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1. Des hypothèses de la position en latitude des cinq planètes

Il ne reste, à propos des cinq planètes, que deux sujets à traiter : leur écart en latitude par rapport au cercle central du zodiaque [l’écliptique], et leur élongation par rapport au Soleil à leurs première et dernière visibilités. Les distances latitudinales doivent être prises en compte en premier, car certains effets considérables et différents dans les première et dernière visibilités se produisent en raison de ce facteur. Nous allons d’abord de nouveau exposer les hypothèses communes que nous assignons à l’inclinaison de leurs cercles [orbites].

Maintenant, chacune [des planètes] semble avoir une double anomalie en latitude, tout comme chacune présente une double anomalie en longitude ; l’une [varie] par rapport aux parties de l’écliptique à cause du cercle excentrique, l’autre par rapport à [son élongation] au Soleil à cause de l’épicycle. Nous supposons donc pour chacune  que l’excentrique est incliné sur le plan de l’écliptique, et que l’épicycle est incliné sur le plan de l’excentrique. Cependant, comme nous l’avons dit et comme nous le montrerons plus loin, d’aussi faibles inclinaisons ne causent aucune différence notable dans la démonstration de la longitude ou des anomalies. Aussi, à partir d’observations individuelles de chaque planète, [nous voyons que] lorsque la longitude corrigée est approximativement à un quart de cercle [90°] de la limite nord ou sud de l’excentrique et que la l’anomalie corrigée est à environ un quart de cercle de son propre apogée, les planètes apparaissent dans le plan de l’écliptique. Nous supposons donc que l’inclinaison des excentriques a lieu au centre de l’écliptique — comme c’est le cas pour la Lune — et par rapport au diamètre passant par les limites nord et sud ; et [nous supposons] que l’inclinaison des épicycles est par rapport au diamètre de l’épicycle qui pointe vers le centre de l’écliptique, sur lequel se trouvent son apogée et son périgée apparents.

De plus, dans le cas des trois planètes de Saturne, de Jupiter, et de Mars , nous avons observé que lorsque leur position en longitude est dans la section apogée [la plus éloignée de la Terre] de l’excentrique, elles sont toujours au nord de l’écliptique, et que de toutes les latitudes nord, celles du périgée de l’épicycle sont plus [au nord] que pour celles de l’apogée ; mais que lorsque leur position en longitude est dans la section périgée [la plus proche de la Terre] de l’excentrique, au contraire, elles apparaissent au sud du milieu [du zodiaque, donc au sud de l’écliptique]. [Nous avons observé] aussi que la limite nord de l’excentrique de Saturne et [de] Jupiter est au début du signe de la Balance, et pour Mars, à la fin du Cancer, presque exactement à son apogée . Nous en concluons donc que les points de leurs excentriques qui sont dans les régions susmentionnées du zodiaque sont inclinées vers le nord, et les parties diamétralement opposées, d’une quantité égale vers le sud ; et que les périgées des épicycles sont toujours inclinés dans le même sens que l’excentrique, tandis que le diamètre [de l’épicycle] perpendiculaire au diamètre passant par son apogée reste toujours parallèle au plan du milieu [du zodiaque, donc au plan de l’écliptique].

Dans le cas de Vénus et de Mercure, nous avons observé que lorsque leur position est à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, quand la planète est [aussi] au périgée ou à l’apogée de l’épicycle, il n’y a pas de différence en latitude : elles [Vénus et Mercure] sont donc soit au nord, soit au sud de l’écliptique d’une égale quantité, toujours au nord pour Vénus, toujours au sud pour Mercure ; mais leur position aux plus grandes élongations [depuis l’apogée ou le périgée] varie de la plus grande quantité (la plus grande élongation du matin diffère de la plus grande élongation du soir), tandis qu’elle diffère de la position à l’apogée ou au périgée de l’épicycle (de la différence [de latitude] due à l’excentrique) d’une quantité égale, [mais] dans des directions opposées : la plus grande élongation qui est vers l’arrière [l’ouest] [du centre de l’épicycle] et en soirée est, pour Vénus, plus au nord [que celle du matin] à l’apogée de l’excentrique et plus au sud au périgée, alors que pour Mercure c’est l’inverse : elle est plus au sud à l’apogée [de l’excentrique] et plus au nord au périgée.

[Deuxièmement, nous avons observé que] lorsque leur position en longitude vraie est à un nœud, alors les élongations observées à un quadrant [90°] de part et d’autre de l’apogée ou du périgée de l’épicycle sont dans le plan de l’écliptique, tandis que les positions au périgée [de l’épicycle] seront très différentes [en latitude] par rapport aux positions à l’apogée : pour Vénus cette inclinaison est vers le sud au nœud du demi-⁠cercle sur lequel l’équation est soustractive , et vers le nord au [nœud] opposé ; pour Mercure, c’est encore l’inverse : au nœud du demi-⁠cercle soustractif, l’inclinaison est vers le nord, et à l’opposé, vers le sud. Nous en concluons donc que l’inclinaison de l’excentrique est également variable, suivant une période identique à celle l’épicycle [sur l’excentrique] : lorsque l’épicycle est dans les nœuds, l’excentrique est dans le plan de l’écliptique, mais lorsque [l’épicycle] est à l’apogée ou au périgée, l’excentrique produit la plus grande variation possible de latitude de l’épicycle, ce qui l’amène plus au nord pour Vénus et plus au sud pour Mercure. [Nous concluons aussi que] l’épicycle produit donc deux variations [de latitude] : aux nœuds des excentriques, il produit la plus grande inclinaison [ἔγκλισις] du diamètre par l’apogée apparente, et la plus grande obliquité [λόξωσις] (employons ce terme pour distinguer ce genre de variation angulaire) du diamètre perpendiculaire au premier (qui passe par l’apogée et le périgée de l’excentrique) ; au contraire, quand la planète est à l’apogée ou au périgée [de l’excentrique], il [l’épicycle] ramène le premier [diamètre] dans le plan de l’excentrique, et ramène le second diamètre dans le plan de l’écliptique [quand la planète est] aux nœuds précités.

2. Du mode de mouvement des inclinaisons et des obliquités selon les hypothèses

En résumé général, selon les hypothèses, les cercles excentriques des cinq planètes sont inclinés par rapport au plan de l’écliptique autour du centre de l’écliptique. Dans le cas des trois planètes Saturne, Jupiter et Mars, l’excentrique a une inclinaison fixe, de sorte que des positions diamétralement opposées de l’épicycle ont des latitudes opposées. Mais dans le cas de Vénus et de Mercure, l’excentrique se déplace avec l’épicycle dans la même direction en latitude — pour Vénus toujours au nord, pour Mercure toujours au sud. Le diamètre de l’épicycle [de chacune des cinq planètes] passant par l’apogée se déplace à partir d’un point de départ dans le plan de l’excentrique, le long d’un petit cercle que l’on peut supposer attaché à l’extrémité [du diamètre] la plus proche de la Terre, dont le rayon correspond à l’écart [maximum] approprié [à chaque planète] en latitude, et [ce cercle est] perpendiculaire et centré sur le plan de l’excentrique, et tourne avec un mouvement uniforme, avec une période égale à celle du [mouvement] en longitude. [Par hypothèse], à partir d’une extrémité de l’intersection de son plan [du cercle] et du plan de l’épicycle, il entraîne avec lui le plan de l’épicycle vers le nord : dans le premier quadrant de sa révolution, il entraîne le plan de l’épicycle, évidemment, jusqu’à la limite nord ; dans le deuxième [quadrant], il le ramène au plan de l’excentrique ; dans le troisième, jusqu’à la limite sud ; et dans son [dernier] quadrant au retour, vers le plan d’origine. L’origine et le point de retour de cette révolution est, pour Saturne, Jupiter, et Mars, le nœud ascendant ; pour Vénus, le périgée de l’excentrique ; et pour Mercure, l’apogée de l’excentrique. Le diamètre [de l’épicycle] perpendiculaire à celui-⁠ci [de l’apogée], dans le cas des trois premières planètes [Saturne, Jupiter, et Mars] reste toujours parallèle au plan de l’écliptique, ou en tout cas n’en est pas incliné d’un quantité sensible, mais dans le cas de Vénus et de Mercure, à partir d’un certain point de départ où il est dans le plan de l’écliptique, il est entraîné par un petit cercle que nous pouvons supposer attaché à l’extrémité la plus avancée en longitude [donc vers l’est], et d’un rayon encore proportionnel à la valeur appropriée des variations observées en latitude. Ce petit cercle est perpendiculaire au plan de l’écliptique, et centré sur le diamètre parallèle à l’écliptique ; il cercle tourne à la même vitesse que l’autre [petit cercle], depuis une des intersections de son plan avec le plan de l’épicycle vers le nord, toujours par hypothèse, et entraîne avec lui l’extrémité soir [l’arrière / l’ouest ] du diamètre susmentionné dans le même ordre que précédemment [indiqué]. Et [pour ce cercle], l’origine et le point de retour de ce type de révolution sont, dans le cas de Vénus, au nœud du demi-⁠cercle additif, et, dans le cas de Mercure, au nœud du demi-⁠cercle soustractif.

Concernant ces petits cercles qui vont varier [en latitude] la position des épicycles, nous devons faire l’hypothèse suivante : eux aussi sont partagés en deux [parties égales] par les plans autour desquels nous affirmons que se fait la variations en latitude ; c’est le seul moyen d’expliquer que leurs mouvements [des épicycles en latitude] sont égaux des côtés opposés [des plans]. Leur révolution en mouvement uniforme n’a toutefois pas lieu autour de leur propre centre, mais autour d’un autre point qui produira dans le petit cercle une équation [d’excentricité] correspondant à celle de la planète en longitude dans le cercle central du zodiaque. Car puisque les révolutions sur l’écliptique et sur le petit cercle sont, par hypothèse, isochrones [de temps égaux], et que les arrivées à chaque quadrant des deux [cercles] correspondent aussi, selon les phénomènes [observés] ; ce serait impossible si la révolution [uniforme] du petit cercle avait lieu autour de son propre centre, puisque [dans ce cas] chacun des quadrants du petit cercle serait parcouru en un temps égal, mais que les quadrants de l’écliptique parcourus par l’épicycle ne le seraient pas, à cause de l’excentricité de chaque planète. Mais si [la révolution uniforme du petit cercle a lieu] autour d’un point placé de façon semblable à celui [centre du mouvement uniforme] de l’excentrique, le temps dans l’inclinaison de chaque quadrant de l’écliptique et du petit cercle seraient exactement les mêmes.

