Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

1. Démonstration de l’apogée de Vénus

Après cette explication des hypothèses de Mercure, des grandeurs de ses anomalies, et aussi des quantités précises de ses mouvements périodiques, et de leurs époques, nous avons cherché pour Vénus, la position sur l’écliptique de l’apogée et du périgée de son excentrique d’après les plus grandes élongations qui sont égales et du même côté [du Soleil]. Nous n’avons pas trouvé d’observations anciennes de paires de positions compatibles, mais nous avons utilisé des observations contemporaines pour notre approche, comme suit.

Voici une simulation de la situation le 8 mars 132, à 19 h 00, heure d’Alexandrie. Il est étonnant que la présence de la Lune ne soit pas mentionnée, bien qu’elle ne soit pas pertinente à l’observation ; il est possible que l’observation ait plutôt eu lieu le soir du 9 mars, ce qui placerait la Lune beaucoup plus loin — et Vénus plus proche (anneau rouge). Manitius a comme équivalence de date le 7 mars, mais cela placerait Vénus trop loin des Pléiades (anneau bleu). D’une façon ou d’une autre, il est aussi difficile d’interpréter exactement « la longueur des Pléiades en avance sur le milieu des Pléiades », et aucune position ne semble plus au sud que l’amas stellaire.

Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Des observations que nous a données le mathématicien Théon, nous en avons trouvé une datant de la seizième année d’Hadrien, le 21/22 pharmouthi du calendrier égyptien [8/9 mars 132]. Il y dit que Vénus était à sa plus grande élongation en tant qu’étoile du soir par rapport au Soleil, et était de la longueur des Pléiades en avance sur le milieu des Pléiades, et qu’elle semblait un peu plus avancée au sud. Maintenant, selon nos coordonnées, la longitude du milieu des Pléiades à ce moment-⁠là était de 3° du Taureau, et sa longueur est d’environ 1⁠1⁄2° : il est donc clair que la longitude de Vénus à ce moment-⁠là était de 1⁠1⁄2° du Taureau. Ainsi, puisque la longitude du soleil moyen à ce moment était de 14° des Poissons, la plus grande distance de la moyenne en tant qu’étoile du soir était de 47⁠1⁄4°.

Voici une simulation de la situation le 29 juillet 140, à 4 h 30, heure d’Alexandrie. On note que la position de Vénus ne concorde pas avec la description qu’en fait Ptolémée — Vénus est plutôt au sud-⁠est de Mekbuda — et elle est encore plus loin de l’étoile le 30 juillet. Il n’y a pas non plus d’erreur de traduction, le texte grrec disant bien πρὸς ἄρκτους καὶ ἀνατολὰς. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Nous avons observé, dans la quatrième  année d’Antonin, le matin du 11 au 12 thout du calendrier égyptien [29/30 juillet 140], Vénus à sa plus grande élongation matinale par rapport au Soleil, à la moitié d’une lune au nord-⁠est de [l’étoile du] genou du milieu des Gémeaux [ζ Gem / Mekbuda]. À ce moment, la longitude de l’étoile fixe, selon nous, était de 18⁠1⁄4°, donc Vénus était à environ 18⁠1⁄2° des Gémeaux, et le soleil moyen à 5⁠3⁄4° du Lion. La plus grande élongation matinale était donc la même qu’avant, soit 47⁠1⁄4°.

Maintenant, puisque la position moyenne était de 14⁠1⁄4° des Poissons lors de la première observation, et de 5⁠3⁄4° du Lion lors de la seconde, et que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre ces deux tombe à 25° du Taureau ou du Scorpion, le diamètre passant par l’apogée et le périgée doit passer par ceux-⁠ci.

Voici une simulation de la situation le 12 octobre 127, à 5 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

De même, dans [les observations de] Theon, nous trouvons que dans la 12^e année d’Hadrien, le matin du 21 au 22 athyr du calendrier égyptien [11/12 octobre 127], Vénus était à sa plus grande élongation par rapport au Soleil et plus avancée en longitude [à l’arrière / à l’est] de l’étoile du bout de l’aile sud de la Vierge [β Vir / Zavijava], par la longueur des Pléiades, ou de cette longueur moins le diamètre de la planète, et cette étoile semblait être une lune vers le nord. Or, selon nous, cette [étoile] fixe était alors à 28⁠11⁄12° du Lion ; Vénus était donc à environ 0⁠1⁄3° de la Vierge, et le soleil moyen à 17⁠26⁄30° de la Balance. Ainsi, la plus grande élongation matinale était de 47⁠16⁄30° du lieu moyen.

Voici une simulation de la situation le 25 décembre 136, à 18 h 30, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1° (l’échelle est la moitié de celle des images précédentes). La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Dans la 21^e année d’Hadrien, le soir du 9 au 10 du mois égyptien de méchir [25/26 décembre 136], nous avons observé Vénus à sa plus grande élongation par rapport au Soleil. Elle était en avant [à l’ouest] de l’étoile la plus au nord [φ Aqr] des quatre [φ Aqr, χ Aqr, ψ¹ Aqr, et ψ³ Aqr] qui forment un quadrilatère (après [à l’est de] l’étoile suivante [à l’est] en ligne droite avec les fesses du Verseau [σ Aqr et ι Aqr]), [sa distance de l’étoile était] d’environ les deux tiers  d’une pleine lune, et elle semblait effacer [καταλάμπειν] cette étoile par sa lumière. Puisque cette [étoile] fixe, selon nous, était alors à 20° du Verseau, Vénus était donc à environ 19⁠3⁄5° du Verseau, et la longitude moyenne du soleil était de 2⁠1⁄15 du Capricorne°. La plus grande élongation vespérale était donc la même [que la matinale], soit 47⁠16⁄30°. Le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre les 17⁠26⁄30° de la Balance de la première observation et les 2⁠1⁄15° du Capricorne de la seconde est à nouveau à 25° du Scorpion ou du Taureau.

2. De la taille de l’épicycle de Vénus

Nous avons ainsi déterminé que, de nos jours, l’apogée et le périgée de l’excentrique [de Vénus] sont à 25° du Taureau et du Scorpion. Nous avons conséquemment cherché les plus grandes élongations par rapport à la moyenne qui se produisent lorsque le Soleil est proche de 25° du Taureau [ou ] proche de 25° du Scorpion.

Voici une simulation de la situation le 20 mai 129, à 4 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1° (l’échelle est la moitié de celle des images précédentes). La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Or, parmi [les observations] que nous a données  Theon, nous trouvons que dans la 13^e année d’Hadrien, du 2 au 3 épiphi [selon] le [calendrier] égyptien [19/20 mai 129], Vénus était à sa plus grande élongation solaire matinale, et avait 1⁠2⁄5° d’avance sur [à l’ouest de] la droite passant par la plus avancée [occidentale] des 3 étoiles de la tête du Bélier et celle de la patte arrière ; et sa distance à l’étoile la plus avancée de celles de la tête était environ le double de sa distance à l’étoile de la patte. Or, à cette époque, selon nous, l’étoile la plus avancée des 3 de la tête du Bélier [γ² Ari] était à 6⁠3⁄5° [du Bélier] et à 7⁠1⁄3° au nord [de l’écliptique], et celle dans la patte arrière du Bélier [μ Cet] était à 14⁠3⁄4° [du Bélier] et à 5⁠1⁄4° au sud [de l’écliptique]. Ainsi, Vénus était à 10⁠3⁄5° du Bélier et à 1⁠1⁄2° au sud [de l’écliptique]. Donc, puisque le soleil moyen à cette époque était à 25⁠2⁄5° du Taureau, la plus grande élongation par rapport à la moyenne était de 44⁠4⁄5°.

Voici une simulation de la situation le 18 novembre 136, à 18 h 30, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1° (l’échelle est la moitié de celle des images précédentes). La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Nous avons observé, dans la 21^e année d’Hadrien, au soir du 2 au 3 tybi [selon le calendrier] égyptien [18/19 novembre 136], Vénus à sa plus grande distance du Soleil. En mesurant [sa position] par rapport aux étoiles des cornes du Capricorne [Algedi (α² Cap) et Dabih (β Cap)], nous avons vu qu’elle était à 12⁠5⁄6° du Capricorne, tandis que le soleil moyen était à 25⁠1⁄2° du Scorpion. Conséquemment, la plus grande élongation par rapport à la moyenne était de 47⁠1⁄3°.

Il est donc clair que l’apogée se situe à 25° du Taureau et le périgée à 25° du Scorpion. Il nous est également devenu évident que le cercle excentrique de Vénus, portant l’épicycle, est fixe, puisque nulle part sur l’écliptique nous ne trouvons la somme des plus grandes élongations par rapport à la moyenne des deux côtés inférieure à la somme des deux dans le Taureau, ou supérieure à la somme des deux dans le Scorpion.

Partant de ces données, soit ABG, le cercle excentrique de Vénus, qui porte l’épicycle, avec comme diamètre AG sur lequel D est le centre de l’excentrique, E le centre de l’écliptique, et A le point à 25° du Taureau. Autour des points A et G, traçons des épicycles égaux, sur lesquels se trouvent les points Z et H [respectivement]. Traçons les tangentes EZ et EH, et joignons AZ et GH.

Alors, puisque ∠ AEZ, au centre de l’écliptique, sous-tend la plus grande élongation de la planète à l’apogée, (de 44⁠4⁄5° par hypothèse), alors ∠ AEZ = 44° 48′ où quatre angles droits font 360°, ou 89;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle AEZ, l’arc AZ = 89° 36′ et sa corde AZ ≈ 84;33^p où l’hypoténuse AE = 120^p.

De même, puisque ∠ GEH sous-tend la plus grande élongation au périgée (de 47⁠1⁄3° par hypothèse), ∠ GEH = 47° 20′ où quatre angles droits font 360°, ou 94;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GEH, l’arc GH = 94° 40′ et sa corde GH ≈ 88;13^p où l’hypoténuse EG = 120^p. Donc, où le rayon de l’épicycle GH (= AZ) = 84;33^p, et AE = 120^p, EG = 115;01^p, et [par addition] la droite entière AG = 235;01^p et sa moitié, AD ≈ 117;30^p, et (par soustraction) la distance entre les centres DE = 2;29^p.

Conséquemment, où le rayon de l’excentrique AD = 60^p, la distance entre les centres DE ≈ 1⁠1⁄4^p et le rayon de l’épicycle AZ = 43⁠1⁄6^p.

3. Des proportions des excentricités de Vénus

Mais puisqu’il reste à éclaircir si le mouvement uniforme de l’épicycle a lieu autour du point D, ici aussi nous avons pris deux plus grandes élongations, de côtés opposés [c’est-⁠à-⁠dire une vespérale et l’autre matinale], dans chacune desquelles le mouvement moyen du Soleil était à un quadrant de l’apogée.

Voici une simulation de la situation le 18 février 134, à 5 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Nous avons observé la première dans la 18^e année d’Hadrien, du 2 au 3 pharmouthi des égyptiens [17/18 février 134]. Vénus était alors à sa plus grande élongation matinale au Soleil, et mesurée par rapport à l’étoile appelée Antarès [catalogue XXIX 8], elle était à 11⁠11⁄12° du Capricorne, alors que le soleil moyen était à 25⁠1⁄2° du Verseau ; ainsi, la plus grande élongation matinale par rapport à la moyenne était de 43⁠7⁄12°.

Voici une simulation de la situation le 18 février 140, à 19 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Nous avons observé l’autre dans la troisième année d’Antonin, le soir du 4 au 5 pharmouthi des égyptiens [18/19 février 140]. Vénus était alors à sa plus grande élongation au Soleil, et mesurée par rapport à l’étoile brillante des Hyades [catalogue XXIII 14], elle était à 13⁠5⁄6° du Bélier, tandis que le soleil moyen était à 25⁠1⁄2° du Verseau. Par conséquent, la plus grande élongation vespérale par rapport à la moyenne était donc de 48⁠1⁄3°.

Avec ces données, soit ABG [ci-⁠dessous] le diamètre passant par l’apogée et le périgée de l’excentrique, où A représente le point à 25° du Taureau et B représente le centre de l’écliptique. Nous devons trouver le centre autour duquel nous disons que le mouvement uniforme de l’épicycle a lieu. Soit le point D représentant ce centre, et traçons à partir de D la droite DE perpendiculaire à AG, afin que la position moyenne de l’épicycle soit à un quadrant de l’apogée, comme dans les observations. Prenons sur cette perpendiculaire le centre E de l’épicycle, selon les observations, et traçons autour l’épicycle ZH, puis traçons BZ et BH, tangentes à partir de B, et joignons BE, EZ, et EH.

Puisque, à la position moyenne en question, la plus grande élongation vespérale à la moyenne est, par hypothèse, de 43⁠7⁄12°, et la plus grande [élongation] vespérale de 48⁠1⁄3°, [par addition] l’angle entier ∠ ZBH = 91° 55′ où quatre angles droits font 360°. Donc sa moitié, ∠ ZBE = 91;55^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BEZ, l’arc EZ = 91° 55′ et EZ = 86;16^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc, où le rayon de l’épicycle, EZ = 43;10^p, BE = 60;03^p.

Mais encore, puisque la différence entre ces plus grandes élongations, qui est de 4° 45′, comprend deux fois l’équation de l’anomalie écliptique à ce point, qui est représentée par ∠ BED, [alors] ∠ BED = 2° 22′ 30″ où quatre angles droits font 360°, ou 4;45^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BDE, l’arc BD = 4° 45′ et BD ≈ 4;59^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc, où BE = 60;03^p et le rayon de l’épicycle est 43;10^p, BD ≈ 2⁠1⁄2^p. Mais nous avons démontré que la distance entre B, le centre de l’écliptique, et le centre de l’excentrique, qui porte le centre de l’épicycle, vaut 1⁠1⁄4^p des mêmes unités, ce qui est donc la moitié de BD.

Conséquemment, si nous séparons BD en deux portions égales en Θ, nous démontrons que où le rayon de l’excentrique porteur de l’épicycle, ΘA = 60^p, chacune des distances entre les centres, BΘ = ΘD = 1⁠1⁄4^p, et le rayon de l’épicycle EZ = 43;10^p.

4. De la correction des mouvements périodiques de Vénus

C’est donc ainsi que nous avons déterminé l’hypothèse [de Vénus] et les rapports de ses anomalies. Pour les mouvements périodiques et les époques de la planète, encore une fois [comme pour Mercure], nous avons pris deux observations fiables, [une] parmi les nôtres, et [une] des plus anciennes.

Voici une simulation de la situation le 16 décembre 138, à 5 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Nous avons observé, dans la deuxième année d’Antonin, du 29 au 30 du tybi égyptien [15/16 décembre 138], la planète Vénus à sa plus grande élongation matinale, en utilisant l’astrolabe et en l’observant par rapport à Spica ; elle était alors à 6⁠1⁄2° du Scorpion. À ce moment-là, elle était également entre et sur une ligne droite avec l’étoile la plus au nord du front du Scorpion et le centre apparent de la Lune, et était en avance [à l’ouest] du centre de la lune 1⁠1⁄2 fois plus qu’elle ne se trouvait à l’arrière [à l’est] de la plus boréale des étoiles du front. Or elle [cette étoile] était à l’époque, d’après nos coordonnées, à 6° 20′ du Scorpion, et à 1° 20′ au nord de l’écliptique. Il était alors 4⁠3⁄4 heures équinoxiales après minuit, puisque le soleil était à environ 23° du Sagittaire, et le deuxième degré de la Vierge [soit l’intervalle 1°–2°] était au méridien [supérieur] selon l’astrolabe. À ce moment, les positions étaient les suivantes :

D’après ces considérations également, Vénus était à 6° 30′ du Scorption et à 2° 40′ au nord de l’écliptique.

Avec ces données, soit ABGDE le diamètre à travers l’apogée, A le point à 25° du Taureau, B le point autour duquel l’épicycle se déplace uniformément, G le centre de l’excentrique portant le centre de l’épicycle, et D le centre de l’écliptique. Puisque le soleil moyen était à 22° 09′ du Sagittaire lors de l’observation, la position moyenne de l’épicycle est [22° 09′ du Sagittaire − 25° du Scorpion =] 27° 09′ vers l’arrière [l’est] à partir du périgée en E. Donc, soit Z le centre de l’épicycle, et traçons l’épicycle HΘK autour de lui. Joignons DZH, GZ, et BZΘ, et traçons à partir de G et de D les droites GL et DM perpendiculaires à BZ. Soit la planète en K, joignons DK et ZK, et traçons la droite ZN perpendiculaire [à DK]. Nous devons ici trouver l’arc ΘK, qui est la distance de la planète à l’apogée de l’épicycle Θ [au moment de l’observation].

Puisque ∠ EBZ = 27° 09′ où quatre angles droits font 360°, ou 54;18^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BGL, l’arc GL = 54° 18′ et l’arc restant BL = 125° 42′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes GL = 54;46^p et BL = 106;47^p où l’hypoténuse BG = 120^p. Donc où BG = 1;15^p et le rayon de l’excentrique GZ = 60^p, alors GL = 0;34^p et BL = 1;07^p. Et puisque ZG² − GL² = ZL², ZL ≈ 60^p des mêmes unités. Mais ML = LB [= 1;07^p], et DM = 2GL, parce que BG = GD. Donc, DM = 1;08^p et le reste [par soustraction de ML de ZL], ZM = 58;53^p des mêmes unités. Conséquemment, l’hypoténuse ZD [= √(ZM² + DM²)] ≈ 58;54^p. Donc, où ZD = 120^p, DM = 2;18^p, et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZM, l’arc DM = 2° 12′. Donc ∠ BZD = 2;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle entier [par addition de ∠ EBZ et ∠ BZD] ∠ EDZ = 56;30^ꝏ des mêmes unités. Mais ∠ EDK = 18° 30′ où quatre angles droits font 360°, puisque la planète était à 18° 30′ en avance sur le périgée E (qui est à 25° du Scorpion), et cet angle [∠ EDK =] 37^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc l’angle total [par addition de ∠ EDK à ∠ EDZ] ∠ KDZ = 93;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZN, l’arc ZN = 93° 30′. Donc la corde ZN = 87;25^p où ZD = 120^p. Donc, où ZD = 58;54^p — c’est-⁠à-⁠dire où le rayon de l’épicycle ZK = 43;10^p —, ZN = 42;54^p. Donc où l’hypoténuse ZK = 120^p, ZN = 119;18^p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZKN, l’arc ZN = 167° 38′. Donc, où ∠ ZDK = 93;30^ꝏ [comme nous l’avons déterminé], ∠ ZKD = 167;38^ꝏ, et l’angle entier [par addition] ∠ KZH = 261;08^ꝏ. Or, nous avons démontré que ∠ BZD (= ∠ HZΘ) = 2;12^p des mêmes unités. Donc l’autre angle [par soustraction] ∠ ΘZK = 258;56^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 129° 28′ où quatre angles droits font 360°. Ainsi, Vénus, à ce moment, était à la distance ci-⁠dessus, soit 129° 28′, en avance sur l’apogée de l’épicycle, ou sur les 230° 32′ restants de la circonférence, comptés d’ouest en est, selon l’hypothèse, c’était la différence de ce qui précède d’une révolution, 230° 32′, que nous devions trouver.

Voici une simulation de la situation le 12 octobre −271, à 5 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des étoiles et de Vénus.

Parmi les anciennes observations, nous avons choisi celle que Timocharis décrit comme suit : « Dans la 13^e année de Philadelphe, du 17 au 18 mésori égyptien [11/12 octobre −271], à la 12^e heure, Vénus a dépassé exactement l’étoile opposée à Vindemiatrix ». C’est l’étoile qui, dans nos descriptions [catalogue XXVII 6], suit celle de la pointe de l’aile sud de la Vierge, et qui était à 8⁠1⁄4° de la Vierge dans la première année d’Antonin. Or, l’année de l’observation est la 476^e depuis Nabonassar, tandis que la première année d’Antonin est 884 [années] depuis Nabonassar ; aux 408 années de l’intervalle correspond un mouvement des étoiles fixes et des apogées d’environ 4⁠1⁄12°. Il est donc clair que la longitude de Vénus était de 4⁠1⁄6° de la Vierge, et la longitude du périgée de son excentrique de 20⁠11⁄12° du Scorpion. Ici aussi, Vénus avait dépassé sa plus grande élongation matinale ; pendant 4 jours après cette observation, les 21/22 mésori, comme on peut le déduire de ce que dit Timocharis, elle était à 8⁠5⁄6° de la Vierge selon nos coordonnées, et la position moyenne du soleil était de 17° 03′ de la Balance à la première observation, et de 20° 59′ de la Balance à la suivante. Ainsi, son élongation à la première observation était de 42° 53′, et à la suivante, de 42° 09′.

Avec ces données, traçons un diagramme semblable [au précédent], mais où l’épicycle est en avant du périgée, puisque la longitude moyenne de l’épicycle est de 17° 03′ de la Balance, tandis que la longitude du périgée est 20° 55′ du Scorpion. Donc, ∠ EBZ [= 20° 55′ du Scorpion − 17° 03′ de la Balance] = 33° 52′ où quatre angles droits font 360°, ou 67;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BGL, l’arc GL = 67° 44′ et le reste, l’arc restant BL = 112° 16′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes GL = 66;52^p où l’hypoténuse BG = 120^p, et BL = 99;38^p. Donc, où BG = 1;15^p et où le rayon de l’excentrique GZ = 60^p, GL = 0;42^p et de même BL = 1;02^p . Et puisque ZG² − GL² = ZL², ZL ≈ 60^p. Or, par le même raisonnement [que ci-⁠dessus] BL = LM et DM = 2GL. Donc, la portion restante [par soustraction de LM de ZL] ZM = 58;58^p et DM = 1;24^p des mêmes unités. Donc, l’hypoténuse ZD [= √(ZM² + DM²)] ≈ 58;59^p. Donc, où ZD = 120^p, DM = 2;51^p, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ZDM, l’arc DM = 2° 44′. Conséquemment, ∠ BZD = 2;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et l’angle entier [par addition de ∠ BZD et ∠ EBZ] ∠ EDZ = 70;28^ꝏ des mêmes unités. Et la distance de la planète en avance du périgée EDK = 76° 45′ où quatre angles droits font 360°, ou 153;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, l’autre angle [par soustraction] ∠ ZDK = 83;2^ꝏ des mêmes unités, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZN, l’arc ZN = 83° 02′. Donc, sa corde ZN = 79;33^p où l’hypoténuse DZ = 120^p, et où DZ = 58;59^p — c’est-à-dire où le rayon de l’épicycle ZK = 43;10^p —, ZN = 39;07^p. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ZKN, où l’hypoténuse ZK = 120^p, ZN = 108;45^p et l’arc ZN ≈ 130°. Par conséquent, ∠ DKZ = 130^ꝏ où ∠ ZDK = 83;02^ꝏ, tel que démontré, et l’angle entier [par addition] ∠ ΘZK = 213;02^ꝏ des mêmes unités. Mais nous avons prouvé que ∠ BZD (= ∠ HZΘ) = 2;44^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle entier [par addition] ∠ HZK  = 215;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 107° 53′ où quatre angles droits font 360°. Donc, la distance vers l’arrière [l’est] de la planète Vénus à l’apogée de l’épicycle H était égale aux 252° 07′ restants du cercle, ce que nous devions déterminer.

Or, puisqu’à ce moment, sa distance à l’apogée de l’épicycle était de 230° 32′ et que l’intervalle entre les deux observations comprend 409 années égyptiennes et environ 167 jours, et 255 révolutions complètes en anomalie — puisque 8 années égyptiennes produisent environ 5 révolutions, donc les 408 années produisent 255 révolutions, tandis que l’année restante plus les jours supplémentaires ne complètent pas la période d’une révolution —, nous avons la preuve qu’en 409 années égyptiennes et 167 jours Vénus parcourt, en plus des 255 révolutions complètes en anomalie, 338° 25′ sur son épicycle entre les deux observations. Et approximativement le même excès résulte des tableaux du mouvement moyen que nous avons présentées ci-⁠dessus, tel que dérivé de l’excès sur les révolutions complètes, l’intervalle de temps ayant été réduit en jours, et les révolutions plus l’excès [réduits] en degrés. Car quand le total en degrés est divisé par le total en jours, il en résulte le mouvement moyen journalier de Vénus en anomalie que nous avons exposé précédemment.

5. De l’époque des mouvements périodiques de Vénus

Il nous reste donc à rapporter les positions à la première année du règne de Nabonassar, à midi du 1^er jour du thout égyptien. Nous reprenons l’intervalle entre ce dernier moment et le moment de l’observation la plus ancienne : il est de 475 années égyptiennes et 346⁠3⁄4 jours environ. À cet intervalle de temps, l’excès [aux révolutions complètes] correspondant, dans les tableaux d’anomalie, est d’environ 181° de mouvement moyen. En soustrayant [cette valeur] des 252° 07′ [de la position] trouvée à l’observation, nous obtenons pour la première année de Nabonassar, à midi du 1^er jour du thout égyptien, que l’anomalie est de 71° 07′ depuis l’apogée de l’épicycle. La position moyenne en longitude est en outre, par hypothèse, la même que la longitude du Soleil, soit 0° 45′ des Poissons. Il est aussi évident que, puisque l’apogée [de l’excentrique] était d’environ 20° 55′ du Taureau au moment de l’observation, et qu’aux 476 années écoulées correspondent environ 4⁠3⁄4° [de mouvement de l’apogée], au moment de l’époque, l’apogée était à environ 16° 10′ du Taureau.

6. Préliminaires pour les démonstrations relatives aux autres planètes

Telles sont donc les méthodes que nous avons employées pour les deux planètes, Mercure et Vénus, par rapport à leurs hypothèses et aux démonstrations de leurs anomalies. Pour les trois autres — Mars, Jupiter, et Saturne —, nous trouvons la même hypothèse pour le mouvement [respectif] des trois, et celle-⁠ci est la même que pour la planète Vénus : le cercle excentrique sur lequel est toujours porté le centre de l’épicycle est décrit autour d’un centre qui est à mi-⁠chemin entre le centre de l’écliptique et celui autour duquel l’épicycle tourne ; car pour chacun de ces astres , en gros, l’excentricité que l’on trouve à partir de la plus grande équation d’anomalie écliptique est environ le double de celle dérivée de la taille des arcs rétrogrades aux plus grandes et aux plus petites distances de l’épicycle. Mais les démonstrations par lesquelles nous calculons la taille des anomalies et [la position de] l’apogée ne peuvent pas s’appliquer à ces planètes comme aux deux premières, parce qu’elles peuvent être à n’importe quelle distance [angulaire] du Soleil, et qu’on ne peut pas déduire de l’observation, comme c’était le cas avec les plus grandes élongations de Mercure et de Vénus, quand la planète est au point où la ligne de notre regard est tangente à l’épicycle. Puisque cela est impossible, nous avons donc utilisé des observations de leurs oppositions à la position moyenne du soleil pour démontrer d’abord les proportions de leur excentricité et [la position de] leur apogée — car ce n’est qu’alors qu’on trouve l’anomalie écliptique isolée, sans effet de l’anomalie liée au Soleil.

Car soit ABG, l’excentrique de la planète, sur lequel le centre de l’épicycle est porté, avec pour centre D et son diamètre AG passant par l’apogée, où E est le centre de l’écliptique et Z le centre de cet excentrique par rapport auquel le mouvement moyen de l’épicycle en longitude est mesuré. Traçons l’épicycle HΘKL de centre B, et joignons ZLBΘ et HBKEM.

Je dis, premièrement, que lorsque la planète est vue le long de la ligne EH passant par le centre de l’épicycle B, alors la position moyenne du Soleil sera toujours sur la même ligne, et que lorsque la planète est en H, elle sera en conjonction [συνοδεύει] avec le soleil moyen (qui sera vu en H), et que lorsque la planète est en K, elle est en opposition avec le soleil moyen (qui sera vu en M).

Puisque les distances moyennes, pour chacune de ces planètes, en longitude et en anomalie, comptées depuis l’apogée [respectivement de l’excentrique et de l’épicycle], sont ensemble [donc la somme des deux] égales au mouvement moyen du Soleil compté depuis le même point de départ, l’angle au centre Z (qui représente le est moyen de la planète en longitude) et l’angle en E (qui est le mouvement apparent en longitude) auront toujours pour différence l’angle en B (qui est le mouvement moyen sur l’épicycle). Il est donc évident que, quand l’astre est en H, elle sera à un angle ∠ HBΘ de moins que l’apogée Θ ; mais ∠ HBΘ + ∠ AZB = ∠ AEH, le mouvement moyen du Soleil, et le même que le mouvement apparent de l’astre. Et lorsque la planète est à K. son mouvement sur l’épicycle sera encore ∠ ΘBK, et ∠ ΘBK + ∠ AZB égale le mouvement moyen du Soleil compté depuis l’apogée A, soit un demi-cercle [180°] plus (∠ AZB − ∠ LBK) = 180 ° + ∠ GEM, c’est-à-dire que la position moyenne du Soleil sera opposée à la position apparente de la planète.

Donc, dans ces configurations [conjonctions et oppositions moyennes], la droite joignant le centre de l’épicycle B à l’astre, et celle allant de E, où est l’observateur, au soleil moyen, coïncideront ensemble en une seule et même ligne droite. Mais dans toutes les autres distances [angulaires de la planète au Soleil] [ces lignes] feront des angles différents mais seront toujours parallèles entre elles.

Car dans le diagramme ci-⁠[contre], pour une position au hasard, soit la droite BN allant de B à l’astre, et la droite EX allant de E au soleil moyen, alors, pour les raisons indiquées ci-dessus :

Ainsi, puisque dans les configurations ci-⁠dessus, soit celles de conjonction et d’opposition par rapport au soleil moyen, la planète est vue [le long de la ligne] à travers le centre de l’épicycle, comme si elle n’avait pas de mouvement sur l’épicycle ; mais si elle était située sur le cercle ABG et était animée d’un mouvement uniforme par la ligne ZB, de la même manière que le centre de l’épicycle, alors il est clair que nous pourrons, de ces positions, démontrer le rapport de l’anomalie dépendante de l’excentricité. Mais puisque les conjonctions ne sont pas visibles, il faut faire les démonstrations par le moyen des oppositions.

7. Démonstration de l’excentricité et de l’apogée de Mars

Pour la Lune, en prenant la position et le moment de trois éclipses lunaires, nous avons démontré géométriquement le rapport de l’anomalie et la position de l’apogée. Ici aussi, de la même manière, pour chacune de ces planètes [Mars, Jupiter, et Saturne], nous avons observé la position de trois oppositions au soleil moyen, aussi précisément que possible, à l’aide de l’astrolabe" Nous avons aussi calculé le moment et la position pour l’élongation précise de 180° à la position du soleil moyen pour [chacune des] observations, et nous pouvons ainsi démontrer le rapport de l’excentricité et [la position de] l’apogée.

D’abord, pour Mars, nous avons pris trois oppositions (ἀκροωύκτους). Nous avons observé…

• …la première dans la 15^e année d’Hadrien, du 26 au 27 du tybi égyptien [14/15 décembre 130], 1 heure équinoxiale après minuit, à environ 21° des Gémeaux  ;
• …la deuxième dans la 19^e année d’Hadrien, du 6 au 7 du pharmouthi égyptien [21/22 février 135], 3 heures avant minuit, à environ 28° 50′ du Lion ; et
• …la troisième dans la deuxième année d’Antonin, du 12 au 13 de l’epiphi égyptien [27/28 mai 139], 2 heures équinoxiales avant minuit, à environ 2° 34′ du Sagittaire.

Les intervalles entre ces oppositions sont les suivants :

Nous calculons aussi le mouvement [moyen] en longitude, en plus des révolutions complètes :

Il n’y aurait aucune différence significative si nous utilisions les périodes de retour brutes, énumérées précédemment, pour calculer les mouvements moyens, puisque l’intervalle est court.

Il est évident que le mouvement apparent de la planète, au-⁠delà des révolutions complètes, est :

Traçons donc, dans le plan de l’écliptique, trois cercles égaux : soit ABG, le cercle portant le centre de l’épicycle de Mars, de centre D ; EZH, l’excentrique de mouvement uniforme, de centre Θ ; et KLM, le cercle concentrique à l’écliptique, de centre N. [Traçons] aussi, la droite XΘPR  passant par les centres de tous les cercles. Soit A le point où était le centre de l’épicycle à la première opposition, B le point où il était à la deuxième opposition, et G le point où il était à la troisième opposition. Joignons ΘAE, ΘBZ, ΘHG, NKA, NLB, et NGM ; ainsi, l’arc EZ de l’excentrique, correspondant au premier intervalle de mouvement moyen, mesure 81° 44′, et l’arc ZH, correspondant au deuxième intervalle, mesure 95° 28′. De plus, l’arc KL de l’écliptique, correspondant au premier intervalle de mouvement apparent, mesure 67° 50′, tandis que l’arc LM, correspondant au deuxième intervalle, mesure 93° 44′.

Maintenant, si les arcs EZ et ZH de l’excentrique étaient sous-⁠tendus par les arcs KL et LM de l’écliptique, nous n’aurions besoin de rien d’autre pour démontrer l’excentricité. Cependant, puisqu’ils [arc KL et arc LM] sous-⁠tendent les arcs AB et BG de l’excentrique moyen, qui ne sont pas donnés, si nous joignons NSE, NTZ, et NHY, nous trouvons que les arcs EZ et ZH de l’excentrique sont sous-⁠tendus par les arcs ST et TY de l’écliptique ; mais ceux-⁠ci ne sont pas donnés non plus : il faut donc d’abord que les arcs de différence, KS, LT, et MY, soient donnés afin de démontrer rigoureusement le rapport de l’excentricité à partir des arcs correspondants, EZH et STY . Mais puisqu’ils ne peuvent pas être déterminés précisément avant avoir trouvé le rapport de l’excentricité et [la position de] l’apogée, nous pouvons les estimer approximativement, même sans connaître les valeurs [de l’excentricité et de l’apogée], puisque les différences ne sont pas grandes. Nous ferons donc d’abord le calcul comme si l’arc STY ne différait pas significativement de l’arc KLM .

Soit ABG le cercle excentrique du mouvement moyen de Mars, où A est le point de la première opposition, B celui de la seconde et, G celui de la troisième. Prenons dedans le point D comme centre de l’écliptique, où est notre œil, et traçons toujours [quand nous voulons faire ce calcul] les droites AD, BD, et GD joignant les points des trois oppositions au point D, et, en règle générale, prolongeons l’une de ces trois droites (comme ici GDE) jusqu’à l’arc opposé de l’excentrique, et traçons une droite (comme ici AB) joignant les deux autres points d’opposition. Ensuite, à partir du point E où la droite GD croise l’excentrique, traçons les droites EA et EB le joignant aux deux autres points d’opposition, et traçons, [à partir de E] les droites EZ perpendiculaire à AD et EH [perpendiculaire] à BD. Traçons aussi une perpendiculaire à partir de l’un de ces deux points sur la ligne joignant l’autre au point [que nous venons d’ajouter] sur l’excentrique (comme ici, AΘ perpendiculaire à BE). Si nous observons toujours ces règles pour dessiner cette figure, peu importe comment nous la dessinons, nous constaterons que les mêmes rapports numériques en résultent. Le reste de la démonstration deviendra clair, sur la base des arcs décrits ci-⁠dessus pour Mars. [NdT : Autrement dit, peu importe quelle ligne nous prolongeons, nous arriverons toujours au même résultat.]

Puisque l’arc BG  de l’excentrique est supposé sous-⁠tendre 93° 44′ de l’écliptique, l’angle au centre de l’écliptique ∠ BDG = 93° 44′ où quatre angles droits font 360°, ou 187;28^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et l’angle restant ∠ EDH = 172;32^ꝏ [son supplément] des mêmes unités. Donc, dans le cercle (de 360°) circonscrit au triangle rectangle DEH [en jaune ; non illustré par Ptolémée ou ses traducteurs], arc EH = 172° 32′ et EH = 119;45^p où l’hypoténuse DE = 120^p. De même, puisque l’arc BG = 95° 28′, l’angle [inscrit] à la circonférence, ∠ BEG = 95;28^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Or, ∠ BDE = 172;32^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle restant [dans le triangle BDE], ∠ EBH = 92^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEH, l’arc EH = 92° et EH = 86;19^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc où, tel que démontré, EH = 119;45^p  et ED = 120^p, BE = 166;29^p.

Mais encore, puisque l’arc entier ABG de l’excentrique est supposé sous-⁠tendre la somme des deux intervalles de l’écliptique [93° 44′ + 67° 50′ =] 161° 34′, alors ∠ ADG = 161° 34′ où quatre angles droits font 360°, et l’angle restant ∠ ADE = 18° 26′ [par soustraction de 180°] où quatre angles droits font 360°, ou 36;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEZ, l’arc EZ = 36° 52′ et EZ = 37;57^p où hypoténuse DE = 120^p. De même, puisque l’arc de l’excentrique ABG = 177° 12′ [par addition de 81° 44′ et 95° 28′], alors ∠ AEG = 177;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ ADE = 36;52^ꝏ des mêmes unités, alors l’angle restant [du triangle ADE] ∠ DAE = 145;56^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEZ, l’arc EZ = 145° 56′ et EZ = 114;44^p où l’hypoténuse AE = 120^p. Par conséquent, où EZ = 37;57^p, comme démontré, et ED = 120^p, alors AE = 39;42^p.

En outre, puisque l’arc de l’excentrique AB = 81° 44′, alors ∠ AEB = 81;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, de sorte que, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc AΘ = 81° 44′ et l’arc EΘ = 98° 16′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes AΘ = 78;31^p et EΘ = 90;45^p où l’hypoténuse AE = 120^p. Par conséquent, où AE = 39;42^p, comme démontré, et DE = 120^p par hypothèse, alors ΘA = 25;58^p et EΘ = 30;02^p. Mais nous avons prouvé que la droite entière EB = 166;29^p des mêmes unités, donc le reste [par soustraction] ΘB = 136;27^p où ΘA = 25;58^p. Or, ΘB² = 18 618;36  et ΘA² = 674;16, donc AB² = ΘB² + ΘA² = 19 289;32. Donc, AB = 138;53^p où ED = 120^p, et AE = 39;42^p. Mais, où le diamètre de l’excentrique est de 120^p, AB = 78;31^p, puisqu’il sous-⁠tend un arc de 81° 44′. Donc, où AB = 78;31^p et le diamètre de l’excentrique est 120^p, ED = 67;50^p et AE = 22;44^p. Donc l’arc AE de l’excentrique [sous-⁠tendu par cette droite] mesure 21° 41′ , et l’arc EABG = [177° 12′ + 21° 41′ =] 198° 53′. Donc, l’arc restant GE = 161° 07′, et la corde correspondante GE = 118;22^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p.

Maintenant, si GE était égal au diamètre de l’excentrique, il est évident que le centre de celui-⁠ci se trouverait sur cette ligne [GE], et le rapport de l’excentricité serait immédiatement apparent. Mais puisqu’il n’y est pas égal, mais qu’il fait [en sorte que] le segment EABG est supérieur à un demi-⁠cercle, il est clair que le centre de l’excentrique sera sur ce dernier. Supposons-⁠le en K, et traçons par celui-⁠ci et par D le diamètre LKDM passant par les deux centres, et traçons à partir de K la droite KNX perpendiculaire à GE. Alors, puisque EG = 118;22^p, comme nous l’avons démontré, où le diamètre LM = 120^p, et que DE = 67;50^p des mêmes unités, alors [par soustraction] GD = 50;32^p des mêmes unités. Ainsi, puisque ED · DG = LD · DM, alors nous aurons LD · DM = [67;50 × 50;32 =] 3 427;51. Mais (LD · DM) + DK² est égal au carré de la moitié de la ligne entière [LD + DM], c’est-⁠à-⁠dire [(LD · DM) + DK² =] LK² ; donc, si le carré sur la moitié est 3 600, et que nous retranchons (LD · DM) = 3 427;51, alors il reste DK² [= 3600 − 3427;51] = 172;09, et nous connaîtrons aussi la distance entre les centres, DK ≈ 13;07^p où le rayon de l’excentrique KL = 60^p.

De plus, puisque 1⁄2GE = GN = 59;11^p où diamètre LM = 120^p, et que GD = 50;32^p des mêmes unités, comme nous l’avons démontré, alors la droite restante DN = 8;39^p  [par soustraction] où DK a été calculé comme égal à 13;07^p. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DKN [en jaune ; non illustré par Ptolémée ou ses traducteurs], DN = 79;08^p où l’hypoténuse DK = 120^p, et l’arc [DN] = 82° 30′. Donc ∠ DKN = 82;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 41° 15′ où quatre angles droits font 360°. Et puisque [∠ DKN] est au centre de l’excentrique, l’arc MX = 41° 15′ également. Mais tout l’arc GMX = 1⁄2 arc GXE [= 1⁄2 · 161° 07′] = 80° 34′. Donc l’arc restant [par soustraction] de la troisième opposition au périgée, arc GM = 39° 19′. Or, il est évident que, puisque l’arc BG = 95° 28′ par hypothèse, alors l’arc restant [par soustraction] de l’apogée à la seconde opposition, arc LB [= 180° − (95° 28′ + 39° 19′)] = 45° 13′, et, puisque l’arc AB = 81° 44′ par hypothèse, alors l’autre arc [par soustraction] de la première opposition à l’apogée, arc AL [= arc AB − arc LB] = 36° 31′.

Ceci étant posé, examinons les différences qui en résultent dans les arcs de l’écliptique que nous cherchons à déterminer pour chacune des oppositions, comme suit. Dans la figure [précédente] des trois oppositions, prenons séparément la partie représentant la première opposition, traçons la droite supplémentaire AD, et traçons à partir des points D et N les droites DF et NQ perpendiculaires à AΘ prolongé. Alors, puisque l’arc XE = 36° 31′, ∠ EΘX = 36° 31′ où quatre angles droits font 360°, ou 73;2^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, tout comme l’angle opposé au sommet DΘF = 73;2^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 73° 02′ et l’arc restant ΘF = 106° 58′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DF = 71;25^p et FΘ = 96;27^p où l’hypoténuse DΘ = 120^p. Alors où DΘ = 6;33⁠1⁄2^p et le rayon de l’excentrique DA = 60^p, DF = 3;54^p et FΘ = 5;16^p . Et puisque DA² − DF² = FA² , AF = 59;52^p et, puisque QF = FΘ, [par addition de QF à FA] la droite entière QA = 65;8^p où NQ (= 2DF) = 7;48^p. D’où l’hypoténuse [du triangle rectangle NAQ] NA = 65;36^p des mêmes unités. Donc, où NA = 120^p, NQ = 14;16^p, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ANQ, l’arc NQ = 13° 40′, donc ∠ NAQ = 13;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ.

En outre, puisqu’il a été démontré que QN vaut 7;48^p et que QΘ [= 2FΘ] = 10;32^p, où le rayon de l’excentrique ΘE = 60^p, alors la droite entière [par addition] QΘE = 70;32^p des mêmes unités, et donc l’hypoténuse [du triangle rectangle QNE] NE ≈ 71^p des mêmes unités. Donc, où NE = 120^p, QN = 13;10^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ENQ, l’arc QN = 12° 36′, donc ∠ NEQ = 12;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Or, nous avons trouvé que ∠ NAQ = 13;40^ꝏ des mêmes unités, donc [par soustraction de ∠ NEQ de ∠ NAQ] ∠ ANE = 1;4^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 0° 32′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [0° 32′] est donc la taille de l’arc KS de l’écliptique.

Ensuite, dessinons une figure semblable contenant [la partie de] le diagramme de la deuxième opposition. Alors, puisque l’arc XZ = 45° 13′ par hypothèse, ∠ NΘZ = 45° 13′ où quatre angles droits font 360°, ou 90;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, de même que l’angle opposé au sommet DΘF = 90;26^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 90° 26′ et l’arc FΘ = 89° 34′ qui restent [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DF = 85;10^p et FΘ = 84;32^p où l’hypoténuse DΘ = 120^p. Donc où DΘ = 6;33⁠1⁄2^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DF = 4;39^p et FΘ = 4;38^p . Et puisque DB² − DF² = BF², BF = 59;49^p , et, puisque FQ = FΘ, la droite entière [par addition] QB = 64;27^p où NQ (= 2DF) = 9;18^p. Donc, l’hypoténuse [du triangle rectangle NQB] NB = 65;6^p des mêmes unités. Ainsi, où NB = 120^p, NQ = 17;09^p, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BNQ, l’arc NQ = 16° 26′ et ∠ NBQ = 16;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ.

Encore une fois, puisque NQ = 9;18^p, tel que démontré, et que QΘ [= 2FΘ] = 9;16^p, où le rayon de l’excentrique ZΘ = 60^p, alors [par addition] la droite entière QΘZ = 69;16^p des mêmes unités, et l’hypoténuse [du triangle rectangle NQZ] NZ = 69;52^p. Donc, où l’hypoténuse NZ = 120^p, NQ ≈ 16^p, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ZNQ, l’arc NQ = 15° 20′ ; conséquemment, ∠ NZQ = 15;20^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons trouvé que ∠ NBQ = 16;26^ꝏ des mêmes unités, donc l’autre angle [restant, par soustraction] ∠ BNZ = 1;6^ꝏ des mêmes unités , ou 0° 33′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [0° 33′] est donc la mesure de l’arc LT de l’écliptique. Maintenant, puisque nous avons trouvé l’arc KS = 0° 32′ pour la première opposition, il est évident que le premier intervalle, pris par rapport à l’excentrique, sera supérieur à l’intervalle de mouvement apparent par la somme (1° 05′) des deux arcs, et vaudra [donc] 68° 55′.

Enfin, conservons la partie du diagramme relative à la troisième opposition. Puisque l’arc PH = 39° 19′ par hypothèse, ∠ PΘH = 39° 19′ où quatre angles droits font 360°, ou 78;38^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 78° 38′ et l’arc ΘF = 101° 22′ qui restent [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DF = 76;02^p et ΘF = 92;50^p  où l’hypoténuse DΘ = 120^p ; ainsi, où la distance entre les centres DΘ = 6;33⁠1⁄2 et le rayon de l’excentrique DG = 60^p, DF = 4;09^p et ΘF = 5;04^p. Et puisque GD² − DF² = GF², alors GF = 59;51^p, et, puisque ΘF = FQ, alors [par soustraction] GQ = 54;47^p où NQ (= 2DF) = 8;18^p. Conséquemment, l’hypoténuse [du triangle rectangle NGQ] NG = 55;25^p des mêmes unités. Donc, où NG = 120^p, NQ = 17;59^p, et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GNQ, l’arc [NQ] = 17° 14′, donc ∠ NGQ = 17;14^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. En outre, puisque NQ = 8;18^p et ΘQ [= 2FΘ] = 10;08^p où le rayon de l’excentrique ΘH = 60^p, la portion [par soustraction] QH = 49;52^p des mêmes unités ; donc, l’hypoténuse [du triangle rectangle NHQ] NH = 50;33^p. Donc, où NH = 120^p, NQ = 19;42^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle HNQ, l’arc [NQ] = 18° 54′, donc ∠ NHQ = 18;54^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons montré que ∠ NGQ = 17;14^ꝏ des mêmes unités, donc l’autre angle [par soustraction] ∠ GNH = 1;40^ꝏ des mêmes unités, ou 0° 50′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [0° 50′] est donc la mesure de l’arc MY de l’écliptique. Or, puisque nous avons trouvé l’arc LT = 0° 33′ pour la deuxième opposition, il est évident que le deuxième intervalle, par rapport à l’excentrique, sera inférieur à l’intervalle de mouvement apparent par la somme (1° 23′) des deux arcs, et mesurera [donc] 92° 21′.

Maintenant, en utilisant les arcs de l’écliptique ainsi calculés pour les deux intervalles, ainsi que les arcs originaux supposés pour l’excentrique, et en suivant le théorème démontré ci-⁠dessus pour trouver [la position de] l’apogée et le rapport de l’excentricité, pour ne pas allonger notre exposé [en reprenant les mêmes calculs]), nous trouvons la distance entre les centres DK = 11;50^p où le rayon de l’excentrique est 60^p, et l’arc de l’excentrique de la troisième opposition au périgée GM = 45° 33′. L’arc LB = [180° − (95° 28′ + 45° 33′)] = 38° 59′ et l’arc AL = [81° 44′ − 38° 59′] = 42° 45′. En suivant les mêmes principes, pour chaque opposition, nous trouvons les autres quantités recherchées, soit : arc KS = 0° 28′ ; arc LT ≈ 0° 28′ de même ; et arc MY = 0° 40′.

La somme des première et deuxième oppositions est de 0° 56′, que nous ajoutons à l’arc de l’écliptique 67° 50′ du premier intervalle, et nous obtenons ainsi l’intervalle exact par rapport à l’excentrique, soit 68° 46′. De même, ajoutant les quantités pour les deuxième et troisième oppositions, et en soustrayant les 1° 08′ du mouvement apparent sur l’écliptique du deuxième intervalle, soit 93° 44′, nous obtenons l’intervalle exact par rapport à l’excentrique, soit 92° 36′. Nous pouvons ainsi, en utilisant la même procédure [que précédemment], déterminer une valeur plus exacte pour le rapport de l’excentricité et [la position de] l’apogée ; nous avons trouvé la distance entre les centres DK ≈ 12^p où le rayon de l’excentrique KL = 60^p, et l’arc de l’excentrique GM = 44° 21′, d’où l’arc LB = 40° 11′ et l’arc AL = 41° 33′. Nous allons maintenant démontrer que les intervalles apparents observés entre les trois oppositions sont en accord avec ces quantités.

Reprenons le diagramme de la première opposition, mais seulement avec l’excentrique EZ, qui porte toujours le centre de l’épicycle. Puisque ∠ AΘE = 41° 33′ où quatre angles droits font 360°, donc où deux angles droits font 360^ꝏ, ∠ AΘE = 83;6^ꝏ = ∠ DΘF (opposé au sommet). Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 83° 06′ et l’arc FΘ = 96° 54′ qui restent [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DF = 79;35^p et FΘ = 89;50^p où l’hypoténuse DΘ = 120^p. Donc, où DΘ = 6^p et l’hypoténuse [du triangle rectangle DAF] DA = 60^p, DF = 3;58⁠1⁄2^p et FΘ = 4;30^p. Et puisque DA² − DF² = FA², alors FA = 59;50^p des mêmes unités. En outre, puisque FΘ = FQ et NQ = 2DF, par addition, AQ = 64;20^p où NQ = 7;57^p. D’où l’hypoténuse [du triangle rectangle NAQ] NA = 64;52^p des mêmes unités. Donc, où NA = 120^p, NQ = 14;44^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ANQ, l’arc NQ = 14° 06′, donc ∠ NAQ = 14;6^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 7° 03′ où quatre angles droits font 360°. Mais ∠ AΘE = 41° 33′ des mêmes unités, donc l’autre angle de la position apparente [par soustraction] ∠ ANE = 34° 30′, angle par lequel la planète était en avance sur l’apogée à la première opposition.

Reprenons un diagramme similaire pour la seconde opposition. Puisque l’angle de la position moyenne de l’épicycle ∠ BΘE = 40° 11′ où quatre angles droits font 360°, donc où deux angles droits font 360^ꝏ, ∠ BΘE = 80;22^ꝏ = ∠ QΘN (opposé au sommet). Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 80° 22′ et l’arc FΘ = 99° 38′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DF = 77;26^p et FΘ = 91;41^p où l’hypoténuse DΘ = 120^p. Donc où DΘ = 6^p et l’hypoténuse [du triangle rectangle DBF] DB = 60^p, DF = 3;52^p et FΘ = 4;35^p . Et puisque DB² − DF² = BF², alors BF = 59;53^p des mêmes unités. Et, par le même argument, puisque FΘ = FQ et NQ = 2DF, alors [par addition] BQ = 64;28^p où NQ = 7;44^p. D’où l’hypoténuse [du triangle rectangle BNQ] BN = 64;56^p des mêmes unités.

Donc, où l’hypoténuse BN = 120^p, NQ = 14;19^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BNQ, l’arc NQ = 13° 42′. donc ∠ NBQ = 13;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 6° 51′ où quatre angles droits font 360°. Mais ∠ BΘE = 40° 11′ des mêmes unités, donc l’angle de position apparente [par soustraction] ∠ ENB = 33° 20′ des mêmes unités. Ceci [33° 20′] est donc l’angle sous lequel la planète, dans son mouvement apparent, était à l’arrière de l’apogée à la seconde opposition ; or, nous avons démontré qu’à la première opposition, elle était à 34° 30′ d’avance sur l’apogée : la distance totale [en mouvement apparent] de la première à la seconde opposition est de 67° 50′, en accord avec ce que nous avons déduit des observations.

Traçons maintenant le diagramme de la troisième opposition de la même manière. Dans ce cas, l’angle de la position moyenne de l’épicycle ∠ GΘZ = 44° 21′ où quatre angles droits font 360° ou 88;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DΘF, l’arc DF = 88° 42′ et l’arc FΘ = 91° 18′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DF = 83;53^p et FΘ = 85;49^p où l’hypoténuse DΘ = 120^p. Donc où DΘ = 6^p et le rayon de l’excentrique DG = 60^p, DF = 4;11⁠1⁄2^p et FΘ = 4;17^p. Et puisque DG² − DF² = GF², nous avons GF = 59;51^p des mêmes unités. Enfin, puisque FΘ = FQ et que NQ = 2DF, nous trouvons [par soustraction] que la portion QG = 55;34^p où NQ = 8;23^p. Par conséquent, l’hypoténuse [du triangle rectangle GNQ] GN = 56;12^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse GN = 120^p, NQ = 17;55^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GNQ, l’arc NQ = 17° 10′, donc ∠ ΘGN = 17;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 8° 35′ où quatre angles droits font 360°. Mais ∠ GΘZ = 44° 21′ des mêmes unités, donc, par addition, ∠ GNZ = 52° 56′ des mêmes unités. Ceci [52° 56′] est donc l’angle sous lequel la planète était en avance sur le périgée à la troisième opposition. Mais nous avons démontré qu’à la deuxième opposition, elle était 33° 20′ en arrière de l’apogée ; nous avons donc trouvé 93° 44′ entre la deuxième et la troisième oppositions, valeur obtenue par soustraction [de 180° − (52° 56′ + 33° 20′)], en accord avec la somme observée pour le deuxième intervalle.

Il est aussi clair que, puisque la planète — vue à la troisième opposition le long de la ligne GN — avait une longitude de 2° 34′ du Sagittaire et que l’angle GNZ au centre de l’écliptique était de 52° 56′, donc le périgée de l’excentrique, au point Z, avait une longitude de [2° 34′ du Sagittaire + 52° 56′ =] 25° 30′ du Capricorne, tandis que l’apogée était diamétralement opposée à 25° 30′ du Cancer.

Si nous dessinons l’épicycle KLM de Mars, autour du centre G, et traçons la droite ΘGM, nous aurons, pour l’instant de la troisième opposition :

Nous avons donc démontré, entre autres, qu’au moment de la troisième opposition, c’est-⁠à-⁠dire dans la deuxième année d’Antonin, du 12 au 13 de l’épiphi égyptien, à 2 heures équinoxiales avant minuit, la position moyenne de la planète Mars était :

8. Détermination de la taille de l’épicycle de Mars

Nous devons maintenant démontrer le rapport de la taille de l’épicycle. Pour ce faire, nous avons pris une observation que nous avons faite environ trois jours après la troisième opposition, c’est-⁠à-⁠dire dans la deuxième année d’Antonin, du 15 au 16 epiphi égyptien [30/31 mai 139], trois heures équinoxiales avant minuit. Selon l’astrolabe, le vingtième degré de la Balance [l’intervalle 19°–20° de la Balance] culminait au méridien [supérieur], tandis que le soleil moyen était à 5° 27′ des Gémeaux. Quand l’étoile de l’Épi de blé [Spica] a été vue à sa position appropriée [dans l’instrument], Mars était à 1⁠3⁄5° du Sagittaire, et à la même distance, 1⁠3⁄5°, derrière [à l’est du] centre de la Lune. Or, la position de la Lune était alors la suivante :

Donc, d’après ces données, la longitude de Mars était de 1° 36′ du Sagittaire, telle que mesurée [avec l’astrolabe]. Elle avait donc clairement 53° 54′ d’avance sur le périgée.

Or, l’intervalle entre la troisième opposition et cette observation correspond à environ 1° 32′ en longitude et environ 1° 21′ en anomalie. Si nous ajoutons ces valeurs aux positions [moyennes] à la troisième opposition, comme démontré ci-⁠dessus, nous obtenons, pour le moment de cette observation :

Partant de ces données, soit le cercle excentrique ABG portant le centre de l’épicycle, de centre D et de diamètre ADG, et où E est le centre de l’écliptique et Z le point de plus grande excentricité [l’équant]. Dessinons l’épicycle HΘK de centre B ; les droites ZKBH, EΘB, et DB ; et, à partir des points D et E, les droites EL et DM perpendiculaires à ZB. Supposons la planète au point N de l’épicycle, joignons EN et BN, et traçons, à partir de B, la droite BX perpendiculaire à EN prolongée.

Alors, puisque la planète est à 137° 11′ de l’apogée de l’excentrique, ∠ BZG = [180° − 137° 11′ =] 42° 49′ où quatre angles droits font 360°, ou 85;38^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZM, l’arc DM = 85° 38′ et l’arc ZM = 94° 22′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DM = 81;34^p et ZM = 88;01^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc, où la distance entre les centres DZ = 6^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DM = 4;05^p et ZM = 4;24^p. Et puisque DB² − DM² = BM², alors BM = 59;52^p des mêmes unités. De même, puisque ZM = ML et EL = 2DM, alors [par soustraction] la portion BL = 55;28^p et EL = 8;10^p des mêmes unités ; conséquemment, l’hypoténuse [du triangle rectangle EBL] EB = 56;04^p. Donc, où EB = 120, EL = 17;28^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEL, l’arc EL = 16° 44′, donc ∠ ZBE = 16;44^ꝏ où deux angles droits font 360°.

En outre, puisque la distance apparente de la planète Mars en avant du périgée G, ∠ GEX = 53° 54′ (selon notre observation) où quatre angles droits font 360°, ou 107;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et que ∠ GEB = 102;22^ꝏ — puisque ∠ GEB = ∠ ZBE (= 16;44^ꝏ, tel que démontré) + ∠ GZB (= 85;38^ꝏ, donné) —, donc l’angle restant [par soustraction de ∠ GEB de ∠ GEX] ∠ BEX = 5;26^ꝏ des mêmes unités et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEX, l’arc BX = 5° 26′. Donc BX = 5;41^p où l’hypoténuse EB = 120^p. Par conséquent, où EB = 56;4^p, comme démontré, et le rayon de l’excentrique est de 60^p, BX = 2;39^p .

De même, puisque le point était à 172° 46′ de l’apogée de l’épicycle H et [donc] à 7° 14′ du périgée K, alors ∠ KBN = 7° 14′ où quatre angles droits font 360°, ou 14;28^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons trouvé que ∠ KBΘ = 16;44^ꝏ des mêmes unités, donc [par soustraction] ∠ NBΘ = 2;16^ꝏ et l’angle entier [par addition [de ∠ NBΘ à ∠ BEX] ∠ XNB = 7;42^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BNX, l’arc XB = 7° 42′ et BX = 8;03^p où l’hypoténuse BN = 120^p. Donc, où BX = 2;39^p et le rayon de l’excentrique est de 60^p, le rayon de l’épicycle BN ≈ 39;30^p et le rapport du rayon de l’excentrique au rayon de l’épicycle est donc de 60 : 39;30.

9. De la correction des mouvements périodiques de Mars

Pour la correction des mouvements périodiques moyens, nous avons pris une des anciennes observations , qui dit que dans la 13^e année du calendrier de Dionyius, à l’aube du 5 d’Aigon, Mars touchait l’étoile boréale du front du Scorpion. Or, le moment de cette observation correspond à la 52^e année depuis la mort d’Alexandre, c’est-⁠à-⁠dire à la 476^e  année de Nabonassar, à l’aube du 20 au 21 athyr égyptien [17/18 janvier −271]. À ce moment, nous trouvons que la longitude du soleil moyen était de 23° 54′ du Capricorne. Et l’étoile boréale du front du Scorpion est [à notre époque] à 6⁠1⁄3° du Scorpion ; ainsi, puisque les 409 années depuis l’observation jusqu’au [début] du règne d’Antonin produisent environ 4° 05′ d’avancée dans la position des étoiles fixes, au moment de cette observation, l’étoile devait être à 2⁠1⁄4° du Scorpion et, bien sûr, Mars devait être au même point. Or, puisque l’apogée de Mars, à notre époque, c’est-⁠à-⁠dire au début du règne d’Antonin, est à 25° 30′ du Cancer, elle devait être à 21° 25′ du Cancer lors de l’observation. Il est donc évident que la planète était à 100° 50′ de son apogée, tandis que le soleil moyen était à 182° 29′ du même apogée, et donc à 2° 29′ du périgée [de Mars].

Partant de ces données, soit ABG le cercle excentrique portant le centre de l’épicycle, de centre D et de diamètre ADG, sur lequel E est le centre de l’écliptique et Z est le point de plus grande excentricité [l’équant]. Soit l’épicycle HΘ de centre B ; traçons ZBH et DB ; et à partir de Z, traçons la droite ZK perpendiculaire à DB. Supposons la planète en Θ sur l’épicycle ; joignons BΘ et traçons, à partir de E, la droite EL parallèle [à BΘ], dans l’axe de laquelle, selon notre démonstration précédente, sera la position moyenne du soleil. Joignons EΘ et traçons, à partir des points D et B, les droites DM et BN perpendiculaires [à EΘ et son prolongement]. Traçons aussi, à partir de D, la droite DX perpendiculaire à BN, de sorte que la figure DMNX soit un parallélogramme orthogone [rectangle].

Alors, puisque l’angle représentant la distance apparente de la planète à l’apogée ∠ AEΘ = 100° 50′ où quatre angles droits font 360°, et que l’angle représentant le mouvement moyen du soleil [depuis le périgée] ∠ GEL = 2° 29′ des mêmes unités, alors ∠ ΘEL = ∠ BΘE = [180° − 100° 50′ + 2° 29′ =] 81° 39′ où quatre angles droits font 360°, ou 163;18^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BΘN, l’arc BN = 163° 18′ et BN = 118;43^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc où le rayon de l’épicycle BΘ = 39;30^p et la distance entre les centres ED = 6^p, BN = 39;03^p. De plus, puisque ∠ AEΘ = 100° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 201;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, donc son supplément ∠ DEM = 158;20^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEM, l’arc DM = 158° 20′ et la corde DM = 117;52^p où l’hypoténuse DE = 120^p. Par conséquent, où la droite DE = 6^p  et BN = 39;3^p, tel que démontré, DM = NX = 5;54^p et [par soustraction] la portion BX = 33;09^p où le rayon de l’excentrique BD = 60^p. Donc où hypoténuse [du triangle rectangle BDX] BD = 120^p, BX = 66;18^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BDX, l’arc BX ≈ 67° 04′. Donc ∠ BDX = 67;04^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle entier [par addition de l’angle droit XDM] ∠ BDM = 247;04^ꝏ. Mais, puisque nous avons vu que ∠ DEM = 158;20^ꝏ, alors ∠ EDM [= un angle droit moins ∠ DEM] = 21;40^ꝏ des mêmes unités. Donc l’autre angle [par soustraction] ∠ BDE = 225;24^ꝏ, et son supplément ∠ BDA = 134;36^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZK, l’arc ZK = 134° 36′ et l’arc DK = 45° 24′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes ZK = 110;42^p et DK = 46;18^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 6^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, ZK = 5;32^p et DK = 2;19^p, et la portion restante [par soustraction] KB = 57;41^p, donc l’hypoténuse [du triangle rectangle BZK] BZ ≈ 57;57^p des mêmes unités. Donc, où BZ = 120^p, ZK = 11;28^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BKZ, l’arc ZK = 10° 58′, donc ∠ ZBD = 10;58^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ BDA = 134;36^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle entier [par addition] BZA = 145;34^ꝏ des mêmes unités, ou 72° 47′ où quatre angles droits font 360°. Par conséquent, la position moyenne de la planète (c’est-⁠à-⁠dire du centre de l’épicycle B) au moment de l’observation en question était donc de 72° 47′ depuis l’apogée ; elle était à [21° 25′ du Cancer + 72° 47′ =] 4° 12′ de la Balance. Mais puisque ∠ GEL = 2° 29′, et ∠ GEL plus les deux angles droits du demi-⁠cercle ABG est égal à la somme de la longitude moyenne (∠ AZB) et de l’anomalie [moyenne] (∠ HBΘ, la position [moyenne] de la planète sur son épicycle), nous obtenons donc [en soustrayant ∠ AZB de ∠ GEL + 180°] ∠ HBΘ = 109° 42′. La distance en anomalie de la planète jusqu’à l’apogée de son épicycle au moment de l’observation était donc de ces 109° 42′.

Mais nous avons démontré qu’au moment de la troisième opposition, [Mars] était distante, en anomalie depuis l’apogée de son épicycle, de 171° 25′. Ainsi, dans l’intervalle entre les observations, soit 410 années égyptiennes et 231⁠2⁄3 jours environ, la planète s’est déplacée de 61° 43′ de plus que 192 révolutions complètes ; c’est pratiquement le même excédent [en anomalie] que nous trouvons dans les tables du mouvement moyen de Mars que nous avons construites, ce que nous avons fait en dérivant le mouvement quotidien [moyen] de ces mêmes données, en divisant le nombre de degrés total des révolutions complètes et de l’excédent par le nombre de jours correspondant à l’intervalle entre les deux observations.

10. De l’époque des mouvements périodiques de Mars

Puisque l’intervalle entre la première année de Nabonassar, 1^e [jour de] thout égyptien, à midi, jusqu’au moment de l’observation ci-⁠dessus, est de 475 années égyptiennes et environ 79⁠3⁄4 jours, qui comprend 180° 40′ en longitude en plus des révolutions entières et 142° 29′ en anomalie, si nous les soustrayons des positions respectives pour les lieux déterminés au moment de l’observation, soit 4° 12′ de la Balance en longitude et 109° 42′ en anomalie, nous obtenons pour la première année de Nabonassar, à midi du 1^er jour du thout égyptien, l’époque des mouvements périodiques de Mars, soit :

De même, puisqu’en 475, l’apogée s’est avancé de 4⁠3⁄4°, et que l’apogée de Mars était à 21° 25′ du Cancer au moment de l’observation, il est évident qu’à l’époque ci-⁠dessus, la longitude de l’apogée était de 16° 40′ du Cancer.

Fin du dixième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

© 2024 EcliptiQc / Pierre Paquette
Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC