Introduction          🞄          Livre 1          🞄          Livre 2          🞄          Livre 3          🞄          Livre 4          🞄          Livre 5          🞄          Livre 6

Le Livre 5 est au cœur de la théorie planétaire de Copernic ; c’est dans celui-⁠ci qu’il expose, en long et en large (96 pages !), comment les planètes tournent plutôt autour du Soleil que de la Terre — ainsi que son raisonnement mathématique. L’introduction au Livre 5 de Swerdlow et Neugebauer (1984) laisse entrevoir une des possibles raisons pour lesquelles un nombre relativement faible de personnes ont produit une théorie planétaire complète : ils expliquent que, si les théories solaire et lunaire ont des applications quotidiennes dans la prédiction des phases lunaires (qui régissent, même aujourd’hui, des fêtes religieuses comme Pâques) ou des éclipses, « [l]a seule application commune de la théorie planétaire était pour les horoscopes [ . . . ]. Et contrairement aux éclipses ou à la première visibilité de la Lune, il n’est d’aucune façon facile de compléter les observations nécessaires pour tester l’exactitude de la théorie ou des paramètres planétaires [ . . . ] ». Peut-⁠être un peu pour cela, la théorie planétaire de Copernic n’est ni plus ni moins que celle de Ptolémée (selon Viète : « Ptolemæi paraphraſtes Copernicus » [Copernic paraphrase Ptolémée]), sauf qu’il change le point de vue au Soleil plutôt qu’à la Terre, et qu’il utilise exclusivement des mouvements circulaires uniformes tels que vu depuis le centre de chaque sphère, contrairement à Ptolémée (voir l’Introduction).

Copernic est-⁠il à l’origine de « son » modèle ? Rien n’est moins sûr. Comme mentionné dans l’Introduction, l’influence de l’« école de Maragha » se fait indubitablement sentir. Swerdlow et Neugebauer (1984) vont d’ailleurs jusqu’à affirmer que « La question donc n’est pas si, mais quand, où, et sous quelle forme [Copernic] a pris connaissance de la théorie [de l’école] de Maragha » ; Swerdlow (2000) de compléter avec : « la relation entre les modèles est si étroite que l’invention indépendante par Copernic est pratiquement impossible ». Bien que certaines voix nient au moins partiellement le fait (par exemple, Viktor Blåsjö, Mario Di Bono, ou André Goddu), la majorité des auteurs et commentateurs (p. ex., Bernard Raphael Goldstein, Edward Stuart Kennedy, Y. Tzvi Langermann, Robert G. Morrison, Otto Eduard Neugebauer, F. Jamil Ragep, George Saliba, Noel Mark Swerdlow) s’entendent pour dire que Copernic a essentiellement repris le modèle d’Ibn al-⁠Shāṭir. Celui-⁠ci a été très brièvement abordé dans l’Introduction, alors revoyons-⁠le plus en détail. (L’animation ci-⁠dessous fait 1200 pixels de large et 600 de haut ; attention à la taille de votre écran !)

Les similarités entre les deux modèles sont flagrantes. Copernic centre le Soleil dans le système. Il décale aussi la planète au centre du troisième épicycle et décale la Terre du centre de la même quantité, ce qui a pour effet de transférer le troisième épicycle d’al-⁠Shāṭir au centre du système ; plutôt que ce soit la planète qui tourne dessus, c’est maintenant la Terre. L’équant (point É), déjà abandonné par al-⁠Shāṭir, est indiqué dans son modèle pour fins de comparaison avec celui de Ptolémée.

Copernic mentionne quelques auteurs du monde arabo-⁠musulman, alors on ne peut pas dire qu’il prend le crédit pour lui-⁠même. Mais aucun de ces derniers n’a placé le Soleil au centre (bien que Quṭb al-⁠Dīn al-⁠Širāzi et Najm al-⁠Dīn al-⁠Qazwīnī al-⁠Kātibī aient soulevé l’idée), et on peut donc donner au savant alémano-polonais les honneurs qui lui reviennent.

Le modèle présenté ci-⁠dessus convient bien aux planètes supérieures (Mars, Jupiter, et Saturne), mais Copernic doit travailler un peu plus fort pour établir les modèles pour Mercure et Vénus. Encore une fois, c’est une adaptation du modèle d’al-⁠Shāṭir qui est retenue pour Vénus, comme le présente le diagramme ci-⁠dessous. On y reconnaît le modèle pour une planète supérieure, mais avec la planète à l’intérieur de l’orbite de la Terre. (L’animation ci-⁠dessous fait encore 1200 pixels de large et 600 de haut ; attention à la taille de votre écran !)

La situation se complexifie pour Mercure. Copernic l’ignore, mais l’orbite de cette planète est plus elliptique que celle de toute autre planète . Afin d’expliquer la distance fortement variable entre Mercure et le Soleil, il doit trouver un système faisant varier la taille de son épicycle : un couple d’al-⁠Ṭūsī est la solution idéale, ou plutôt une modification de celui-⁠ci. Le point P du modèle précédent est donc remplacé par P̅, qui devient le centre d’un couple de rayon r′ et dans lequel pivote un autre cercle de rayon r′2, qui à son tour porte la planète en P. Copernic demeure très élusif dans sa description de ce système, se contentant d’écrire :

Sed modo quodam diuerſo, quàm in Venere, & nihilo minus epicyclium quoddam in ipſo eccentro moueatur, in quo ſtella non ſecundum circumferentiam, ſed diametrum eius ſurſum de orſum´ feratur, quod, fieri poteſt etiam ex æqualibus circularibus motibus, uti ſupra circa æquinoctiorum præceſsionem eſt expoſitum.

Le modèle, cependant, est différent de celui de Vénus, puisque sur l’excentrique se déplace un petit épicycle. La planète n'est pas transportée autour de la circonférence de l’épicycle, mais de haut en bas le long de son diamètre. Cela peut aussi être le résultat de mouvements circulaires uniformes, comme cela a été montré précédemment à propos de la précession des équinoxes.

Tableaux

Malgré la longueur du Livre 5, on n’y trouve que deux jeux de tableaux. Le premier ensemble est formé des tableaux du mouvement (uniforme) en anomalie de chaque planète — un tableau pour 0 à 60 années égyptiennes, et un autre pour 0 à 60 jours. Je ne prends pas la peine de les reproduire ou de les recalculer, puisque chaque rangée d’un tableau résulte de l’addition successive de la première. Celle-⁠ci indique le mouvement moyen de la planète pour une année égyptienne ou une journée, soit les valeurs données dans le tableau de droite.

Le mouvement moyen (en longitude) de chaque planète n’est pas tabulé, mais Copernic le mentionne juste avant le premier tableau :

Eſt enim annuus Saturni motus proprius ad nõ errantium ſtellarum ſphæram, graduum xii. ſcrup. xii.xlv.lvii.xxiiii. Iouis grad. xxx.xix.xl.li.lviii. Martis grad. cxci.xvi.xviii.xxx.xxxvi. In Venere autẽ & Mercurio, quoniam non apparent nobis, ipſe motus Solis, pro eis nobis uſu uenit, ſupplet´ modo, per quem apparentiæ eorum pernoſcuntur & demonſtrantur, ut infra.

Copernic, De revolutionibus, Livre 5, Chapitre i.

Donc, le mouvement propre annuel par rapport à la sphère des étoiles fixes est pour Saturne 12° 12′ 46″ 12″′ 52″″. Jupiter 30 19 40 51 58. Mars 191 16 19 53 52. Mais pour Vénus et Mercure, puisqu’il [le mouvement annuel propre] ne nous est pas apparent, le mouvement du Soleil est utilisé et fournit une méthode pour déterminer et démontrer leurs apparences, comme indiqué ci-⁠dessus.

traduction libre de la version anglaise de Rosen (1978)

Le second jeu de tableaux donne la prostaphérèse ou correction pour chaque planète. Il contient six colonnes, les deux premières étant les « nombres communs » (angles) de 3° à 180° dans la colonne de gauche et de 357° à 180° dans la colonne de droite, par bonds de 3° par rangée. À noter qu’ici, e = e₁ − r′, puisque e₁ = 3⁄2⁠e et que r′ = 1⁄2⁠e si on prend e du modèle de Ptolémée. On voit d’ailleurs que la base du modèle est une simple adaptation de ce dernier : si, pour Ptolémée, la planète est en P dans le diagramme de droite, ce point représente plutôt le centre du second épicycle pour Copernic. La troisième colonne donne la « correction de l’excentrique » (diagramme de droite). Celle-⁠ci est mesurée depuis le soleil moyen (point S̅), grâce à la formule

tan c₃ = 2e sin κ̄R + e cos κ̄,

bien que Copernic la scinde en deux angles,

sin a₁ = e₁ sin κ̄S̅C,

où S̅C = √R² + e₁² + 2Re₁ cos κ̄, et

sin a₂ = r′ sin (κ̄ + a₁)S̅P,

où S̅P = √S̅C² + r′² − 2S̅Cr′ cos (κ̄ + a₁). Enfin, on obtient la correction avec c₃ = a₁ + a₂, et l’anomalie excentrique corrigée est κ = κ̄ + c₃.

La colonne 4 a pour titre « Minutes proportionnelles » et donne la correction à apporter à la valeur de la colonne 6. Ses valeurs sont calculées par étapes, la première étant de trouver R_(κ̄), la distance entre le second épicycle et le Soleil, qui n’est rien d’autre que S̅P déjà mentionné. Pour Mercure, toutefois, le modèle est plus complexe (voir l’animation 3 ci-⁠dessus), et on doit aussi connaître le rayon de son épicycle, qui est donné par r_(κ̄) = r̄ − r′ cos (2κ̄) (pour les autres planètes, r est déjà donné). On a ensuite sin c_max(κ̄) = rR_(κ̄) ou, pour Mercure, sin c_max(κ̄) = r_(κ̄)R_(κ̄), qui nous servira à calculer les valeurs c_m = c_max(0) et c_M = c_max(180°) (mais c_M = c_max(120°) pour Mercure ). Enfin, on a la valeur de la colonne 4 comme tel, soit c_4(κ̄) = c_max(κ̄) − c_mc_M − c_m.

La cinquième colonne, intitulée « Parallaxes orbis » (parallaxe de l’orbe ou du grand cercle) à l’apside supérieure, est calculée par tan c_5(α) = r sin αR₀ + r cos α (on replacera r par r₀ = r̄ − r′ pour Mercure), où R₀ = R + (e₁ − r′) pour les planètes supérieures, R₀ = R + (e₁ − e₂) pour Vénus, et R₀ = R + (e₁ + e₂) pour Mercure. À noter que le facteur d’influence est ici l’anomalie vraie α et non l’anomalie moyenne α̅ ou, comme pour les autres formules, le centrum moyen κ̅.

La sixième colonne, enfin, « Excessus parallaxeos » (parallaxe excédentaire) à l’apside inférieure, est obtenue par étapes. On a d’abord tan c′_5+6(α) = r₁₂₀ sin αR₁₂₀ + r₁₂₀ cos a pour Mercure ou tan c′_5+6(α) = r sin αR₁₈₀ + r cos α pour les autres planètes, où r₁₂₀ = r̄ + r′2 et R₁₂₀ = √R² + e₁² + e₂² − R(e₁ + e₂) − e₁e₂ pour Mercure, R₁₈₀ = R − (e₁ − e₂) pour Vénus, et R₁₈₀ = R − (e₁ − r′) pour les autres planètes. Enfin, la valeur de la colonne 6 comme telle est c_6(α) = c′_5+6(α) − c_5(α).

L’application des corrections se fera comme suit : l’anomalie vraie est obtenue par α = α̅ + |c_3(κ̅)| si κ̅ < 180° ou α = α̅ − |c_3(κ̅)| si κ̅ > 180° ; la correction totale est c_(α, κ̅) = c_5(α) + c_4(κ̅) · c_6(α) ; la correction finale en longitude est Δ = α + |c_(α, κ̅)| si α > 180° ou Δ = α − |c_(α, κ̅)| si α < 180° pour les planètes supérieures, et Δ = c_(α, κ̅) + c_3c(κ̅) avec c_(α, κ̅) > 0° si α < 180° ou c_(α, κ̅) < 0° si α > 180° et c_{3c(κ̅) < 0°} si κ̅ < 180° ou c_{3c(κ̅) > 0°} si κ̅ > 180°. Enfin, λ* = λ̅_☉* − Δ pour les planètes supérieures et λ* = λ̅_☉* + Δ pour Mercure et Vénus, qui nous donne la longitude sidérale de la planète, à laquelle on doit finalement ajouter la précession telle que calculée dans le Livre 3.

Tableau des prostaphérèses pour Saturne

Tableau des prostaphérèses pour Jupiter

Tableau des prostaphérèses pour Mars

Tableau des prostaphérèses pour Vénus

Calcul de la longitude d’une planète

Au final, la longitude d’une planète supérieure est calculée comme suit. On trouve d’abord la longitude du soleil moyen (λ̅_☉*) pour la date, comme expliqué au Livre 3, de même que l’anomalie moyenne α̅ de la planète — Copernic fournit pour cela l’anomalie moyenne à une date de départ ainsi que le mouvement annuel et quotidien en anomalie, mentionnés ci-⁠dessus. On doit aussi trouver la direction de la ligne des apsides (λ_A*) de la même manière. On obtient ensuite l’anomalie excentrique moyenne κ̅ = λ̅_☉* − λ_A* − α̅. Les facteurs de correction c_3(κ̅) et c_4(κ̅) sont ensuite calculés ; si κ̅ < 180°, alors c_3(κ̅) est positif, sinon il est négatif. L’anomalie vraie est alors obtenue avec α = α̅ + c_3(κ̅) et permet de calculer c_5(α) et c_6(α), avec lesquels on forme l’équation de l’anomalie c_(α, κ̅) = c_5(α) + c_4(κ̅) · c_6(α). Dans les mots de Swerdlow et Neugebauer (1984), « [l]a prochaine étape est plutôt étrange, bien qu’elle fonctionne plutôt bien » et implique l’opposé de l’élongation de la planète au Soleil : Δ′ = 360° − Δ = α + c_(α, κ̅), où c_(α, κ̅) est inférieur à 0 pour α < 180° et vice versa. Enfin, la longitude sidérale géocentrique vraie de la planète est λ* = λ̅_☉* − Δ′ = λ̅_☉* + Δ.

Pour une planète inférieure, les étapes sont semblables, mais on a maintenant κ̅ = λ̅_☉* − λ_A*, et Δ = c_(α, κ̅) + c_3(κ̅), le premier étant positif pour α < 180° et vice versa, le second étant négatif pour κ̅ < 180° et vice versa. Enfin, comme pour les planètes supérieures, λ̅_☉* + Δ.

Peu importe la planète, on ajoutera la précession à sa longitude sidérale pour obtenir sa longitude tropique.

Le Livre 5 se termine avec une discussion des stations et rétrogradations planétaires, mais Copernic n’y présente aucun tableau.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 51 UTC