Que personne ne juge nos hypothèses trop élaborées compte tenu de la nature compliquée de nos dispositifs. Car on ne peut pas comparer [les choses] humaines au divin, ni s’imaginer de si grandes choses sur la base d’analogies très différentes. Car quel rapport est plus dissemblable que celui de l’éternel et l’immuable [d’une part] avec le toujours changeant [d’autre part], ou entre ce qui peut être gêné par quoi que ce soit [d’une part] et ce qui ne peut pas être gêné même par soi-⁠même ? Nous devons plutôt, autant que faire se peut, adapter les hypothèses les plus simples aux mouvements célestes, et si cela ne réussit pas, [nous devons appliquer d’autres hypothèses] qui les expliquent mieux. Car tant que chacun des phénomènes est sauvé par les hypothèses, pourquoi s’étonnerait-⁠on que de telles complications puissent caractériser les mouvements célestes ? En effet, leur nature est telle qu’elle ne rencontre aucun obstacle, mais qu’elle est de nature à allouer le mouvement naturel de chaque partie, même si [ces mouvements] sont opposés les uns aux autres ? Et tous ces éléments traversent et sont vus à travers tous les autres éléments, et cette facilité de transit s’applique non seulement aux cercles individuels, mais aux sphères elles-⁠mêmes et aux axes de révolution.

En vérité, les modèles construits sur la Terre, l’assemblage de ces [éléments] pour représenter les différents mouvements est difficile et complexe à réaliser sans que les mouvements s’entravent, tandis qu’au ciel aucune obstruction quelle qu’elle soit n’est causée par ces structures. Nous ne devrions pas juger la simplicité des choses célestes à partir de ce qui nous semble être simple [ici bas], surtout que celles-⁠ci ne sont pas également simples pour tous. Si nous devions juger par ces critèrs, tout ce qui est éternel et inchangeant nous serait non pas difficile, mais carrément impossible à expliquer, de par la constance même des choses célestes et par leur mouvement. Nous devrions plutôt [juger de la « simplicité »] à partir [justement] de l’immuabilité de la nature des choses célestes et de leurs mouvements ; ainsi, tous [les mouvements] nous paraîtront simples — et plus encore que ce qu’on croit simple sur Terre —, puisque nous n’aurons aucune gêne ou difficulté à considérer leurs mouvements et leurs révolutions.

3. De la taille de chacune des inclinaisons et des obliquités 

Nous pouvons maintenant, d’après ce qui précède, calculer la position générale et l’inclinaison des [divers] cercles. Mais [concernant] la taille réelle, pour chaque planète, de l’arc coupé par l’inclinaison sur le grand cercle perpendiculaire au plan de l’écliptique passant par les pôles du cercle incliné (par rapport auquel [grand cercle] les positions en latitude sont mesurés), cela se calcule facilement dans le cas de Vénus et de Mercure à partir des positions apparentes en latitude dans les situations décrites. Car lorsque leur mouvement en longitude les amène à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, si la position de l’astre est au périgée ou à l’apogée de l’épicycle, il apparaît également éloigné, comme nous l’avons dit, sur la base d’observations proches de ces points, soit au nord, soit au sud de l’écliptique : Vénus toujours à environ 1⁄6° au nord, et Mercure toujours à 3⁄4° au sud. Par conséquent, les cercles excentriques sont inclinés de ces angles respectifs. Mais quand ils sont à une plus grande élongation par rapport au Soleil, les deux astres apparaissent environ 5° (en moyenne) plus au nord ou au sud qu’à l’élongation opposée la plus grande, parce que Vénus a une différence apparente de latitude de ce genre mentionné d’à peine moins que 5° à l’apogée de l’excentrique, et d’à peine plus de 5° au périgée, tandis que Mercure a environ 1⁄2° [en plus ou en moins que 5° de différence en latitude à l’apogée et à 180° de l’apogée, respectivement] . Donc, l’obliquité de l’épicycle de part et d’autre du plan de l’excentrique sous-⁠tend environ 2⁠1⁄2°, en moyenne, du [grand] cercle orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique. Nous pouvons donc en conclure que la taille des angles formés par l’inclinaison de l’épicycle au plan de l’excentrique [pour chaque planète] peut être trouvée, comme nous le verrons dans la suite (pour ne pas interrompre ici notre traitement général des inclinaisons des cinq planètes).

Mais quand leur longitude corrigée est aux nœuds et [donc] très près de la distance moyenne, alors :

• Vénus, lorsque sa position est proche de l’apogée de son épicycle, est à 1° au nord ou au sud de l’écliptique ; lorsque sa position est proche du périgée, à environ 6⁠1⁄3° : donc l’obliquité de son épicycle coupe aussi 2⁠1⁄2° du grand cercle tracé par ses pôles, comme nous l’avons dit, car nous trouvons d’après [le tableau pour] l’anomalie épicyclique qu’à la distance moyenne, cette quantité [2⁠1⁄2°] sous-⁠tend à l’œil de l’observateur un angle de 1° 02′ à l’apogée de l’épicycle, et de 6° 22′ au périgée.
• Mercure, lorsqu’il est près de l’apogée de l’épicycle, comme on peut le déduire d’après les phases observées vers ce point, est au nord ou au sud de l’écliptique de 1⁠3⁄4° ; lorsqu’il est près du périgée, d’environ 4° : l’obliquité de son épicycle est donc de 6⁠1⁄4°, car encore une fois, nous trouvons à partir [du tableau] de l’anomalie épicyclique qu’aux distances de plus grande obliquité, c’est-⁠à-⁠dire lorsque la longitude corrigée est un quadrant de l’apogée, cette quantité [6⁠1⁄4°] sous-⁠tend, à l’œil de l’observateur, 1° 46′ à l’apogée de l’épicycle, et 4° 05′ au périgée.

Dans le cas des autres planètes, Saturne, Jupiter et Mars, il n’y a pas de méthode pour trouver les grandeurs de l’obliquité immédiatement [à partir des données d’observation], puisque les deux inclinaisons — celle liée à l’excentrique et celle liée à l’épicycle — sont toujours entremêlées ; cependant, encore une fois, à partir des latitudes observées au périgée et à l’apogée de l’excentrique et de l’épicycle, nous pouvons déterminer chaque inclinaison séparément de la manière suivante.

Soit, dans le plan orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique, son intersection AB avec le plan de l’écliptique, et son intersection GD avec le plan de l’excentrique. Soit E le centre de l’écliptique, et à l’intersection des plans [de l’excentrique et du plan orthogonal à l’écliptique], traçons dans le plan défini, autour de l’apogée G de l’excentrique et autour du périgée D, deux cercles égaux ZHΘK et LMNX représentant des cercles passant par les pôles des épicycles. Sur ces cercles, traçons les lignes HGK et MDX comme plans des épicycles, inclinées, à angles égaux en G et D. Depuis le centre E de l’écliptique, où se trouve notre œil, traçons des droites le joignant aux apogées et périgées des épicycles : EH et EM aux apogées, et EK et EX aux périgées. Il est clair que les points K et X marquent les oppositions, et H et M les conjonctions.

Nous avons donc obtenu pour Mars les positions en latitude autour des oppositions se produisant à l’apogée de l’excentrique (autour du point K de l’épicycle) ainsi qu’autour des oppositions se produisant au périgée de l’excentrique (autour du point X de l’épicycle), puisque la différence entre eux est bien évidente. Aux oppositions près de l’apogée, il [Mars] est à 4⁠1⁄3° au nord de l’écliptique, et à ceux près du périgée, à environ 7° au sud. Ainsi ∠ AEK = 4⁠1⁄3° et ∠ BEX = 7° où quatre angles droits font 360°.

Cela posé, nous trouvons l’angle ∠ AEG formé par l’inclinaison de l’excentrique, et l’angle ∠ HGZ formé par l’obliquité de l’épicycle, de la manière suivante. Puisqu’il est facile de voir, d’après nos démonstrations des anomalies de Mars, que si l’on considère les angles sous-⁠tendus à l’œil par des arcs égaux de l’épicycle près de son périgée, ceux des positions proches de l’apogée de l’excentrique sont avec ceux des positions près du périgée [de l’excentrique] en rapport d’environ 5 : 9, et puisque l’arc ΘK = l’arc NX, il s’ensuit que ∠ GEK : ∠ DEX = 5 : 9. Puisque les angles AEK et BEX sont donnés, et que les rapport ∠ GEK : ∠ DEX est donné, et que ∠ AEG = ∠ BED, si nous formons la différence entre les grandeurs des [angles ∠ AEK et ∠ BEX] entiers et la différence entre [les membres du] rapport [5 et 9], prenons le rapport que la première [différence] fait avec la seconde, et prenons cette proportion de chaque [membre du] rapport, alors nous obtiendrons la grandeur correspondant à chaque partie du rapport. Cela peut être prouvé au moyen d’un lemme arithmétique.

Ainsi, puisque les magnitudes sont 4⁠1⁄3 et 7, leur différence est 2⁠2⁄3, et le rapport étant de 5 : 9, la différence est de 4. Or, 2⁠2⁄3 est les deux tiers de 4 : nous prenons les deux tiers de 5 et de 9 [respectivement], et nous obtenons ∠ GEK = 3⁠1⁄3° et ∠ DEX = 6°. Ainsi, chaque angle restant [par soustraction] ∠ AEG = ∠ BED = 1°, qui est l’inclinaison de l’excentrique. Ainsi, l’arc de l’obliquité de l’épicycle ΘK = 2⁠1⁄4°, parce que d’après le tableau des anomalies, nous trouvons que cette quantité [2⁠1⁄4°] correspond approximativement aux quantités que nous avons trouvées pour les angles GEK et DEX.

Dans le cas de Saturne et de Jupiter, nous constatons que les positions [en latitude] près de l’apogée de l’excentrique ne sont pas sensiblement différentes de celles diamétralement opposées, près du périgée. Nous avons donc calculé les résultats requis d’une autre manière, en comparant les positions [en latitude] proches de l’apogée de l’épicycle avec celles proches du périgée. Il nous est clairement apparu, à partir d’observations individuelles, qu’aux positions proches de la première et de la dernière visibilité, l’écart maximal vers le nord ou le sud est d’environ 2° pour Saturne et de 1° pour Jupiter, tandis que pour les positions proches de l’opposition [l’écart maximal en latitude] est d’environ 3° pour Saturne et 2° pour Jupiter. Maintenant, pour ces planètes aussi, il est évident, par leur anomalie [selon le tableau] que, si nous considérons les angles sous-⁠tendus à l’œil par des arcs égaux près de l’apogée et du périgée de l’épicycle, ceux près de l’apogée sont en rapport avec ceux du périgée de 18 : 23 pour Saturne, et de 29 : 43 pour Jupiter. De plus, les arcs ZH et ΘK de l’épicycle sont égaux. Donc ∠ ZEH : ∠ ZEK = 18 : 23 pour Saturne, et 29 : 43 pour Jupiter. Mais ∠ HEK, qui est la différence entre les deux latitudes [à l’apogée et au périgée de l’épicycle], vaut [par soustraction] 1° pour chacun des deux astres. Par conséquent, si 1° est divisé dans les rapports susmentionnés, nous obtenons ∠ ZEH = 0° 26′ pour Saturne, 0° 24′ pour Jupiter, et ∠ ZEK = 0° 34′ pour Saturne, 0° 36′ pour Jupiter. Ainsi l’autre angle [par soustraction de ∠ AEK] d’inclinaison de l’excentrique ∠ AEG = 2° 26′ pour Saturne, 1° 24′ pour Jupiter. Au lieu de ces valeurs, pour obtenir une plus grande symétrie, nous avons adopté les nombres ronds 2⁠1⁄2° et 1⁠1⁄2°. C’est pourquoi l’arc ΘK, représentant l’obliquité de l’épicycle, peut être immédiatement calculé comme 4⁠1⁄2° pour Saturne et 2⁠1⁄2° pour Jupiter. Car encore, dans les tableaux d’anomalie pour chaque planète, les angles ZEH et ZEK sont à peu prés égaux à ces quantités que nous avons trouvées.

4. Construction d’un tableau pour la latitude de chaque planète

C’est ainsi que nous avons déterminé les plus grandes inclinaisons [et obliquités] des excentriques et des épicycles. Mais afin de pouvoir trouver commodément les positions en latitude pour un moment donné pour toutes les distances possibles [depuis l’apogée], nous avons construit 5 tableaux pour les 5 planètes. Chacun contient autant de lignes que les tableaux d’anomalies [soit 45] et 5 colonnes. Les 2 premières colonnes contiennent les arguments, comme ces dernières [les tables d’anomalie] ; la troisième, les distances en latitude depuis l’écliptique correspondant aux degrés particuliers de [mouvement sur] l’épicycle, à la plus grande inclinaison — pour Vénus et Mercure, c’est l’inclinaison aux nœuds de l’excentrique, et pour les trois autres planètes, l’inclinaison à la limite nord de l’excentrique. Enfin, la quatrième colonne contient les quantités correspondantes pour la limite sud ; dans le cas de ces 3 astres, la déviation maximale au nord et au sud des excentriques est incluse dans le calcul. Nous avons déterminé ces quantités pour Vénus et Mercure selon un théorème unique [aux deux], que voici.

Soit, dans le plan orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique, son intersection ABG avec le plan de l’écliptique, et DBE son intersection avec le plan de l’épicycle. Soient A le centre de l’écliptique, B le centre de l’épicycle, et AB la distance de l’épicycle à la plus grande obliquité. Autour du centre B, décrivons l’épicycle DZEH, et traçons le diamètre ZBH perpendiculaire à DE . Supposons que le plan de l’épicycle est perpendiculaire au plan en question [orthogonal au plan de l’écliptique], de sorte que toute droite tracée perpendiculairement à DE  sera parallèle au plan de l’écliptique, mais que ZH seule se situe dans ce plan [de l’écliptique] .

Étant donné le rapport AB : BE et la valeur de l’obliquité (soit ∠ ABE), il s’agit de trouver la latitude de ces planètes quand, par exemple, elles sont à 45° du périgée E  de l’épicycle (dont la circonférence est de 360°) — [nous choisissons 45°] parce que nous voulons en même temps démontrer les différences dans les positions en longitude produites par ces obliquités [maximales], et que ces différences doivent être maximales à peu près à mi-⁠chemin entre le périgée E et les positions Z et H, puisqu’elles y sont identiques aux longitudes produites en négligeant l’obliquité.

Prenons donc l’arc EΘ des 45° susmentionnés, et traçons la droite ΘK perpendiculaire à BE, et [les droites] KL et ΘM perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons ΘB, LM, AM, et AΘ. [Il est évident que] le quadrilatère LKΘM a des côtés parallèles et des angles droits , puisque KΘ est parallèle au plan de l’écliptique ; que ∠ LAM correspond à la prostaphérèse en longitude ; et que ∠ ΘAM est la latitude, puisque les angles ALM et AMΘ sont aussi des angles droits, puisque la ligne AM est située dans le plan de l’écliptique .

Il s’agit maintenant de démontrer les grandeurs des positions en question, pour chacune des planètes ci-⁠dessus, et d’abord pour Vénus. Puisque l’arc EΘ = 45° où [la circonférence de] l’épicycle est de 360°, alors l’angle au centre de l’épicycle ∠ EBΘ = 45° où quatre angles droits font 360°, donc 90^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BΘK, l’arc BK = l’arc KΘ = 90°. Donc les cordes correspondantes BK = KΘ = 84;52^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc où le rayon de l’épicycle BΘ = 43;10^p, et la distance moyenne AB = 60^p (car c’est là que se produit la plus grande obliquité de l’épicycle), les droites BK = KΘ = 30;32^p. En outre, puisque, par hypothèse, l’angle d’obliquité ∠ ABE = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BLK, l’arc LK = 5° et l’arc BL = 175° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KL = 5;14^p et BL = 119;53^p où l’hypoténuse BK = 120^p. Par conséquent, où l’hypoténuse BK = 30;32^p et la droite AB = 60^p, les droites KL = 1;20^p, BL = 30;30^p, et la [droite] restante [par soustraction de BL de AB] AL = 29;30^p. Mais, des mêmes unités, LM = KΘ = 30;32^p ; donc, l’hypoténuse AM [= √(AL² + LM²)] = 42;27^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AM = 120^p, la droite LM = 86;19^p, et l’angle de la prostaphérèse ∠ LAM = 92;00^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 46° 00′ où quatre angles droits font 360° .

De même, où la droite AM = 42;27^p ; la droite ΘM = KL = 1;20^p ; et ΘM² + AM² = AΘ², alors AΘ = 42;29^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, ΘM = 3;46^p, et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAM = 3;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 1° 48′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 48′] est donc la valeur que nous mettrons dans la troisième colonne du tableau pour Vénus à la ligne contenant 135°.

Pour faire une comparaison de la différence dans la prostaphérèse résultante en longitude, prenons un diagramme semblable où l’épicycle n’est pas incliné. Nous avons démontré que les droites BK = KΘ = 30;32^p où la droite AB = 60^p, donc la droite restante [par soustraction] AK = 29;28^p ; et AK² + KΘ² = AΘ², donc AΘ = 42;26^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, KΘ = 86;21^p, et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ ΘAK = 92;03^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou environ 46° 02′ où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons prouvé que dans le cas de l’obliquité, cet angles est de 46° ; donc la différence pour la prostaphérèse due à l’obliquité est de moins de 2′.

Maintenant, pour démontrer les positions [en latitude] de Mercure, dessinons un diagramme similaire à l’avant-⁠dernier, où l’arc EΘ est de la même taille, soit 45°. Donc à nouveau, BK = KΘ = 84;52^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Par conséquent, où le rayon de l’épicycle BΘ = 22;30^p et la distance à laquelle se produisent les plus grandes obliquités AB = 56;40^p (ce que nous avons démontré précédemment ), alors BK = KΘ = 15;55^p des mêmes unités . En outre, puisque par hypothèse l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ ABE = 6° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 12;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BKL, l’arc LK = 12° 30′ et l’arc BL = 167° 30′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KL = 13;04^p et BL = 119;17^p où l’hypoténuse BK = 120^p. Donc où, comme nous l’avons démontré, BK = 15;55^p et [où], par hypothèse, AB = 56;40^p, KL = 1;44^p, BL = 15;49^p, et [par soustraction de AB] AL = 40;51^p des mêmes unités. Or, LM = KΘ = 15;55^p ; et, puisque AL² + LM² = AM², AM = 43;50^p où la droite LM = 15;55^p. Donc, où l’hypoténuse AM = 120^p, la droite LM = 43;34^p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ LAM = 42;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 21° 17′ où quatre angles droits font 360°. De même, où la droite AM = 43;50^p, ΘM = KL = 1;44^p ; et AM² + ΘM² = AΘ², donc AΘ = 43;52^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, ΘM = 4;44^p, et l’angle de la latitude ∠ ΘAM = 4;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 16′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 16′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Mercure sur la même ligne de l’argument 135°.

Soit encore, pour déterminer la prostaphérèse, le diagramme sans l’obliquité [de l’épicycle]. Puisque nous avons démontré que, où la droite AB = 56;40^p, ΘK = KB = 15;55^p , et que le reste [par soustraction] AK = 40;45^p des mêmes unités ; et que AK² + KΘ² = AΘ², alors AΘ = 43;45^p où ΘK = 15;55^p. Donc, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, ΘK = 43;39^p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ KAΘ = 42;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 21° 20′ où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons démontré qu’avec l’obliquité, [cet angle] est de 21° 17′ ; donc la prostaphérèse en longitude calculée en fonction de l’obliquité est moindre de 3′.

Telle est donc la méthode par laquelle nous avons calculé les positions en latitude aux plus grandes inclinaisons pour ces deux planètes, parce que les plus grandes inclinaisons se produisent lorsque l’excentrique est dans le même plan que l’écliptique. Mais pour les trois astres restants, nous avons utilisé un autre théorème, puisque [pour eux] la plus grande obliquité de l’épicycle se produit lorsque l’inclinaison de l’excentrique est maximale, et il sera donc bon d’avoir toutes les positions en latitude résultant des deux inclinaisons [calculées] ensemble.

Soit, dans le plan orthogonal à l’écliptique, AB son intersection avec le plan de l’écliptique, AG son intersection avec le plan de l’excentrique, et DGE son intersection avec le plan de l’épicycle. Soit A le centre de l’écliptique et G le centre de l’épicycle, et décrivons autour de G l’épicycle DZEH de sorte que, parmi les droites tracées perpendiculairement à DE, le diamètre ZGH soit dans le plan de l’excentrique et parallèle au plan de l’écliptique, et que les autres [perpendiculaires] soient parallèles à ces deux plans. Prenons l’arc EΘ = 45° comme avant, et à partir du point Θ (où est l’astre), traçons la perpendiculaire ΘK [à DGE], ainsi que, à partir des points Θ et K, les droites ΘL et KB perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons BL et AL . Nous nous proposons de trouver la prostaphérèse [addition ou soustraction] en longitude, représentée par ∠ BAL, et la position en latitude, représentée par ∠ LAΘ. Traçons donc, à partir de K, la droite KM perpendiculaire à AG, et joignons GΘ, AK, et AΘ. Prenons à nouveau comme donné, d’après ce qui a été prouvé auparavant, que GK = KΘ = 84;52^p où l’hypoténuse GΘ = 120^p.

Alors d’abord, pour Saturne, puisque nous avons montré que le rayon de l’épicycle est de 6;30^p où la distance moyenne est de 60^p, les droites GK = KΘ = 4;36^p où l’hypoténuse GΘ = 6;30^p. Et puisque, par hypothèse, l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 4° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 9^ꝏ où deux angles droits font 360°, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GKM, l’arc KM = 9° et l’arc GM = 171° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 9;25^p et GM = 119;38^p où l’hypoténuse GK = 120^p. Par conséquent, où GK = 4;36^p, KM = 0;22^p et GM = 4;35^p . Maintenant, lors de la plus grande obliquité sur le demi-⁠cercle contenant l’apogée, la droite AG, représentant la distance [lorsque l’épicycle est] près du début de la Balance, selon les théorèmes démontrés plus tôt sur les anomalies, vaut 62;10^p des mêmes unités. Ainsi la portion [par soustraction de GM à AG] AM = 57;35^p où la droite MK = 0;22^p  ; donc l’hypoténuse AK [= √(AM² + MK²)] = 57;35^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120^p, KM = 0;46^p et ∠ KAM = 0;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc BK = 5° 44′ et l’arc AB = 174° 16′ restants du demi-cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 6;00^p et AB = 119;51^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 57;35^p, BK = 2;53^p, AB = 57;31^p, et BL = KΘ = 4;36^p. Et puisque AB² + BL² = AL², AL = 57;42^p des mêmes unités. De même, puisque LΘ = BK = 2;53^p des mêmes unités et que AL² + LΘ² = AΘ², AΘ = 57;46^p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, ΘL = 5;59^p et l’angle de la latitude ∠ ΘAL = 5;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 52′ .où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 52′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Saturne en face de 135°.

Mais dans le demi-⁠cercle contenant le périgée, à la plus grande inclinaison, puisque la droite AG, représentant la distance [lorsque l’épicycle est] près du début du Bélier, est calculé comme [AG =] 57;40^p, où, comme nous l’avons démontré, KM = 0;22^p et GM = 4;35^p, la portion [par soustraction] AM = 53;05^p. Et l’hypoténuse AK = 53;05^p des mêmes unités, puisqu’elle est à peine plus grande que la droite AM. Donc, où l’hypoténuse AK = 120^p, KM = 0;50^p et ∠ KAM = 0;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais, par hypothèse, ∠ BAG = 5^ꝏ des mêmes unités. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc BK = 5° 48′ et l’arc AB = 174° 12′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 6;04^p et AB = 119;51^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 53;05^p, la droite BK = 2;41^p et la droite AB = 53;01^p. Et puisque AB² + BL² = AL², et que (tel que démontré) BL = 4;36^p des mêmes unités, AL = 53;13^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AL = 120^p, BL = 10;23^p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 9;56^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 4° 58′ où quatre angles droits font 360°.

En outre, puisque la ligne AL = 53;13^p, que ΘL = KB = 2;41^p, et que AL² + ΘL² = AΘ², alors AΘ = 53;17^p. Donc où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite ΘL = 6;03^p, et l’angle de la distance en latitude ∠ ΘAL = 5;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 53′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 53′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face de 135°.

Maintenant, afin de comparer les prostaphérèses [additions ou soustractions] en longitude pour l’obliquité la plus près du périgée, reprenons le diagramme sans obliquité. Alors, où la distance à ce point AG = 57;40^p, les droites GK = KΘ = 4;36^p (par hypothèse) ; et la portion [par soustraction] AK = 53;04^p des mêmes unités ; mais AK² + KΘ² = AΘ², donc AΘ = 53;16^p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite KΘ = 10;22^p, et l’angle de l’équation en longitude ∠ ΘAK = 9;54^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 4° 57′  où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons démontré que dans une inclinaison ou l’autre [de l’excentrique ou de l’épicycle], il est de 4° 58′ ; donc la prostaphérèse en longitude [selon les deux inclinaisons] était supérieure de 1′ .

Dessinons d’abord à nouveau le diagramme des inclinaisons, avec les valeurs établies pour Jupiter. Par conséquent, où le rayon de l’épicycle GΘ = 11;30^p, les droites GK = KΘ = [84;52 × 11;30 ÷ 120 =] 8;08^p. Or, puisque l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GKM, l’arc KM = 5° et l’arc GM = 175° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 5;14^p et GM = 119;53^p où l’hypoténuse GK = 120^p. Par conséquent, où la ligne GK = 8;08^p et la distance près du début de la Balance AG = 62;30^p, la droite KM = 0;21^p, GM = 8;08^p et la portion [par soustraction] MA = 54;22^p. Ainsi l’hypoténuse AK, étant à peine plus grande que MA, vaut 54;22^p des mêmes unités. Donc, où hypoténuse AK = 120^p, la droite KM = 0;46^p et ∠ KAM = 0;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 1° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 3^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 3;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc KB = 3° 44′ et l’arc AB = 176° 16′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KB = 3;54^p et AB = 119;56^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 54;22^p, KB = 1;46^p et AB = 54;20^p. Mais d’après ce qui a été démontré précédemment, BL = 8;08^p des mêmes unités ; et puisque AB² + BL² = AL², alors AL = 54;56^p des mêmes unités.

De même, puisque LΘ [= KB] = 1;46^p des mêmes unités, et que AL² + LΘ² = AΘ², alors AΘ = 54;58^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, LΘ = 3;52^p et l’angle de l’écart en latitude  ∠ ΘAL = 3;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 1° 51′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 51′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Jupiter en face de 135°.

De la même manière, puisque la distance au début du Bélier AG = 57;30^p où, comme nous l’avons démontré, KM = 0;21^p et GM = 8;08^p ; donc la portion [par soustraction], AM (= AK qui est à peine plus grand) = 49;22^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120^p, la droite KM = 0;51^p et ∠ KAM = 0;49^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ; donc l’angle entier [par addition : ∠ KAM + 3^ꝏ =] ∠ BAK = 3;49^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AKB, l’arc KB = 3° 49′ et arc AB = 176° 11′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 3;59^p et AB = 119;56^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 49;22^p, la droite KB = 1;39^p et la droite AB = 49;20^p. Donc puisque BL = 8;08^p des mêmes unités et que AB² + BL² = AL², alors AL = 50;00^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AL = 120^p, BL = 19;31^p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 18;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 9° 22′ où quatre angles droits font 360°. En outre, puisque, où la droite AL = 50;00^p, que ΘL [= KB] = 1;39^p, et que AL² + ΘL² = AΘ², alors AΘ = 50;02^p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, LΘ = 3;57^p et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAL = 3;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 1° 53′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 53′] est la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face du même 135°.

Pour déterminer les prostaphérèses [additions ou soustractions] en longitude, reprenons le diagramme sans inclinaisons. Puisqu’à la distance considérée, où ΘK = GK = 8;08^p, la droite entière AG = 57;30^p et sa portion [par soustraction] AK = 49;22^p des mêmes unités, et que AK² + KΘ² = AΘ², alors AΘ = 50;02^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite ΘK = 19;30^p et l’angle de l’équation en longitude ∠ ΘAK = 18;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 9° 21′ où quatre angles droits font 360°. Mais il a été démontré que, quand les inclinaisons sont prises en compte, cet angle est de 9° 22′ ; alors la prostaphérèse en longitude calculée selon les deux inclinaisons n’est, encore une fois, supérieure que d’une seule minute.

Maintenant, pour Mars, reprenons d’abord le diagramme des inclinaisons, et supposons que GK (= KΘ) = [84;52 × 39;30 ÷ 120 =] 27;56^p où le rayon de l’épicycle GΘ = 39;30^p. Alors, puisque l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 2° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 4;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GMK, l’arc KM = 4° 30′ et l’arc GM = 175° 30′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 4;43^p et GM = 119;54^p où l’hypoténuse GK = 120^p. Ainsi, où la droite GK = 27;56^p et la plus grande distance AG = 66^p, la droite KM = 1;06^p, la droite GM = 27;54^p, et [par soustraction] la droite AM = 38;06^p. Donc l’hypoténuse AK [= √(AM² + KM²)] = 38;07^p des mêmes unités ; donc, où l’hypoténuse AK = 120^p, la droite KM = 3;28^p et ∠ KAM = 3;19^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 1° où quatre angles droits font 360°, ou 2^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ; donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;19^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc KB = 5° 19′ et l’arc AB = 174° 41′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 5;34^p et AB = 119;52^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 38;07^p, la droite KB = 1;46^p et la droite AB = 38;05^p. Mais la droite BL [= KΘ = GK] = 27;56^p des mêmes unités et, puisque AB² + BL² = AL², alors la droite AL = 47;14^p. De même, puisque la droite ΘL = 1;46^p des mêmes unités, et que AL² + LΘ² = AΘ², alors la droite AΘ = 47;16^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite ΘL = 4;29^p et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAL = 4;18^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 09′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 09′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Mars pour l’argument 135°.

De même, pour les inclinaisons à la moindre distance, puisque AG = 54^p où, comme nous l’avons démontré, KM = 1;06^p et GM = 27;54^p, alors la portion [par soustraction] AM = 26;06^p et l’hypoténuse AK [= √(KM² + AM²)] = 26;07^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120^p, la droite KM = 5;03^p et ∠ KAM = 4;49^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 6;49^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ABK, l’arc BK = 6° 49′ et l’arc AB = 173° 11′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 7;08^p et AB = 119;47^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Par conséquent, où la droite AK = 26;07^p, la droite BK = 1;33^p et la droite AB = 26;04^p. Mais la droite BL = 27;56^p des mêmes unités et, puisque AB² + BL² = AL², alors AL = 38;12^p. Donc, où l’hypoténuse AL = 120^p, la droite BL = 87;45^p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 94^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 47° où quatre angles droits font 360°.

De même, puisque, où la droite AL = 38;12^p, LΘ [= BK] = 1;33^p, et que AL² + LΘ² = AΘ², alors la droite AΘ = 38;14^p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite LΘ = 4;52^p et l’angle de l’écart de latitude ∠ ΘAL = 4;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 20′ où quatre angles droits font 360° . Ceci [2° 20′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face du même 135°.

À nouveau, pour comparer les prostaphérèses en longitude, nous utilisons le diagramme sans inclinaisons et à la moindre distance (là où la différence est nécessairement la plus grande). [Nous voyons que] AG : GK = AG : KΘ = 54 : 27;56 ; donc [par soustraction] la droite AK = 26;04^p et l’hypoténuse AΘ [= √(AK² + KΘ²)] = 38;12^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120^p, la droite ΘK = 87;45^p [comme BL dans le calcul précédent] et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ ΘAK = 94^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 47° où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons trouvé la même valeur dans nos calculs incluant les inclinaisons ; il n’y a donc aucune différence pour la prostaphérèse en longitude pour Mars calculée d’après les inclinaisons des cercles [d’épicycle et d’excentrique].

Les quatrièmes colonnes des deux tableaux pour Vénus et Mercure contiendront les positions en latitude se produisant aux plus grandes inclinaisons de leurs épicycles, qui se produisent à l’apogée et au périgée de l’excentrique. Cependant, nous les avons calculés sans considérer l’effet dû à l’inclinaison de l’excentrique, car cela aurait nécessité un plus grand nombre de tableaux et une méthode de calcul plus compliquée [à partir des tableaux], parce que les positions [en latitude correspondantes] à l’étoile du matin et à l’étoile du soir ne sont pas égales l’une à l’autre, et ne se font pas toujours du même côté [nord ou sud] de l’écliptique ; d’ailleurs, l’inclinaison de l’excentrique n’étant pas constante, les différences de quantité à diminuer par rapport à la plus grande obliquité [de l’épicycle] ne correspondraient pas aux différences de quantité à diminuer par rapport à la plus grande obliquité. Cependant, si nous séparons ces effets, nous pourrons déterminer chaque portion plus facilement, comme nous le verrons.

Soit AB l’intersection des plans de l’écliptique et de l’épicycle ; le point A comme centre de l’écliptique ; et B comme centre de l’épicycle. Décrivons l’épicycle GDEZH autour de celui-⁠ci, incliné par rapport au plan de l’écliptique (de telle sorte que les droites tracées dans les [deux plans] perpendiculaires à la section commune GH forment tous des angles égaux aux points sur GH). Traçons AE tangente à l’épicycle, et AZD croisant l’épicycle en un point arbitraire , et traçons, à partir des points D, E, et Z, les droites DΘ, EK, et ZL perpendiculaires à GH, et les droites DM, EN, et ZX perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons ΘM, KN, LX, ainsi que AN et AXM (car AXM sera une droite, puisque les trois points [A, X, et M] se trouvent [tous] dans deux plans : le plan de l’écliptique et le plan passant par AZD perpendiculaire à l’écliptique). Il est évident qu’avec l’obliquité en question, les prostaphérèses [additions ou soustractions correctives] en longitude de l’astre [en D et E respectivement] seront représentées par les angles ∠ ΘAM et ∠ KAN, et les [positions en] latitude par les angles ∠ DAM et ∠ EAN. Nous devons d’abord démontrer que la position en latitude au point tangent, ∠ EAN, est maximale, tout comme l’équation en longitude [est maximale en ce point].

[Preuve :] Puisque ∠ EAK est le plus grand, KE : EA est plus grand que ΘD : DA = LZ : ZA. Mais EK : EN = ΘD : DM = LZ : ZX, car, comme nous l’avons dit, les triangles formés par eux [EKN, DΘM, et ZLX] ont des angles égaux [en GH] et des angles droits en M, N, et X. Donc NE : EA est plus grand que MD : DA = XZ : ZA. En outre, les angles ∠ DMA, ∠ ENA, et ∠ ZXA sont droits. Donc ∠ EAN est plus grand que ∠ DAM, et donc, évidemment, que tout autre angle ainsi formé.

Il est immédiatement évident que, quand nous considérons l’effet de l’obliquité sur les prostaphérèses, la différence maximale est produite aux plus grandes déviations de latitude en E, parce qu’elles sont représentées par les angles sous-⁠tendus par (ΘD − ΘM), (KE − KN) et (LZ − LX) [lorsque la planète est respectivement en D, E et Z], et puisque les rapports de ces droites [ΘD : ΘM, etc.] entre elles et à la différence entre elles [(ΘD − ΘM) etc.] reste le même, il s’ensuit que (EK − KN) : EA est plus grand que (ΘD − ΘM) : AD, etc. Et il est aussi immédiatement clair que, quel que soit le rapport entre la plus grande prostaphérèse en longitude et la plus grande déviation en latitude [due à l’obliquité], ce rapport tient entre l’équation en longitude pour toute position [de la planète] sur l’épicycle et la position [correspondante] en latitude, parce que KE : EN = LZ : ZX = ΘD : DM, et ainsi de suite pour les autres points [sur l’épicycle]. CQFD.

Cela établi, cherchons d’abord la grandeur de l’angle que l’obliquité des plans fait pour chaque planète. Supposons, selon ce qui a été noté au début, que les deux planètes, lorsqu’elles sont à mi-⁠chemin entre la plus grande et la plus petite distance, ont une différence maximale [de latitude] entre des positions opposées sur l’épicycle de 5° au nord ou au sud, puisque Vénus semble [ainsi] varier d’un peu plus de 5° au périgée et d’un peu moins de 5° à l’apogée, tandis que Mercure varie d’environ 1⁄2° [de plus et de moins que 5° à 180° de l’apogée et à l’apogée, respectivement].

Soit encore ABG l’intersection de l’écliptique et de l’épicycle. Décrivons autour du centre B l’épicycle GDE , incliné par rapport au plan de l’écliptique, comme auparavant. Depuis le centre de l’écliptique A, traçons AD tangente à l’épicycle, et à partir de D, traçons la droite DZ perpendiculaire à GBE , et DH perpendiculaire au plan de l’écliptique. Joignons BD, ZH, et AH, et supposons que ∠ DAH est la moitié de l’écart de latitude ci-⁠dessus pour chacune des deux planètes, donc de 2⁠1⁄2° où quatre angles droits font 360°. Nous devons trouver la grandeur de l’inclinaison de chacun des plans, c’est-⁠à-⁠dire la grandeur de l’angle ∠ DZH.

Pour Vénus, puisque, là où le rayon de l’épicycle est 43;10^p, la plus grande distance est de 61;15^p, la plus petite de 58;45^p, et la moyenne de 60^p, alors AB : BD = 60 : 43;10. Et puisque AB² − BD² = AD², alors AD = 41;40^p des mêmes unités. De même, puisque BA : AD = BD : DZ, alors DZ = 29;58^p des mêmes unités. De plus, puisque, par hypothèse, ∠ DAH = 2° 30′  où quatre angles droits font 360°, ou 5^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ADH, l’arc DH = 5° et la corde correspondante DH = 5;14^p où l’hypoténuse AD = 120^p. Par conséquent, où la droite AD = 41;40^p, DH = 1;50^p. Et nous avons démontré que DZ = 29;58^p des mêmes unités, donc où l’hypoténuse DZ = 120^p, DH = 7;20^p, et l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 7^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 3° 30′ où quatre angles droits font 360°. Mais puisque la quantité par laquelle ∠ DAZ dépasse ∠ HAZ [soit ∠ DAZ − ∠ HAZ] représente la prostaphérèse en longitude, nous devons la calculer aussi, en trouvant les grandeurs de ces angles. Car puisque nous avons démontré que, où la droite DH = 1;50^p, l’hypoténuse AD = 41;40^p et DZ = 29;58^p, et que AD² − DH² = AH² ainsi que ZD² − DH² = HZ², alors AH = 41;37^p et HZ = 29;55^p des mêmes unités.

Donc, où l’hypoténuse AH = 120^p, ZH = 86;16^p et ∠ ZAH = 91;56^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 45° 58′ où quatre angles droits font 360°. De même, puisque DZ = 86;18^p où l’hypoténuse AD = 120^p, alors ∠ DAZ = 91;58^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 45° 59′ où quatre angles droits font 360°. Donc la prostaphérèse en longitude calculée en tenant compte de l’inclinaison était inférieure d’une minute.

Pour Mercure, où le rayon de l’épicycle est de 22;30^p, la plus grande distance, comme nous l’avons démontré, est de 69^p et la distance diamétralement opposée à celle-⁠ci de 57^p, pour une moyenne de 63^p des mêmes unités. Ainsi, AB : BD = 63 : 22;30 et, puisque AB² − DB² = AD², donc AD = 58;51^p. De même, puisque AB : AD = BD : DZ, alors DZ = 21;01^p des mêmes unités. En outre, puisque, par hypothèse, ∠ DAH = 5^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ADH, l’arc DH = 5° et la corde correspondante DH = 5;14^p où l’hypoténuse AD = 120^p. Par conséquent, où la droite AD = 58;51^p, la droite DH = 2;34^p. Mais nous avons démontré que DZ = 21;01^p des mêmes unités ; donc, où l’hypoténuse DZ = 120^p, DH = 14;40^p et l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 14^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 7° où quatre angles droits font 360°.

De la même façon [que pour Vénus], pour déterminer les angles de la prostaphérèse [en longitude] : puisque la droite DH = 2;34^p, et que nous avons démontré que l’hypoténuse AD = 58;51^p et DZ = 21;01^p, et que DA² − DH² = AH² ainsi que DZ² − DH² = HZ², alors AH = 58;47^p et ZH = 20;53^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AH = 120^p, la droite HZ = 42;38^p  et ∠ ZAH = 41;38^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 20° 49′ où quatre angles droits font 360°. Conséquemment, où l’hypoténuse AD = 120^p, la droite DZ = 42;50^p et ∠ DAZ = 41;50^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 20° 55′ où quatre angles droits font 360°. Donc, dans ce cas, la prostaphérèse en longitude due à l’obliquité était inférieure de 6′. CQFD.

Voyons maintenant si, en supposant les quantités ci-⁠dessus pour l’obliquité comme données, nous trouvons que les plus grandes latitudes aux plus grandes et aux plus petites distances [dérivées d’eux] s’accordent avec celles dérivées des observations. Supposons donc, dans le même diagramme, la plus grande distance de Vénus, soit AB : BD = 61;15 : 43;10. Alors, puisque AB² − BD² = AD², nous avons la droite AD = 43;27^p. Mais AB : AD = BD : DZ , donc DZ = 30;37^p des mêmes unités. En outre, puisque, par hypothèse, l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 7^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et que la droite DH = 7;20^p où l’hypoténuse DZ = 120^p, alors où la droite DZ = 30;37^p et AD = 43;27^p, la droite DH = 1;52^p. Donc où l’hypoténuse AD = 120^p, la droite DH = 5;09^p et la plus grande déviation en latitude ∠ DAH = 4;54^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 27′ où quatre angles droits font 360°. Mais à la moindre distance, où le rayon de l’épicycle BD = 43;10^p, la droite AB = 58;45^p, et AB² − DB² = AD², alors AD = 39;51^p des mêmes unités.

De même, puisque AB : AD = BD : DZ , la droite DZ = 29;17^p des mêmes unités. Mais DZ : DH est donné comme 120 : 7;20 ; conséquemment, où DZ = 29;17^p et AD = 39;51^p, la droite DH = 1;47^p. Donc, où l’hypoténuse AD = 120^p, DH = 5;22^p et le plus grand écart en latitude ∠ DAH = 5;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 34′ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi l’écart en latitude diffère à peine des 2⁠1⁄2°  de [la plus grande] déviation en latitude supposée pour la moyenne, étant [à peine] plus petit à l’apogée et [à peine] plus grand au périgée : à la plus grande distance, ce n’était que trois minutes de moins, et à la plus petite distance, quatre minutes de plus. Ces quantités ne pouvaient pas être détectées à partir des observations.

Supposons maintenant la plus grande distance de Mercure, soit AB : BD = 69 : 22;30. Ainsi, par la même procédure que précédemment, AD [= √(AB² − BD²)] = 65;14^p et DZ [= AD × BD ÷ AB] = 21;16^p des mêmes unités. Mais nous avons calculé que l’angle d’obliquité ∠ DZH = 14^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Nous avons donc DH = 14;40^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où la droite DZ = 21;16^p et la droite AD = 65;14^p, la droite DH = 2;36^p ; ainsi, où l’hypoténuse AD = 120^p, la droite DH = 4;47^p et le plus grand écart en latitude ∠ DAH = 4;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 17′ où quatre angles droits font 360°.

Mais à la moindre distance, AB : BD = 57 : 22;30 ; donc, toujours pour les mêmes raisons, AD = 52;22^p des mêmes unités et DZ = 20;40^p. Et l’inclinaison est la même qu’avant ; donc ZD : DH = 120 : 14;40, donc où la droite DZ = 20;40^p et la droite AD = 52;22^p, la droite DH = 2;32^p. Ainsi, où hypoténuse AD = 120^p, DH = 5;48^p et ∠ DAH = 5;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 46′ où quatre angles droits font 360°. Conséquemment, la différence maximale en latitude par rapport à la moyenne (encore égal à 2⁠1⁄2°) était de 13′ en moins à l’apogée et de 16′ en plus au périgée. Nous utiliserons donc une correction de 1⁄4° par rapport à la moyenne dans les calculs [du tableau], en ligne avec la différence perceptible lors des observations .

Suite à cela, et puisque nous avons aussi démontré que le rapport entre la plus grande prostaphérèse en longitude et la plus grande déviation en latitude est le même en d’autres points de l’épicycle que le rapport entre les prostaphérèses individuelles en longitude et les positions [correspondantes] en latitude, nous avons immédiatement une méthode commode pour calculer les positions en latitude dues à l’obliquité à inscrire dans la quatrième colonne des tableaux pour Vénus et de Mercure. Cependant, comme nous l’avons mentionné, ces positions ne sont basées que sur l’obliquité des épicycles à distance moyenne : la différence due à l’inclinaison des excentriques, et aussi la différence due à [l’approche de] l’apogée ou du périgée pour Mercure, seront trouvées au moyen d’une procédure de correction dans le calcul [à partir des tableaux], pour la commodité du calcul.

Puisque, aux distances moyennes indiquées ci-⁠dessus, la plus grande déviation due à l’obliquité est de 2° 30′ de chaque côté de l’écliptique pour les deux planètes ; que la plus grande prostaphérèse en longitude [élongation] est d’environ 46° pour Vénus et 22° pour Mercure ; et que nous avons déjà donné, dans les tableaux d’anomalies de ces planètes, les prostaphérèses correspondant aux positions individuelles sur l’épicycle, nous prendrons donc la même proportion de 2⁠1⁄2° proportionnelle à chaque planète, et nous inscrirons ces valeurs dans la quatrième colonne des tableaux de latitude en face des arguments correspondants.

La cinquième colonne [de chaque tableau] nous servira à corriger les positions en latitude pour d’autres positions [de l’épicycle] sur l’excentrique, en utilisant les soixantièmes qui y sont inscrits. Car puisque, comme nous l’avons dit, l’augmentation et la diminution de l’inclinaison et de l’obliquité de l’épicycle, par l’action des petits cercles attachés, ont une période correspondant exactement à la période de retour sur l’eccentrique, et puisque les quantités de toutes les inclinaisons et obliquités ne sont pas très différentes de celles trouvées pour le cercle incliné de la lune, et que les écarts individuels de latitude, pour de si petites inclinaisons, sont encore presque proportionnels, et puisque nous avons déjà les entrées correspondantes pour la Lune calculées géométriquement, nous avons multiplié chacune des entrées de ce tableau [de la Lune] par 12 (parce que le maximum y est d’environ 5°, et ici nous le supposons de 60°), et inscrit les résultats en face de l’argument approprié dans la cinquième colonne de chaque tableau.

Les tableaux sont les suivants.

5. Tableaux pour le calcul des latitudes

6. Utilisation des tableaux pour le calcul de la latitude des cinq planètes

Ceci étant exposé, nous allons effectuer le calcul de la latitude pour les cinq planètes, comme suit.

Pour les trois [planètes] Saturne, Jupiter, et Mars, nous prenons la longitude vraie pour Mars, la longitude vraie moins 20° pour Jupiter, et la longitude vraie plus 50° pour Saturne, et nous l’entrons comme argument dans le tableau approprié, puis trouvons les soixantièmes correspondants dans la cinquième colonne de latitude, et les notons séparément. Nous entrons ensuite dans la même [colonne] de l’argument avec l’anomalie vraie [corrigée], et nous prenons la différence en latitude qui lui correspond dans la troisième colonne si la longitude vraie [corrigée] est dans les 15 premières lignes [entre 0° et 90° ou entre 270° et 360°], mais dans la quatrième colonne si elle est dans les lignes suivantes [après la 15^e, soit entre 90° et 270°]. Nous multiplions cette latitude par les soixantièmes que nous avons notés, et le résultat nous donnera la quantité par laquelle la planète est au nord de l’écliptique, si nous avons pris la différence de latitude de la troisième colonne, ou au sud de celui-⁠ci, si nous l’avons prise de la quatrième.

Pour Vénus et Mercure, nous entrons l’anomalie vraie [corrigée] comme argument dans le tableau approprié, prenons les quantités correspondantes dans les troisième et quatrième colonnes de latitude, et les notons séparément, inchangées, sauf pour la quatrième colonne pour Mercure où, si la longitude corrigée est dans les 15 premières lignes, nous soustrayons un dixième  de la quantité, mais si la longitude corrigée est dans les lignes inférieures [à la 15^e], nous ajoutons un dixième. Ensuite, nous ajoutons 90° à la longitude corrigée pour Vénus, et 270° pour Mercure, et nous soustrayons [les 360° de] cercle s’il y a lieu [c’est-⁠à-⁠dire si le résultat est plus grand que 360°]. Nous entrons avec le résultat comme argument, et nous prenons les soixantièmes de la cinquième colonne. Nous multiplions ce nombre par le montant que nous avons noté dans la troisième colonne, et nous obtenons ainsi la latitude. Celle-⁠ci sera :

• si la longitude (corrigée tel qu’indiqué ci-⁠dessus) est dans les 15 premières lignes :
  • si l’anomalie corrigée est dans les 15 premières lignes : latitude sud ;
  • si l’anomalie est dans les lignes suivantes [après la 15^e] : latitude nord ;
• si la longitude corrigée comme ci-⁠dessus est dans les lignes après la 15^e :
  • si l’anomalie corrigée est dans les 15 premières lignes : latitude nord ;
  • si l’anomalie est dans les lignes suivantes [après la 15^e] : latitude sud.

Ensuite, nous prenons à nouveau la longitude corrigée, inchangée pour Vénus, mais en ajoutant 180° pour Mercure, et nous l’entrons comme argument. Nous prenons ensuite les soixantièmes correspondants dans la cinquième colonne, et nous les multiplions par le montant que nous avons noté de la quatrième colonne , et nous obtenons ainsi la latitude. Celle-⁠ci sera :

• si la longitude entrée (comme décrit ci-⁠dessus) est dans les 15 premières lignes :
  • si l’anomalie corrigée est de 180° ou moins : latitude nord ;
  • si l’anomalie est supérieure à 180° : latitude sud ;
• si la longitude est dans les lignes après la 15^e :
  • si l’anomalie est de 180° ou moins : latitude sud ;
  • si l’anomalie est supérieure à 180° : latitude nord.

Nous prenons ensuite les mêmes soixantièmes qui ont été trouvés lors de la seconde entrée avec la longitude, et nous calculons la quantité qui est la même fraction d’eux qu’ils sont de 60  et, pour Vénus, nous en prenons 1⁄6^e vers le nord, mais pour Mercure, nous en prenons les 3⁄4 vers le sud . Ainsi, en combinant les 3 quantités obtenues, nous déterminons la position apparente en latitude par rapport à l’écliptique de chaque astre.

7. Des première et dernière visibilités des cinq planètes

Maintenant que nous avons traité de l’écart en latitude des 5 planètes, il reste, pour compléter leur théorie, à traiter de leurs première et dernière visibilités par rapport au Soleil. Car, comme nous l’avons expliqué dans le traité sur les étoiles fixes, leurs distances au Soleil le long de l’écliptique varient diversement, tant pour la première que pour la dernière visibilité, pour un certain nombre de raisons : la première est qu’elles sont de tailles inégales, la seconde est la différence de l’inclinaison de l’écliptique par rapport à l’horizon, et la troisième est la diversité de leurs positions en latitude.

En effet, si nous imaginons des segments de grands cercles — AB celui de l’horizon et GD celui de l’écliptique — et prenons le point E comme leur intersection au lever ou au coucher, les points G et A étant au [méridien] sud , et le point D comme centre du Soleil, et si nous traçons par D et par le pôle de l’horizon un autre segment de grand cercle DBZ, que nous supposons que la planète se lève ou se couche le long de l’horizon AEB (quand elle est située sur l’écliptique, elle le fera, évidemment, en E ; lorsqu’elle est au nord de l’écliptique, en H ; et lorsqu’elle est au sud, en Θ), et que nous traçons [enfin], à partir des points H et Θ, les droites HK et ΘL perpendiculaires à l’écliptique, alors nous aurons en BD un arc égal à la distance que le Soleil doit toujours être sous la terre [sous l’horizon] pour que la planète [donnée] soit à sa première ou sa dernière visibilité. Car c’est sur un tel grand cercle [DBZ, perpendiculaire à l’horizon] que des intervalles égaux sous la terre [sous l’horizon] doivent être mesurés pour que l’effet d’estompe  des rayons du Soleil se produise de la même manière.

Mais cette distance sous l’horizon est, naturellement, inégale pour les différentes planètes, qui sont inégales [en luminosité], donc, toutes choses égales, l’arc de l’écliptique sous-⁠tendant l’angle droit, c’est-⁠à-⁠dire l’intervalle correspondant à ED [l’hypoténuse], doit varier, étant évidemment plus petit pour les plus grosses [brillantes] planètes, et plus grand pour les plus petites [faibles].

De même, la droite BD restant la même pour la même planète, si l’angle BED d’inclinaison de l’écliptique varie — soit parce qu’un autre signe zodiacal [est à l’horizon] ou parce que le climat [la latitude] de l’emplacement est différent —, alors l’arc ED de la distance [au Soleil] variera également, devenant plus grand quand l’angle en question [BED] diminue, et plus petit quand il [BED] augmente.

De la même manière, si nous ajoutons à la condition ci-⁠dessus [que BD soit constant] la condition supplémentaire que l’inclinaison demeure la même, et que l’astre ne se trouve pas sur l’écliptique, mais au nord de celui-⁠ci en H ou au sud en Θ, sa première et sa dernière visibilités n’auront plus lieu à une distance [du Soleil] égale à l’arc DE mais, lorsqu’il est au nord de l’écliptique, à la distance DK plus petite, et lorsqu’il est au sud, à la distance DEL plus grande.

Par conséquent, pour un traitement précis du sujet, il est essentiel de donner d’abord, pour chacune des 5 planètes, la taille de l’arc BD correspondant, à partir d’observations des plus fiables de leurs apparitions. Celles-⁠ci se font en été, autour du Cancer, car à cette saison l’atmosphère est fine et claire, et l’inclinaison de l’écliptique sur l’horizon est symétrique [aux horizons est et ouest]. Nous trouvons donc, en examinant les observations des [premiers] levers, que vers le début du Cancer, en général, Saturne se lève [c’est-⁠à-⁠dire est d’abord visible] à une distance du Soleil vrai de 14° ; Jupiter à 12⁠3⁄4° ; Mars à 14⁠1⁄2° ; Vénus en étoile du soir à 5⁠2⁄3° ; et Mercure en étoile du soir à 11⁠1⁄2°.

Cela posé, traçons le même diagramme que précédemment ; pour des arcs aussi petits, il ne fera aucune différence si, question de commodité, nous utilisons dans nos calculs les cordes correspondantes, qui ne sont pas sensiblement différentes des arcs eux-⁠mêmes. Soit le point E d’intersection de l’écliptique et de l’horizon aux phases susmentionnées, au début du Cancer, et se levant pour les trois [astres] du matin — Saturne, Jupiter, et Mars — mais se couchant pour les étoiles du soir — Vénus et Mercure. Supposons comme climat [latitude géographique] le parallèle passant par la Phénicie, où le jour le plus long est de 14⁠1⁄4 heures équinoxiales, puisque c’est principalement sur ce parallèle ou autour de lui qu’ont été faites la plupart et les plus fiables des observations des phases, celles des Babyloniens presque dessus [ce parallèle], et celles faites en Grèce et en Égypte près de lui.

Nous trouvons donc, au moyen de la procédure des angles [entre l’écliptique et l’horizon] précédemment démontrée, que lorsque le début du Cancer se lève à la latitude en question, ∠ BED = 103^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ; par conséquent, le rapport des côtés de l’angle droit [BD : BE] ≈ 94 : 75 où l’hypoténuse [DE] = 120^p. Selon ce qui a été démontré pour la latitude [planétaire], quand les trois premières planètes [extérieures] se lèvent [pour la première fois] près du début du Cancer, c’est-⁠à-⁠dire lorsqu’elles sont près de l’apogée de leur épicycle, à une distance de l’apogée ne dépassant pas un signe [soit 1⁄12 de la circonférence de l’épicycle], alors Saturne et Jupiter sont pratiquement sur l’écliptique, tandis que Mars est à environ 1⁄5° au nord de l’écliptique.

Donc leur distance au Soleil le long de l’écliptique sera représentée par DE pour Saturne et Jupiter, et par DK pour Mars, puisqu’il est au nord de [l’écliptique] par une quantité KH = 12′. Et puisque KH : KE = 94 : 75, la droite KE ≈ 10′ des mêmes unités. Mais par hypothèse pour Mars, DK = 14⁠1⁄2°, donc la droite entière [par addition] DE = 14° 40′ ; pour Saturne, 14° ; et pour Jupiter, 12⁠3⁄4°. Ainsi, puisque ED : DB = 120;94, nous obtenons approximativement l’arc DB du grand cercle qui passe par les pôles de l’horizon, de 11° pour Saturne, 10° pour Jupiter, et 11⁠1⁄2° pour Mars.

De même, pour Vénus et Mercure, puisque lorsque le début du Cancer se couche, il forme le même angle et la même inclinaison par rapport à l’horizon qu’auparavant, et que, par hypothèse, lorsque ces planètes ont leur première visibilité en tant qu’étoile du soir dans cette partie du écliptique, la distance de Vénus au Soleil vrai est de 5⁠2⁄3° et celle de Mercure de 11⁠1⁄2° ; il s’ensuit donc que, à leurs [premiers] levers, le Soleil vrai aura une longitude de 24⁠1⁄3° des Gémeaux pour Vénus et 18⁠1⁄2° des Gémeaux pour Mercure, tandis que la longitude du Soleil moyen sera d’environ 25° des Gémeaux pour Vénus et 19° des Gémeaux pour Mercure — ainsi, ces planètes auront cette position en longitude moyenne. Or quand, à ces longitudes [moyennes], les planètes ont une position apparente au début du Cancer, nous trouvons que Vénus est à environ 14° de l’apogée de son épicycle, et Mercure à 32°. (Cela a été démontré par les théorèmes sur leur anomalie que nous avons exposés précédemment.) En conséquence, à ces positions, nous constatons que Vénus est à environ 1° au nord de l’écliptique, et Mercure à environ 1⁠2⁄3° au nord ; c’est évidemment la valeur de KH en ces points. Donc, puisque KH : EK = 94 : 75, et que 94 : 75 ≈ 1 : 1⁠3⁄4, ou environ 1⁠2⁄3 : 1⁠1⁄3, alors EK = 3⁄4° pour Vénus et 1⁠1⁄3° pour Mercure. Mais par hypothèse, la distance apparente de la planète au Soleil DK = 5⁠2⁄3° pour Vénus et 11⁠1⁄2° pour Mercure ; donc la droite entière [par addition] DKE ≈ 6⁠2⁄5° pour Vénus et 12⁠5⁄6° pour Mercure.

Ainsi, puisque ED : BD = 120 : 94, et que ce rapport est à peu près le même que 6⁠2⁄5 : 5 et que 12⁠5⁄6 : 10 environ, alors nous obtenons pour la taille de la distance normale DB = 5° pour Vénus et 10° pour Mercure.

8. Particularités des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure, en accord avec les hypothèses

De plus, c’est en accord avec les hypothèses détaillées ci-⁠dessus que se produisent les caractéristiques étranges des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure : à savoir que, pour Vénus, l’intervalle du coucher du soir au lever du matin est d’environ 2 jours autour du début des Poissons, mais d’environ 16 jours autour du début de la Vierge ; et, pour l’astre de Mercure, ses phases en étoile du soir manquent, alors qu’on les attendrait, vers le début du Scorpion, et ses phases d’étoile du matin [manquent aussi] vers le début du Taureau. Voici comment nous expliquons cela, et d’abord pour Vénus.

Soit un diagramme similaire au précédent pour les phases, et soit le point E de l’écliptique au début des Poissons, où Vénus près du périgée de son épicycle, est à environ 6⁠1⁄3° au nord de l’écliptique. Supposons que le diagramme représente le coucher du soir [la dernière visibilité en tant qu’étoile du soir]. À la latitude terrestre en question, nous trouvons que ∠ BED = 154^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et [dans les triangles rectangles BED et KEH], où l’hypoténuse est 120^p, le plus grand des côtés de l’angle droit [BD ou KH] ≈ 117^p, et le plus petit, [BE ou KE] ≈ 27^p. Par conséquent, où la distance normale DB = 5°, la droite DE = 5° 08′. Mais puisque l’astre est à un arc KH = 6⁠1⁄3° au nord de l’écliptique et que le rapport 117 : 27 ≈ 6⁠1⁄3 : 1⁠1⁄2 , alors la droite KE = 1⁠1⁄2° et le reste [par soustraction], qui représente la distance de la planète vers l’arrière [l’est / suivant les signes] du Soleil à son coucher du soir, est de KD = [5;8 − 1;30 =] 3° 38′.

En outre, dans un diagramme similaire, puisqu’au lever du matin [c’est-⁠à-⁠dire à la première visibilité de la planète en tant qu’étoile du matin] ∠ BED = 69^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et que, conséquemment, l’hypoténuse [des triangles rectangles] vaut 120^p, alors le plus petit des côtés de l’angle droit [BD ou KH] ≈ 68^p et le plus grand, [BE ou KE] ≈ 99^p ; et nous calculons que 68 : 120 = 5 : 8;49 et que 68 : 99 = 6⁠1⁄3 : 9;13 , donc nous avons DE = 8° 49′ des mêmes unités, et la différence [de longitude] due à la latitude KE = 9° 13′ ; et le reste [par soustraction, qui est la distance de la planète] au Soleil, vers l’arrière [l’est / suivant les signes], DK = 0° 24′.

Or, à son coucher du soir, la distance de l’astre, également vers l’arrière [l’est], était de 3° 38′. Par conséquent, pendant l’intervalle entre le coucher du soir et le lever du matin, il s’est déplacé d’une distance inférieure au mouvement du Soleil (soit approximativement son propre mouvement en longitude [moyenne]) de 3° 14′, ce qui est dû à son mouvement d’avance [vers l’ouest] sur l’épicycle. Or, nous pouvons déterminer aisément, à partir du tableau des anomalies, qu’un mouvement en avant [vers l’ouest] de cette quantité [3° 14′] est produit par un mouvement de 1⁠1⁄4° sur l’épicycle près de son périgée ; [distance] que la planète parcourt [en anomalie] en 2 jours environ. Il est donc clair que [2 jours] est la période de l’intervalle ci-⁠dessus, en accord avec les phénomènes.

En outre, dans un diagramme similaire, supposons le point E au début de la Vierge, où Vénus au périgée de son épicycle est au sud de l’écliptique d’environ les mêmes 6⁠1⁄3°. Considérons d’abord le [dernier] coucher du soir, lorsque ∠ BED = 69^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, là où l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut 120^p, le plus petit des côtés de l’angle droit [BD] ≈ 68^p et le plus grand, [BE] ≈ 99^p. Ainsi, puisque ces rapports [BD : BE : DE] sont les mêmes que pour le [premier] lever du matin dans les Poissons, et que la différence due à la latitude est égale [à celle qu’elle est à ce point-⁠là], nous avons l’arc ED = 8° 49′, l’arc de la différence [de longitude] due à la latitude LE = 9° 13′, et l’arc entier [par addition] DL = 18° 02′, correspondant à la distance de la planète à l’arrière [à l’est / suivant les signes] du Soleil. Or, d’après le tableau des anomalies, comme mentionné précédemment, à cette quantité [18° 02′] de rétrogradation par rapport au mouvement moyen en longitude du Soleil et de la planète, correspond [un mouvement en anomalie] d’environ 7⁠1⁄2° depuis le périgée de l’épicycle.

De même, au [premier] lever du matin au début de la Vierge, quand ∠ BED = 154^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et que [conséquemment] l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut 120^p, et que le plus grand des côtés de l’angle droit [BD] = 117^p, et le plus petit, [BE] = 27^p ; alors nous obtenons les mêmes rapports que ceux du [dernier] coucher du soir dans les Poissons, et nous obtenons donc DE = 5° 08′, la différence [de longitude] due à la latitude EL = 1° 30′, et la distance de la planète au Soleil en avance [vers l’ouest], DL = 6° 38′. À cette quantité correspond, selon la même procédure que ci-⁠dessus, environ 2⁠1⁄2° de [mouvement en anomalie] près du périgée de l’épicycle. Par conséquent, du [dernier] coucher du soir au [premier] lever du matin, la quantité totale de mouvement sur l’épicycle de l’astre de Vénus est de 10°, qu’il traverse en environ 16 jours, ce qui, comme indiqué ci-⁠dessus, concorde avec les phénomènes.

Cela posé, nous devons maintenant expliquer les phases manquantes de Mercure ; d’abord au début du Scorpion où, même s’il atteint sa plus grande élongation vers l’arrière [à l’est] du Soleil, il ne peut pas devenir visible comme étoile du soir.

Soit donc le diagramme des phases étant repris, avec le point E pris comme le point sur l’écliptique au début du Scorpion [à une latitude terrestre] telle qu’au coucher ∠ BED = 69^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et où l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut donc 120^p, alors le plus petit des côtés de l’angle droit [BD] = 68^p, et le plus grand, [BE] = 99^p. Donc où la distance normale BD = 10°, la droite DE = 17° 39′. Mais lorsque l’astre se trouve dans cette situation, il se trouve à environ 3° au sud de l’écliptique. Ainsi, puisque les rapports ci-⁠dessus, où la quantité de la latitude LΘ = 3°, la droite LE = 4° 22′ et la droite entière [par addition] DEL [≈ 17° 39′ + 4° 22′] ≈ 22°. Par conséquent, la planète doit être à cet angle [22°] du Soleil vrai pour devenir visible pour la première fois. Mais puisque son élongation maximale par rapport au Soleil vrai lorsqu’il est au début du Scorpion n’est que de 20° 58′, comme nous l’avons démontré précédemment dans notre traitement des plus grandes élongations, il est évident que ces phases [de visibilité] manquent.

En outre, si nous traçons le même diagramme des phases et prenons le point E comme début du Taureau au lever du matin, alors lorsque la planète, conformément aux mouvements énoncés, est à environ 3⁠1⁄6° au sud de l’écliptique , et les rapports des côtés [des triangles BED et LEΘ] des angles droits sont les mêmes que précédemment, alors DE = 17° 39′ et, où la latitude ΘL = 3° 10′, LE = 4° 37′, et la ligne entière [par addition] DEL = 22° 16′.

Ainsi, la planète devra être à cet angle [22° 16′] du Soleil vrai pour devenir visible pour la première fois. Mais puisque son élongation maximale [dans cette situation] ne dépasse alors pas 22° 13′, comme nous l’avons précédemment démontré, alors cette phase [de visibilité] manque forcément encore. Nous avons ainsi démontré que les faits sont en accord avec les hypothèses que nous avons émises.

9. Méthode de détermination des élongations au Soleil des première et dernière visibilités

Il est évident, d’après ce qui précède, que si nous considérons comme fixe, pour chaque planète, l’arc normal [arcus visionis] BD, et que nous plaçons le début [de chacune] des dodécatémories [signes du zodiaque] à l’intersection E, et donc [que nous considérons] l’angle BED [comme fixe], l’arc DE et la position en latitude (KH ou ΘL) de la planète à cette élongation [DE], alors nous aurons KE ou EL [respectivement] ainsi que la distance apparente DK ou DL [correspondante] [par rapport au Soleil vrai]. De cette façon (pour ne pas allonger notre traité), nous avons calculé, pour toutes les dodécatémories et pour chacun des cinq astres, mais pour un seul climat [latitude terrestre] — soit le parallèle intermédiaire utilisé ci-⁠dessus, puisque cela est suffisant — la distance apparente au Soleil vrai des [premiers] levers et [derniers] couchers, en supposant que les astres eux-⁠mêmes étaient situés au début des signes. Nous les présentons ci-⁠dessous, en les mettant également, pour la commodité de l’utilisateur, dans 5 tableaux, un pour chaque astre, contenant chacun 12 lignes. Les trois premiers tableaux — pour Saturne, Jupiter, et Mars — sont disposés en 3 colonnes : la première contient le début des signes, la seconde les élongations au [premier] lever du matin, et la troisième ceux au [dernier] coucher du soir. Les deux tableaux suivants — pour Vénus et Mercure — sont disposés en 5 colonnes : la première contient encore le début des signes, la seconde les élongations au lever du soir, la troisième celles au coucher du soir, la quatrième encore celles au lever du matin, et la cinquième celles au coucher du matin. Les tableaux sont les suivants.

10. Tableaux des première et dernière visibilités des cinq planètes

11. Épilogue

Nous avons maintenant terminé tous ces sujets, cher Syrus, qui devaient, du moins à mon avis, être soumis à la théorie aux fins de ce genre de traité, en tout cas dans la mesure où les temps qui nous ont précédés ont contribué de découvertes ou de corrections [des découvertes antérieures], et dans la mesure où a été suggéré par un mémoire  dirigé uniquement vers l’utilité scientifique, et non vers l’ostentation. Donc, à ce stade, notre discussion actuelle peut être terminée à un endroit approprié et à la bonne longueur.

Fin du treizième et dernier livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC