point de l’orbite où celle-ci croise le plan de référence du « dessous » au « dessus » — habituellement, du sud au nord. Le symbole du nœud ascendant est ☊, à ne pas confondre avec Ω ; on notera la différence de forme des boucles du bas.
ω	L’argument du périastre	L’angle, mesuré le long du plan orbital du corps, entre le nœud ascendant et le périastre. Le périastre (souvent appelé « périapse », bien que cette forme soit fautive du point de vue étymologique) est le point d’une orbite situé le plus près du corps principal. Dans le cas d’un astre orbitant autour du Soleil, c’est le périhélie ; autour de la Terre, c’est le périgée. Parfois, la longitude du périastre (symbole : ϖ ou π) est donnée. Elle est égale à Ω + ω, bien que ces deux angles soient mesurés sur des plans différents (pour des raisons historiques). On doit toutefois prendre soin de ne pas confondre ω, ϖ, et π — et encore que cette dernière lettre peut aussi représenter la constante mathématique π = 3,14159265…
Et au moins un des paramètres suivants, qui peuvent être calculés l’un à partir de l’autre :
Tₚ	Moment du passage au périastre	Le moment où le corps est au périastre. Ça peut être une date au calendrier avec une fraction ou les heures, ou un jour julien (voir Appendice II).
P	Période orbitale	Le temps requis par le corps pour compléter une orbite. Cette unité peut dépendre du contexte : par exemple, mesurer la période orbitale d’une étoile autour du centre de sa galaxie en jours serait absurde.
ν	Anomalie vraie	C’est l’angle, mesuré le long de l’orbite du corps, entre le périastre et la position du corps à l’époque de base. On le note parfois aussi θ ou f.
M	Anomalie moyenne	La fraction de la période de rotation qui s’est écoulée depuis le dernier passage au périastre, exprimée comme un angle. Cet angle est aussi celui d’un « corps moyen » fictif qui se déplacerait à vitesse uniforme sur une orbite circulaire d’un rayon égal au demi-grand axe de l’orbite.
n	Mouvement moyen	Le mouvement angulaire moyen du corps — aussi celui du corps moyen fictif utilisé pour calculer M. Il est égal à $ \displaystyle n = \frac{360°}{P} $.
L	Longitude moyenne	La longitude à laquelle le corps serait situé si son orbite était circulaire et non perturbée. Cela ne correspond à aucun angle réel. Sa valeur est de $ \displaystyle L = Ω + ω + M $.

Puisque les orbites sont sujettes aux perturbations gravitationnelles causées par les autres corps du système ou du système « parent » (pour les satellites planétaires, le système est celui de la planète et ses satellites, tandis que le système « parent » est le système solaire avec le Soleil, les autres planètes et leurs satellites, les planètes mineures, etc.), les cinq premiers éléments changent graduellement sur des périodes de temps plus ou moins longues (tandis que ν, M, et L changent sur des échelles de temps bien plus courtes). Le taux de changement de ces éléments est parfois donné ; par exemple, j’ai donné ΔΩ et Δω pour plusieurs des satellites de planètes mineures mentionnées dans le présent document. Ceux-ci sont parfois notés $ \displaystyle \dot{Ω} $ et $ \displaystyle \dot{ω} $. L’époque d’une orbite doit être connue afin de dériver la position précise du corps étudié.

Puisque les paramètres orbitaux dépendent intimement du moment et de leur taux d’évolution, je ne recommande pas d’utiliser les valeurs de base ou résultantes trouvées dans le présent document pour calculer les positions pour des causes pratiques comme l’observation céleste ou la navigation. Je recommande plutôt d’utiliser des éléments orbitaux précis et à jour, par exemple ceux de l’interface web HORIZONS du JPL.

Appendice II : Sur la projection par perspective des ellipses, avec un exemple détaillé

Convertir les positions observées en éléments orbitaux est une procédure complexe, qui est détaillée en partie dans les notes de cours de Jeremy Tatum du temps où il enseignait à l’Université de Victoria, Canada. Là, il était « le fondateur en chef et la force motrice derrière le programme d’astrométrie des planètes mineures et des comètes de l’Observatoire Climenhaga [de l’Université de Victoria], qui était le seul de son genre au Canada. Pour l’honorer, un astéroïde porte maintenant son nom : (3748) Tatum (1981 JQ) — dont le numéro séquentiel est incidemment seulement une unité de moins que Balam de notre section sur les planète mineures triples, ci‑dessus.

Pour la suite, j’utilise la notion utilisée sur Wikipedia (anglais), pas celle trouvée sur le site web de M. Tatum ; le reste de la procédure est laissé tel quel.

Une partie de ce qui suit a été dérivé par l’auteur du présentdocument.

