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Manque de bol pour Copernic pour le Livre 6, qui traite des latitudes planétaires : il n’a accès qu’à peu d’observations utiles, et même les siennes ne l’aident pas beaucoup. Pis encore : il utilise comme « observations » les valeurs extrêmes des tableaux de Ptolémée, et le modèle qu’il échafaude n’a aucune sens, faisant osciller le plan orbital de toutes les planètes ensemble au gré du mouvement de la Terre ! Riddell (1980) écrit :

Plutôt que de calculer la contribution de la première oscillation orbitale de son modèle aux latitudes prédites, Copernic recopie sans changement  les tableaux de l’Almageste concernant les deux oscillations superposées du modèle épicyclique de Ptolémée. Malheureusement, pour une fois les deux modèles ne sont pas équivalents en termes de calculs. Le basculement prédit du plan orbital copernicien autour de la ligne des apsides correspondrait à un basculement de l’épicycle autour d’un axe de direction spatiale fixe. Mais en fait le mouvement prédit par Ptolémée n’a pas lieu autour d’un tel axe et ses tableaux ne sont pas compatibles avec un tel mouvement, la différence atteignant jusqu’à environ ½° dans le cas de Vénus. Donc les tableaux adoptés par Copernic ne sont pas compatibles avec son propre modèle.

À la décharge de Copernic, il convient de dire que les planètes n’atteignent des latitudes extrêmes — la base de la théorie de Ptolémée — que rarement ; « il n’avait pas d’autre description de la nature à représenter », selon Swerdlow et Neugebauer (1984). N’empêche que son modèle implique (tacitement) de briser le modèle des mouvements circulaires uniformes (ceci après qu’il eût vilipendié Ptolémée pour avoir fait de même), et que ses tableaux ne sont pas compatibles avec son modèle, comme l’indique Riddell — de jusqu’à 1° pour Vénus, ce qui est beaucoup compte tenu de la faible inclinaison des orbites planétaires…

L’essentiel du Livre 6 — le plus court des six, avec 29 pages dans l’édition originale de Nuremberg (1543) — est consacré à la discussion du modèle, et on n’y trouve que deux tableaux : un pour la latitude de Saturne, Jupiter, et Mars ; l’autre, pour celle de Vénus et Mercure. Deux modèles différents sont utilisés pour ces deux groupes. Pour le premier groupe (diagramme ci-⁠dessous, à gauche), le plan de leur orbite oscille entre deux extrêmes, soit N_C d’inclinaison i_C à la conjonction (Terre en O_C, planète en P_C) et N_O d’inclinaison i_O à l’opposition (Terre en O_O, planète en P_O). Copernic n’explique pas comment cette variation d’inclinaison est supposée se produire mécaniquement — et encore moins comment elle est synchronisée avec le mouvement de la Terre et la même pour toutes les planètes !

Avant de pouvoir calculer la latitude de la planète, nous devrons toutefois construire quelques triangles, comme illustré ci-⁠dessus à droite. La Terre est en O et le soleil moyen en S̅, et la planète aux limites nord et sud de son excentrique (orbite) est en P⁺ et P⁻, respectivement. Les points P⁺′ et P⁻′, à la verticale de P⁺ et P⁻, représentent la direction de la planète sur l’écliptique (non illustré). Il sera aussi nécessaire de connaître la longitude de la limite nord, ω. Il est difficile pour la suite de ne pas citer Swerdlow et Neugebauer (1984) verbatim :

Puisque l’inclinaison maximale i_O a lieu à l’opposition, l’inclinaison i à n’importe quel endroit est

i = i_O − ½Δi(1 − cos α′).

Soit e′ = e cos ω_A la composante de l’excentricité en direction de la limite nord, et dans les triangles PS̅P′, à la limite nord P⁺ et à la limite sud P⁻,

S̅P = R + e′,     S̅P′ = (R + e′) cos i,     PP′ = (R + e′) sin i,

où e′ est positif à P⁺ et négatif à P⁻. Dans les triangles P′S̅O,

OQ = r sin α′,     S̅Q = r cos α′,

P′Q = S̅P′ ± S̅Q = (R + e′) cos i − r cos α′,

OP′ = (P′Q² + OQ²)^½

OP′ = ((R + e′)² cos² i + r² − 2(R + e′)r cos i cos α′)^½.

Enfin, dans les triangles OP′P, la latitude géocentrique,

β = tan⁻¹ (PP′/OP′) = sin⁻¹ (PP′/(OP′² + PP′²)^½.

ATTENTION : On utilise ici α′, mesurée à partir de l’opposition plutôt que de la conjonction — on a donc α′ = 180° ± α.

Tableau de la latitude de Saturne, Jupiter, et Mars

Les erreurs pour la colonne 5 (points turquoise dans le diagramme ci-⁠dessus) s’expliquent par le fait que Copernic n’a pas calculé les valeurs (égales simplement au cosinus de l’angle de la première colonne), mais les a simplement extraites du tableau Tabula minutorum proportionabilium quinque planetarum inclus dans sa copie des Tables alfonsines. Or, ces valeurs, pour chaque degré, ont été intrapolées à partir de celles fournies par Ptolémée (Almageste, Livre 13, Chapitre 5) à intervalles de 6°. Puisque les valeurs (en nombres absolus ) sont les mêmes pour 0°–90° et 90°–180°, le patron se reflète symétriquement au centre du graphique.

Planètes inférieures

Le modèle se complique pour les planètes inférieures, et nous devons ici remonter au modèle que Ptolémée présente dans son Almageste. Pour expliquer les observations dont il dispose — et celles-⁠ci sont rares et de piètre qualité, mais il l’ignore —, il conceptualise trois composantes à la variation en latitude de Mercure et Vénus : une inclinaison variable de l’excentrique (déférent), et une inclinaison variable de l’épicycle sur deux axes différents. En grec, ces deux derniers mouvements sont ἔγκλισις et λόξωσις, que l’on traduit habituellement par inclinaison et obliquité, respectivement. L’excentrique atteint son inclinaison maximale ι₀ lorsque l’épicycle se trouve à l’apogée ou au périgée (donc à κ = 0° ou à κ = 180°), de sorte à ce que l’épicycle soit toujours au nord du déférent pour Vénus, toujours au sud pour Mercure. Quant à l’épicycle, si on le divise par exemple en quatre parties égales ecms, on assiste à une rotation de ces points autour du centre, et la ligne cs est dans le plan de l’excentrique aux nœuds, mais inclinée d’un angle ι₁ par rapport à celui-⁠ci, sur un axe passant par le centre de l’excentrique, lorsque l’épicycle est à κ = 0° ou à κ = 180°, mais de 0° lorsqu’il est à κ = 90° ou à κ = 270°. En revanche, la ligne em s’incline d’un angle ι₂ à κ = 90° ou à κ = 270°, mais nul à κ = 0° ou à κ = 180°.

Le diagramme interactif ci-⁠contre devrait aider la compréhension. On y voit les quatre mouvements : inclinaison variable du déférent (ι₀), rotation de l’épicycle, inclinaison variable de l’épicycle autour de l’axe em (ι₁), et inclinaison variable de l’épicycle autour de l’axe cs (ι₂). Ainsi, à κ = 0° (situation de départ) ou κ = 180°, ι₀ et ι₂ sont à leur valeur maximale, tandis que ι₁ est nul ; à κ = 90° ou κ = 270°, c’est le contraire : ι₀ et ι₂ sont nuls, et ι₁ est à sa valeur maximale. Dans le diagramme, les lettres identifiant les points sont en noir lorsque le point associé est au nord de l’écliptique (ou de l’excentrique, dans le cas de l’épicycle), en rouge au sud, et grises lorsque dans le plan de l’écliptique (ou de l’excentrique). La planète (non illustrée) se déplace sur l’épicycle indépendamment de l’angle κ et peut donc se retrouver n’importe où sur celui-⁠ci, peu importe son emplacement le long de l’excentrique.

Le modèle de Copernic n’est pas très différent, fondamentalement. Les trois inclinaisons sont logiquement transférées à l’orbite de la planète autour du Soleil, mais dépendent en partie de la position de la Terre sur son orbite — un non-sens et même une abomination selon Kepler  :

Copernicvs divitiarum ſuarum ipſe ignarus Ptolemævm ſibi exprimendum omnino ſumpſit, non rerum naturam, ad quam tamen omnium proxime acceſſerat. Qua de re lege Rheticvm in narratione. Gaviſus enim ſuis appropinquationibus telluris ad ſidera latitudinum ſpecies augeri, non tamen auſus eſt reſidua latitudinum augmenta Ptolemaica (quæ hæc appropinquatio telluris non aſſequeretur) rejicere, ſed (ut & illa exprimeret) librationes planorum eccentricorum confinxit, quibus inclinationis angulus (Ptolemæo conſtans & fixus) variaretur, atque is (quod monſtri ſimile ſit) non ad leges motuum eccentrici proprii ſed telluris orbis plane alieni.

Copernic, qui ignorait lui-⁠même ses richesses, cherchait toujours à exprimer Ptolémée, et non la nature des choses, dont pourtant il s’était d’entre tous le plus rapproché. Lisez à ce sujet le récit de Rheticus. Car bien qu’il se soit réjoui de l’augmentation des latitudes par lorsque la Terre approche un astre [une planète], il n’osa toutefois pas rejeter les degrés de latitude ptolémaïques restants (que cette approche de la Terre ne comblait pas), mais (pour l’exprimer ainsi) il a conçu le balancement des plans excentriques, dans lequel l’angle d’inclinaison (constant et fixé par Ptolémée) varierait, et cela (comme un monstre) contrairement aux lois des mouvements excentriques propres à lui [l’excentrique], mais à celles de l’orbe terrestre, [qui lui sont] clairement étrangères.

Conservant donc trois composantes à la latitude, Copernic compose donc un tableau en neuf colonnes : deux pour les degrés d’entrée, trois colonnes chacune pour Mercure et Vénus (declinatio, obliquatio, et deviatio en latin ; les deux premiers termes s’appliquent à l’épicycle et le troisième, au déférent/excentrique), et une colonne de « minutes proportionnelles ». Swerdlow et Neugebauer (1984) notent que l’en-⁠tête du tableau est inversé dans la première édition de De revolutionibus (1543) par rapport au manuscrit de Copernic ; Rosen (1978) a corrigé la situation dans sa traduction.

Mais l’inclinaison d’un cercle n’équivaut pas nécessairement à la latitude de la planète telle que vue de la Terre, comme l’indique le diagramme ci-⁠contre, où ι est l’inclinaison du déférent et β la latitude de la planète vue de la Terre. Puisque VS < VT et que V′S < V′T pour un même VV′, il s’ensuit que β < ι. Puisque, dans le modèle de Copernic, ι est fonction de κ = ∠AST (= ∠V′ST) et atteint sa valeur maximale lorsque κ = ±90° et est nul lorsque κ = 0°, il est impossible que VS > VT, qui pourrait potentiellement se produire si ι était indépendant de κ. Conséquemment, Copernic n’indique pas dans son tableau les valeurs de ι₁, ι₂, et ι₃, mais plutôt celles de β₁, β₂, et β₃. Pour refléter l’ouvrage de Swerdlow et Neugebauer (1984), j’utiliserai ici les termes inclinaison (declinatio en latin) pour β₁, obliquité (obliquatio) pour β₂, et déflexion (deviatio) pour β₃.

Un problème mécanique survient toutefois lorsqu’on tente d’illustrer les trois angles ou leur combinaison. Le modèle pour ι₁ et ι₂ indique que l’orbite de la planète est inclinée, sur un axe allant de 0° à 180°, et que cette inclinaison varie d’un angle minimum de ι₁ à un angle maximum de ι₂. D’un autre côté, le modèle pour ι₃ indique que l’orbite de la planète est inclinée suivant un autre axe. Swerdlow et Neugebauer (1984) indiquent que cela rend problématique l’emplacement de la planète sur son orbite, puisque les deux modèles la placent à des endroits différents au même moment, le modèle pour ι₃ lui donnant même un mouvement non uniforme.

Quoi qu’il en soit, la latitude finale de la planète est obtenue en faisant la somme β₁ + β₂ + β₃ à partir des valeurs obtenues dans le tableau, respectivement dans les colonnes 3, 4, et 5. La dernière colonne est un facteur d’interpolation. Normalement, les valeurs c₃ et c₄ devraient être calculées selon des formules spécifiques au modèle de Copernic, mais il n’en est rien, puisqu’il a simplement copié leurs valeurs à partir du tableau que Ptolémée a publié dans son Almageste — en fait, à partir d’une version augmentée où les valeurs sont données pour chaque 3° plutôt que pour chaque 6°. Pour la cinquième colonne, Swerdlow et Neugebauer (1984) indiquent que ses valeurs devraient être liées obtenues par β₃ = ι₃ cos² κ, ce qui est confirmé par Van Brummellen (1993) ainsi que par Goldstein et Chabás (2004), mais les valeurs du tableau de Copernic sont en fait calculées par étapes.

D’abord, Ptolémée avait quantifié l’inclinaison de l’excentrique de chaque planète :

Ὅταν μὲν γὰρ κατὰ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τῶν ἐκκέντρων αἱ κατὰ μῆκος αὐτῶν ὦσι κινήσεις, περὶ μὲν τὰ περίγεια καὶ ἀπόγεια τῶν ἐπικύκλων παροδεύοντες οἱ ἀστέρες, ὡς ἔφαμεν ἀπὸ τῶν πλησίον τηρήσεων τῆς ἐπιβολῆς ἡμῖν γινομένης, τῷ ἴσῳ βορειότεροι ἢ νοτιώτεροι φαίνονται τοῦ διὰ μέσων, ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης ἕκτῳ που μάλιστα μιᾶς μοίρας ἀεὶ βορειότερος, ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ ἡμίσει καὶ τετάρτῳ μέρει ἀεὶ νοτιώτερος, ὡς ἐκ τούτων καὶ τὰς τῶν ἐκκέντρων κύκλων ἐγκλίσεις ἑκατέρου τηλικαύτας γίγνεσθαι·

Car lorsque leur mouvement en longitude les amène à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, si la position de l’astre est au périgée ou à l’apogée de l’épicycle, il apparaît également éloigné, comme nous l’avons dit, sur la base d’observations proches de ces points, soit au nord, soit au sud de l’écliptique : Vénus toujours à environ 1⁄6° au nord, et Mercure toujours à 3⁄4° au sud.

En supposant l’orbite inclinée de sorte que la latitude soit à sa valeur maximale donnée par Ptolémée, soit 0;10° pour Vénus et −0;45° pour Mercure (valeurs que nous noterons β_max), l’inclinaison est obtenue, tel qu’indiqué dans le diagramme ci-⁠contre, par q = R sin β_max puis tan ι₃ = q ÷ r. La troisième composante de la latitude sera ensuite obtenue en trouvant sa distance à la Terre selon sa position sur son orbite, soit OP′ = d = √(r sin α′)² + (r cos α′)², où α′ = α ± 180°, qui entrera enfin dans la formule finale tan β₃ = q ÷ d . C’est cette valeur de β₃ que l’on trouve dans la dernière colonne pour chaque planète dans le tableau de latitude.

Tableau de la latitude de Vénus et de Mercure

J’ai choisi de maintenir l’ordre des colonnes (corrigé) de Copernic, c’est-⁠à-⁠dire celui de son manuscrit ou de la traduction par Rosen (1978). Aussi, puisque le tableau est copié d’un dérivé de celui de Ptolémée, ce sont des formules ptolémaïques qui ont servi à le dresser. En partant de la distance moyenne de l’épicycle à la Terre (ρ = 59;59,13 unités pour Vénus et ρ = 56;37 unités pour Mercure selon Neugebauer [1975] et Van Blummellen [1993]), on a d’abord a = r cos α′ sin ι₁, puis b = √(ρ − r cos α′ cos ι₁)² + (r sin α′)², et enfin sin c₃ = a ÷ b. En ce qui a trait à la quatrième colonne, on prend d’abord la valeur maximale de l’équation centrale de l’anomalie pour chaque planète, r′ = 45;59 pour Vénus et r′ = 22;02 pour Mercure. On a ensuite c₄ = 2,5 sin⁻¹r sin x√(ρ + r cos x)² + (r sin x)² ÷ r′₀, où r = 43;10 pour Vénus et r = 22;30 pour Mercure, soit la taille de leur épicycle dans le modèle de Ptolémée. Enfin, la colonne 5 donne la valeur de β₃ mentionnée au paragraphe précédent.

Ceci conclut mon traitement des Révolutions de Copernic.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 51 UTC