Les Révolutions de Copernic
Commentaires sur le Livre 5
par Pierre Paquette · 13 août 2023

Introduction          🞄          Livre 1          🞄          Livre 2          🞄          Livre 3          🞄          Livre 4          🞄          Livre 5          🞄          Livre 6


Le Livre 5 est au cœur de la théorie planétaire de Copernic ; c’est dans celui-⁠ci qu’il expose, en long et en large (96 pages !), comment les planètes tournent plutôt autour du Soleil que de la Terre — ainsi que son raisonnement mathématique. L’introduction au Livre 5 de Swerdlow et Neugebauer (1984) laisse entrevoir une des possibles raisons pour lesquelles un nombre relativement faible de personnes ont produit une théorie planétaire complète : ils expliquent que, si les théories solaire et lunaire ont des applications quotidiennes dans la prédiction des phases lunaires (qui régissent, même aujourd’hui, des fêtes religieuses comme Pâques) ou des éclipses, « [l]a seule application commune de la théorie planétaire était pour les horoscopes [ . . . ]. Et contrairement aux éclipses ou à la première visibilité de la Lune, il n’est d’aucune façon facile de compléter les observations nécessaires pour tester l’exactitude de la théorie ou des paramètres planétaires [ . . . ] ». Peut-⁠être un peu pour cela, la théorie planétaire de Copernic n’est ni plus ni moins que celle de Ptolémée (selon Viète : « Ptolemæi paraphraſtes Copernicus » [Copernic paraphrase Ptolémée]), sauf qu’il change le point de vue au Soleil plutôt qu’à la Terre, et qu’il utilise exclusivement des mouvements circulaires uniformes tels que vu depuis le centre de chaque sphère, contrairement à Ptolémée (voir l’Introduction).

Copernic est-⁠il à l’origine de « son » modèle ? Rien n’est moins sûr. Comme mentionné dans l’Introduction, l’influence de l’« école de Maragha » se fait indubitablement sentir. Swerdlow et Neugebauer (1984) vont d’ailleurs jusqu’à affirmer que « La question donc n’est pas si, mais quand, où, et sous quelle forme [Copernic] a pris connaissance de la théorie [de l’école] de Maragha » ; Swerdlow (2000) de compléter avec : « la relation entre les modèles est si étroite que l’invention indépendante par Copernic est pratiquement impossible ». Bien que certaines voix nient au moins partiellement le fait (par exemple, Viktor Blåsjö, Mario Di Bono, ou André Goddu), la majorité des auteurs et commentateurs (p. ex., Bernard Raphael Goldstein, Edward Stuart Kennedy, Y. Tzvi Langermann, Robert G. Morrison, Otto Eduard Neugebauer, F. Jamil Ragep, George Saliba, Noel Mark Swerdlow) s’entendent pour dire que Copernic a essentiellement repris le modèle d’Ibn al-⁠Shāṭir. Celui-⁠ci a été très brièvement abordé dans l’Introduction, alors revoyons-⁠le plus en détail. (L’animation ci-⁠dessous fait 1200 pixels de large et 600 de haut ; attention à la taille de votre écran !)

1. Comparaison des modèles planétaire d’Ibn al-⁠Shāṭir (g.) et Copernic (d.) · Pour les planètes supérieures (Mars, Jupiter, et Saturne), al-⁠Shāṭir conçoit un modèle comprenant trois épicycles et un déférent centré sur la Terre. La conversion en modèle de Copernic est relativement simple, comme l’explique le texte principal. Dans les deux modèles, la direction du Soleil et de la planète depuis la Terre restent les mêmes. Les modèles illustrés ici sont présentés uniquement pour fins de clarté et ne reflètent pas la réalité.
O A É F G C P α̅ α̅ α̅ 2α̅ γ̅ γ̅ A F G P′ α̅ α̅ 2α̅ γ̅ ⏯️ Montrer les angles Diagrammes adaptés de Ragep (2016)

Les similarités entre les deux modèles sont flagrantes. Copernic centre le Soleil dans le système. Il décale aussi la planète au centre du troisième épicycle et décale la Terre du centre de la même quantité, ce qui a pour effet de transférer le troisième épicycle d’al-⁠Shāṭir au centre du système ; plutôt que ce soit la planète qui tourne dessus, c’est maintenant la Terre. L’équant (point É), déjà abandonné par al-⁠Shāṭir, est indiqué dans son modèle pour fins de comparaison avec celui de Ptolémée.

Copernic mentionne quelques auteurs du monde arabo-⁠musulman, alors on ne peut pas dire qu’il prend le crédit pour lui-⁠même. Mais aucun de ces derniers n’a placé le Soleil au centre (bien que Quṭb al-⁠Dīn al-⁠Širāzi et Najm al-⁠Dīn al-⁠Qazwīnī al-⁠Kātibī aient soulevé l’idée), et on peut donc donner au savant alémano-polonais les honneurs qui lui reviennent.

Le modèle présenté ci-⁠dessus convient bien aux planètes supérieures (Mars, Jupiter, et Saturne), mais Copernic doit travailler un peu plus fort pour établir les modèles pour Mercure et Vénus. Encore une fois, c’est une adaptation du modèle d’al-⁠Shāṭir qui est retenue pour Vénus, comme le présente le diagramme ci-⁠dessous. On y reconnaît le modèle pour une planète supérieure, mais avec la planète à l’intérieur de l’orbite de la Terre. (L’animation ci-⁠dessous fait encore 1200 pixels de large et 600 de haut ; attention à la taille de votre écran !)

2. Modèle pour Vénus et son adaptation de la version géocentrique d’al-⁠Shāṭir (à gauche) à la version héliocentrique de Copernic (à droite) · Le point C1 est maintenant le soleil moyen (point ), au centre. Le point C2 est devenu le point M. L’équant de Ptolémée (point E) demeure virtuel et au même endroit par rapport à la Terre (point O), qui tourne maintenant autour du soleil moyen. Ce diagramme n’est pas à l’échelle et ses paramètres ne sont pas ceux des vrais modèles finaux d’al-⁠Shāṭir ou de Copernic ; il est donc présenté à titre illustratif seulement. Dans le modèle réel, les deux plus petits cercles sont beaucoup plus petits.
⏯️ Diagrammes adaptés de Swerdlow et Neugebauer (1984) A A C C₁ C₂ E O P A A′ C E M O P
3. Mécanisme de variation du diamètre de l’épicycle · Pour Mercure, dont la distance au Soleil varie grandement, Copernic doit utiliser une modification du couple d’al-⁠Ṭūsī. Le modèle demeure le même, mais le point P du modèle pour Vénus est remplacé ici par . Voir le texte principal pour plus de détails.
Q P r r′ vers C →   2κ̅ 4κ̅ r = r̄ − r′ cos (2κ̄) ⏯️

La situation se complexifie pour Mercure. Copernic l’ignore, mais l’orbite de cette planète est plus elliptique que celle de toute autre planète . Afin d’expliquer la distance fortement variable entre Mercure et le Soleil, il doit trouver un système faisant varier la taille de son épicycle : un couple d’al-⁠Ṭūsī est la solution idéale, ou plutôt une modification de celui-⁠ci. Le point P du modèle précédent est donc remplacé par , qui devient le centre d’un couple de rayon r′ et dans lequel pivote un autre cercle de rayon r′2, qui à son tour porte la planète en P. Copernic demeure très élusif dans sa description de ce système, se contentant d’écrire :

Sed modo quodam diuerſo, quàm in Venere, & nihilo minus epicyclium quoddam in ipſo eccentro moueatur, in quo ſtella non ſecundum circumferentiam, ſed diametrum eius ſurſum de orſum´ feratur, quod, fieri poteſt etiam ex æqualibus circularibus motibus, uti ſupra circa æquinoctiorum præceſsionem eſt expoſitum.

Le modèle, cependant, est différent de celui de Vénus, puisque sur l’excentrique se déplace un petit épicycle. La planète n'est pas transportée autour de la circonférence de l’épicycle, mais de haut en bas le long de son diamètre. Cela peut aussi être le résultat de mouvements circulaires uniformes, comme cela a été montré précédemment à propos de la précession des équinoxes.

Tableaux

PlanètePar année égyptiennePar jour
Mercure3 × 360° + 53;57,23,06,30°3;06,24,13,40°
Vénus3,45;01,45,03,40°0;36,59,28,35°
Mars2,48;28,30,36,04°0;27,41,40,22°
Jupiter5,29;25,08,15,06°0;54,09,03,49°
Saturne5,47;32,03,09,40°0;57,07,44,05°

Malgré la longueur du Livre 5, on n’y trouve que deux jeux de tableaux. Le premier ensemble est formé des tableaux du mouvement (uniforme) en anomalie de chaque planète — un tableau pour 0 à 60 années égyptiennes, et un autre pour 0 à 60 jours. Je ne prends pas la peine de les reproduire ou de les recalculer, puisque chaque rangée d’un tableau résulte de l’addition successive de la première. Celle-⁠ci indique le mouvement moyen de la planète pour une année égyptienne ou une journée, soit les valeurs données dans le tableau de droite.

Le mouvement moyen (en longitude) de chaque planète n’est pas tabulé, mais Copernic le mentionne juste avant le premier tableau :

Eſt enim annuus Saturni motus proprius ad nõ errantium ſtellarum ſphæram, graduum xii. ſcrup. xii.xlv.lvii.xxiiii. Iouis grad. xxx.xix.xl.li.lviii. Martis grad. cxci.xvi.xviii.xxx.xxxvi. In Venere autẽ & Mercurio, quoniam non apparent nobis, ipſe motus Solis, pro eis nobis uſu uenit, ſupplet´ modo, per quem apparentiæ eorum pernoſcuntur & demonſtrantur, ut infra.

Copernic, De revolutionibus, Livre 5, Chapitre i.

Donc, le mouvement propre annuel par rapport à la sphère des étoiles fixes est pour Saturne 12° 12′ 46″ 12′ 52″″. Jupiter 30 19 40 51 58. Mars 191 16 19 53 52. Mais pour Vénus et Mercure, puisqu’il [le mouvement annuel propre] ne nous est pas apparent, le mouvement du Soleil est utilisé et fournit une méthode pour déterminer et démontrer leurs apparences, comme indiqué ci-⁠dessus.

traduction libre de la version anglaise de Rosen (1978)

4. Correction de l’excentrique · Copernic scinde la correction de l’excentrique (troisième colonne des tableaux ci-⁠dessous) en deux angles, a1 et a2, dont la somme donne c3. Le point E correspond à l’équant du modèle de Ptolémée.
A a₁ a₂ C c₃ c₃ E e₁ M P R r′ κ̄ κ̄ κ̄ κ Adapté de Swerdlow et Neugebauer (1984) ⏯️ Pas à l’échelle

Le second jeu de tableaux donne la prostaphérèse ou correction pour chaque planète. Il contient six colonnes, les deux premières étant les « nombres communs » (angles) de 3° à 180° dans la colonne de gauche et de 357° à 180° dans la colonne de droite, par bonds de 3° par rangée. À noter qu’ici, e = e1 − r′, puisque e1 = 3⁄2⁠e et que r′ = 1⁄2⁠e si on prend e du modèle de Ptolémée. On voit d’ailleurs que la base du modèle est une simple adaptation de ce dernier : si, pour Ptolémée, la planète est en P dans le diagramme de droite, ce point représente plutôt le centre du second épicycle pour Copernic. La troisième colonne donne la « correction de l’excentrique » (diagramme de droite). Celle-⁠ci est mesurée depuis le soleil moyen (point ), grâce à la formule

tan c3 = 2e sin κ̄R + e cos κ̄,

bien que Copernic la scinde en deux angles,

sin a1 = e1 sin κ̄S̅C,

S̅C = √R2 + e12 + 2Re1 cos κ̄, et

sin a2 = r′ sin (κ̄ + a1)S̅P,

S̅P = √S̅C2 + r′2 − 2S̅Cr′ cos (κ̄ + a1). Enfin, on obtient la correction avec c3 = a1 + a2, et l’anomalie excentrique corrigée est κ = κ̄ + c3.

La colonne 4 a pour titre « Minutes proportionnelles » et donne la correction à apporter à la valeur de la colonne 6. Ses valeurs sont calculées par étapes, la première étant de trouver R(κ̄), la distance entre le second épicycle et le Soleil, qui n’est rien d’autre que S̅P déjà mentionné. Pour Mercure, toutefois, le modèle est plus complexe (voir l’animation 3 ci-⁠dessus), et on doit aussi connaître le rayon de son épicycle, qui est donné par r(κ̄) = r̄ − r′ cos (2κ̄) (pour les autres planètes, r est déjà donné). On a ensuite sin cmax(κ̄) = rR(κ̄) ou, pour Mercure, sin cmax(κ̄) = r(κ̄)R(κ̄), qui nous servira à calculer les valeurs cm = cmax(0) et cM = cmax(180°) (mais cM = cmax(120°) pour Mercure ). Enfin, on a la valeur de la colonne 4 comme tel, soit c4(κ̄) = cmax(κ̄) − cmcM − cm.

La cinquième colonne, intitulée « Parallaxes orbis » (parallaxe de l’orbe ou du grand cercle) à l’apside supérieure, est calculée par tan c5(α) = r sin αR0 + r cos α (on replacera r par r0 = r̄ − r′ pour Mercure), où R0 = R + (e1 − r′) pour les planètes supérieures, R0 = R + (e1 − e2) pour Vénus, et R0 = R + (e1 + e2) pour Mercure. À noter que le facteur d’influence est ici l’anomalie vraie α et non l’anomalie moyenne α̅ ou, comme pour les autres formules, le centrum moyen κ̅.

La sixième colonne, enfin, « Excessus parallaxeos » (parallaxe excédentaire) à l’apside inférieure, est obtenue par étapes. On a d’abord tan c5+6(α) = r120 sin αR120 + r120 cos a pour Mercure ou tan c′5+6(α) = r sin αR180 + r cos α pour les autres planètes, où r120 = r̄ + r′2 et R120 = √R2 + e12 + e22 − R(e1 + e2) − e1e2 pour Mercure, R180 = R − (e1 − e2) pour Vénus, et R180 = R − (e1 − r′) pour les autres planètes. Enfin, la valeur de la colonne 6 comme telle est c6(α) = c′5+6(α) − c5(α).

L’application des corrections se fera comme suit : l’anomalie vraie est obtenue par α = α̅ + |c3(κ̅)| si κ̅ < 180° ou α = α̅ − |c3(κ̅)| si κ̅ > 180° ; la correction totale est c(α, κ̅) = c5(α) + c4(κ̅) · c6(α) ; la correction finale en longitude est Δ = α + |c(α, κ̅)| si α > 180° ou Δ = α − |c(α, κ̅)| si α < 180° pour les planètes supérieures, et Δ = c(α, κ̅) + c3c(κ̅) avec c(α, κ̅) > 0° si α < 180° ou c(α, κ̅) < 0° si α > 180° et c3c(κ̅) < 0° si κ̅ < 180° ou c3c(κ̅) > 0° si κ̅ > 180°. Enfin, λ* = λ̅* − Δ pour les planètes supérieures et λ* = λ̅* + Δ pour Mercure et Vénus, qui nous donne la longitude sidérale de la planète, à laquelle on doit finalement ajouter la précession telle que calculée dans le Livre 3.

Tableau des prostaphérèses pour Saturne

Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire
°°°°° °°°°°
335701900017002 9326763126555043
635403900034004 9626463028555043
935105800050005 9926162930555043
1234811700107007 10225862631553043
1534513601123009 10525562233551043
1834215501140011 10825261834547043
2133921301156013 11124961236543043
2433623102212014 11424660538537042
2733324902227016 11724355739530042
3033030603243018 12024054841523041
3332732303258019 12323753842514040
3632434004312021 12623452744505039
3932135605326023 12923151546454038
4231841106340024 13222850247442037
4531542606353026 13522544848430035
4831244007406027 13822243350416034
5130945308418029 14121941751402032
5430650609430030 14421640152347030
5730351810441032 14721334453331028
6030052911451033 15021032655314026
6329753913501034 15320730756257024
6629454814510035 15620424856239021
6929155715518037 15920122857221019
7228860516526038 16219820858201016
7528561118533039 16519514759142014
7828261719538040 16819212659122011
8127962220543040 17118910559102008
8427662522548041 17418604360041006
8727362823551042 17718302260021003
9027063025553042 18018000060000000
5. Erreurs dans le tableau des prostaphérèses de Saturne · Les points sont légèrement décalés horizontalement pour plus de lisibilité.
−04 −03 −02 −01 00 01 02 03 04 0 30 60 90 120 150 180 Erreur (′) Angle (°) c3 c4 c5 c6

Tableau des prostaphérèses pour Jupiter

Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire
°°°°° °°°°°
3357016002028002 9326751427261028059
6354031007056004 9626451429011031100
9351047017123007 9926151230361033101
12348103030151009 10225851032121033102
15345118046218011 10525550733481031102
18342133107246013 10825250335251028103
21339148131313016 11124945837011022103
24336203158339018 11424645238361015103
27333217230405020 11724344640111006102
30330231304431022 1202404384144954102
33327245343457024 1232374304315941101
36324258425521026 1262344214445926100
39321311511546028 1292314124612909059
42318324600610031 1322284014737849058
45315335652633033 1352253504859828056
48312347748655035 1382223385017805054
51309357847717037 1412193255132739052
54306408950737039 1442163125242712049
573034171055757041 1472132585349643046
603004261204816043 1502102445451613043
632974341315834044 1532072295547541040
662944421430851046 1562042145639507036
692914491547907048 1592011585725432032
722884551707922050 1621981425806355028
752855001829935051 1651951255840318024
782825041954948053 1681921095909239019
812795082121959054 1711890525931200014
8427651122501008056 1741860345947120010
8727351324201016057 1771830175957040005
9027051425531023058 1801800006000000000
6. Erreurs dans le tableau des prostaphérèses de Jupiter · Les points sont légèrement décalés horizontalement pour plus de lisibilité.
−04 −03 −02 −01 00 01 02 03 04 0 30 60 90 120 150 180 Erreur (′) Angle (°) c3 c4 c5 c6

Tableau des prostaphérèses pour Mars

Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire
°°°°° °°°°°
3357032001108008 93267110821473145519
6354104005215017 96264110823173230535
9351136011322025 99261110724503312551
12348208019430033 102258110426253352608
15345239030537042 105255105928033428626
18342311044644050 108252105229423502644
21339341100751059 111249104431243532704
24336412118858107 114246103333073558724
273334411391004116 117243102134503620745
303305102031110125 120240100736353637808
333275392291216134 12323795038203648831
363246062581322143 12623493240043653856
393216333301427152 12923191341483652922
423186594051531201 13222885143303643948
453157244421636210 135225827451136251016
483127485231739220 138222802465035571044
513098106061842230 141219736482535191113
543068326531945240 144216707495734271141
573038537422047250 147213637512433221208
603009128352148301 150210606524732011232
632979309312248311 153207533540430221252
6629494710302347322 156204500551528241304
69291100211332446334 159201425561926051304
72288101612382543345 162198349571623231247
75285102813472639357 165195312580520181206
78282103914592734410 168192235584616501054
81279104816152828423 17118915659181300904
84276105517332920436 1741861185941851633
87273110118553010450 1771830395955429327
90270110520193059504 1801800006000000000
7. Erreurs dans le tableau des prostaphérèses de Mars · Les points sont légèrement décalés horizontalement pour plus de lisibilité.
−04 −03 −02 −01 00 01 02 03 04 0 30 60 90 120 150 180 Erreur (′) Angle (°) c3 c4 c5 c6

Tableau des prostaphérèses pour Vénus

Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire Nombres communsCorrection de l’excentriqueMinutes propor­tionnellesParallaxes du grand cercleParallaxe excédentaire
°°°°° °°°°°
3357006002115001 9326720029373620049
6354012009229002 9626420031123718051
9351019019344004 9926115932473814054
12348025035459005 10225815834213908056
15345031054613006 10525515735564000059
18342037117727008 10825215537294049102
21339043145842009 11124915339024136105
24336048217956010 11424615140334219109
273330542531110011 11724314842024259112
303300593331223013 12024014543304335116
333271054171337014 12323714244564406120
363241105051450015 12623413846194432125
393211155571603017 12923113447404452129
423181206521716018 13222813048584505134
453151247511828020 13522512650124510139
483121298531940021 13822212151234506145
513091339592052023 14121911752314450151
5430613711082203024 14421611253344422157
5730314012202313026 14721310654344338203
6030014313342423027 15021010155284235209
6329714614522533029 15320705556194111215
6629414916122642031 15620405057043920221
6929115217352750032 15920104457453657224
7228815419002857034 16219803858203357226
7528515620263004036 16519503258503014222
7828215721553109038 16819202559152543213
8127915923253214040 17118901959352020154
8427615924573317042 17418601359491407125
8727320026303420044 1771830065957715046
9027020028033521046 1801800006000000000
8. Erreurs dans le tableau des prostaphérèses de Vénus · Les points sont légèrement décalés horizontalement pour plus de lisibilité.
−04 −03 −02 −01 00 01 02 03 04 0 30 60 90 120 150 180 Erreur (′) Angle (°) c3 c4 c5 c6

Calcul de la longitude d’une planète

Au final, la longitude d’une planète supérieure est calculée comme suit. On trouve d’abord la longitude du soleil moyen (λ̅*) pour la date, comme expliqué au Livre 3, de même que l’anomalie moyenne α̅ de la planète — Copernic fournit pour cela l’anomalie moyenne à une date de départ ainsi que le mouvement annuel et quotidien en anomalie, mentionnés ci-⁠dessus. On doit aussi trouver la direction de la ligne des apsides (λA*) de la même manière. On obtient ensuite l’anomalie excentrique moyenne κ̅ = λ̅* − λA* − α̅. Les facteurs de correction c3(κ̅) et c4(κ̅) sont ensuite calculés ; si κ̅ < 180°, alors c3(κ̅) est positif, sinon il est négatif. L’anomalie vraie est alors obtenue avec α = α̅ + c3(κ̅) et permet de calculer c5(α) et c6(α), avec lesquels on forme l’équation de l’anomalie c(α, κ̅) = c5(α) + c4(κ̅) · c6(α). Dans les mots de Swerdlow et Neugebauer (1984), « [l]a prochaine étape est plutôt étrange, bien qu’elle fonctionne plutôt bien » et implique l’opposé de l’élongation de la planète au Soleil : Δ′ = 360° − Δ = α + c(α, κ̅), où c(α, κ̅) est inférieur à 0 pour α < 180° et vice versa. Enfin, la longitude sidérale géocentrique vraie de la planète est λ* = λ̅* − Δ′ = λ̅* + Δ.

Pour une planète inférieure, les étapes sont semblables, mais on a maintenant κ̅ = λ̅* − λA*, et Δ = c(α, κ̅) + c3(κ̅), le premier étant positif pour α < 180° et vice versa, le second étant négatif pour κ̅ < 180° et vice versa. Enfin, comme pour les planètes supérieures, λ̅* + Δ.

Peu importe la planète, on ajoutera la précession à sa longitude sidérale pour obtenir sa longitude tropique.

Le Livre 5 se termine avec une discussion des stations et rétrogradations planétaires, mais Copernic n’y présente aucun tableau.


Introduction          🞄          Livre 1          🞄          Livre 2          🞄          Livre 3          🞄          Livre 4          🞄          Livre 5          🞄          Livre 6


Références et suggestions de lecture

Légende : 📜 Manuscrit · 📖 Livre ou chapitre de livre · 📰 Article · 🌐 Site web


© 2024 EcliptiQc / Pierre Paquette
Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 51 UTC