L’Almageste de Ptolémée
Livre 13
par Pierre Paquette · 22 août 2022


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Table des matières de l’Almageste.

Préface du traducteur

Livre I

  1. Introduction
  2. De l’ordre des théorèmes
  3. Que le ciel se meut sphériquement
  4. Que la Terre est, sans son ensemble, sensiblement de forme sphérique
  5. Que la Terre est au centre du ciel
  6. Que la Terre est comme un point par rapport au ciel
  7. Que la Terre ne fait aucun mouvement dans l’espace
  8. Qu’il y a deux mouvements primaires différents dans le ciel
  9. Des concepts individuels
  10. De la taille des cordes
  11. Tableau des cordes
  12. De l’arc entre les tropiques
  13. Préliminaires pour les démonstrations sphériques
  14. Des arcs compris entre l’équateur et l’écliptique
  15. Tableau des inclinaisons
  16. Des levers dans la sphère droite

Livre II

  1. De la situation, en général, de la partie habitée de la Terre
  2. La durée du plus long jour donnée, comment trouver les arcs de l’horizon entre l’équateur et l’écliptique
  3. Les mêmes quantités étant données, comment trouver la hauteur du pôle, et vice versa
  4. Comment calculer pour quelles régions, quand, et à quelle fréquence le Soleil atteint le zénith
  5. Comment trouver le ratio des gnomons aux ombres équinoxiales et solsticielles de midi pour les quantités susmentionnées
  6. Exposé de ce qui est propre à chaque parallèle
  7. Des levers simultanés des arcs de l’écliptique et de l’équateur dans la sphère oblique
  8. Tableau des levers par parallèles
  9. Des effets particuliers qui résultent des levers
  10. Des angles entre l’écliptique et le méridien
  11. Des angles entre l’écliptique et l’horizon
  12. Des angles et arcs formés avec l’écliptique par un cercle passant par les pôles et l’horizon
  13. Exposé des angles et arcs proposés par parallèles

Livre III

  1. De la durée de l’année
  2. Tableau des mouvements moyens du Soleil
  3. Des hypothèses qui expliquent le mouvement circulaire uniforme
  4. De l’anomalie apparente du Soleil
  5. Construction du tableau de l’anomalie solaire
  6. Tableau de l’anomalie solaire
  7. De l’époque du mouvement moyen du Soleil
  8. Calcul de la position du Soleil
  9. De l’inégalité des nycthémères

Livre IV

  1. Des observations nécessaires pour établir la théorie lunaire
  2. Des périodes lunaires
  3. Des mouvements moyens de la Lune
  4. Tableaux des mouvements moyens de la Lune
  5. Les phénomènes lunaires sont les mêmes dans l’hypothèse simple soit d’un excentrique, soit d’un épicycle
  6. Démonstration de la première et simple anomalie de la Lune
  7. De la correction des mouvements moyens de la longitude et de l’anomalie lunaires
  8. De l’époque des mouvements moyens de longitude et d’anomalie de la Lune
  9. De la correction des mouvements moyens de la Lune en latitude, et leur époque
  10. Tableau de la première et simple anomalie lunaire
  11. Que la différence dans l’anomalie lunaire selon Hipparque est due non pas aux hypothèses employées, mais à ses calculs

Livre V

  1. De la construction d’un « astrolabe »
  2. De l’hypothèse d’une double anomalie de la Lune
  3. De la taille de l’anomalie lunaire qui dépend du Soleil
  4. De la proportion de l’excentricité lunaire
  5. De la direction de l’épicycle lunaire
  6. Du calcul géométrique de la position réelle de la Lune à partir des mouvements périodiques
  7. Construction d’un tableau pour l’anomalie lunaire totale
  8. Tableau de l’anomalie lunaire totale
  9. Du calcul complet de la position de la Lune
  10. Que la différence aux syzygies de l’excentrique lunaire est négligeable
  11. Des parallaxes de la Lune
  12. De la construction d’un instrument parallactique
  13. Démonstration des distances de la Lune
  14. De la proportion des diamètres apparents du Soleil, de la Lune, et de l’ombre aux syzygies
  15. De la distance du Soleil, et des conséquences de sa démonstration
  16. De la taille du Soleil, de la Lune, et de la Terre
  17. Des parallaxes individuelles du Soleil et de la Lune
  18. Tableau des parallaxes
  19. De la détermination des parallaxes

Livre VI

  1. Des synodes et des pleines lunes
  2. Construction des tableaux des syzygies moyennes
  3. Tableaux des conjonctions, pleines lunes, et mouvements annuels pour les conjonctions et les oppositions
  4. Comment déterminer les syzygies moyennes et vraies
  5. Des limites écliptiques du Soleil et de la Lune
  6. De l’intervalle en mois entre les éclipses
  7. Construction des tableaux des éclipses
  8. Tableaux des éclipses de Soleil et de Lune, de la correction, et de la grandeur du Soleil et de la Lune
  9. Calcul des éclipses de Lune
  10. Calcul des éclipses de Soleil
  11. Des angles de position pendant les éclipses
  12. Tableau et diagramme des inclinaisons
  13. Détermination des directions

Livre VII

  1. Que les étoiles sont fixes entre elles
  2. Que la sphère des étoiles fixes bouge par rapport à l’écliptique
  3. Que le mouvement de la sphère des étoiles fixes se fait par rapport aux pôles de l’écliptique
  4. De la méthode pour décrire la position des étoiles
  5. Tableaux des constellations de l’hémisphère nord

Livre VIII

  1. Tableaux des constellations de l’hémisphère sud
  2. De la situation du cercle de la Voie lactée
  3. De la construction d’un globe solide
  4. Des configurations propres aux étoiles fixes
  5. Des levers, passages, et couchers des étoiles fixes
  6. Des première et dernière visibilités des étoiles fixes

Livre IX

  1. De l’ordre des sphères du Soleil, de la Lune, et des cinq planètes
  2. Du fondement des hypothèses des planètes
  3. Des retours périodiques des cinq planètes
  4. Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes
  5. Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes
  6. Du mode et de la différence entre ces hypothèses
  7. Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure
  8. Du double périgée de Mercure
  9. Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure
  10. De la correction des mouvements périodiques de Mercure
  11. De l’époque des mouvements périodiques de Mercure

Livre X

  1. Démonstration de l’apogée de Vénus
  2. De la taille de l’épicycle de Vénus
  3. Des proportions des excentricités de Vénus
  4. De la correction des mouvements périodiques de Vénus
  5. De l’époque des mouvements périodiques de Vénus
  6. Préliminaires pour les démonstrations relatives aux autres planètes
  7. Démonstration de l’excentricité et de l’apogée de Mars
  8. Détermination de la taille de l’épicycle de Mars
  9. De la correction des mouvements périodiques de Mars
  10. De l’époque des mouvements périodiques de Mars

Livre XI

  1. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Jupiter
  2. Détermination de la taille de l’épicycle de Jupiter
  3. De la correction des mouvements périodiques de Jupiter
  4. De l’époque des mouvements périodiques de Jupiter
  5. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Saturne
  6. Détermination de la taille de l’épicycle de Saturne
  7. De la correction des mouvements périodiques de Saturne
  8. De l’époque des mouvements périodiques de Saturne
  9. De la détermination géométrique des lieux vrais par les mouvements périodiques
  10. Construction d’un tableau des anomalies
  11. Tableaux des équations en longitude des cinq planètes
  12. Calcul de la longitude des cinq planètes

Livre XII

  1. Des préliminaires par rapport aux rétrogradations
  2. Démonstration des rétrogradations de Saturne
  3. Démonstration des rétrogradations de Jupiter
  4. Démonstration des rétrogradations de Mars
  5. Démonstration des rétrogradations de Vénus
  6. Démonstration des rétrogradations de Mercure
  7. Construction d’un tableau des stations
  8. Tableau des stations
  9. Démonstration des plus grandes élongations solaires de Vénus et de Mercure
  10. Plus grandes élongations par rapport au Soleil vrai

Livre XIII

  1. Des hypothèses de la position en latitude des cinq planètes
  2. Du mode de mouvement des inclinaisons et des obliquités selon les hypothèses
  3. De la taille de chacune des inclinaisons et des obliquités
  4. Construction d’un tableau pour la latitude de chaque planète
  5. Tableaux pour le calcul des latitudes
  6. Utilisation des tableaux pour le calcul de la latitude des cinq planètes
  7. Des première et dernière visibilités des cinq planètes
  8. Particularités des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure, de même qu’en accord avec les hypothèses
  9. Tableaux des première et dernière visibilités des cinq planètes
  10. Épilogue

Glossaire

1. Des hypothèses de la position en latitude des cinq planètes

Il ne reste, à propos des cinq planètes, que deux sujets à traiter : leur écart en latitude par rapport au cercle central du zodiaque [l’écliptique], et leur élongation par rapport au Soleil à leurs première et dernière visibilités. Les distances latitudinales doivent être prises en compte en premier, car certains effets considérables et différents dans les première et dernière visibilités se produisent en raison de ce facteur. Nous allons d’abord de nouveau exposer les hypothèses communes que nous assignons à l’inclinaison de leurs cercles [orbites].

Maintenant, chacune [des planètes] semble avoir une double anomalie en latitude, tout comme chacune présente une double anomalie en longitude ; l’une [varie] par rapport aux parties de l’écliptique à cause du cercle excentrique, l’autre par rapport à [son élongation] au Soleil à cause de l’épicycle. Nous supposons donc pour chacune  que l’excentrique est incliné sur le plan de l’écliptique, et que l’épicycle est incliné sur le plan de l’excentrique. Cependant, comme nous l’avons dit et comme nous le montrerons plus loin, d’aussi faibles inclinaisons ne causent aucune différence notable dans la démonstration de la longitude ou des anomalies. Aussi, à partir d’observations individuelles de chaque planète, [nous voyons que] lorsque la longitude corrigée est approximativement à un quart de cercle [90°] de la limite nord ou sud de l’excentrique et que la l’anomalie corrigée est à environ un quart de cercle de son propre apogée, les planètes apparaissent dans le plan de l’écliptique. Nous supposons donc que l’inclinaison des excentriques a lieu au centre de l’écliptique — comme c’est le cas pour la Lune — et par rapport au diamètre passant par les limites nord et sud ; et [nous supposons] que l’inclinaison des épicycles est par rapport au diamètre de l’épicycle qui pointe vers le centre de l’écliptique, sur lequel se trouvent son apogée et son périgée apparents.

De plus, dans le cas des trois planètes de Saturne, de Jupiter, et de Mars , nous avons observé que lorsque leur position en longitude est dans la section apogée [la plus éloignée de la Terre] de l’excentrique, elles sont toujours au nord de l’écliptique, et que de toutes les latitudes nord, celles du périgée de l’épicycle sont plus [au nord] que pour celles de l’apogée ; mais que lorsque leur position en longitude est dans la section périgée [la plus proche de la Terre] de l’excentrique, au contraire, elles apparaissent au sud du milieu [du zodiaque, donc au sud de l’écliptique]. [Nous avons observé] aussi que la limite nord de l’excentrique de Saturne et [de] Jupiter est au début du signe de la Balance, et pour Mars, à la fin du Cancer, presque exactement à son apogée . Nous en concluons donc que les points de leurs excentriques qui sont dans les régions susmentionnées du zodiaque sont inclinées vers le nord, et les parties diamétralement opposées, d’une quantité égale vers le sud ; et que les périgées des épicycles sont toujours inclinés dans le même sens que l’excentrique, tandis que le diamètre [de l’épicycle] perpendiculaire au diamètre passant par son apogée reste toujours parallèle au plan du milieu [du zodiaque, donc au plan de l’écliptique].

Dans le cas de Vénus et de Mercure, nous avons observé que lorsque leur position est à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, quand la planète est [aussi] au périgée ou à l’apogée de l’épicycle, il n’y a pas de différence en latitude : elles [Vénus et Mercure] sont donc soit au nord, soit au sud de l’écliptique d’une égale quantité, toujours au nord pour Vénus, toujours au sud pour Mercure ; mais leur position aux plus grandes élongations [depuis l’apogée ou le périgée] varie de la plus grande quantité (la plus grande élongation du matin diffère de la plus grande élongation du soir), tandis qu’elle diffère de la position à l’apogée ou au périgée de l’épicycle (de la différence [de latitude] due à l’excentrique) d’une quantité égale, [mais] dans des directions opposées : la plus grande élongation qui est vers l’arrière [l’ouest] [du centre de l’épicycle] et en soirée est, pour Vénus, plus au nord [que celle du matin] à l’apogée de l’excentrique et plus au sud au périgée, alors que pour Mercure c’est l’inverse : elle est plus au sud à l’apogée [de l’excentrique] et plus au nord au périgée.

[Deuxièmement, nous avons observé que] lorsque leur position en longitude vraie est à un nœud, alors les élongations observées à un quadrant [90°] de part et d’autre de l’apogée ou du périgée de l’épicycle sont dans le plan de l’écliptique, tandis que les positions au périgée [de l’épicycle] seront très différentes [en latitude] par rapport aux positions à l’apogée : pour Vénus cette inclinaison est vers le sud au nœud du demi-⁠cercle sur lequel l’équation est soustractive , et vers le nord au [nœud] opposé ; pour Mercure, c’est encore l’inverse : au nœud du demi-⁠cercle soustractif, l’inclinaison est vers le nord, et à l’opposé, vers le sud. Nous en concluons donc que l’inclinaison de l’excentrique est également variable, suivant une période identique à celle l’épicycle [sur l’excentrique] : lorsque l’épicycle est dans les nœuds, l’excentrique est dans le plan de l’écliptique, mais lorsque [l’épicycle] est à l’apogée ou au périgée, l’excentrique produit la plus grande variation possible de latitude de l’épicycle, ce qui l’amène plus au nord pour Vénus et plus au sud pour Mercure. [Nous concluons aussi que] l’épicycle produit donc deux variations [de latitude] : aux nœuds des excentriques, il produit la plus grande inclinaison [ἔγκλισις] du diamètre par l’apogée apparente, et la plus grande obliquité [λόξωσις] (employons ce terme pour distinguer ce genre de variation angulaire) du diamètre perpendiculaire au premier (qui passe par l’apogée et le périgée de l’excentrique) ; au contraire, quand la planète est à l’apogée ou au périgée [de l’excentrique], il [l’épicycle] ramène le premier [diamètre] dans le plan de l’excentrique, et ramène le second diamètre dans le plan de l’écliptique [quand la planète est] aux nœuds précités.

2. Du mode de mouvement des inclinaisons et des obliquités selon les hypothèses

Avant d’exposer le modèle des latitudes de Ptolémée, je considère approprié d’inclure ici une citation d’Otto Neugebauer (A History of Ancient Mathematical Astronomy, p. 206) :

« La théorie de la latitude de la Lune repose sur le fait directement observable que le plan orbital de la lune est incliné par rapport à l’écliptique d’un angle pratiquement fixe et que la Terre se trouve dans la ligne nodale. Par conséquent, le calcul des latitudes lunaires suit la méthode simple de la détermination de la déclinaison solaire. La théorie de la latitude géocentrique des planètes est cependant beaucoup plus compliquée, car les plans orbitaux ne passent pas par la Terre mais par le Soleil. C’est dans la théorie des latitudes planétaires que la théorie héliocentrique a un avantage décisif sur l’approche géocentrique.

« Pour Mars et les planètes intérieures, cependant, les phénomènes deviennent beaucoup plus complexes et ce n’est donc pas une mince affaire que Ptolémée ait développé des modèles exploitables pour toutes les planètes pour leur latitude géocentrique. »

Ptolémée n’inclut pas de diagramme représentant ce petit cercle ajouté qui cause la variation en latitude de Mercure et Vénus. Quelques commentateurs modernes l’ont fait, dont Otto Neugebauer (A History of Ancient Mathematical Astronomy), Olaf Pedersen (A Survey of the Almagest), et Ronald Cameron Riddell (« The Latitudes of Venus and Mercury in the Almagest »).

De dire Neugebauer :

« Ptolémée n’était pas au courant […] que l’observateur est placé en dehors du plan du déférent. Par conséquent, ses observations ne lui ont pas suggéré d’inclinaisons fixes des plans orbitaux et il a donc dû introduire des vibrations secondaires pour rendre compte des données observées. »

J’ai créé les animations ci-⁠dessous en m’inspirant des trois et en combinant leurs divers diagrammes du mieux que j’ai pu. L’animation du haut représente la situation pour une planète supérieure (Mars, Jupiter, ou Saturne) ; celle du bas, pour une planète inférieure (Mercure ou Vénus). Dans tous les cas, l’écliptique est en vert (de taille arbitraire), l’excentrique en bleu (la partie tiretée est sous l’écliptique), l’épicycle en rouge, et les « petits cercles » dont parle Ptolémée sont en violet et (pour Mercure et Vénus) en turquoise ; leur taille est exagérée dans les animations de gauche.

Une telle roue ferait toutefois osciller l’épicycle de gauche à droite en même temps que de haut en bas ; Ptolémée ne fait aucune mention d’un mécanisme correcteur, mais il faut en supposer un — j’ai fait ici osciller le petit cercle lui-⁠même, mais d’autres solutions sont possibles. La position de la planète n’importe pas ici. Le point M représente le centre du déférent ; le point O, l’œil. Les angles d’inclinaison et d’obliquité sont grandement exagérés dans tous les cas. Ces diagrammes font 1 200 px de large ; assurez-⁠vous d’une résolution d’écran suffisante !

Vu du point A Vu du point B O M M O O M A B ▶️ ⏹️ Animer

En résumé général, selon les hypothèses, les cercles excentriques des cinq planètes sont inclinés par rapport au plan de l’écliptique autour du centre de l’écliptique. Dans le cas des trois planètes Saturne, Jupiter et Mars, l’excentrique a une inclinaison fixe, de sorte que des positions diamétralement opposées de l’épicycle ont des latitudes opposées. Mais dans le cas de Vénus et de Mercure, l’excentrique se déplace avec l’épicycle dans la même direction en latitude — pour Vénus toujours au nord, pour Mercure toujours au sud. Le diamètre de l’épicycle [de chacune des cinq planètes] passant par l’apogée se déplace à partir d’un point de départ dans le plan de l’excentrique, le long d’un petit cercle que l’on peut supposer attaché à l’extrémité [du diamètre] la plus proche de la Terre, dont le rayon correspond à l’écart [maximum] approprié [à chaque planète] en latitude, et [ce cercle est] perpendiculaire et centré sur le plan de l’excentrique, et tourne avec un mouvement uniforme, avec une période égale à celle du [mouvement] en longitude. [Par hypothèse], à partir d’une extrémité de l’intersection de son plan [du cercle] et du plan de l’épicycle, il entraîne avec lui le plan de l’épicycle vers le nord : dans le premier quadrant de sa révolution, il entraîne le plan de l’épicycle, évidemment, jusqu’à la limite nord ; dans le deuxième [quadrant], il le ramène au plan de l’excentrique ; dans le troisième, jusqu’à la limite sud ; et dans son [dernier] quadrant au retour, vers le plan d’origine. L’origine et le point de retour de cette révolution est, pour Saturne, Jupiter, et Mars, le nœud ascendant ; pour Vénus, le périgée de l’excentrique ; et pour Mercure, l’apogée de l’excentrique. Le diamètre [de l’épicycle] perpendiculaire à celui-⁠ci [de l’apogée], dans le cas des trois premières planètes [Saturne, Jupiter, et Mars] reste toujours parallèle au plan de l’écliptique, ou en tout cas n’en est pas incliné d’un quantité sensible, mais dans le cas de Vénus et de Mercure, à partir d’un certain point de départ où il est dans le plan de l’écliptique, il est entraîné par un petit cercle que nous pouvons supposer attaché à l’extrémité la plus avancée en longitude [donc vers l’est], et d’un rayon encore proportionnel à la valeur appropriée des variations observées en latitude. Ce petit cercle est perpendiculaire au plan de l’écliptique, et centré sur le diamètre parallèle à l’écliptique ; il cercle tourne à la même vitesse que l’autre [petit cercle], depuis une des intersections de son plan avec le plan de l’épicycle vers le nord, toujours par hypothèse, et entraîne avec lui l’extrémité soir [l’arrière / l’ouest ] du diamètre susmentionné dans le même ordre que précédemment [indiqué]. Et [pour ce cercle], l’origine et le point de retour de ce type de révolution sont, dans le cas de Vénus, au nœud du demi-⁠cercle additif, et, dans le cas de Mercure, au nœud du demi-⁠cercle soustractif.

Concernant ces petits cercles qui vont varier [en latitude] la position des épicycles, nous devons faire l’hypothèse suivante : eux aussi sont partagés en deux [parties égales] par les plans autour desquels nous affirmons que se fait la variations en latitude ; c’est le seul moyen d’expliquer que leurs mouvements [des épicycles en latitude] sont égaux des côtés opposés [des plans]. Leur révolution en mouvement uniforme n’a toutefois pas lieu autour de leur propre centre, mais autour d’un autre point qui produira dans le petit cercle une équation [d’excentricité] correspondant à celle de la planète en longitude dans le cercle central du zodiaque. Car puisque les révolutions sur l’écliptique et sur le petit cercle sont, par hypothèse, isochrones [de temps égaux], et que les arrivées à chaque quadrant des deux [cercles] correspondent aussi, selon les phénomènes [observés] ; ce serait impossible si la révolution [uniforme] du petit cercle avait lieu autour de son propre centre, puisque [dans ce cas] chacun des quadrants du petit cercle serait parcouru en un temps égal, mais que les quadrants de l’écliptique parcourus par l’épicycle ne le seraient pas, à cause de l’excentricité de chaque planète. Mais si [la révolution uniforme du petit cercle a lieu] autour d’un point placé de façon semblable à celui [centre du mouvement uniforme] de l’excentrique, le temps dans l’inclinaison de chaque quadrant de l’écliptique et du petit cercle seraient exactement les mêmes.

Que personne ne juge nos hypothèses trop élaborées compte tenu de la nature compliquée de nos dispositifs. Car on ne peut pas comparer [les choses] humaines au divin, ni s’imaginer de si grandes choses sur la base d’analogies très différentes. Car quel rapport est plus dissemblable que celui de l’éternel et l’immuable [d’une part] avec le toujours changeant [d’autre part], ou entre ce qui peut être gêné par quoi que ce soit [d’une part] et ce qui ne peut pas être gêné même par soi-⁠même ? Nous devons plutôt, autant que faire se peut, adapter les hypothèses les plus simples aux mouvements célestes, et si cela ne réussit pas, [nous devons appliquer d’autres hypothèses] qui les expliquent mieux. Car tant que chacun des phénomènes est sauvé par les hypothèses, pourquoi s’étonnerait-⁠on que de telles complications puissent caractériser les mouvements célestes ? En effet, leur nature est telle qu’elle ne rencontre aucun obstacle, mais qu’elle est de nature à allouer le mouvement naturel de chaque partie, même si [ces mouvements] sont opposés les uns aux autres ? Et tous ces éléments traversent et sont vus à travers tous les autres éléments, et cette facilité de transit s’applique non seulement aux cercles individuels, mais aux sphères elles-⁠mêmes et aux axes de révolution.

En vérité, les modèles construits sur la Terre, l’assemblage de ces [éléments] pour représenter les différents mouvements est difficile et complexe à réaliser sans que les mouvements s’entravent, tandis qu’au ciel aucune obstruction quelle qu’elle soit n’est causée par ces structures. Nous ne devrions pas juger la simplicité des choses célestes à partir de ce qui nous semble être simple [ici bas], surtout que celles-⁠ci ne sont pas également simples pour tous. Si nous devions juger par ces critèrs, tout ce qui est éternel et inchangeant nous serait non pas difficile, mais carrément impossible à expliquer, de par la constance même des choses célestes et par leur mouvement. Nous devrions plutôt [juger de la « simplicité »] à partir [justement] de l’immuabilité de la nature des choses célestes et de leurs mouvements ; ainsi, tous [les mouvements] nous paraîtront simples — et plus encore que ce qu’on croit simple sur Terre —, puisque nous n’aurons aucune gêne ou difficulté à considérer leurs mouvements et leurs révolutions.

Selon Otto Neugebauer (A History of Ancient Mathematical Astronomy, p. 217) :

« Au chapitre 2 du livre XIII, Ptolémée fait une vaine tentative pour décrire un dispositif mécanique qui ferait bouger tous les plans selon son modèle, en supposant que tous les mouvements varient de manière sinusoïdale entre les extrema appropriés. Il ne donne pas de construction détaillée pour un tel dispositif, mais il semble clair qu’il voulait simplement dire qu’en principe, des variations sinusoïdales de l’inclinaison d’un plan peuvent être obtenues par la rotation d’un disque vertical qui entraîne sur sa circonférence un point du plan de haut en bas.

« C’est le seul exemple dans tout l’Almageste où quelque chose comme un modèle mécanique pour le mouvement planétaire (ou lunaire) est mentionné. Et même ici, cela ne concerne qu’une composante du mouvement latitudinal, et il est évident que Ptolémée ne pense pas qu’un tel mécanisme existe réellement dans la nature. Ni ici ni nulle part ailleurs dans l’Almageste ne pouvons-nous trouver une hypothèse physique telle que des coquilles sphériques entraînées par des sphères en contact, etc., constructions qui sont devenues plus tard un sujet privilégié des descriptions cosmologiques. »

3. De la taille de chacune des inclinaisons et des obliquités 

Nous pouvons maintenant, d’après ce qui précède, calculer la position générale et l’inclinaison des [divers] cercles. Mais [concernant] la taille réelle, pour chaque planète, de l’arc coupé par l’inclinaison sur le grand cercle perpendiculaire au plan de l’écliptique passant par les pôles du cercle incliné (par rapport auquel [grand cercle] les positions en latitude sont mesurés), cela se calcule facilement dans le cas de Vénus et de Mercure à partir des positions apparentes en latitude dans les situations décrites. Car lorsque leur mouvement en longitude les amène à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, si la position de l’astre est au périgée ou à l’apogée de l’épicycle, il apparaît également éloigné, comme nous l’avons dit, sur la base d’observations proches de ces points, soit au nord, soit au sud de l’écliptique : Vénus toujours à environ 1⁄6° au nord, et Mercure toujours à 3⁄4° au sud. Par conséquent, les cercles excentriques sont inclinés de ces angles respectifs. Mais quand ils sont à une plus grande élongation par rapport au Soleil, les deux astres apparaissent environ 5° (en moyenne) plus au nord ou au sud qu’à l’élongation opposée la plus grande, parce que Vénus a une différence apparente de latitude de ce genre mentionné d’à peine moins que 5° à l’apogée de l’excentrique, et d’à peine plus de 5° au périgée, tandis que Mercure a environ 1⁄2° [en plus ou en moins que 5° de différence en latitude à l’apogée et à 180° de l’apogée, respectivement] . Donc, l’obliquité de l’épicycle de part et d’autre du plan de l’excentrique sous-⁠tend environ 2⁠1⁄2°, en moyenne, du [grand] cercle orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique. Nous pouvons donc en conclure que la taille des angles formés par l’inclinaison de l’épicycle au plan de l’excentrique [pour chaque planète] peut être trouvée, comme nous le verrons dans la suite (pour ne pas interrompre ici notre traitement général des inclinaisons des cinq planètes).

Mais quand leur longitude corrigée est aux nœuds et [donc] très près de la distance moyenne, alors :

Dans le cas des autres planètes, Saturne, Jupiter et Mars, il n’y a pas de méthode pour trouver les grandeurs de l’obliquité immédiatement [à partir des données d’observation], puisque les deux inclinaisons — celle liée à l’excentrique et celle liée à l’épicycle — sont toujours entremêlées ; cependant, encore une fois, à partir des latitudes observées au périgée et à l’apogée de l’excentrique et de l’épicycle, nous pouvons déterminer chaque inclinaison séparément de la manière suivante.

A B G D E Θ Z L N H K X M

Soit, dans le plan orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique, son intersection AB avec le plan de l’écliptique, et son intersection GD avec le plan de l’excentrique. Soit E le centre de l’écliptique, et à l’intersection des plans [de l’excentrique et du plan orthogonal à l’écliptique], traçons dans le plan défini, autour de l’apogée G de l’excentrique et autour du périgée D, deux cercles égaux ZHΘK et LMNX représentant des cercles passant par les pôles des épicycles. Sur ces cercles, traçons les lignes HGK et MDX comme plans des épicycles, inclinées, à angles égaux en G et D. Depuis le centre E de l’écliptique, où se trouve notre œil, traçons des droites le joignant aux apogées et périgées des épicycles : EH et EM aux apogées, et EK et EX aux périgées. Il est clair que les points K et X marquent les oppositions, et H et M les conjonctions.

Nous avons donc obtenu pour Mars les positions en latitude autour des oppositions se produisant à l’apogée de l’excentrique (autour du point K de l’épicycle) ainsi qu’autour des oppositions se produisant au périgée de l’excentrique (autour du point X de l’épicycle), puisque la différence entre eux est bien évidente. Aux oppositions près de l’apogée, il [Mars] est à 4⁠1⁄3° au nord de l’écliptique, et à ceux près du périgée, à environ 7° au sud. Ainsi ∠ AEK = 4⁠1⁄3° et ∠ BEX = 7° où quatre angles droits font 360°.

Cela posé, nous trouvons l’angle ∠ AEG formé par l’inclinaison de l’excentrique, et l’angle ∠ HGZ formé par l’obliquité de l’épicycle, de la manière suivante. Puisqu’il est facile de voir, d’après nos démonstrations des anomalies de Mars, que si l’on considère les angles sous-⁠tendus à l’œil par des arcs égaux de l’épicycle près de son périgée, ceux des positions proches de l’apogée de l’excentrique sont avec ceux des positions près du périgée [de l’excentrique] en rapport d’environ 5 : 9, et puisque l’arc ΘK = l’arc NX, il s’ensuit que ∠ GEK : ∠ DEX = 5 : 9. Puisque les angles AEK et BEX sont donnés, et que les rapport ∠ GEK : ∠ DEX est donné, et que ∠ AEG = ∠ BED, si nous formons la différence entre les grandeurs des [angles ∠ AEK et ∠ BEX] entiers et la différence entre [les membres du] rapport [5 et 9], prenons le rapport que la première [différence] fait avec la seconde, et prenons cette proportion de chaque [membre du] rapport, alors nous obtiendrons la grandeur correspondant à chaque partie du rapport. Cela peut être prouvé au moyen d’un lemme arithmétique.

Ainsi, puisque les magnitudes sont 4⁠1⁄3 et 7, leur différence est 2⁠2⁄3, et le rapport étant de 5 : 9, la différence est de 4. Or, 2⁠2⁄3 est les deux tiers de 4 : nous prenons les deux tiers de 5 et de 9 [respectivement], et nous obtenons ∠ GEK = 3⁠1⁄3° et ∠ DEX = 6°. Ainsi, chaque angle restant [par soustraction] ∠ AEG = ∠ BED = 1°, qui est l’inclinaison de l’excentrique. Ainsi, l’arc de l’obliquité de l’épicycle ΘK = 2⁠1⁄4°, parce que d’après le tableau des anomalies, nous trouvons que cette quantité [2⁠1⁄4°] correspond approximativement aux quantités que nous avons trouvées pour les angles GEK et DEX.

Dans le cas de Saturne et de Jupiter, nous constatons que les positions [en latitude] près de l’apogée de l’excentrique ne sont pas sensiblement différentes de celles diamétralement opposées, près du périgée. Nous avons donc calculé les résultats requis d’une autre manière, en comparant les positions [en latitude] proches de l’apogée de l’épicycle avec celles proches du périgée. Il nous est clairement apparu, à partir d’observations individuelles, qu’aux positions proches de la première et de la dernière visibilité, l’écart maximal vers le nord ou le sud est d’environ 2° pour Saturne et de 1° pour Jupiter, tandis que pour les positions proches de l’opposition [l’écart maximal en latitude] est d’environ 3° pour Saturne et 2° pour Jupiter. Maintenant, pour ces planètes aussi, il est évident, par leur anomalie [selon le tableau] que, si nous considérons les angles sous-⁠tendus à l’œil par des arcs égaux près de l’apogée et du périgée de l’épicycle, ceux près de l’apogée sont en rapport avec ceux du périgée de 18 : 23 pour Saturne, et de 29 : 43 pour Jupiter. De plus, les arcs ZH et ΘK de l’épicycle sont égaux. Donc ∠ ZEH : ∠ ZEK = 18 : 23 pour Saturne, et 29 : 43 pour Jupiter. Mais ∠ HEK, qui est la différence entre les deux latitudes [à l’apogée et au périgée de l’épicycle], vaut [par soustraction] 1° pour chacun des deux astres. Par conséquent, si 1° est divisé dans les rapports susmentionnés, nous obtenons ∠ ZEH = 0° 26′ pour Saturne, 0° 24′ pour Jupiter, et ∠ ZEK = 0° 34′ pour Saturne, 0° 36′ pour Jupiter. Ainsi l’autre angle [par soustraction de ∠ AEK] d’inclinaison de l’excentrique ∠ AEG = 2° 26′ pour Saturne, 1° 24′ pour Jupiter. Au lieu de ces valeurs, pour obtenir une plus grande symétrie, nous avons adopté les nombres ronds 2⁠1⁄2° et 1⁠1⁄2°. C’est pourquoi l’arc ΘK, représentant l’obliquité de l’épicycle, peut être immédiatement calculé comme 4⁠1⁄2° pour Saturne et 2⁠1⁄2° pour Jupiter. Car encore, dans les tableaux d’anomalie pour chaque planète, les angles ZEH et ZEK sont à peu prés égaux à ces quantités que nous avons trouvées.

4. Construction d’un tableau pour la latitude de chaque planète

C’est ainsi que nous avons déterminé les plus grandes inclinaisons [et obliquités] des excentriques et des épicycles. Mais afin de pouvoir trouver commodément les positions en latitude pour un moment donné pour toutes les distances possibles [depuis l’apogée], nous avons construit 5 tableaux pour les 5 planètes. Chacun contient autant de lignes que les tableaux d’anomalies [soit 45] et 5 colonnes. Les 2 premières colonnes contiennent les arguments, comme ces dernières [les tables d’anomalie] ; la troisième, les distances en latitude depuis l’écliptique correspondant aux degrés particuliers de [mouvement sur] l’épicycle, à la plus grande inclinaison — pour Vénus et Mercure, c’est l’inclinaison aux nœuds de l’excentrique, et pour les trois autres planètes, l’inclinaison à la limite nord de l’excentrique. Enfin, la quatrième colonne contient les quantités correspondantes pour la limite sud ; dans le cas de ces 3 astres, la déviation maximale au nord et au sud des excentriques est incluse dans le calcul. Nous avons déterminé ces quantités pour Vénus et Mercure selon un théorème unique [aux deux], que voici.

A B G D E H Z Θ K L M

Soit, dans le plan orthogonal [perpendiculaire] à l’écliptique, son intersection ABG avec le plan de l’écliptique, et DBE son intersection avec le plan de l’épicycle. Soient A le centre de l’écliptique, B le centre de l’épicycle, et AB la distance de l’épicycle à la plus grande obliquité. Autour du centre B, décrivons l’épicycle DZEH, et traçons le diamètre ZBH perpendiculaire à DE . Supposons que le plan de l’épicycle est perpendiculaire au plan en question [orthogonal au plan de l’écliptique], de sorte que toute droite tracée perpendiculairement à DE  sera parallèle au plan de l’écliptique, mais que ZH seule se situe dans ce plan [de l’écliptique] .

Étant donné le rapport AB : BE et la valeur de l’obliquité (soit ∠ ABE), il s’agit de trouver la latitude de ces planètes quand, par exemple, elles sont à 45° du périgée E  de l’épicycle (dont la circonférence est de 360°) — [nous choisissons 45°] parce que nous voulons en même temps démontrer les différences dans les positions en longitude produites par ces obliquités [maximales], et que ces différences doivent être maximales à peu près à mi-⁠chemin entre le périgée E et les positions Z et H, puisqu’elles y sont identiques aux longitudes produites en négligeant l’obliquité.

Le diagramme suivant est adapté d’un ajouté par Toomer pour aider à la compréhension de ce passage. L’écliptique est la courbe rouge tiretée. L’épicycle de la planète est l’ellipse verte.

β A B G Θ M K D H E L Z 135°

Prenons donc l’arc EΘ des 45° susmentionnés, et traçons la droite ΘK perpendiculaire à BE, et [les droites] KL et ΘM perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons ΘB, LM, AM, et AΘ. [Il est évident que] le quadrilatère LKΘM a des côtés parallèles et des angles droits , puisque KΘ est parallèle au plan de l’écliptique ; que ∠ LAM correspond à la prostaphérèse en longitude ; et que ∠ ΘAM est la latitude, puisque les angles ALM et AMΘ sont aussi des angles droits, puisque la ligne AM est située dans le plan de l’écliptique .

