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En ce qui a trait au mouvement de la Lune, Copernic vise à résoudre quatre grands problèmes du modèle de Ptolémée. Dans celui-⁠ci est importante la direction du soleil moyen (ligne dorée et point S dans l’animation), qui augmente uniformément de 0;59,08,17,13,12,31° par jour. Centré sur la Terre (point T), on trouve d’abord le circulus parvus (littéralement, « petit cercle » ; en cyan) de 10;19 unités arbitraires de rayon, valeur correspondant à l’excentricité lunaire. Depuis la direction du soleil moyen, le centre (D) du déférent lunaire (ou excentrique), un cercle de 49;41 unités arbitraires de rayon (vert lime), parcourt sur le circulus parvus un angle η̄ = STD, l’élongation, qui croît de 12;11,26,41,20,17,59° par jour vers l’ouest. Le centre (É) de l’épicycle (d’un rayon de 5;15 unités arbitraires ; en rose foncé) parcourt, sur le déférent, un angle STÉ aussi égal à η̄, mais vers l’est.

À l’opposé du centre du déférent par rapport à la Terre, et à la même distance, on trouve le point de prosneuse (P) . Le mouvement de la Lune sur son épicycle, appelé anomalie moyenne (α̅), se fait au rythme de 13;03,53,56,17,51,59° par jour en sens horaire, par rapport à une ligne imaginaire (PM) allant du point de prosneuse au côté opposé de l’épicycle.

Ce modèle est le troisième que Ptolémée a échafaudé, découvrant à chaque étape des particularités du mouvement lunaire qui n’avaient jusque-⁠là pas été notées. Dans le premier, la Lune tournait simplement, à vitesse constante, sur un épicycle qui se déplaçait à vitesse constante sur un déférent centré sur la Terre ; il convenait pour les syzygies (pleine ou nouvelle lune), mais pas pour les quartiers. Il a introduit l’excentricité et la direction variable du déférent dans le second modèle, mais cela ne donnait toujours pas de bons résultats à 45°, 135°, 225°, et 315° d’élongation par rapport au Soleil ; c’est donc là qu’il a introduit le point de prosneuse, une « inclinaison » de l’épicycle lunaire vers un côté ou l’autre de la Terre. C’est ce qu’on appelle aujourd’hui l’évection, considérée par Pedersen (1984) comme « une des plus importantes contributions personnelles de Ptolémée à l’astronomie ».

Mais aussi importante qu’elle eût été, cette contribution n’était ni parfaite ni complète, et nous en arrivons donc aux points que Copernic a cherché à améliorer :

• Le centre de l’épicycle ne parcourt pas le déférent à vitesse constante tel que vu du centre du déférent, mais plutôt de la Terre. Cela viole le principe du mouvement circulaire uniforme.
• La Lune ne parcourt pas son épicycle à vitesse constante tel que vu de la Terre ou du centre de son déférent, mais par rapport au point de prosneuse — l’animation met ceci grandement en évidence, puisqu’on voit parfois la Lune presque s’arrêter sur son épicycle.
• La distance Terre–Lune varie essentiellement du simple au double, ce qui entraînerait une parallaxe variable, ce qui n’est pas observé.
• Cette variation de distance entraînerait aussi une variation du diamètre apparent allant du simple au quadruple, ce qui n’est pas observé. Son éclat serait aussi grandement variable.

La théorie lunaire de Copernic

Copernic modifie grandement le modèle lunaire. Ainsi, l’excentricité est abolie (bien qu’il indique qu’un modèle excentrique serait possible), pour être remplacée par un deuxième épicycle. On trouve donc un déférent (bleu), d’un rayon R = 10 000 unités arbitraires et centré sur la Terre (T), sur lequel tourne un premier épicycle (rose), d’un rayon r₁ = 1 097 unités, que suit enfin le second épicycle (vert lime), d’un rayon r₂ = 237 unités.

Le point de départ des mesures demeure le soleil moyen (S), qui se déplace uniformément vers l’est au rythme de 0;59,08,11,22°/jour ; le centre du grand épicycle (É) se déplace sur le déférent, vers l’est, d’un angle η̄ = STÉ = 12;11,26,41,31°/jour (valeur très proche de celle de Ptolémée) par rapport à la direction du soleil moyen.

Le centre du petit épicycle, quant à lui, se déplace vers l’ouest, de l’angle α̅ = AÉP = 13;03,53,56,30°/jour — l’anomalie moyenne, encore très près de la valeur donnée par Ptolémée — à partir de la prolongation de la droite imaginaire allant de la Terre au centre du grand épicycle (point A).

La Lune avance enfin sur le second épicycle d’un angle LPÉ = 2η̄ ≈ 24;23°/jour, aussi vers l’est, mesuré à partir d’une ligne imaginaire allant du centre du petit épicycle (P) au centre du grand.

Tableaux du mouvement lunaire

Les trois premiers tableaux fournis par Copernic ne sont formés que de l’addition successive de leur première rangée respective ; je ne les reprends donc pas ici. Le premier tableau donne le mouvement moyen journalier et annuel ; le second, l’anomalie moyenne journalière et annuelle ; et le troisième, l’argument de latitude, c’est-⁠à-⁠dire le mouvement journalier et annuel moyen du point de référence de la latitude (13;13,45,39,22°/jour).

Le quatrième tableau est celui des prostaphérèses lunaires ; autrement dit, la mesure des angles intermédiaires ou « corrections » permettant de calculer la position réelle de la Lune. Leur calcul rappelle celui des angles intermédiaires de la théorie solaire. Nous avons cette fois un tableau de sept colonnes, dont les deux premières sont, comme pour le Soleil, les « nombres communs », c’est-⁠à-⁠dire les angles pour lesquels nous recherchons les corrections. Les autres sont :

·   c₃ : Prostaphérèse du second épicycle. sin c_3(2η̄) = r₂ sin 2η̄r_(2η̄), où r_(2η̄) = √r₁² + r₂² − 2r₁r₂ cos 2η̄.

·   c₄ : Minutes proportionnelles. c₄ = c_max(2η̄) − c_mc_M − c_m, où sin c_max(2η̄) = r_(2η̄)R, c_m = c_max(0°), et c_M = c_max(180°).

·   c₅ : Prostaphérèse du premier épicycle. sin c₅ = r sin α√R² + r² + 2Rr cos α, où exceptionnellement R = 100 000 et r = 8 604 .

·   c₆ : Excès . Tout comme dans la théorie solaire, se calcule par étapes : tan c_6max = e_max sin αR + e_max cos α, où e_max = r₁ + r₂, e_min = r₁ − r₂, et R = 10 000 à nouveau, puis tan c_6min = e_min sin αR + e_min cos α, et enfin c₆ = c_6max − c_6min .

·   c₇ : Latitude. L’argument est ici la latitude trouvée dans le tableau de la latitude précédemment mentionnée (ω̅), à laquelle on a ajouté c_(α, 2η̄) = c_5(α) + c_4(2η̄) · c_6(α), où α = α̅ + c₃. On a donc ω = ω̅ + c_(α, 2η̄). Puis la latitude β = c_7(ω) = arcsin (cos ω sin 5°).

Tableau de la parallaxe solaire et lunaire

La parallaxe solaire et lunaire est la différence entre la position calculée et la position observée. Puisque ces deux astres sont situés à une distance relativement faible de la Terre — surtout dans le cas de la Lune —, leur position varie quelque peu selon l’endroit où on se trouve sur la Terre. Grâce à des mesures réalisées avec un instrument parallactique ou triquetrum, Copernic détermine que la parallaxe lunaire est plus faible que ce qu’avait noté Ptolémée, mais selon Swerdlow et Neugebauer (1984), le gain obtenu en observant d’une latitude plus élevée est quelque peu réduit par l’augmentation des effets de la réfraction atmosphérique, la Lune étant plus basse sur l’horizon à Frombork qu’à Alexandrie.

Estimant la distance moyenne du Soleil à s = 1 142 rayons terrestres, Copernic calcule sa parallaxe avec la formule sin p = sin ζs − cos ζ, où ζ est sa distance zénithale, soit l’angle zénith—observateur—Soleil. Cette valeur est tabulée dans la troisième colonne du tableau, sauf que l’argument doit être divisé par 2, vu que c₃ = p_(2ζ) . Par exemple, la valeur pour 6° est pour 2ζ = 6° et non pour ζ = 6°.

Pour ce qui est de la parallaxe lunaire, on trouve quatre colonnes : la différence à soustraire de la parallaxe lunaire à la deuxième limite pour obtenir celle à la première limite ; la parallaxe lunaire à la deuxième limite ; la parallaxe lunaire à la troisième limite ; et la différence à ajouter à la parallaxe lunaire à la troisième limite pour obtenir celle à la quatrième limite. Ces « limites » correspondent à des positions de la Lune : estimant la distance moyenne de la Lune à 60;18 rayons terrestres , Copernic détermine la distance de la Lune à ces quatre endroits comme suit :

Ces distances seront utilisées avec la même formule que pour le Soleil, en les substituant à s = 1 142. On aura donc, par exemple, pour la troisième limite, sin p₃ = sin ζ55;08 − cos ζ. Donc, dans le tableau de la parallaxe solaire et lunaire, nous aurons c_4(2ζ) = p_2(2ζ) − p_1(2ζ) ; c_5(2ζ) = p_2(2ζ) ; c_6(2ζ) = p_3(2ζ) ; et c_7(2ζ) = p_4(2ζ) − p_3(2ζ).

Afin de calculer c_8(2ζ), nous devrons nous référer au diagramme ci-⁠contre, où E est la Terre ; C₁ est le centre du grand épicycle ; C₂ et C₂′ sont deux positions du petit épicycle à α̅ = 0° et α̅′ = 180°, respectivement ; et P et P′ sont deux positions de la Lune. On a alors

c_8(2η̄) = EP − EB2r₂.

Or,

sin c_3(2η̄) = r₂ sin 2η̄r,

et EP = √R² + r² + 2Rr cos c_3(2η̄) de même que EP′ = √R² + r² − 2Rr cos c_3(2η̄). La colonne donne le résultat arrondi à la minute près, avec 60 dans les dernières rangées pour 60′ = 1°.

Swerdlow et Neugebauer (1984) indiquent que Copernic a suivi une autre méthode, longue et laborieuse, qu’il explique en détail, mais que sa démonstration est truffée d’erreurs de calcul, et qui s’avère inutile puisqu’il conclut en disant qu’on peut utiliser le même calcul que la colonne 4 de la prostaphérèse lunaire sans risque d’erreur.

Enfin, pour calculer la dernière colonne, on a c_9(α) = R + r − ρ2r , où r = r₁ − r₂ et ρ = √R² + r² + 2Rr cos α.

Tableau du rayon du Soleil, de la Lune, et de l’ombre terrestre

Dans le même Chapitre 24 du Livre 4 de De revolutionibus, on trouve un tableau indiquant la taille apparente des deux grands astres ainsi que de l’ombre de la Terre. Dans celui-⁠ci, les « nombres communs » sont l’anomalie vraie du Soleil ou de la Lune. La troisième colonne donne le rayon apparent du Soleil, calculé par c_3(αS) = 0;15,50° + g · 0;01,07°, où g = ρ − (R − r)2r, et où ρ = √R² + r² − 2Rr cos α. Pour le Soleil, r est le rayon de l’épicycle ou l’excentricité équivalente, soit 323 unités. Swerdlow et Neugebauer (1984) indiquent avoir « testé la colonne, [et calculé] ρ et g à partir de r = e = 323, et la plus grande différence [avec les] valeurs tabulées est ±0;0,1°, ce qui est probablement le résultat de l’arrondissement » .

La procédure de calcul pour la quatrième colonne, qui est la taille apparente de la Lune, est la même, mais cette fois, on a plutôt r = r₁ − r₂ = 1097 − 237 = 860, et c₄ = 0;15° + g · 0;02,49° .

La valeur de la cinquième colonne correspond simplement à 403150 · c₄. Enfin, la valeur de la sixième colonne correspond à c₆ = g · 0;00,57°, où g est retenu des fonctions mentionnées ci-⁠dessus pour le Soleil (puisque c’est lui qui cause l’ombre terrestre) ; le résultat du calcul est en degrés, mais la colonne indique les minutes.

Tableau des conjonctions et oppositions

Le dernier tableau du Livre 4 est celui des conjonctions et oppositions du Soleil et de la Lune. Il redonne le mouvement moyen, en anomalie et en latitude (pour la Lune), de chaque astre pour zéro à 12 mois lunaires ainsi que pour un demi-mois lunaire. Swerdlow et Neugebauer (1984) font remarquer que les valeurs du tableau ne sont toutefois pas les mêmes que données ailleurs dans l’ouvrage ou dans le manuscrit, ce qu’ils n’arrivent pas à expliquer. De plus, l’addition des termes ne correspond pas toujours à la valeur donnée…

Je reprends donc ici le tableau intégral de Copernic. Les termes aujourd’hui inhabituels « minutes de jour », « secondes de jour », et « soixantièmes de seconde de jour » désignent respectivement la soixantième, la trois-mille-six-cents-soixantième, et la deux-cents-seize-millière parties du jour, soit 24 minutes, 24 secondes, et 0,4 seconde.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 51 UTC