Équation d’une ellipse

On peut décrire une ellipse de plusieurs manières. Une orbite se caractérise habituellement par son demi-grand axe a et son excentricité e ; on peut ensuite trouver son demi-petit axe b par la formule $ \displaystyle e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} $. Si l’ellipse n’est pas centrée à l’origine, et qu’elle est pivotée dans au moins une des trois dimensions (ce qui est habituellement le cas pour une orbite), on angle de rotation peut être appelé $ \theta $ et son centre défini comme étant aux coordonnées $ \displaystyle \left( x_0, y_0 \right) $, nous avons alors comme forme générale pour la formule de l’ellipse en deux dimensions :

$$ \displaystyle \frac{\left[ (x - x_0) \text{ cos }\theta + (y - y_0) \text{ sin }\theta \right]^2}{a^2} + \frac{\left[ -(X - x_0) \text{ sin }\theta + (Y - y_0) \text{ cos }\theta \right]^2}{b^2} = 1 $$

Une autre façon de décrire l’ellipse mathématiquement est d’utiliser sa forme cartésienne :

$$ \displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

La conversion d’une formule à l’autre est possible :

$$ \begin{array}{cl} A & = & a^2\text{ sin}^2\ \theta + b^2\text{ cos}^2\ \theta \\ \\ B & = & 2\ (b^2 - a^2)\text{ sin }\theta\text{ cos }\theta \\ \\ C & = & a^2\text{ cos}^2\ \theta + b^2\text{ sin}^2\ \theta \\ \\ D & = & -2Ax_0 - By_0 \\ \\ E & = & -Bx_0 - 2Cy_0 \\ \\ F & = & Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2 - a^2b^2 \\ \\ a, b & = & \displaystyle \frac {-\sqrt{2 \left( AE^2 + CD^2 - BDE + \left( B^2 - 4AC \right) F \right) \left( \left( A + C \right) ± \sqrt{\left( A - C \right)^2 + B^2 } \right)}}{B^2 - 4AC} \\ \\ x_0 & = & \displaystyle \frac{2CD - BE}{B^2 - 4AC} \\ \\ y_0 & = & \displaystyle \frac{2AE - BD}{B^2 - 4AC} \\ \\ \theta & = & \begin{cases} \begin{array}{ll} \displaystyle \text{arctan }\left( \frac{1}{B} \left( C- A - \sqrt{\left( A - C \right)^2 + B^2} \right) \right) & \text{for }B \neq 0 \\ 0 & \text{for }B = 0, A \lt C \\ 90° & \text{for }B = 0, A \gt C \\ \end{array} \end{cases} \end{array} $$

Lorsque l’équation de l’ellipse est inconnue, il est possible de la trouver à partir d’au moins cinq points sur son périmètre ; bien qu’il soit alors possible de résoudre les cinq équations à cinq inconnues avec une matrice, M. Tatum présente « une meilleure façon ».

Appelons nos cinq points A, B, C, D, et E. Imaginons entre eux les segments imaginaires AB, dont l’équation sera α = 0 ; CD, d’équation β = 0 ; AC, d’équation γ = 0 ; et BD, d’équation δ = 0 (ignorons pour l’instant le point E). Avec αβ = 0 étant les segments AB et CD, et γδ = 0 étant les segments AC et BD, on a αβ + λγδ = 0, où λ est une constante arbitraire, pour définir toute section conique passant par A, B, C, et D. Ajouter E au groupe nous permet de « trouver la valeur de λ qui force cette équation à passer par chacun des cinq points ».

Exemple

Imaginons les points A = (1, 8) ; B = (4, 9) ; C = (5, 2) ; D = (7, 6) ; et E = (8, 4). Trouver α implique donc de trouver la pente et l’origine de AB, et ainsi de suite. Nous avons donc $ \displaystyle \mathrm{_{slope}AB} = \frac {B_y - A_y} { B_x - A_x } = \frac {9 - 8} {4 - 1} = \frac {1}{3} $, alors $ \displaystyle y = \frac {x}{3} + d $. En insérant les valeurs ici, on a $ \displaystyle A_y = \frac {A_x}{3} + d \Rightarrow 8 = \frac {1}{3} + d \Rightarrow d = \frac {23}{3} $, d’où $ \displaystyle y = \frac {x}{3} + \frac {23}{3} = \frac {x + 23}{3} $, qui peut être réécrit en $ \displaystyle \alpha = x - 3 y + 23 = 0 $. De la même manière, on obtient pour les autres segments :

$$ \begin{array}{lr} \alpha = 0: & x - 3y + 23 = 0\\ \\ \beta = 0: & 2x - y - 8 = 0\\ \\ \gamma = 0: & 3x + 2y - 19 = 0\\ \\ \delta = 0: & x + y - 13 = 0 \end{array} $$

On trouve ensuite les paires de lignes en multipliant deux équations ensemble. Par exemple :

$$ \alpha\beta = (x - 3y + 23) (2x - y - 8) = 0 \Rightarrow 2x^2 - 7xy + 3y^2 + 38x + y - 184 = 0 $$

Alors :

$$ \begin{array}{lr} \alpha\beta = 0: & 2x^2 - 7xy + 3y^2 + 38x + y - 184 = 0\\ \\ \gamma\delta = 0: & 3x^2 + 5xy + 2y^2 - 58x - 45y + 247 = 0\\ \\ \alpha\beta + \lambda\gamma\delta = 0: & (2 + 3 \lambda)x^2 - (7 - 5 \lambda) xy + (3 + 2 \lambda) y^2 + (38 - 58 \lambda) x + (1 - 45 \lambda) y - 184 + 246 \lambda = 0 \end{array} $$

On substitue ensuite les coordonnées de E à la place de x et y pour obtenir la valeur de λ :

$$ \begin{array}{rl} (2 + 3 \lambda) \cdot 8^2 - (7 - 5 \lambda) \cdot 8 \cdot 4 + (3 + 2 \lambda) \cdot 4^2 + (38 - 58 \lambda) \cdot 8 + (1 - 45 \lambda) \cdot 4 - 184 + 247 \lambda & = & 0\\ \\ \displaystyle \lambda & = & \frac {76}{13} \end{array} $$

Et l’équation finale de l’ellipse, en ramenant λ dans notre équation, est :

$$ \displaystyle 508x^2 + 578xy + 382y^2 - 7827x - 6814y + 32760 = 0 $$

Les paramètres de notre équation de forme $ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $ sont donc:

$$ \begin{array}{cr} A & = & 508 \\ B & = & 578 \\ C & = & 382 \\ D & = & -7828 \\ E & = & -6814 \\ F & = & 32760 \end{array} $$

Un test additionnel est ici requis pour savoir si la conique est un cercle, une ellipse, une parabole, ou une hyperbole, mais il ne sera pas habitellement nécessaire en astronomie, puisque les orbites sont généralement elliptiques.

On calcule maintenant les cofacteurs suivants :

$$ \begin{array}{ccr} \bar C & = & \displaystyle AC - \left( \frac{B}{2} \right)^2 & = & 110\,535 \\ \\ \bar D & = & \displaystyle \frac{DB}{4} - \frac{AE}{2} & = & 599\,610 \\ \\ \bar E & = & \displaystyle \frac{BE}{4} - \frac{CD}{2} & = & 510\,525 \\ \end{array} $$

Le centre de l’ellipse est à $ \displaystyle \left( \frac {\bar E}{\bar C}, \frac {\bar D}{\bar C} \right) = \left( \frac {510\,525}{110\,535}, \frac {599\,610}{110\,535} \right) = \left( 4,61867, 5,42462 \right) $, et son grand axe est incliné d’un angle $ \displaystyle \text{tan }2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac {578} {508 - 382} = \frac {578}{126} = 4,58730 \Rightarrow 2\theta = \text{atan } 4,58730 = 77,70231° \Rightarrow \theta = 38,85115° = 38°\ 51^′\ 4,15^″ $ à l’axe de y (ou 128° 51′ 4,15″ à l’axe des x).

Une autre façon, moins précise, est de dessiner les observations et de tracer l’ellipse la plus rapprochée, puis de mesurer sur le graphique ses grand et petit axes et leur inclinaison avec une règle et un rapporteur d’angles.

La pratique courante, avec les orbites, est de définir la position du corps principal comme étant (0, 0), avec le nord en haut est l’est correspondant à 90°.

Conversion de l’orbite apparente en éléments orbitaux

Nous devons d’abord établir l’orbite apparente de l’astre. Ceci est fait en mesurant, à divers moments, sa séparation et son angle de position à partir du corps primaire. Dans le cas des planètes mineures et des autres astres du système solaire, il faut aussi comepnser pour le mouvement relatif du système et de la Terre autour du Soleil ; ce sera possiblement le sujet d’un article futur. Une fois l’équation de l’orbite apparente connue (par l’algorithme présenté ci-dessus), on peut calculer les éléments orbitaux.

Dans cet exemple, on suivra celui donné par M. Tatum dans la section 17.4 de ses notes (mais tout en utilisant la notation de Wikipedia) :

$$ \displaystyle 14x^2 - 23xy + 18y^2 - 3x - 31y - 100 = 0 $$

Nous avons donc :

$$ \begin{array}{} A = 14\text{, }& B = -23\text{, }& C = 18\text{, }& D = -3\text{, }& E = -31\text{, }& F = -100 \end{array}$$

Cela place le centre de l’ellipse à :

$$ \begin{array}{ccrcrcr} \bar C & = & \displaystyle 14 \cdot 18 - \left(\frac{-23}{2}\right)^2 & = & 252 - 132,25 & = & 119,75 \\ \\ \bar D & = & \displaystyle \frac{(-3)\cdot(-23)}{4} - \frac{14 \cdot (-31)}{2} & = & 17,25 - (-217) & = & 234,25 \\ \\ \bar E & = & \displaystyle \frac{(-23) \cdot (-31)}{4} - \frac{18 \cdot (-3)}{2} & = & 178,25 - (-27) & = & 205,25 \\ \\ x & = & & & \displaystyle \frac {205,25}{119,75} & = & 1,71399 \\ \\ y & = & & & \displaystyle \frac {234,25}{119,75} & = & 1,95616 \end{array} $$

La pente du grand axe est de $ \displaystyle m = \frac {\bar D}{\bar E} = \frac {234,25}{205,25} = 1,14129 $ ; n’importe quel point sur l’axe majeur de l’ellipse apparente se trouve le long de la ligne $ \displaystyle y = 1,14129\ x $ (il n’y a pas de + d ici puisqu’elle passe par l’origine). L’ellipse apparente a deux points en commun avec l’ellipse réelle : les apsides (périastre et apoastre). Si on replace y dans la forme cartésienne de notre ellipse, on obtient les coordonnées de nos deux points, en solutionnant les deux équations suivantes:

$$ (A + Bm + Cm^2)\ x^2 + (D + Em)\ x + F = 0 $$

et

$ (C + Bn + An^2)\ y^2 + (E + Dn)\ y + F = 0 $,

où $ \displaystyle n = \frac {1}{m} = 0,87620 $. Cela nous donne :

$$ \begin{array}{rcl} (14 + (-23) \cdot (1,14129) + 18 \cdot (1,14129)^2)\ x^2 + ((-3) + (-31) \cdot (1,14129))\ x + (-100) & = & 0 \\ \\ 11,19612\ x^2 + (-38,38002)\ x + (-100) & = & 0 \\ \\ x & = & 5,15919\text{ ou }-1,73121 \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcl} (18 + (-23) \cdot (0,87620) + 14 \cdot (0,87620)^2)\ y^2 + ((-31) + (-3) \cdot (0,87620))\ y + (-100) & = & 0 \\ \\ 8,59557\ y^2 + (-33,62860)\ y + (-100) & = & 0 \\ \\ y & = & 5,88814\text{ ou }-1,97582 \end{array}$$

« Si m est positif, la plus grande solution pour y correspond à la plus grande solution pour x ; si m est négatif, la plus grande solution pour y correspond à la plus petite solution pour x. »

Deux méthodes, non détaillées ici, existent pour déterminer le périastre et l’apoastre : soit en dessinant le graphique, ou en calculant la distance entre chacun de ces deux points et l’origine. Ici, on trouve le périastre à (-1,73121, -1,97582).

L’excentricité de l’orbite réelle est calculée à partir du ratio des distances foyer–centre (ou origine–centre) à périastre–centre (demi-grand axe). Cela nous donne :

$$ \displaystyle e = \frac { \sqrt { 1,71399^2 + 1,95616^2 }} { \sqrt { (1,71399 - (-1,73121))^2 + (1,95616 - (-1,97582))^2 }} = 0,49750 $$

Nous devons maintenant calculer une ellipse auxilliaire. La première étape est de déterminer le facteur d’étirement $ \displaystyle k = \frac {1}{\sqrt{1 - e^2}} = \frac {1}{\sqrt{1 - 0,49750^2}} = 1,15279 $, puis la pente du latus rectum projeté — une corde perpendiculaire au grand axe et passant par le foyer — de l’orbite réelle $ \displaystyle m = \frac{-\frac{D}{2}}{\frac{E}{2}} = \frac{-\frac{-3}{2}}{\frac{-31}{2}} = -0,09677 $. Nous trouvons les deux points où le latus rectum croise l’ellipse apparente de la même façon qu’on a trouvé les apsides, mais avec la nouvelle valeur de m et $ \displaystyle n = \frac{1}{m} = -10,33333 $:

$$ \begin{array}{rcl} (14 + (-23) \cdot (-0,09677) + 18 \cdot (-0,09677)^2)\ x^2 + ((-3) + (-31) \cdot (-0,09677))\ x + (-100) & = & 0 \\ \\ 16,39438\ x^2 + (-100) & = & 0 \\ \\ x & = & 2,46975\text{ ou }-2,46975 \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcl} (18 + (-23) \cdot (-10,33378) + 14 \cdot (-10,33378)^2)\ y^2 + ((-31) + (-3) \cdot (-10,33378))\ y + (-100) & = & 0 \\ \\ 1750,55556\ y^2 + (-100) & = & 0 \\ \\ y & = & 0,23901\text{ ou }-0,23901 \end{array}$$

Encore une fois, « [s]i m est positif la plus grande solution de y correspond à la plus grande solution de x ; si m est négatif la plus grande solution de y correspond à la plus petite solution de x » ; on a donc M = (-2,46975, 0,23901) et N = (2,46975, -0,23901).

Nous devons aussi trouver au moins un des points de l’ellipse apparente où une ligne parallèle au latus rectum croise le centre de l’ellipse. Ceci requiert les équations suivantes :

$$ \begin{array}{rcl} (A + Bm + Cm^2)\ x^2 + (Bd + 2Cmd + D + Em)\ x + Cd^2 + Ed + F & = & 0 \\ \\ (C + Bn + An^2)\ y^2 + (Be + 2Ane + E + Dn)\ y + Ae^2 + De + F & = & 0 \end{array} $$

où $ \displaystyle d = \bar y - m \bar x $ et $ \displaystyle e = \frac{-d}{m} $ (à ne pas confondre avec l’excentricité !), où (x̄, ȳ) sont les coordonnées du point central. On a donc :

$$ \begin{array}{rcl} d & = & 1,95616 - (-0,09677)(1,71399) & = & 2,12203 \\ \\ e & = & \displaystyle \frac{-2,12203}{-0,09677} & = & 21,92764 \\ \\ 16,39438\ x^2 + (-56,19957)\ x + (-84,72873) & = & 0 \\ \\ x & = & -1,13310 \text{ ou }4,56108 \\ \\ 1750,55556\ y^2 + (-6848,73393)\ y + 6565,71866 & = & 0 \\ \\ y & = & 1,68064 \text{ ou }2,23168 \end{array} $$

Puisque, encore une fois, « [s]i m est positif la plus grande solution pour y correspond à la plus grande solution pour x ; si m est négatif la plus grande solution pour y correspond à la plus petite solution pour x », nous avons donc K = (-1,13310, 2,23168).

Les points de l’ellipse auxilliaire sont trouvé en multipliant la longueur des segments MF, FN, et KC (centre) par k pour obtenir les points et segments M′F, FN′, et K′C. Pour M′F et FN′, ceci est facile, puisque MF (donc M′N′) passe par l’origine, alors nous avons $ M^′(x\text{, }y) = M(x \cdot k\text{, }y \cdot k) = (-2,84710, 0,27552) $ et $ N^′(x\text{, }y) = N(x \cdot k\text{, }y \cdot k) = (2,84710, -0,27552) $. Pour K′, nous replaçons x et y par x̄ + k(x - x̄) et ȳ + k(y - ȳ), alors nous obtenons $ x = 1,71399 + 1,15279\ ((-1,13310) - 1,71399) = -1,56810 $ et $ y = 1,95616 + 1,15279\ (2,23168 - 1,95616) = 2,27378 $.

Nous avons donc cinq points sur l’ellipse auxilliaire, ce qui signifie qu’on peut trouver sa forme cartésienne selon la procédure de la section précédente.

$$ \begin{array}{rcl} A & = & (+5,15919, +5,88814) \\ P & = & (-1,73121, -1,97582) \\ M^\prime & = & (-2,84709, +0,27552) \\ N^\prime & = & (+2,84709, -0,27552) \\ K^\prime & = & (-1,56810, +2,27378) \\ \end{array} $$ $$ 10,5518\ x^2 - 16,9575\ xy + 15,3528\ y^2 - 3\ x - 31\ y - 100 = 0 $$ $$ \begin{array}{rcccccl} \text{tan }2\theta & = & \displaystyle \frac{B}{A-C} & = & \displaystyle \frac{-16,9575}{10,5518 - 15,3528} & = & 3,53208 \\ \\ & & \theta & = & 37,09607 \\ \\ & & m & = & \text{tan }\theta & = & 0,75619 \\ \\ & & n & = & \displaystyle \frac{1}{m} & = & 1,32243 \end{array}$$

Le demi-grand axe de l’ellipse auxiliaire est son seul axe qui ne soit pas rétréci par la perspective. Sa longueur est égale au demi-grand axe de l’orbite réelle :

$$ \begin{array}{rcl} a & = & \frac {-\sqrt{2 \left( AE^2 + CD^2 - BDE + \left( B^2 - 4AC \right) F \right) \left( \left( A + C \right) + \sqrt{\left( A - C \right)^2 + B^2 } \right)}}{B^2 - 4AC} \\ \\ & = & 5,66544 \end{array} $$

Puisque les observations se mesurent généralement en secondes d’arc, cette réponse est aussi en secondes d’arc. Nous devons connaître la distance à l’objet pour connaître la valeur en unité de distance physique.

L’inclinaison de l’orbite réelle sur le plan de ciel est calculée avec :

$$ \begin{array}{rcl} i & = & \displaystyle \text{acos } \frac {b}{a} \\ & = & \displaystyle \text{acos } \frac {2,47102}{5,66544} \\ & = & 64,14108° \end{array}$$

La longitude du nœud est calculée avec:

$$ \begin{array}{rcl} \Omega & = & \text{arctan }m \\ & = & 37,09607° \end{array}$$

de l’axe des x ou 127,09607° de l’axe des y (l’angle de position utilisé en astronomie). En termes mathématiques stricts, il est impossible de savoir quel nœud est lequel, ascendant ou descendant, mais des données d’observation pourraient permettre de déterminer cela, que ce soit en traçant l’orbite et en vérifiant la direction du mouvement, ou en utilisant des vitesses radiales mesurées par spectroscopie.

Enfin, on connaît la position du nœud et celle du périastre, mais la longitude de ce dernier n’est pas l’angle apparent entre les deux, puisque celui-ci est distordu par la perspective. Appelons plutôt cet angle λ. On peut le mesurer sur un graphique, ou le calculer. Considérons toutefois en premier l’angle θ:

$$ \begin{array}{rcl} \theta & = & \displaystyle \text{atan2 } \frac {\bar y}{\bar x} \\ & = & \displaystyle \text{atan } \frac {1,95616}{1,71399} \\ & = & \text{atan } 1,14129 \\ & = & 48,77511° & \text{ou} & 228,77511° \end{array} $$

Décider quelle valeur est bonne est fait en regardant le signe de $ P_x $ : s’il est négatif, alors le deuxième angle est bon — regarder le graphique nous donnerait aussi la réponse. L’angle λ est maintenant obtenu en soustrayant les plus petites valeurs de θ et de Ω (celle mesurée depuis l’angle des x) :

$$ \begin{array}{rcl} \lambda & = & \theta - \Omega \\ & = & 48,77511° - 37,09607° \\ & = & 11,67904° \end{array} $$

Le casse-tête est presque complet, avec l’argument du périastre, calculé par :

$$ \begin{array}{rcl} \text{tan } \omega & = & \text{tan } \lambda \text{ sec } i \\ \text{tan } \omega & = & \text{tan } 11,67904 \text{ sec } 64,14108 \\ \text{tan } \omega & = & 0,47393 \\ \omega & = & 25,35776° \end{array} $$

La dernière information ne peut être trouvée par les mathématiques seules, mais plutôt par l’observation : nous devons déterminer la période orbitale P et le moment du passage au périastre Tₚ.

Conversion des éléments orbitaux en orbite apparente

Éléments orbitaux de Iapetus
Demi-grand axe	a	3564524,725648914 km
Excentricité	e	0,02908967274787569
Nœud ascendant	Ω	253,4568570764956°
Périchrone	ω	349,4625601591317°
Inclinaison	i	15,75897128219843°
Anomalie moyenne	M	3,149688132606785°
Anomalie vraie	ν	3,339731721713938°
Période	P	6865675,917013768 seconds
Mouvement moyen	n	0,00005243474995781366°/d
Moment du périchrone	Tₚ	2459273,804760225117
Époque		2459274,5 TDB (2021‑03‑01 00:00:00 TDB)

Bien qu’il soit facile de trouver la position d’un corps céleste à partir de ses éléments orbitaux, l’auteur du présent document voulait une façon rapide et efficace de dessiner l’ellipse de l’orbite apparente avec un logiciel de graphisme tel qu’Adobe Illustrator ou en le codant en SVG brut. La solution la plus facile trouvée a été de déterminer cinq positions aléatoires de l’astre à partir de ses éléments orbitaux, puis d’utiliser la méthode mentionnée ci-dessus pour trouver l’équation cartésienne de l’ellipse à partir de ces cinq points. Pour cet exemple, j’utiliserai les éléments orbitaux de Iapetus, un satellite de Saturne possédant une forte inclinaison (voir tableau à droite). Ces éléments, pris de la Web‑Interface HORIZONS du JPL, sont relatifs à l’équateur et au nœud de Saturne pour la date de leur époque. (À noter qu’ils diffèrent de ceux trouvés, par exemple, sur Wikipédia, puisque ces derniers sont pour J2000,0, tandis que les éléments obtenus de JPL Horizons sont pour le 1^er mars 2021.)

Les cinq points peuvent être déterminés au hasard, mais j’ai choisi les apsides, les nœuds, et la position de l’objet à l’époque. D’une façon ou d’une autre, on obtient les points A, B, C, D, et E, et on peut déterminer l’ellipse réelle à partir de ceux-ci. La procédure ici est utilisable pour n’importe quelle ellipse vue de n’importe quelle position et est la même qu’utilisée dans le diagramme interactif ci-dessus. Toutefois, je ne discute pas ici de la détermination de l’angle de vision, tâche qui reviendra à la personne lisant ces lignes.

Au périchrone (oui, c’est bien le mot pour « le point de l’orbite le plus près de Saturne » ; on trouve aussi « péricrone » sans « h »), l’anomalie vraie ν = 0°. À l’apochrone, ν = 180°. Aux nœuds ascendant et descendant, on a ν = (−ω) et ν = (−ω) + 180°, respectivement. Enfin, utilisons une valeur différente pour ν que celle dans le tableau, puisqu’elle est très proche de zéro et qu’on veut un résultat précis. Prenons plutôt ν = 45°. D’ici, et pour chacun de ces cinq points, on calcule ce qui suit:

$$ \begin{array}{l|r} & \text{Périchrone} & \text{Apochrone} & \text{Nœud asc.} & \text{Nœud desc.} & \nu = 45° \\ \hline u = \omega + \nu & 349,463 & 169,463 & 0 & 180 & 34,463 \\ x = r\ (\text{cos }\Omega\text{ cos }u - \text{sin }\Omega\text{ sin }u\text{ cos }i ) & -1552716,430 & 1645759,034 & -985898,280 & 1043950,104 & 1002563,872 \\ y = r\ (\text{sin }\Omega\text{ cos }u + \text{cos }\Omega\text{ sin }u\text{ cos }i ) & -3088186,458 & 3273238,220 & -3319157,020 & 3514596,166 & -3299306,003 \\ z = r\text{ sin }i\text{ sin }u & -171892,848 & 182193,092 & 0 & 0 & 536317,311 \end{array} $$

Où r est le rayon vecteur de l’objet — sa distance au corps principal — et peut être calculé par :

$$ \displaystyle r = \frac {a\ (1 - e^2)}{1 + e \text{ cos }\nu} $$

Chaque valeur $ (x, y, z) $ (mesurée avec les mêmes unités que a et r) doit maintenant être multipliée par chacune des trois matrices suivantes, séquentiellement:

$$ \begin{vmatrix} \text{cos }\gamma & \text{sin }\gamma & 0 \\ -\text{sin }\gamma & \text{cos }\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

où $ \gamma $ est l’angle de roulis, c’est-à-dire l’angle « gauche-droite » entre le point de référence et l’observateur. Il correspond à la longitude de l’observateur mesurée dans le même cadre de référence que les éléments orbitaux.

$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos }\beta & \text{sin }\beta \\ 0 & -\text{sin }\beta & \text{cos }\beta \end{vmatrix} $$

où $ \beta $ est l’angle de tangage, c’est-à-dire l’angle « haut-bas » entre le point de référence et l’observateur. Il correspond à la latitude de l’observateur mesurée dans le même cadre de référence que les éléments orbitaux.

$$ \begin{vmatrix} \text{cos }\alpha & 0 & \text{sin }\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\text{sin }\alpha & 0 & \text{cos }\alpha \end{vmatrix} $$

où $ \alpha $ est l’angle de lacet, c’est-à-dire l’inclinaison apparente de l’axe des z du point de vue de l’observateur. Il correspond à l’angle de position centrée sur l’observateur (géocentrique) du pôle nord du corps principal, quand le cadre de référence est l’équateur du corps principal, comme dans notre exemple.

En guise de rappel, la procédure pour multiplier une matrice de 1 × 3 (les coordonnées) par une matrice de 3 × 3 (celle de transformation) est la suivante:

$$ (x, y, z) \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = (ax + by + cz, dx + ey + fz, gx + hy + iz) $$

(D’utiliser trois matrices successives permet d’éviter les longues équations compliquées. Par exemple, après la première matrice seulement, x est remplacé par $ x \text{ cos }\gamma + y\ (-\text{sin }\gamma) $.)

Après les transformations à partir des valeurs $ \beta = 71,47459, \alpha = 92,32287 $ (respectivement, 90° moins la déclinaison saturnicentrique de la Terre et 90° plus l’ascension droite saturnicentrique de la Terre, nous avons les valeurs suivantes:

$$ \begin{array}{l|r} & \text{Périchrone} & \text{Apochrone} & \text{Nœud asc.} & \text{Nœud desc.} & \nu = 45° \\ \hline x & −3022716,461 & −3276470,681 & −3337229,418 & 3203845,1 & 3469396,362 \\ y & 369714,338 & 355730,0725 & 232735,8188 & −391868,5345 & −376676,2287 \\ z & −1644344,113 & −1061600,085 & 993440,7518 & 1742877,275 & 1124109,394 \end{array} $$

Les valeurs en z ne nous seront pas utiles pour l’instant, mais peuvent être utilisées après que la procédure soit complétée pour connaître lequel des deux nœuds est l’ascendant et lequel est le descendant. Avec les valeurs (x, y) pour trouver l’équation cartésienne de l’ellipse apparente (procédure non détaillée ici), nous avons :

$$ 0,008473082\ x^2 + 0,127903821\ xy + 0,726626093\ y^2 + (−117,9145641)\ x + 4514,294782\ y + (−35826127649) = 0 $$

Avec son centre à (90564,31908, −11077,09827) et un angle d’inclinaison $ \theta = 84,95072355° $ à partir de l’axe des y. Nous avons aussi vu comment trouver ses dimensions, soit (432437,7422, 3563145,572). À la distance de Saturne, qui était alors de 1 616 001 830,5 km, on peut trouver les distances angulaires:

$$ \displaystyle \delta = 2\text{ arctan } \frac{dim}{2\times Dist} $$

pour obtenir une ellipse apparente de 0,126369013 × 0,007845615° centrée à (0,003210982, −0,000392741°) par rapport à Saturne. Ceci est illustré à droite. À noter que la taille angulaire de Saturne à ce moment était de 15,38509″. La taille respective de l’ellipse orbitale et celle de Saturne (anneaux non illustrés) sont proportionnelles.

Note : Je n’ai pas essayé ici de corriger pour l’inclinaison relative de la Terre par rapport à Saturne, alors l’orientation de l’image ne correspond pas à celle qu’on aurait, par exemple, au télescope sur une monture équatoriale. Je considère cela comme non essentiel ici, puisque l’orientation à l’oculaire ou à l’appareil de capture d’image dépend de l’orientation de ceux-ci et du tube, etc.

Appendice III : Jour julien

Le système des jours juliens est utilisé pr les astronomes pour mesurer le temps d’une façon indépendante de l’endroit et de la culture. Son unité est le jour, et son ère (point de départ) est le 1^er janvier 4713 AÈC (−4712) du calendrier proleptique julien. Ce système a été créé par Joseph Scaliger en 1583 et est basé sur le cycle solaire du calendrier (28 ans), le cycle lunaire (19 ans), et le cycle d’indiction (15 ans). Le jour julien est présentement .

Pour les dates du calendrier grégorien (utilisé par la plupart des pays du monde), le jour julien peut être calculé par la formule :

$$ \displaystyle JD = \frac{ 1461 \times \left( Y + 4800 + \frac { \left( M - 14 \right) } { 12 } \right) } { 4 } + \frac { 367 \times \left( M - 2 - 12 \times \frac {M - 14}{12} \right) } { 12 } - \frac { 3 \times \frac { Y + 4900 + \frac { M - 14 } { 12 } } { 100 } } { 4 } + D - 32075 $$

Meeus offre plutôt l’algorithme suivant, valide pour n’importe quelle date de n’importe quel calendrier (julien ou grégorien) :

Soit Y l’année, M le numéro du mois (1 pour janvier, 2 pour février, etc., jusqu’à 12 pour décembre), et D le jour du mois (avec décimales, au besoin) de la date choisie dans le calendrier.

• Si M > 2, laisser Y et M intacts.
  Si M = 1 or 2, remplacer Y par Y − 1, et M par M + 12.
  Autrement dit, si la date est en janvier ou février, elle est considérée comme faisant partie du 13^e ou 14^e mois de l’année précédente.
• Dans le calendrier grégorien, calculer $$ \begin{array}{llllllllllll} \displaystyle A = \text{INT }\left( \frac { Y } { 100 } \right) & & & & & & & & & & & \displaystyle B = 2 - A + \text{INT }\left( \frac { A } { 4 } \right) \end{array} $$
  Dans le calendrier julien, prendre B = 0.
• Le jour julien recherché est alors
  $$ \displaystyle JD = \text{INT }\left( 365,25\ \left( Y + 4716 \right) \right) + \text{INT }\left( 30,6001\ \left( M + 1 \right) \right) + D + B - 1524,5 $$

Certains logiciels informatiques ont des fonctions intégrées ou additionnelles pour calculer le jour julien : dans PHP, on peut utiliser la fonction gregoriantojd (int $month, int $day, int $year) ; dans JavaScript, le paquet julian dans NPM peut être utilisé ; dans SQLite, il y a la fonction intégrée julianday() ; etc.