Il s’agit maintenant de démontrer les grandeurs des positions en question, pour chacune des planètes ci-⁠dessus, et d’abord pour Vénus. Puisque l’arc EΘ = 45° où [la circonférence de] l’épicycle est de 360°, alors l’angle au centre de l’épicycle ∠ EBΘ = 45° où quatre angles droits font 360°, donc 90 où deux angles droits font 360. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BΘK, l’arc BK = l’arc KΘ = 90°. Donc les cordes correspondantes BK = KΘ = 84;52p où l’hypoténuse BΘ = 120p. Donc où le rayon de l’épicycle BΘ = 43;10p, et la distance moyenne AB = 60p (car c’est là que se produit la plus grande obliquité de l’épicycle), les droites BK = KΘ = 30;32p. En outre, puisque, par hypothèse, l’angle d’obliquité ∠ ABE = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5 où deux angles droits font 360, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BLK, l’arc LK = 5° et l’arc BL = 175° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KL = 5;14p et BL = 119;53p où l’hypoténuse BK = 120p. Par conséquent, où l’hypoténuse BK = 30;32p et la droite AB = 60p, les droites KL = 1;20p, BL = 30;30p, et la [droite] restante [par soustraction de BL de AB] AL = 29;30p. Mais, des mêmes unités, LM = KΘ = 30;32p ; donc, l’hypoténuse AM [= √(AL2 + LM2)] = 42;27p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AM = 120p, la droite LM = 86;19p, et l’angle de la prostaphérèse ∠ LAM = 92;00 où deux angles droits font 360, ou 46° 00′ où quatre angles droits font 360° .

De même, où la droite AM = 42;27p ; la droite ΘM = KL = 1;20p ; et ΘM2 + AM2 = AΘ2, alors AΘ = 42;29p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, ΘM = 3;46p, et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAM = 3;36 où deux angles droits font 360, ou 1° 48′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 48′] est donc la valeur que nous mettrons dans la troisième colonne du tableau pour Vénus à la ligne contenant 135°.

H D Z E Θ A B K

Pour faire une comparaison de la différence dans la prostaphérèse résultante en longitude, prenons un diagramme semblable où l’épicycle n’est pas incliné. Nous avons démontré que les droites BK = KΘ = 30;32p où la droite AB = 60p, donc la droite restante [par soustraction] AK = 29;28p ; et AK2 + KΘ2 = AΘ2, donc AΘ = 42;26p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, KΘ = 86;21p, et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ ΘAK = 92;03 où deux angles droits font 360, ou environ 46° 02′ où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons prouvé que dans le cas de l’obliquité, cet angles est de 46° ; donc la différence pour la prostaphérèse due à l’obliquité est de moins de 2′.

Maintenant, pour démontrer les positions [en latitude] de Mercure, dessinons un diagramme similaire à l’avant-⁠dernier, où l’arc EΘ est de la même taille, soit 45°. Donc à nouveau, BK = KΘ = 84;52p où l’hypoténuse BΘ = 120p. Par conséquent, où le rayon de l’épicycle BΘ = 22;30p et la distance à laquelle se produisent les plus grandes obliquités AB = 56;40p (ce que nous avons démontré précédemment ), alors BK = KΘ = 15;55p des mêmes unités . En outre, puisque par hypothèse l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ ABE = 6° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 12;30 où deux angles droits font 360, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BKL, l’arc LK = 12° 30′ et l’arc BL = 167° 30′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KL = 13;04p et BL = 119;17p où l’hypoténuse BK = 120p. Donc où, comme nous l’avons démontré, BK = 15;55p et [où], par hypothèse, AB = 56;40p, KL = 1;44p, BL = 15;49p, et [par soustraction de AB] AL = 40;51p des mêmes unités. Or, LM = KΘ = 15;55p ; et, puisque AL2 + LM2 = AM2, AM = 43;50p où la droite LM = 15;55p. Donc, où l’hypoténuse AM = 120p, la droite LM = 43;34p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ LAM = 42;34 où deux angles droits font 360, ou 21° 17′ où quatre angles droits font 360°. De même, où la droite AM = 43;50p, ΘM = KL = 1;44p ; et AM2 + ΘM2 = AΘ2, donc AΘ = 43;52p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AΘ = 120p, ΘM = 4;44p, et l’angle de la latitude ∠ ΘAM = 4;32 où deux angles droits font 360, ou 2° 16′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 16′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Mercure sur la même ligne de l’argument 135°.

Soit encore, pour déterminer la prostaphérèse, le diagramme sans l’obliquité [de l’épicycle]. Puisque nous avons démontré que, où la droite AB = 56;40p, ΘK = KB = 15;55p, et que le reste [par soustraction] AK = 40;45p des mêmes unités ; et que AK2 + KΘ2 = AΘ2, alors AΘ = 43;45p où ΘK = 15;55p. Donc, où l’hypoténuse AΘ = 120p, ΘK = 43;39p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ KAΘ = 42;40 où deux angles droits font 360, ou 21° 20′ où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons démontré qu’avec l’obliquité, [cet angle] est de 21° 17′ ; donc la prostaphérèse en longitude calculée en fonction de l’obliquité est moindre de 3′.

Telle est donc la méthode par laquelle nous avons calculé les positions en latitude aux plus grandes inclinaisons pour ces deux planètes, parce que les plus grandes inclinaisons se produisent lorsque l’excentrique est dans le même plan que l’écliptique. Mais pour les trois astres restants, nous avons utilisé un autre théorème, puisque [pour eux] la plus grande obliquité de l’épicycle se produit lorsque l’inclinaison de l’excentrique est maximale, et il sera donc bon d’avoir toutes les positions en latitude résultant des deux inclinaisons [calculées] ensemble.

Toomer ajoute un diagramme, duquel est inspiré celui ci-⁠dessous, pour aider à la compréhension de cette section. La courbe tiretée représente l’excentrique ; le disque coloré représente l’épicycle ; l’œil est en A ; et les points A, B, et L sont dans le plan de l’écliptique.

A B G D E Z H Θ K L M
A G H Z D E Θ K M L B

Soit, dans le plan orthogonal à l’écliptique, AB son intersection avec le plan de l’écliptique, AG son intersection avec le plan de l’excentrique, et DGE son intersection avec le plan de l’épicycle. Soit A le centre de l’écliptique et G le centre de l’épicycle, et décrivons autour de G l’épicycle DZEH de sorte que, parmi les droites tracées perpendiculairement à DE, le diamètre ZGH soit dans le plan de l’excentrique et parallèle au plan de l’écliptique, et que les autres [perpendiculaires] soient parallèles à ces deux plans. Prenons l’arc EΘ = 45° comme avant, et à partir du point Θ (où est l’astre), traçons la perpendiculaire ΘK [à DGE], ainsi que, à partir des points Θ et K, les droites ΘL et KB perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons BL et AL . Nous nous proposons de trouver la prostaphérèse [addition ou soustraction] en longitude, représentée par ∠ BAL, et la position en latitude, représentée par ∠ LAΘ. Traçons donc, à partir de K, la droite KM perpendiculaire à AG, et joignons GΘ, AK, et AΘ. Prenons à nouveau comme donné, d’après ce qui a été prouvé auparavant, que GK = KΘ = 84;52p où l’hypoténuse GΘ = 120p.

Alors d’abord, pour Saturne, puisque nous avons montré que le rayon de l’épicycle est de 6;30p où la distance moyenne est de 60p, les droites GK = KΘ = 4;36p où l’hypoténuse GΘ = 6;30p. Et puisque, par hypothèse, l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 4° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 9 où deux angles droits font 360°, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GKM, l’arc KM = 9° et l’arc GM = 171° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 9;25p et GM = 119;38p où l’hypoténuse GK = 120p. Par conséquent, où GK = 4;36p, KM = 0;22p et GM = 4;35p. Maintenant, lors de la plus grande obliquité sur le demi-⁠cercle contenant l’apogée, la droite AG, représentant la distance [lorsque l’épicycle est] près du début de la Balance, selon les théorèmes démontrés plus tôt sur les anomalies, vaut 62;10p des mêmes unités. Ainsi la portion [par soustraction de GM à AG] AM = 57;35p où la droite MK = 0;22p ; donc l’hypoténuse AK [= √(AM2 + MK2)] = 57;35p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120p, KM = 0;46p et ∠ KAM = 0;44 où deux angles droits font 360. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5 où deux angles droits font 360. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;44 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc BK = 5° 44′ et l’arc AB = 174° 16′ restants du demi-cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 6;00p et AB = 119;51p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 57;35p, BK = 2;53p, AB = 57;31p, et BL = KΘ = 4;36p. Et puisque AB2 + BL2 = AL2, AL = 57;42p des mêmes unités. De même, puisque LΘ = BK = 2;53p des mêmes unités et que AL2 + LΘ2 = AΘ2, AΘ = 57;46p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, ΘL = 5;59p et l’angle de la latitude ∠ ΘAL = 5;44 où deux angles droits font 360, ou 2° 52′ .où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 52′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Saturne en face de 135°.

Mais dans le demi-⁠cercle contenant le périgée, à la plus grande inclinaison, puisque la droite AG, représentant la distance [lorsque l’épicycle est] près du début du Bélier, est calculé comme [AG =] 57;40p, où, comme nous l’avons démontré, KM = 0;22p et GM = 4;35p, la portion [par soustraction] AM = 53;05p. Et l’hypoténuse AK = 53;05p des mêmes unités, puisqu’elle est à peine plus grande que la droite AM. Donc, où l’hypoténuse AK = 120p, KM = 0;50p et ∠ KAM = 0;48 où deux angles droits font 360. Mais, par hypothèse, ∠ BAG = 5 des mêmes unités. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;48 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc BK = 5° 48′ et l’arc AB = 174° 12′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 6;04p et AB = 119;51p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 53;05p, la droite BK = 2;41p et la droite AB = 53;01p. Et puisque AB2 + BL2 = AL2, et que (tel que démontré) BL = 4;36p des mêmes unités, AL = 53;13p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AL = 120p, BL = 10;23p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 9;56 où deux angles droits font 360, ou 4° 58′ où quatre angles droits font 360°.

En outre, puisque la ligne AL = 53;13p, que ΘL = KB = 2;41p, et que AL2 + ΘL2 = AΘ2, alors AΘ = 53;17p. Donc où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite ΘL = 6;03p, et l’angle de la distance en latitude ∠ ΘAL = 5;46 où deux angles droits font 360, ou 2° 53′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 53′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face de 135°.

Maintenant, afin de comparer les prostaphérèses [additions ou soustractions] en longitude pour l’obliquité la plus près du périgée, reprenons le diagramme sans obliquité. Alors, où la distance à ce point AG = 57;40p, les droites GK = KΘ = 4;36p (par hypothèse) ; et la portion [par soustraction] AK = 53;04p des mêmes unités ; mais AK2 + KΘ2 = AΘ2, donc AΘ = 53;16p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite KΘ = 10;22p, et l’angle de l’équation en longitude ∠ ΘAK = 9;54 où deux angles droits font 360, ou 4° 57′  où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons démontré que dans une inclinaison ou l’autre [de l’excentrique ou de l’épicycle], il est de 4° 58′ ; donc la prostaphérèse en longitude [selon les deux inclinaisons] était supérieure de 1′ .

Dessinons d’abord à nouveau le diagramme des inclinaisons, avec les valeurs établies pour Jupiter. Par conséquent, où le rayon de l’épicycle GΘ = 11;30p, les droites GK = KΘ = [84;52 × 11;30 ÷ 120 =] 8;08p. Or, puisque l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 2° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 5 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GKM, l’arc KM = 5° et l’arc GM = 175° restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 5;14p et GM = 119;53p où l’hypoténuse GK = 120p. Par conséquent, où la ligne GK = 8;08p et la distance près du début de la Balance AG = 62;30p, la droite KM = 0;21p, GM = 8;08p et la portion [par soustraction] MA = 54;22p. Ainsi l’hypoténuse AK, étant à peine plus grande que MA, vaut 54;22p des mêmes unités. Donc, où hypoténuse AK = 120p, la droite KM = 0;46p et ∠ KAM = 0;44 où deux angles droits font 360. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 1° 30′ où quatre angles droits font 360°, ou 3 où deux angles droits font 360. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 3;44 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc KB = 3° 44′ et l’arc AB = 176° 16′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KB = 3;54p et AB = 119;56p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 54;22p, KB = 1;46p et AB = 54;20p. Mais d’après ce qui a été démontré précédemment, BL = 8;08p des mêmes unités ; et puisque AB2 + BL2 = AL2, alors AL = 54;56p des mêmes unités.

De même, puisque LΘ [= KB] = 1;46p des mêmes unités, et que AL2 + LΘ2 = AΘ2, alors AΘ = 54;58p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, LΘ = 3;52p et l’angle de l’écart en latitude  ∠ ΘAL = 3;42 où deux angles droits font 360, ou 1° 51′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 51′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Jupiter en face de 135°.

De la même manière, puisque la distance au début du Bélier AG = 57;30p où, comme nous l’avons démontré, KM = 0;21p et GM = 8;08p ; donc la portion [par soustraction], AM (= AK qui est à peine plus grand) = 49;22p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120p, la droite KM = 0;51p et ∠ KAM = 0;49 où deux angles droits font 360 ; donc l’angle entier [par addition : ∠ KAM + 3 =] ∠ BAK = 3;49 des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AKB, l’arc KB = 3° 49′ et arc AB = 176° 11′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 3;59p et AB = 119;56p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 49;22p, la droite KB = 1;39p et la droite AB = 49;20p. Donc puisque BL = 8;08p des mêmes unités et que AB2 + BL2 = AL2, alors AL = 50;00p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AL = 120p, BL = 19;31p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 18;44 où deux angles droits font 360, ou 9° 22′ où quatre angles droits font 360°. En outre, puisque, où la droite AL = 50;00p, que ΘL [= KB] = 1;39p, et que AL2 + ΘL2 = AΘ2, alors AΘ = 50;02p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, LΘ = 3;57p et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAL = 3;46 où deux angles droits font 360, ou 1° 53′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [1° 53′] est la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face du même 135°.

Pour déterminer les prostaphérèses [additions ou soustractions] en longitude, reprenons le diagramme sans inclinaisons. Puisqu’à la distance considérée, où ΘK = GK = 8;08p, la droite entière AG = 57;30p et sa portion [par soustraction] AK = 49;22p des mêmes unités, et que AK2 + KΘ2 = AΘ2, alors AΘ = 50;02p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite ΘK = 19;30p et l’angle de l’équation en longitude ∠ ΘAK = 18;42 où deux angles droits font 360, ou 9° 21′ où quatre angles droits font 360°. Mais il a été démontré que, quand les inclinaisons sont prises en compte, cet angle est de 9° 22′ ; alors la prostaphérèse en longitude calculée selon les deux inclinaisons n’est, encore une fois, supérieure que d’une seule minute.

Maintenant, pour Mars, reprenons d’abord le diagramme des inclinaisons, et supposons que GK (= KΘ) = [84;52 × 39;30 ÷ 120 =] 27;56p où le rayon de l’épicycle GΘ = 39;30p. Alors, puisque l’angle d’obliquité de l’épicycle ∠ AGE = 2° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 4;30 où deux angles droits font 360, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GMK, l’arc KM = 4° 30′ et l’arc GM = 175° 30′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes KM = 4;43p et GM = 119;54p où l’hypoténuse GK = 120p. Ainsi, où la droite GK = 27;56p et la plus grande distance AG = 66p, la droite KM = 1;06p, la droite GM = 27;54p, et [par soustraction] la droite AM = 38;06p. Donc l’hypoténuse AK [= √(AM2 + KM2)] = 38;07p des mêmes unités ; donc, où l’hypoténuse AK = 120p, la droite KM = 3;28p et ∠ KAM = 3;19 où deux angles droits font 360. Mais, par hypothèse, l’angle d’inclinaison de l’excentrique ∠ BAG = 1° où quatre angles droits font 360°, ou 2 où deux angles droits font 360 ; donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 5;19 où deux angles droits font 360. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BAK, l’arc KB = 5° 19′ et l’arc AB = 174° 41′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 5;34p et AB = 119;52p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 38;07p, la droite KB = 1;46p et la droite AB = 38;05p. Mais la droite BL [= KΘ = GK] = 27;56p des mêmes unités et, puisque AB2 + BL2 = AL2, alors la droite AL = 47;14p. De même, puisque la droite ΘL = 1;46p des mêmes unités, et que AL2 + LΘ2 = AΘ2, alors la droite AΘ = 47;16p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite ΘL = 4;29p et l’angle de l’écart en latitude ∠ ΘAL = 4;18 où deux angles droits font 360, ou 2° 09′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [2° 09′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau pour Mars pour l’argument 135°.

De même, pour les inclinaisons à la moindre distance, puisque AG = 54p où, comme nous l’avons démontré, KM = 1;06p et GM = 27;54p, alors la portion [par soustraction] AM = 26;06p et l’hypoténuse AK [= √(KM2 + AM2)] = 26;07p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AK = 120p, la droite KM = 5;03p et ∠ KAM = 4;49 où deux angles droits font 360. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BAK = 6;49 des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ABK, l’arc BK = 6° 49′ et l’arc AB = 173° 11′ restants du demi-⁠cercle [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BK = 7;08p et AB = 119;47p où l’hypoténuse AK = 120p. Par conséquent, où la droite AK = 26;07p, la droite BK = 1;33p et la droite AB = 26;04p. Mais la droite BL = 27;56p des mêmes unités et, puisque AB2 + BL2 = AL2, alors AL = 38;12p. Donc, où l’hypoténuse AL = 120p, la droite BL = 87;45p et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ BAL = 94 où deux angles droits font 360, ou 47° où quatre angles droits font 360°.

De même, puisque, où la droite AL = 38;12p, LΘ [= BK] = 1;33p, et que AL2 + LΘ2 = AΘ2, alors la droite AΘ = 38;14p. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite LΘ = 4;52p et l’angle de l’écart de latitude ∠ ΘAL = 4;40 où deux angles droits font 360, ou 2° 20′ où quatre angles droits font 360° . Ceci [2° 20′] est donc la valeur que nous inscrirons dans la quatrième colonne du tableau en face du même 135°.

À nouveau, pour comparer les prostaphérèses en longitude, nous utilisons le diagramme sans inclinaisons et à la moindre distance (là où la différence est nécessairement la plus grande). [Nous voyons que] AG : GK = AG : KΘ = 54 : 27;56 ; donc [par soustraction] la droite AK = 26;04p et l’hypoténuse AΘ [= √(AK2 + KΘ2)] = 38;12p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AΘ = 120p, la droite ΘK = 87;45p [comme BL dans le calcul précédent] et l’angle de la prostaphérèse en longitude ∠ ΘAK = 94 où deux angles droits font 360, ou 47° où quatre angles droits font 360°. Mais nous avons trouvé la même valeur dans nos calculs incluant les inclinaisons ; il n’y a donc aucune différence pour la prostaphérèse en longitude pour Mars calculée d’après les inclinaisons des cercles [d’épicycle et d’excentrique].

Les quatrièmes colonnes des deux tableaux pour Vénus et Mercure contiendront les positions en latitude se produisant aux plus grandes inclinaisons de leurs épicycles, qui se produisent à l’apogée et au périgée de l’excentrique. Cependant, nous les avons calculés sans considérer l’effet dû à l’inclinaison de l’excentrique, car cela aurait nécessité un plus grand nombre de tableaux et une méthode de calcul plus compliquée [à partir des tableaux], parce que les positions [en latitude correspondantes] à l’étoile du matin et à l’étoile du soir ne sont pas égales l’une à l’autre, et ne se font pas toujours du même côté [nord ou sud] de l’écliptique ; d’ailleurs, l’inclinaison de l’excentrique n’étant pas constante, les différences de quantité à diminuer par rapport à la plus grande obliquité [de l’épicycle] ne correspondraient pas aux différences de quantité à diminuer par rapport à la plus grande obliquité. Cependant, si nous séparons ces effets, nous pourrons déterminer chaque portion plus facilement, comme nous le verrons.

G H B A Z E D Θ K L M N X

Toomer ajoute un diagramme, duquel celui ci-⁠dessous est inspiré, pour aider à la compréhension du texte. Le plan de l’écliptique est en blanc ; l’épicycle est en vert (sa portion sous le plan de l’écliptique est plus pâle) ; l’œil est en A. Les points B, D, θ, E, Z, K, et L sont sur l’épicycle ; les points M, N, et X sont sur l’écliptique et sont la projection des points D, E, et Z, respectivement. Les angles ∠ DθM, ∠ EKN, et ∠ ZLX sont tous égaux et correspondent à l’obliquité de l’épicycle sur l’écliptique.

Toomer indique toutefois que « la figure de Ptolémée en est une artificielle, puisque lorsque l’inclinaison des plans de l’écliptique et de l’épicycle passe par le centre de l’épicycle, l’“obliquité” est nulle. Mais cela est justifié par la “séparation des effets”. »

A B D E Z θ K L M N X

Soit AB l’intersection des plans de l’écliptique et de l’épicycle ; le point A comme centre de l’écliptique ; et B comme centre de l’épicycle. Décrivons l’épicycle GDEZH autour de celui-⁠ci, incliné par rapport au plan de l’écliptique (de telle sorte que les droites tracées dans les [deux plans] perpendiculaires à la section commune GH forment tous des angles égaux aux points sur GH). Traçons AE tangente à l’épicycle, et AZD croisant l’épicycle en un point arbitraire , et traçons, à partir des points D, E, et Z, les droites DΘ, EK, et ZL perpendiculaires à GH, et les droites DM, EN, et ZX perpendiculaires au plan de l’écliptique. Joignons ΘM, KN, LX, ainsi que AN et AXM (car AXM sera une droite, puisque les trois points [A, X, et M] se trouvent [tous] dans deux plans : le plan de l’écliptique et le plan passant par AZD perpendiculaire à l’écliptique). Il est évident qu’avec l’obliquité en question, les prostaphérèses [additions ou soustractions correctives] en longitude de l’astre [en D et E respectivement] seront représentées par les angles ∠ ΘAM et ∠ KAN, et les [positions en] latitude par les angles ∠ DAM et ∠ EAN. Nous devons d’abord démontrer que la position en latitude au point tangent, ∠ EAN, est maximale, tout comme l’équation en longitude [est maximale en ce point].

[Preuve :] Puisque ∠ EAK est le plus grand, KE : EA est plus grand que ΘD : DA = LZ : ZA. Mais EK : EN = ΘD : DM = LZ : ZX, car, comme nous l’avons dit, les triangles formés par eux [EKN, DΘM, et ZLX] ont des angles égaux [en GH] et des angles droits en M, N, et X. Donc NE : EA est plus grand que MD : DA = XZ : ZA. En outre, les angles ∠ DMA, ∠ ENA, et ∠ ZXA sont droits. Donc ∠ EAN est plus grand que ∠ DAM, et donc, évidemment, que tout autre angle ainsi formé.

Il est immédiatement évident que, quand nous considérons l’effet de l’obliquité sur les prostaphérèses, la différence maximale est produite aux plus grandes déviations de latitude en E, parce qu’elles sont représentées par les angles sous-⁠tendus par (ΘD − ΘM), (KE − KN) et (LZ − LX) [lorsque la planète est respectivement en D, E et Z], et puisque les rapports de ces droites [ΘD : ΘM, etc.] entre elles et à la différence entre elles [(ΘD − ΘM) etc.] reste le même, il s’ensuit que (EK − KN) : EA est plus grand que (ΘD − ΘM) : AD, etc. Et il est aussi immédiatement clair que, quel que soit le rapport entre la plus grande prostaphérèse en longitude et la plus grande déviation en latitude [due à l’obliquité], ce rapport tient entre l’équation en longitude pour toute position [de la planète] sur l’épicycle et la position [correspondante] en latitude, parce que KE : EN = LZ : ZX = ΘD : DM, et ainsi de suite pour les autres points [sur l’épicycle]. CQFD.

Cela établi, cherchons d’abord la grandeur de l’angle que l’obliquité des plans fait pour chaque planète. Supposons, selon ce qui a été noté au début, que les deux planètes, lorsqu’elles sont à mi-⁠chemin entre la plus grande et la plus petite distance, ont une différence maximale [de latitude] entre des positions opposées sur l’épicycle de 5° au nord ou au sud, puisque Vénus semble [ainsi] varier d’un peu plus de 5° au périgée et d’un peu moins de 5° à l’apogée, tandis que Mercure varie d’environ 1⁄2° [de plus et de moins que 5° à 180° de l’apogée et à l’apogée, respectivement].

G A B D E Z H

Soit encore ABG l’intersection de l’écliptique et de l’épicycle. Décrivons autour du centre B l’épicycle GDE , incliné par rapport au plan de l’écliptique, comme auparavant. Depuis le centre de l’écliptique A, traçons AD tangente à l’épicycle, et à partir de D, traçons la droite DZ perpendiculaire à GBE , et DH perpendiculaire au plan de l’écliptique. Joignons BD, ZH, et AH, et supposons que ∠ DAH est la moitié de l’écart de latitude ci-⁠dessus pour chacune des deux planètes, donc de 2⁠1⁄2° où quatre angles droits font 360°. Nous devons trouver la grandeur de l’inclinaison de chacun des plans, c’est-⁠à-⁠dire la grandeur de l’angle ∠ DZH.

Pour Vénus, puisque, là où le rayon de l’épicycle est 43;10p, la plus grande distance est de 61;15p, la plus petite de 58;45p, et la moyenne de 60p, alors AB : BD = 60 : 43;10. Et puisque AB2 − BD2 = AD2, alors AD = 41;40p des mêmes unités. De même, puisque BA : AD = BD : DZ, alors DZ = 29;58p des mêmes unités. De plus, puisque, par hypothèse, ∠ DAH = 2° 30′  où quatre angles droits font 360°, ou 5 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ADH, l’arc DH = 5° et la corde correspondante DH = 5;14p où l’hypoténuse AD = 120p. Par conséquent, où la droite AD = 41;40p, DH = 1;50p. Et nous avons démontré que DZ = 29;58p des mêmes unités, donc où l’hypoténuse DZ = 120p, DH = 7;20p, et l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 7 où deux angles droits font 360, ou 3° 30′ où quatre angles droits font 360°. Mais puisque la quantité par laquelle ∠ DAZ dépasse ∠ HAZ [soit ∠ DAZ − ∠ HAZ] représente la prostaphérèse en longitude, nous devons la calculer aussi, en trouvant les grandeurs de ces angles. Car puisque nous avons démontré que, où la droite DH = 1;50p, l’hypoténuse AD = 41;40p et DZ = 29;58p, et que AD2 − DH2 = AH2 ainsi que ZD2 − DH2 = HZ2, alors AH = 41;37p et HZ = 29;55p des mêmes unités.

Donc, où l’hypoténuse AH = 120p, ZH = 86;16p et ∠ ZAH = 91;56 où deux angles droits font 360, ou 45° 58′ où quatre angles droits font 360°. De même, puisque DZ = 86;18p où l’hypoténuse AD = 120p, alors ∠ DAZ = 91;58 où deux angles droits font 360, ou 45° 59′ où quatre angles droits font 360°. Donc la prostaphérèse en longitude calculée en tenant compte de l’inclinaison était inférieure d’une minute.

Pour Mercure, où le rayon de l’épicycle est de 22;30p, la plus grande distance, comme nous l’avons démontré, est de 69p et la distance diamétralement opposée à celle-⁠ci de 57p, pour une moyenne de 63p des mêmes unités. Ainsi, AB : BD = 63 : 22;30 et, puisque AB2 − DB2 = AD2, donc AD = 58;51p. De même, puisque AB : AD = BD : DZ, alors DZ = 21;01p des mêmes unités. En outre, puisque, par hypothèse, ∠ DAH = 5 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ADH, l’arc DH = 5° et la corde correspondante DH = 5;14p où l’hypoténuse AD = 120p. Par conséquent, où la droite AD = 58;51p, la droite DH = 2;34p. Mais nous avons démontré que DZ = 21;01p des mêmes unités ; donc, où l’hypoténuse DZ = 120p, DH = 14;40p et l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 14 où deux angles droits font 360, ou 7° où quatre angles droits font 360°.

De la même façon [que pour Vénus], pour déterminer les angles de la prostaphérèse [en longitude] : puisque la droite DH = 2;34p, et que nous avons démontré que l’hypoténuse AD = 58;51p et DZ = 21;01p, et que DA2 − DH2 = AH2 ainsi que DZ2 − DH2 = HZ2, alors AH = 58;47p et ZH = 20;53p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse AH = 120p, la droite HZ = 42;38p et ∠ ZAH = 41;38 où deux angles droits font 360, ou 20° 49′ où quatre angles droits font 360°. Conséquemment, où l’hypoténuse AD = 120p, la droite DZ = 42;50p et ∠ DAZ = 41;50 où deux angles droits font 360, ou 20° 55′ où quatre angles droits font 360°. Donc, dans ce cas, la prostaphérèse en longitude due à l’obliquité était inférieure de 6′. CQFD.

Voyons maintenant si, en supposant les quantités ci-⁠dessus pour l’obliquité comme données, nous trouvons que les plus grandes latitudes aux plus grandes et aux plus petites distances [dérivées d’eux] s’accordent avec celles dérivées des observations. Supposons donc, dans le même diagramme, la plus grande distance de Vénus, soit AB : BD = 61;15 : 43;10. Alors, puisque AB2 − BD2 = AD2, nous avons la droite AD = 43;27p. Mais AB : AD = BD : DZ , donc DZ = 30;37p des mêmes unités. En outre, puisque, par hypothèse, l’angle de l’obliquité ∠ DZH = 7 où deux angles droits font 360 et que la droite DH = 7;20p où l’hypoténuse DZ = 120p, alors où la droite DZ = 30;37p et AD = 43;27p, la droite DH = 1;52p. Donc où l’hypoténuse AD = 120p, la droite DH = 5;09p et la plus grande déviation en latitude ∠ DAH = 4;54 où deux angles droits font 360, ou 2° 27′ où quatre angles droits font 360°. Mais à la moindre distance, où le rayon de l’épicycle BD = 43;10p, la droite AB = 58;45p, et AB2 − DB2 = AD2, alors AD = 39;51p des mêmes unités.

De même, puisque AB : AD = BD : DZ , la droite DZ = 29;17p des mêmes unités. Mais DZ : DH est donné comme 120 : 7;20 ; conséquemment, où DZ = 29;17p et AD = 39;51p, la droite DH = 1;47p. Donc, où l’hypoténuse AD = 120p, DH = 5;22p et le plus grand écart en latitude ∠ DAH = 5;08 où deux angles droits font 360, ou 2° 34′ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi l’écart en latitude diffère à peine des 2⁠1⁄2°  de [la plus grande] déviation en latitude supposée pour la moyenne, étant [à peine] plus petit à l’apogée et [à peine] plus grand au périgée : à la plus grande distance, ce n’était que trois minutes de moins, et à la plus petite distance, quatre minutes de plus. Ces quantités ne pouvaient pas être détectées à partir des observations.

Supposons maintenant la plus grande distance de Mercure, soit AB : BD = 69 : 22;30. Ainsi, par la même procédure que précédemment, AD [= √(AB2 − BD2)] = 65;14p et DZ [= AD × BD ÷ AB] = 21;16p des mêmes unités. Mais nous avons calculé que l’angle d’obliquité ∠ DZH = 14 où deux angles droits font 360. Nous avons donc DH = 14;40p où l’hypoténuse DZ = 120p. Par conséquent, où la droite DZ = 21;16p et la droite AD = 65;14p, la droite DH = 2;36p ; ainsi, où l’hypoténuse AD = 120p, la droite DH = 4;47p et le plus grand écart en latitude ∠ DAH = 4;34 où deux angles droits font 360, ou 2° 17′ où quatre angles droits font 360°.

Mais à la moindre distance, AB : BD = 57 : 22;30 ; donc, toujours pour les mêmes raisons, AD = 52;22p des mêmes unités et DZ = 20;40p. Et l’inclinaison est la même qu’avant ; donc ZD : DH = 120 : 14;40, donc où la droite DZ = 20;40p et la droite AD = 52;22p, la droite DH = 2;32p. Ainsi, où hypoténuse AD = 120p, DH = 5;48p et ∠ DAH = 5;32 où deux angles droits font 360, ou 2° 46′ où quatre angles droits font 360°. Conséquemment, la différence maximale en latitude par rapport à la moyenne (encore égal à 2⁠1⁄2°) était de 13′ en moins à l’apogée et de 16′ en plus au périgée. Nous utiliserons donc une correction de 1⁄4° par rapport à la moyenne dans les calculs [du tableau], en ligne avec la différence perceptible lors des observations .

Suite à cela, et puisque nous avons aussi démontré que le rapport entre la plus grande prostaphérèse en longitude et la plus grande déviation en latitude est le même en d’autres points de l’épicycle que le rapport entre les prostaphérèses individuelles en longitude et les positions [correspondantes] en latitude, nous avons immédiatement une méthode commode pour calculer les positions en latitude dues à l’obliquité à inscrire dans la quatrième colonne des tableaux pour Vénus et de Mercure. Cependant, comme nous l’avons mentionné, ces positions ne sont basées que sur l’obliquité des épicycles à distance moyenne : la différence due à l’inclinaison des excentriques, et aussi la différence due à [l’approche de] l’apogée ou du périgée pour Mercure, seront trouvées au moyen d’une procédure de correction dans le calcul [à partir des tableaux], pour la commodité du calcul.

Puisque, aux distances moyennes indiquées ci-⁠dessus, la plus grande déviation due à l’obliquité est de 2° 30′ de chaque côté de l’écliptique pour les deux planètes ; que la plus grande prostaphérèse en longitude [élongation] est d’environ 46° pour Vénus et 22° pour Mercure ; et que nous avons déjà donné, dans les tableaux d’anomalies de ces planètes, les prostaphérèses correspondant aux positions individuelles sur l’épicycle, nous prendrons donc la même proportion de 2⁠1⁄2° proportionnelle à chaque planète, et nous inscrirons ces valeurs dans la quatrième colonne des tableaux de latitude en face des arguments correspondants.

La cinquième colonne [de chaque tableau] nous servira à corriger les positions en latitude pour d’autres positions [de l’épicycle] sur l’excentrique, en utilisant les soixantièmes qui y sont inscrits. Car puisque, comme nous l’avons dit, l’augmentation et la diminution de l’inclinaison et de l’obliquité de l’épicycle, par l’action des petits cercles attachés, ont une période correspondant exactement à la période de retour sur l’eccentrique, et puisque les quantités de toutes les inclinaisons et obliquités ne sont pas très différentes de celles trouvées pour le cercle incliné de la lune, et que les écarts individuels de latitude, pour de si petites inclinaisons, sont encore presque proportionnels, et puisque nous avons déjà les entrées correspondantes pour la Lune calculées géométriquement, nous avons multiplié chacune des entrées de ce tableau [de la Lune] par 12 (parce que le maximum y est d’environ 5°, et ici nous le supposons de 60°), et inscrit les résultats en face de l’argument approprié dans la cinquième colonne de chaque tableau.

Les tableaux sont les suivants.

5. Tableaux pour le calcul des latitudes

Saturne

Jupiter

Mars

Argument
[en distance]
depuis l’apogée
Limite nordLimite sudSoixantièmes          Argument
[en distance]
depuis l’apogée
Limite nordLimite sudSoixantièmes          Argument
[en distance]
depuis l’apogée
Limite nordLimite sudSoixantièmes
635424225936635417155936635408045936
123482523583612348181658361234809045836
1834226235701834218165701834201105570
2433627245436243361917543624336013065436
30330282552030330110185203033001407520
363242102748243632411119482436324015094824
42318211284424423181121104424423180180124424
483122122104004831211311140048312021015400
543062142123512543061141133512543060240183512
603002162153006030011611630060300028022300
662942182182424662941181182424662940320262424
722882212211824722881211211824722880360301824
782822242241224782821241241224782820410361224
842762272276248427612712762484276046042624
902702302300090270130130009027005204900
932672312313129326713113131293267055052312
962642332336249626413313362496264059056624
9926123423492499261134134924992611310924
1022582362361224102258136136122410225816141224
10525523723715241052551371371524105255110181524
108252239239182410825213913918241082521141131824
111249240240212411124914014021241112491181182124
114246242242242411424614214224241142461231242424
117243243243271211724314314327121172431281302712
120240245245300120240145145300120240134137300
123237246246323612323714614632361232371411443236
126234247248351212623414714835121262341481513512
12923124924937361292311491493736129231154203736
13222825025140013222815015140013222821210400
13522525225342121352251511534212135225292204212
138222253254442413822215215444241382222162324424
141219254255463614121915315546361412192252444636
144216255256482414421615515748241442162342564824
147213256257501214721315615950121472132443125012
15021025725852015021015820520150210254329520
1532072582595312153207159215312153207353465312
15620425930543615620420235436156204316495436
159201259315601592012124560159201327432560
16219830325701621982225570162198338455570
16519530325748165195222657481651953495245748
1681923133583616819223265836168192405535836
17118931335912171189232759121711894106215912
17418632345936174186242759361741864146365936
17718332345948177183242859481771834186515948
1801803235600180180242860018018042177600

Vénus

Mercure

Argument
[en distance]
depuis l’apogée
InclinaisonObliquitéSoixantièmes          Argument
[en distance]
depuis l’apogée
InclinaisonObliquitéSoixantièmes
63541208593663541450115936
12348110165836123481440225836
183421002557018342143033570
243360590335436243361400445436
3033005704152030330136055520
36324055049482436324130164824
423180510574424423181231164424
483120461540048312116126400
54306041113351254306181353512
6030003512030060300039144300
662940291282424662940491522424
72288023135182472288038201824
78282016142122478282026271224
842760815062484276016214624
902700015700902700022000
9326705203129326708223312
962640102362496264015225624
992610152692499261023227924
1022580202912241022580312281224
10525502621215241052550402291524
10825203221518241082520482291824
11124903821721241112490572302124
1142460442202424114246162302424
11724305022227121172431162302712
120240059224300120240125229300
1232371822632361232371352283236
12623411822735121262341452263512
12923112822937361292311552233736
13222813823040013222826220400
13522514823042121352252162164212
13822215923044241382222272114424
1412192112294636141219237264636
1442162232284824144216247204824
14721324322650121472132571535012
1502103322252015021037146520
15320732321853121532073171385312
15620434421254361562043261295436
1592014524560159201334120560
162198426155570162198342110570
16519544914257481651953480595748
16819251312758361681923540485836
1711895361959121711893580365912
1741865520485936174186420245936
177183670255948177183440125948
180180622006001801804500600

6. Utilisation des tableaux pour le calcul de la latitude des cinq planètes

Ceci étant exposé, nous allons effectuer le calcul de la latitude pour les cinq planètes, comme suit.

Pour les trois [planètes] Saturne, Jupiter, et Mars, nous prenons la longitude vraie pour Mars, la longitude vraie moins 20° pour Jupiter, et la longitude vraie plus 50° pour Saturne, et nous l’entrons comme argument dans le tableau approprié, puis trouvons les soixantièmes correspondants dans la cinquième colonne de latitude, et les notons séparément. Nous entrons ensuite dans la même [colonne] de l’argument avec l’anomalie vraie [corrigée], et nous prenons la différence en latitude qui lui correspond dans la troisième colonne si la longitude vraie [corrigée] est dans les 15 premières lignes [entre 0° et 90° ou entre 270° et 360°], mais dans la quatrième colonne si elle est dans les lignes suivantes [après la 15e, soit entre 90° et 270°]. Nous multiplions cette latitude par les soixantièmes que nous avons notés, et le résultat nous donnera la quantité par laquelle la planète est au nord de l’écliptique, si nous avons pris la différence de latitude de la troisième colonne, ou au sud de celui-⁠ci, si nous l’avons prise de la quatrième.

Pour Vénus et Mercure, nous entrons l’anomalie vraie [corrigée] comme argument dans le tableau approprié, prenons les quantités correspondantes dans les troisième et quatrième colonnes de latitude, et les notons séparément, inchangées, sauf pour la quatrième colonne pour Mercure où, si la longitude corrigée est dans les 15 premières lignes, nous soustrayons un dixième  de la quantité, mais si la longitude corrigée est dans les lignes inférieures [à la 15e], nous ajoutons un dixième. Ensuite, nous ajoutons 90° à la longitude corrigée pour Vénus, et 270° pour Mercure, et nous soustrayons [les 360° de] cercle s’il y a lieu [c’est-⁠à-⁠dire si le résultat est plus grand que 360°]. Nous entrons avec le résultat comme argument, et nous prenons les soixantièmes de la cinquième colonne. Nous multiplions ce nombre par le montant que nous avons noté dans la troisième colonne, et nous obtenons ainsi la latitude. Celle-⁠ci sera :

Ensuite, nous prenons à nouveau la longitude corrigée, inchangée pour Vénus, mais en ajoutant 180° pour Mercure, et nous l’entrons comme argument. Nous prenons ensuite les soixantièmes correspondants dans la cinquième colonne, et nous les multiplions par le montant que nous avons noté de la quatrième colonne , et nous obtenons ainsi la latitude. Celle-⁠ci sera :

Nous prenons ensuite les mêmes soixantièmes qui ont été trouvés lors de la seconde entrée avec la longitude, et nous calculons la quantité qui est la même fraction d’eux qu’ils sont de 60  et, pour Vénus, nous en prenons 1⁄6e vers le nord, mais pour Mercure, nous en prenons les 3⁄4 vers le sud . Ainsi, en combinant les 3 quantités obtenues, nous déterminons la position apparente en latitude par rapport à l’écliptique de chaque astre.

7. Des première et dernière visibilités des cinq planètes

Maintenant que nous avons traité de l’écart en latitude des 5 planètes, il reste, pour compléter leur théorie, à traiter de leurs première et dernière visibilités par rapport au Soleil. Car, comme nous l’avons expliqué dans le traité sur les étoiles fixes, leurs distances au Soleil le long de l’écliptique varient diversement, tant pour la première que pour la dernière visibilité, pour un certain nombre de raisons : la première est qu’elles sont de tailles inégales, la seconde est la différence de l’inclinaison de l’écliptique par rapport à l’horizon, et la troisième est la diversité de leurs positions en latitude.

Z B A G D E Θ H L K

En effet, si nous imaginons des segments de grands cercles — AB celui de l’horizon et GD celui de l’écliptique — et prenons le point E comme leur intersection au lever ou au coucher, les points G et A étant au [méridien] sud , et le point D comme centre du Soleil, et si nous traçons par D et par le pôle de l’horizon un autre segment de grand cercle DBZ, que nous supposons que la planète se lève ou se couche le long de l’horizon AEB (quand elle est située sur l’écliptique, elle le fera, évidemment, en E ; lorsqu’elle est au nord de l’écliptique, en H ; et lorsqu’elle est au sud, en Θ), et que nous traçons [enfin], à partir des points H et Θ, les droites HK et ΘL perpendiculaires à l’écliptique, alors nous aurons en BD un arc égal à la distance que le Soleil doit toujours être sous la terre [sous l’horizon] pour que la planète [donnée] soit à sa première ou sa dernière visibilité. Car c’est sur un tel grand cercle [DBZ, perpendiculaire à l’horizon] que des intervalles égaux sous la terre [sous l’horizon] doivent être mesurés pour que l’effet d’estompe  des rayons du Soleil se produise de la même manière.

Mais cette distance sous l’horizon est, naturellement, inégale pour les différentes planètes, qui sont inégales [en luminosité], donc, toutes choses égales, l’arc de l’écliptique sous-⁠tendant l’angle droit, c’est-⁠à-⁠dire l’intervalle correspondant à ED [l’hypoténuse], doit varier, étant évidemment plus petit pour les plus grosses [brillantes] planètes, et plus grand pour les plus petites [faibles].

De même, la droite BD restant la même pour la même planète, si l’angle BED d’inclinaison de l’écliptique varie — soit parce qu’un autre signe zodiacal [est à l’horizon] ou parce que le climat [la latitude] de l’emplacement est différent —, alors l’arc ED de la distance [au Soleil] variera également, devenant plus grand quand l’angle en question [BED] diminue, et plus petit quand il [BED] augmente.

De la même manière, si nous ajoutons à la condition ci-⁠dessus [que BD soit constant] la condition supplémentaire que l’inclinaison demeure la même, et que l’astre ne se trouve pas sur l’écliptique, mais au nord de celui-⁠ci en H ou au sud en Θ, sa première et sa dernière visibilités n’auront plus lieu à une distance [du Soleil] égale à l’arc DE mais, lorsqu’il est au nord de l’écliptique, à la distance DK plus petite, et lorsqu’il est au sud, à la distance DEL plus grande.

Par conséquent, pour un traitement précis du sujet, il est essentiel de donner d’abord, pour chacune des 5 planètes, la taille de l’arc BD correspondant, à partir d’observations des plus fiables de leurs apparitions. Celles-⁠ci se font en été, autour du Cancer, car à cette saison l’atmosphère est fine et claire, et l’inclinaison de l’écliptique sur l’horizon est symétrique [aux horizons est et ouest]. Nous trouvons donc, en examinant les observations des [premiers] levers, que vers le début du Cancer, en général, Saturne se lève [c’est-⁠à-⁠dire est d’abord visible] à une distance du Soleil vrai de 14° ; Jupiter à 12⁠3⁄4° ; Mars à 14⁠1⁄2° ; Vénus en étoile du soir à 5⁠2⁄3° ; et Mercure en étoile du soir à 11⁠1⁄2°.

Cela posé, traçons le même diagramme que précédemment ; pour des arcs aussi petits, il ne fera aucune différence si, question de commodité, nous utilisons dans nos calculs les cordes correspondantes, qui ne sont pas sensiblement différentes des arcs eux-⁠mêmes. Soit le point E d’intersection de l’écliptique et de l’horizon aux phases susmentionnées, au début du Cancer, et se levant pour les trois [astres] du matin — Saturne, Jupiter, et Mars — mais se couchant pour les étoiles du soir — Vénus et Mercure. Supposons comme climat [latitude géographique] le parallèle passant par la Phénicie, où le jour le plus long est de 14⁠1⁄4 heures équinoxiales, puisque c’est principalement sur ce parallèle ou autour de lui qu’ont été faites la plupart et les plus fiables des observations des phases, celles des Babyloniens presque dessus [ce parallèle], et celles faites en Grèce et en Égypte près de lui.

Nous trouvons donc, au moyen de la procédure des angles [entre l’écliptique et l’horizon] précédemment démontrée, que lorsque le début du Cancer se lève à la latitude en question, ∠ BED = 103 où deux angles droits font 360 ; par conséquent, le rapport des côtés de l’angle droit [BD : BE] ≈ 94 : 75 où l’hypoténuse [DE] = 120p. Selon ce qui a été démontré pour la latitude [planétaire], quand les trois premières planètes [extérieures] se lèvent [pour la première fois] près du début du Cancer, c’est-⁠à-⁠dire lorsqu’elles sont près de l’apogée de leur épicycle, à une distance de l’apogée ne dépassant pas un signe [soit 1⁄12 de la circonférence de l’épicycle], alors Saturne et Jupiter sont pratiquement sur l’écliptique, tandis que Mars est à environ 1⁄5° au nord de l’écliptique.

Donc leur distance au Soleil le long de l’écliptique sera représentée par DE pour Saturne et Jupiter, et par DK pour Mars, puisqu’il est au nord de [l’écliptique] par une quantité KH = 12′. Et puisque KH : KE = 94 : 75, la droite KE ≈ 10′ des mêmes unités. Mais par hypothèse pour Mars, DK = 14⁠1⁄2°, donc la droite entière [par addition] DE = 14° 40′ ; pour Saturne, 14° ; et pour Jupiter, 12⁠3⁄4°. Ainsi, puisque ED : DB = 120;94, nous obtenons approximativement l’arc DB du grand cercle qui passe par les pôles de l’horizon, de 11° pour Saturne, 10° pour Jupiter, et 11⁠1⁄2° pour Mars.

De même, pour Vénus et Mercure, puisque lorsque le début du Cancer se couche, il forme le même angle et la même inclinaison par rapport à l’horizon qu’auparavant, et que, par hypothèse, lorsque ces planètes ont leur première visibilité en tant qu’étoile du soir dans cette partie du écliptique, la distance de Vénus au Soleil vrai est de 5⁠2⁄3° et celle de Mercure de 11⁠1⁄2° ; il s’ensuit donc que, à leurs [premiers] levers, le Soleil vrai aura une longitude de 24⁠1⁄3° des Gémeaux pour Vénus et 18⁠1⁄2° des Gémeaux pour Mercure, tandis que la longitude du Soleil moyen sera d’environ 25° des Gémeaux pour Vénus et 19° des Gémeaux pour Mercure — ainsi, ces planètes auront cette position en longitude moyenne. Or quand, à ces longitudes [moyennes], les planètes ont une position apparente au début du Cancer, nous trouvons que Vénus est à environ 14° de l’apogée de son épicycle, et Mercure à 32°. (Cela a été démontré par les théorèmes sur leur anomalie que nous avons exposés précédemment.) En conséquence, à ces positions, nous constatons que Vénus est à environ 1° au nord de l’écliptique, et Mercure à environ 1⁠2⁄3° au nord ; c’est évidemment la valeur de KH en ces points. Donc, puisque KH : EK = 94 : 75, et que 94 : 75 ≈ 1 : 1⁠3⁄4, ou environ 1⁠2⁄3 : 1⁠1⁄3, alors EK = 3⁄4° pour Vénus et 1⁠1⁄3° pour Mercure. Mais par hypothèse, la distance apparente de la planète au Soleil DK = 5⁠2⁄3° pour Vénus et 11⁠1⁄2° pour Mercure ; donc la droite entière [par addition] DKE ≈ 6⁠2⁄5° pour Vénus et 12⁠5⁄6° pour Mercure.

Ainsi, puisque ED : BD = 120 : 94, et que ce rapport est à peu près le même que 6⁠2⁄5 : 5 et que 12⁠5⁄6 : 10 environ, alors nous obtenons pour la taille de la distance normale DB = 5° pour Vénus et 10° pour Mercure.

8. Particularités des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure, en accord avec les hypothèses

De plus, c’est en accord avec les hypothèses détaillées ci-⁠dessus que se produisent les caractéristiques étranges des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure : à savoir que, pour Vénus, l’intervalle du coucher du soir au lever du matin est d’environ 2 jours autour du début des Poissons, mais d’environ 16 jours autour du début de la Vierge ; et, pour l’astre de Mercure, ses phases en étoile du soir manquent, alors qu’on les attendrait, vers le début du Scorpion, et ses phases d’étoile du matin [manquent aussi] vers le début du Taureau. Voici comment nous expliquons cela, et d’abord pour Vénus.

A B G D Z H E K

Soit un diagramme similaire au précédent pour les phases, et soit le point E de l’écliptique au début des Poissons, où Vénus près du périgée de son épicycle, est à environ 6⁠1⁄3° au nord de l’écliptique. Supposons que le diagramme représente le coucher du soir [la dernière visibilité en tant qu’étoile du soir]. À la latitude terrestre en question, nous trouvons que ∠ BED = 154 où deux angles droits font 360 et [dans les triangles rectangles BED et KEH], où l’hypoténuse est 120p, le plus grand des côtés de l’angle droit [BD ou KH] ≈ 117p, et le plus petit, [BE ou KE] ≈ 27p. Par conséquent, où la distance normale DB = 5°, la droite DE = 5° 08′. Mais puisque l’astre est à un arc KH = 6⁠1⁄3° au nord de l’écliptique et que le rapport 117 : 27 ≈ 6⁠1⁄3 : 1⁠1⁄2 , alors la droite KE = 1⁠1⁄2° et le reste [par soustraction], qui représente la distance de la planète vers l’arrière [l’est / suivant les signes] du Soleil à son coucher du soir, est de KD = [5;8 − 1;30 =] 3° 38′.

Θ A E Z B D K H

En outre, dans un diagramme similaire, puisqu’au lever du matin [c’est-⁠à-⁠dire à la première visibilité de la planète en tant qu’étoile du matin] ∠ BED = 69 où deux angles droits font 360, et que, conséquemment, l’hypoténuse [des triangles rectangles] vaut 120p, alors le plus petit des côtés de l’angle droit [BD ou KH] ≈ 68p et le plus grand, [BE ou KE] ≈ 99p ; et nous calculons que 68 : 120 = 5 : 8;49 et que 68 : 99 = 6⁠1⁄3 : 9;13 , donc nous avons DE = 8° 49′ des mêmes unités, et la différence [de longitude] due à la latitude KE = 9° 13′ ; et le reste [par soustraction, qui est la distance de la planète] au Soleil, vers l’arrière [l’est / suivant les signes], DK = 0° 24′.

Or, à son coucher du soir, la distance de l’astre, également vers l’arrière [l’est], était de 3° 38′. Par conséquent, pendant l’intervalle entre le coucher du soir et le lever du matin, il s’est déplacé d’une distance inférieure au mouvement du Soleil (soit approximativement son propre mouvement en longitude [moyenne]) de 3° 14′, ce qui est dû à son mouvement d’avance [vers l’ouest] sur l’épicycle. Or, nous pouvons déterminer aisément, à partir du tableau des anomalies, qu’un mouvement en avant [vers l’ouest] de cette quantité [3° 14′] est produit par un mouvement de 1⁠1⁄4° sur l’épicycle près de son périgée ; [distance] que la planète parcourt [en anomalie] en 2 jours environ. Il est donc clair que [2 jours] est la période de l’intervalle ci-⁠dessus, en accord avec les phénomènes.

En outre, dans un diagramme similaire, supposons le point E au début de la Vierge, où Vénus au périgée de son épicycle est au sud de l’écliptique d’environ les mêmes 6⁠1⁄3°. Considérons d’abord le [dernier] coucher du soir, lorsque ∠ BED = 69 où deux angles droits font 360. Ainsi, là où l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut 120p, le plus petit des côtés de l’angle droit [BD] ≈ 68p et le plus grand, [BE] ≈ 99p. Ainsi, puisque ces rapports [BD : BE : DE] sont les mêmes que pour le [premier] lever du matin dans les Poissons, et que la différence due à la latitude est égale [à celle qu’elle est à ce point-⁠là], nous avons l’arc ED = 8° 49′, l’arc de la différence [de longitude] due à la latitude LE = 9° 13′, et l’arc entier [par addition] DL = 18° 02′, correspondant à la distance de la planète à l’arrière [à l’est / suivant les signes] du Soleil. Or, d’après le tableau des anomalies, comme mentionné précédemment, à cette quantité [18° 02′] de rétrogradation par rapport au mouvement moyen en longitude du Soleil et de la planète, correspond [un mouvement en anomalie] d’environ 7⁠1⁄2° depuis le périgée de l’épicycle.

De même, au [premier] lever du matin au début de la Vierge, quand ∠ BED = 154 où deux angles droits font 360, et que [conséquemment] l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut 120p, et que le plus grand des côtés de l’angle droit [BD] = 117p, et le plus petit, [BE] = 27p ; alors nous obtenons les mêmes rapports que ceux du [dernier] coucher du soir dans les Poissons, et nous obtenons donc DE = 5° 08′, la différence [de longitude] due à la latitude EL = 1° 30′, et la distance de la planète au Soleil en avance [vers l’ouest], DL = 6° 38′. À cette quantité correspond, selon la même procédure que ci-⁠dessus, environ 2⁠1⁄2° de [mouvement en anomalie] près du périgée de l’épicycle. Par conséquent, du [dernier] coucher du soir au [premier] lever du matin, la quantité totale de mouvement sur l’épicycle de l’astre de Vénus est de 10°, qu’il traverse en environ 16 jours, ce qui, comme indiqué ci-⁠dessus, concorde avec les phénomènes.

Cela posé, nous devons maintenant expliquer les phases manquantes de Mercure ; d’abord au début du Scorpion où, même s’il atteint sa plus grande élongation vers l’arrière [à l’est] du Soleil, il ne peut pas devenir visible comme étoile du soir.

Z D B A G E Θ L

Soit donc le diagramme des phases étant repris, avec le point E pris comme le point sur l’écliptique au début du Scorpion [à une latitude terrestre] telle qu’au coucher ∠ BED = 69 où deux angles droits font 360, et où l’hypoténuse [du triangle rectangle BED] vaut donc 120p, alors le plus petit des côtés de l’angle droit [BD] = 68p, et le plus grand, [BE] = 99p. Donc où la distance normale BD = 10°, la droite DE = 17° 39′. Mais lorsque l’astre se trouve dans cette situation, il se trouve à environ 3° au sud de l’écliptique. Ainsi, puisque les rapports ci-⁠dessus, où la quantité de la latitude LΘ = 3°, la droite LE = 4° 22′ et la droite entière [par addition] DEL [≈ 17° 39′ + 4° 22′] ≈ 22°. Par conséquent, la planète doit être à cet angle [22°] du Soleil vrai pour devenir visible pour la première fois. Mais puisque son élongation maximale par rapport au Soleil vrai lorsqu’il est au début du Scorpion n’est que de 20° 58′, comme nous l’avons démontré précédemment dans notre traitement des plus grandes élongations, il est évident que ces phases [de visibilité] manquent.

En outre, si nous traçons le même diagramme des phases et prenons le point E comme début du Taureau au lever du matin, alors lorsque la planète, conformément aux mouvements énoncés, est à environ 3⁠1⁄6° au sud de l’écliptique , et les rapports des côtés [des triangles BED et LEΘ] des angles droits sont les mêmes que précédemment, alors DE = 17° 39′ et, où la latitude ΘL = 3° 10′, LE = 4° 37′, et la ligne entière [par addition] DEL = 22° 16′.

Ainsi, la planète devra être à cet angle [22° 16′] du Soleil vrai pour devenir visible pour la première fois. Mais puisque son élongation maximale [dans cette situation] ne dépasse alors pas 22° 13′, comme nous l’avons précédemment démontré, alors cette phase [de visibilité] manque forcément encore. Nous avons ainsi démontré que les faits sont en accord avec les hypothèses que nous avons émises.

9. Méthode de détermination des élongations au Soleil des première et dernière visibilités

Il est évident, d’après ce qui précède, que si nous considérons comme fixe, pour chaque planète, l’arc normal [arcus visionis] BD, et que nous plaçons le début [de chacune] des dodécatémories [signes du zodiaque] à l’intersection E, et donc [que nous considérons] l’angle BED [comme fixe], l’arc DE et la position en latitude (KH ou ΘL) de la planète à cette élongation [DE], alors nous aurons KE ou EL [respectivement] ainsi que la distance apparente DK ou DL [correspondante] [par rapport au Soleil vrai]. De cette façon (pour ne pas allonger notre traité), nous avons calculé, pour toutes les dodécatémories et pour chacun des cinq astres, mais pour un seul climat [latitude terrestre] — soit le parallèle intermédiaire utilisé ci-⁠dessus, puisque cela est suffisant — la distance apparente au Soleil vrai des [premiers] levers et [derniers] couchers, en supposant que les astres eux-⁠mêmes étaient situés au début des signes. Nous les présentons ci-⁠dessous, en les mettant également, pour la commodité de l’utilisateur, dans 5 tableaux, un pour chaque astre, contenant chacun 12 lignes. Les trois premiers tableaux — pour Saturne, Jupiter, et Mars — sont disposés en 3 colonnes : la première contient le début des signes, la seconde les élongations au [premier] lever du matin, et la troisième ceux au [dernier] coucher du soir. Les deux tableaux suivants — pour Vénus et Mercure — sont disposés en 5 colonnes : la première contient encore le début des signes, la seconde les élongations au lever du soir, la troisième celles au coucher du soir, la quatrième encore celles au lever du matin, et la cinquième celles au coucher du matin. Les tableaux sont les suivants.

10. Tableaux des première et dernière visibilités des cinq planètes

Saturne

     

Jupiter

     

Mars

     

Vénus

     

Mercure

Début du signeLever
du matin
Coucher
du soir
Début du signeLever
du matin
Coucher
du soir
Début du signeLever
du matin
Coucher
du soir
Début du signeLever
du soir
Coucher
du soir
Lever
du matin
Coucher
du matin
Début du signeLever
du soir
Coucher
du soir
Lever
du matin
Coucher
du matin
Bélier23301128Bélier20101019Bélier21121140Bélier51049301028Bélier95894323582338
Taureau21571141Taureau1961029Taureau20161148Taureau58416616940Taureau104101522152215
Gémeaux17521226Gémeaux15511110Gémeaux17211230Gémeaux51257915736Gémeaux101811471801644
Cancer142142Cancer12461246Cancer14331433Cancer536823950559Cancer122215341441230
Lion11341534Lion10401431Lion12281719Lion6161338255Lion1343195911251021
Vierge10531653Vierge1011612Vierge1146205Vierge722182638454Vierge18123131021959
Balance1048176Balance9571634Balance1138211Balance7531743541454Balance22492316951100
Scorpion10531653Scorpion1011612Scorpion11482019Scorpion8201347528455Scorpion2012219441019
Sagittaire11341534Sagittaire10401431Sagittaire12341732Sagittaire74981439516Sagittaire181117259251119
Capricorne142142Capricorne12461246Capricorne14451445Capricorne65248243635Capricorne13541210936145
Verseau17521226Verseau15511110Verseau17351236Verseau551316030833Verseau111095012271750
Poissons21571141Poissons1961029Poissons20261149Poissons5223380241016Poissons101194319152146

11. Épilogue

Nous avons maintenant terminé tous ces sujets, cher Syrus, qui devaient, du moins à mon avis, être soumis à la théorie aux fins de ce genre de traité, en tout cas dans la mesure où les temps qui nous ont précédés ont contribué de découvertes ou de corrections [des découvertes antérieures], et dans la mesure où a été suggéré par un mémoire  dirigé uniquement vers l’utilité scientifique, et non vers l’ostentation. Donc, à ce stade, notre discussion actuelle peut être terminée à un endroit approprié et à la bonne longueur.

Fin du treizième et dernier livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC