L’Almageste de Ptolémée
Livre 9
par Pierre Paquette · 5 septembre 2022



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Table des matières de l’Almageste.

Préface du traducteur

Livre I

  1. Introduction
  2. De l’ordre des théorèmes
  3. Que le ciel se meut sphériquement
  4. Que la Terre est, sans son ensemble, sensiblement de forme sphérique
  5. Que la Terre est au centre du ciel
  6. Que la Terre est comme un point par rapport au ciel
  7. Que la Terre ne fait aucun mouvement dans l’espace
  8. Qu’il y a deux mouvements primaires différents dans le ciel
  9. Des concepts individuels
  10. De la taille des cordes
  11. Tableau des cordes
  12. De l’arc entre les tropiques
  13. Préliminaires pour les démonstrations sphériques
  14. Des arcs compris entre l’équateur et l’écliptique
  15. Tableau des inclinaisons
  16. Des levers dans la sphère droite

Livre II

  1. De la situation, en général, de la partie habitée de la Terre
  2. La durée du plus long jour donnée, comment trouver les arcs de l’horizon entre l’équateur et l’écliptique
  3. Les mêmes quantités étant données, comment trouver la hauteur du pôle, et vice versa
  4. Comment calculer pour quelles régions, quand, et à quelle fréquence le Soleil atteint le zénith
  5. Comment trouver le ratio des gnomons aux ombres équinoxiales et solsticielles de midi pour les quantités susmentionnées
  6. Exposé de ce qui est propre à chaque parallèle
  7. Des levers simultanés des arcs de l’écliptique et de l’équateur dans la sphère oblique
  8. Tableau des levers par parallèles
  9. Des effets particuliers qui résultent des levers
  10. Des angles entre l’écliptique et le méridien
  11. Des angles entre l’écliptique et l’horizon
  12. Des angles et arcs formés avec l’écliptique par un cercle passant par les pôles et l’horizon
  13. Exposé des angles et arcs proposés par parallèles

Livre III

  1. De la durée de l’année
  2. Tableau des mouvements moyens du Soleil
  3. Des hypothèses qui expliquent le mouvement circulaire uniforme
  4. De l’anomalie apparente du Soleil
  5. Construction du tableau de l’anomalie solaire
  6. Tableau de l’anomalie solaire
  7. De l’époque du mouvement moyen du Soleil
  8. Calcul de la position du Soleil
  9. De l’inégalité des nycthémères

Livre IV

  1. Des observations nécessaires pour établir la théorie lunaire
  2. Des périodes lunaires
  3. Des mouvements moyens de la Lune
  4. Tableaux des mouvements moyens de la Lune
  5. Les phénomènes lunaires sont les mêmes dans l’hypothèse simple soit d’un excentrique, soit d’un épicycle
  6. Démonstration de la première et simple anomalie de la Lune
  7. De la correction des mouvements moyens de la longitude et de l’anomalie lunaires
  8. De l’époque des mouvements moyens de longitude et d’anomalie de la Lune
  9. De la correction des mouvements moyens de la Lune en latitude, et leur époque
  10. Tableau de la première et simple anomalie lunaire
  11. Que la différence dans l’anomalie lunaire selon Hipparque est due non pas aux hypothèses employées, mais à ses calculs

Livre V

  1. De la construction d’un « astrolabe »
  2. De l’hypothèse d’une double anomalie de la Lune
  3. De la taille de l’anomalie lunaire qui dépend du Soleil
  4. De la proportion de l’excentricité lunaire
  5. De la direction de l’épicycle lunaire
  6. Du calcul géométrique de la position réelle de la Lune à partir des mouvements périodiques
  7. Construction d’un tableau pour l’anomalie lunaire totale
  8. Tableau de l’anomalie lunaire totale
  9. Du calcul complet de la position de la Lune
  10. Que la différence aux syzygies de l’excentrique lunaire est négligeable
  11. Des parallaxes de la Lune
  12. De la construction d’un instrument parallactique
  13. Démonstration des distances de la Lune
  14. De la proportion des diamètres apparents du Soleil, de la Lune, et de l’ombre aux syzygies
  15. De la distance du Soleil, et des conséquences de sa démonstration
  16. De la taille du Soleil, de la Lune, et de la Terre
  17. Des parallaxes individuelles du Soleil et de la Lune
  18. Tableau des parallaxes
  19. De la détermination des parallaxes

Livre VI

  1. Des synodes et des pleines lunes
  2. Construction des tableaux des syzygies moyennes
  3. Tableaux des conjonctions, pleines lunes, et mouvements annuels pour les conjonctions et les oppositions
  4. Comment déterminer les syzygies moyennes et vraies
  5. Des limites écliptiques du Soleil et de la Lune
  6. De l’intervalle en mois entre les éclipses
  7. Construction des tableaux des éclipses
  8. Tableaux des éclipses de Soleil et de Lune, de la correction, et de la grandeur du Soleil et de la Lune
  9. Calcul des éclipses de Lune
  10. Calcul des éclipses de Soleil
  11. Des angles de position pendant les éclipses
  12. Tableau et diagramme des inclinaisons
  13. Détermination des directions

Livre VII

  1. Que les étoiles sont fixes entre elles
  2. Que la sphère des étoiles fixes bouge par rapport à l’écliptique
  3. Que le mouvement de la sphère des étoiles fixes se fait par rapport aux pôles de l’écliptique
  4. De la méthode pour décrire la position des étoiles
  5. Tableaux des constellations de l’hémisphère nord

Livre VIII

  1. Tableaux des constellations de l’hémisphère sud
  2. De la situation du cercle de la Voie lactée
  3. De la construction d’un globe solide
  4. Des configurations propres aux étoiles fixes
  5. Des levers, passages, et couchers des étoiles fixes
  6. Des première et dernière visibilités des étoiles fixes

Livre IX

  1. De l’ordre des sphères du Soleil, de la Lune, et des cinq planètes
  2. Du fondement des hypothèses des planètes
  3. Des retours périodiques des cinq planètes
  4. Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes
  5. Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes
  6. Du mode et de la différence entre ces hypothèses
  7. Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure
  8. Du double périgée de Mercure
  9. Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure
  10. De la correction des mouvements périodiques de Mercure
  11. De l’époque des mouvements périodiques de Mercure

Livre X

  1. Démonstration de l’apogée de Vénus
  2. De la taille de l’épicycle de Vénus
  3. Des proportions des excentricités de Vénus
  4. De la correction des mouvements périodiques de Vénus
  5. De l’époque des mouvements périodiques de Vénus
  6. Préliminaires pour les démonstrations relatives aux autres planètes
  7. Démonstration de l’excentricité et de l’apogée de Mars
  8. Détermination de la taille de l’épicycle de Mars
  9. De la correction des mouvements périodiques de Mars
  10. De l’époque des mouvements périodiques de Mars

Livre XI

  1. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Jupiter
  2. Détermination de la taille de l’épicycle de Jupiter
  3. De la correction des mouvements périodiques de Jupiter
  4. De l’époque des mouvements périodiques de Jupiter
  5. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Saturne
  6. Détermination de la taille de l’épicycle de Saturne
  7. De la correction des mouvements périodiques de Saturne
  8. De l’époque des mouvements périodiques de Saturne
  9. De la détermination géométrique des lieux vrais par les mouvements périodiques
  10. Construction d’un tableau des anomalies
  11. Tableaux des équations en longitude des cinq planètes
  12. Calcul de la longitude des cinq planètes

Livre XII

  1. Des préliminaires par rapport aux rétrogradations
  2. Démonstration des rétrogradations de Saturne
  3. Démonstration des rétrogradations de Jupiter
  4. Démonstration des rétrogradations de Mars
  5. Démonstration des rétrogradations de Vénus
  6. Démonstration des rétrogradations de Mercure
  7. Construction d’un tableau des stations
  8. Tableau des stations
  9. Démonstration des plus grandes élongations solaires de Vénus et de Mercure
  10. Plus grandes élongations par rapport au Soleil vrai

Livre XIII

  1. Des hypothèses de la position en latitude des cinq planètes
  2. Du mode de mouvement des inclinaisons et des obliquités selon les hypothèses
  3. De la taille de chacune des inclinaisons et des obliquités
  4. Construction d’un tableau pour la latitude de chaque planète
  5. Tableaux pour le calcul des latitudes
  6. Utilisation des tableaux pour le calcul de la latitude des cinq planètes
  7. Des première et dernière visibilités des cinq planètes
  8. Particularités des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure, de même qu’en accord avec les hypothèses
  9. Tableaux des première et dernière visibilités des cinq planètes
  10. Épilogue

Glossaire

1. De l’ordre des sphères du Soleil, de la Lune, et des cinq planètes

Nous avons vu ce que nous pouvons déterminer au sujet des étoiles fixes, selon ce que les phénomènes [observés] jusqu’à présent ont pu nous apprendre. Il reste, pour compléter notre traité, le traitement des cinq [astres] errants [πλανωμένων] ; pour éviter les répétitions, nous expliquerons ce qu’elles ont de commun, autant que possible, au moyen d’un exposé unique.

D’abord, l’ordre de leurs sphères, [leurs pôles] coïncidant presque toutes avec les pôles du cercle écliptique incliné : tous  s’accordent pour dire qu’elles sont plus proches de la Terre que les étoiles fixes, et plus loin de la Terre que la Lune, et que trois — Saturne, la plus grande ; Jupiter ensuite, plus près de la Terre ; et Mars en dessous — sont plus éloignées de la Terre et du Soleil que les autres. Au contraire, les sphères de Vénus et de Mercure, bien qu’elles soient placées par les anciens au-⁠dessous de celle du Soleil, sont plutôt placées au-⁠dessus [du Soleil] par certains de leurs successeurs, pour la raison que le Soleil n’a jamais été obscurci par elles [Vénus et Mercure] non plus. Cependant, une telle raison nous semble être faible, puisqu’il est possible que certaines planètes soient inférieures au Soleil, sans pour autant passer devant le Soleil, puisqu’elles peuvent être dans un plan qui ne passe pas par nos yeux, et donc ne pas nous paraître passer devant lui — tout comme, dans le cas de la plupart des synodes de la Lune [nouvelles lunes], aucune éclipse ne se produit.

Il n’y a pas de manière de prouver quelle est la véritable distance des astres [autres que le Soleil et la Lune], puisqu’aucun n’a de parallaxe notable, qui serait le seul moyen de déduire les distances. L’ordre établi par les anciens nous apparaît le plus plausible, car en mettant le Soleil au milieu, il sépare plus naturellement les planètes qui peuvent se trouver à n’importe quelle distance angulaire du Soleil de celles qui ne s’en écartent pas ; de plus, il place aussi les planètes assez loin du Soleil pour que, dans leur périgée, elles n’aient pas de parallaxe détectable.

2. Du fondement des hypothèses des planètes

Voilà donc ce que nous pouvons dire sur l’ordre et l’arrangement des sphères. Nous nous proposons maintenant de démontrer, comme nous l’avons fait pour le Soleil et la Lune, que toutes les anomalies apparentes des cinq planètes peuvent être représentées par des mouvements circulaires uniformes, puisque ceux-⁠ci sont propres à la nature des êtres divins, étrangers par leur nature au désordre et à l’irrégularité. Alors il est juste que nous pensions que le succès dans ce but était une grande chose, et vraiment la fin appropriée de la théorie mathématique qui fait partie de la philosophie. Mais cette recherche est difficile à bien des égards : d’abord, personne avant nous n’a encore réussi [à l’expliquer proprement]. Car la moindre erreur dans les observations que nous comparerons sera, lorsqu’elle s’accumulera sur une période continue, amplifiée et sensible, d’autant plus tôt lorsque l’intervalle [entre les observations] est court, et plus tard lorsqu’il est plus long. Aussi, nous n’avons d’enregistrements d’observations planétaires que depuis un temps récent par rapport à un si grand projet ; cela induit à long terme une incertitude dans les résultats. Aussi, une confusion considérable provient du fait qu’il est évident que chaque planète présente deux anomalies, inégales tant en grandeur que dans les périodes de leur retour — et, bien que l’une soit liée au Soleil et l’autre à la position sur l’écliptique, mais les deux anomalies se combinent si intimement qu’il en est difficile de distinguer ce qui est propre à chacune d’elles ; surtout que la plupart des anciennes observations [planétaires] n’ont été enregistrées ni avec minutie, ni avec précision. Les séries d’observations les plus continues concernent les stations et les apparitions [première et dernière visibilité], deux phénomènes impossibles à déterminer avec précision : les stations ne peuvent pas être fixées à un moment précis, parce que le changement de position de la planète est trop petit pour être observable pendant plusieurs jours avant et après la station réelle ; et pour les apparitions, non seulement les lieux [où sont les planètes] deviennent immédiatement invisibles avec l’astre que nous venons de voir pour la première ou la dernière fois, mais aussi parce qu’on peut se tromper sur le moment à cause des différences atmosphériques ou dans la [qualité de la] vision des observateurs. En général, les observations [de planètes] faites par rapport à l’une des étoiles fixes, lorsqu’elles sont prises sur une distance relativement grande, requièrent beaucoup de soin et d’habileté, faute de quoi les résultats [des calculs] seront douteux, non seulement parce que les lignes joignant les astres observés forment des angles variables (et pas toujours droits) avec l’écliptique, qui peuvent être de n’importe quelle taille — on peut donc s’attendre, à cause de l’inclinaison variable de l’écliptique [par rapport à l’horizon], à une erreur considérable dans la détermination de la position en latitude et longitude ; mais aussi parce que le même écart angulaire [entre l’étoile et la planète] semble plus grand près de l’horizon, et moindre au milieu du ciel [à la culmination] : il est donc évident que les intervalles en question peuvent être mesurés comme tantôt comme plus grands, tantôt moins, qu’ils ne le sont en réalité.

C’est pourquoi je pense qu’Hipparque a ardemment recherché la vérité par rapport à ce sujet, mais, puisqu’il n’a pas reçu des anciens d’observations aussi précises que celles qu’il nous a lui-⁠même fourni, il n’a étudié que les théories du Soleil et de la Lune, et il a démontré, au mieux de ses capacités et avec tous les moyens à sa disposition, que [ces théories] sont basées sur des mouvements circulaires uniformes, et rien dans ce qu’il nous a transmis n’indique il ait commencé à établir de théorie sur les cinq planètes. Ainsi, il a seulement compilé les observations [planétaires] disponibles d’une manière plus utile, et il a montré, au moyen de celles-⁠ci, que les phénomènes n’étaient pas d’accord avec les hypothèses de ceux venus avant lui . Il devait non seulement penser qu’il fallait démontrer que chaque planète ait une double anomalie, ou que chaque planète ait des arcs rétrogrades inégaux et inconstants (tandis que les autres [penseurs] avaient construit leurs modèles sur la base d’une seule anomalie et d’une seule rétrogradation) ; et il disait que ces anomalies ne pouvaient pas être représentées, soit par des cercles excentriques, soit par des cercles concentriques à l’écliptique et portant des épicycles, ou même, par Zeus !, en combinant les deux — l’anomalie écliptique étant de telle ou telle taille, et avec telle ou telle anomalie liée au Soleil [synodique] (car c’est sur quoi s’appuyaient ceux qui voulaient montrer le mouvement circulaire uniforme au moyen des tables dites perpétuelles, mais ils ont échoué et se sont trompés, certains n’ayant rien démontré, d’autres seulement dans une mesure limitée) ; mais aussi, il devait estimer que celui qui a atteint un tel degré d’exactitude et d’amour de la vérité, simplement par les mathématiques, ne peut pas en rester là, comme les autres qui n’avaient pas poussé plus loin [afin d’éliminer les imperfections], mais que pour se convaincre soi-⁠même de même que les autres, il fallait démontrer la taille et la période de chaque anomalie au moyen de phénomènes évidents et non contestés et, en les combinant, trouver la position et l’ordre des cercles par lesquels ils se produisent, de même que le type de leur mouvement, et ainsi expliquer tous les phénomènes par l’arrangement des cercles de son hypothèse. Et je soupçonne que cela lui a semblé difficile.

Cela n’est pas dit par vantardise [de notre propre réussite], mais au contraire, pour indiquer que, si nous sommes contraints, par la nature de notre sujet, d’utiliser de moyens qui ne sont pas strictement démontrés (comme lorsque nous utilisons, sans autre qualification, des cercles décrits dans les sphères planétaires [par la planète] et que nous supposons que ces cercles sont dans le plan de l’écliptique, c’est pour simplifier la preuve) ; ou si nous faisons des hypothèses de base non pas à partir d’une évidence, mais [à partir de ce] qu’une longue expérience et l’étude nous auront fait découvrir, ou de supposer un mode de mouvement ou d’inclinaison des cercles qui n’est pas le même et inchangé [pour toutes les planètes] ; nous croyons donc qu’une telle licence est justifiée, puisque nous savons que ce genre de procédure inexacte n’affectera pas le but recherché, pourvu qu’elle n’entraîne aucune erreur notable ; et nous savons aussi que des hypothèses faites sans preuve, du moment qu’elles sont en accord avec les phénomènes, n’ont pas pu être trouvées sans une certaine méthodologie et une certaine connaissance, même s’il est difficile d’expliquer comment elles sont apparues. En effet, il est en général difficile, voire impossible, de trouver la cause des premiers principes, et nous ne serons pas surpris et ne considérerons pas comme absurde une telle multitude de cercles [des planètes], considérant la variété et l’irrégularité des phénomènes planétaires ; car nous verrons que le mouvement circulaire et uniforme est conservé et représente les phénomènes individuels selon un principe plus fondamental et plus général que celui de la similitude des hypothèses [pour toutes les planètes].

Les observations que nous avons choisies pour les différentes démonstrations sont celles qui nous semblent les plus fiables ; elles ont été faites lors d’une conjonction ou d’un rapprochement très étroit avec une étoile ou avec la Lune, et surtout celles faites au moyen de l’astrolabe, dans lequel la vue de l’observateur est dirigée par des pinnules opposées sur les anneaux, ce qui permet de mesurer des distances égales sous forme d’arcs égaux dans toutes les directions, et au moyen duquel nous pouvons déterminer avec précision la position de la planète en question en latitude et longitude par rapport à l’écliptique, en faisant tourner l’anneau écliptique de l’astrolabe jusqu’à ce que les pinnules diamétralement opposées sur les anneaux soient alignées avec l’objet observé.

3. Des retours périodiques des cinq planètes

Suite à ces notions préliminaires, nous définirons d’abord la moindre période de révolution [anomalistique] de chacune des 5 planètes, telle que calculée par Hipparque et corrigée d’après nos recherches sur leurs anomalies, comme nous l’expliquerons plus loin. Nous les plaçons ici afin d’avoir les mouvements moyens en longitude et en anomalie de chaque planète sous une forme commode pour les calculs des anomalies — mais l’emploi des mouvements moyens a cela d’avantageux qu’il ne ferait aucune différence notable dans ces calculs si nous utilisions des mouvements moyens moins précisément calculés. Nous définissons généralement le « mouvement en longitude » comme étant celui du centre de l’épicycle sur le cercle excentrique, et l’« anomalie » comme étant le mouvement du corps sur son épicycle.

Nous trouvons alors :

Mais si, pour chaque planète, nous réduisons la période de retour en jours, conformément à la durée que nous avons démontrée pour longueur de l’année, et les anomalies en degrés dont le cercle en contient 360, nous obtiendrons :

pour Saturne:21 551;18 jours et 20 520° d’anomalie ;
pour Jupiter:25 927;37 jours et 23 400° d’anomalie ;
pour Mars:28 857;43 jours et 13 320° d’anomalie ;
pour Vénus:2 919;40 jours et 1 800° d’anomalie ; et
pour Mercure:16 802;24 jours et 52 200° d’anomalie.

Divisons donc les degrés d’anomalie de chacune par le nombre de ses jours ; le mouvement quotidien moyen en anomalie sera donc environ :

pour Saturne:0;57,07,43,41,43,40° ;
pour Jupiter:0;54,09,02,46,26,00° ;
pour Mars:0;27,41,40,19,20,58° ;
pour Vénus:0;36,59,25,53,11,28° ; et
pour Mercure:3;06,24,06,59,35,50°.

Pour chacun de ces nombres, nous prenons la vingt-quatrième partie pour obtenir le mouvement horaire moyen en anomalie :

pour Saturne:0;02,22,49,19,14,19,10° ;
pour Jupiter:de 0;02,15,22,36,56,05° ;
pour Mars:de 0;01,09,14,10,48,22,25° ;
pour Vénus:de 0;01,32,28,34,42,58,40° ; et
pour Mercure:de 0;07,46,00,17,28,59,35°.

Ensuite, nous multiplions le mouvement quotidien de chacune par 30 pour obtenir le mouvement mensuel moyen en anomalie :

pour Saturne:28;33,51,50,51,50,00° ;
pour Jupiter:27;04,31,23,13,00,00° ;
pour Mars:13;50,50,09,40,29,00° ;
pour Vénus:18;29,42,56,35,44,00° ; et
pour Mercure:93;12,03,29,47,55,00°.

En multipliant le mouvement quotidien par les 365 jours dans une année égyptienne, nous obtenons le mouvement annuel moyen en anomalie :

pour Saturne:347;32,00,48,50,38,20° ;
pour Jupiter:329;25,01,52,28,10,00° ;
pour Mars:168;28,30,17,42,32,50° ;
pour Vénus:225;01,32,28,34,39,15° ; et
pour Mercure:53;56,42,32,32,59,10°, en plus des circonférences [complètes].

Multiplions maintenant chaque mouvement annuel par 18, comme nous l’avons fait pour les tableaux des luminaires , pour obtenir l’anomalie moyenne en plus des circonférences complètes pour 18 années égyptiennes :

pour Saturne:135;36,14,39,11,30,00° ;
pour Jupiter:169;30,33,44,27,00,00° ;
pour Mars:152;33,05,18,45,51,00° ;
pour Vénus:90;27,44,34,23,46,30° ; et
pour Mercure:251;00,45,45,53,45,00°.

Nous pouvons également trouver les mouvements moyens en longitude correspondant à ce qui précède sans avoir à diviser le nombre de révolutions [en longitude] en degrés par sa période [en jours] indiquée ci-⁠dessus pour chaque planète. Pour Vénus et dans Mercure, il est évident que nous pouvons prendre les mêmes valeurs que celles du tableau pour le Soleil ; pour les trois autres planètes, en faisant la différence entre [le mouvement moyen en] anomalie [de la planète] et celui du Soleil. Nous obtiendrons ainsi le mouvement moyen en longitude [pour chaque planète] :

Journalier :

Saturne:0;02,00,33,31,28,51° ;
Jupiter:0;04,59,14,26,46,31° ; et
Mars:0;31,26,36,53,51,33°.

Horaire :

Saturne:0;00,05,01,23,48,42,07,30° ;
Jupiter:0;00,12,28,06,06,56,17,30° ; et
Mars:0;01,18,36,32,14,38,52,30°.

Mensuel :

Saturne:1;00,16,45,44,25,30° ;
Jupiter:2;29,37,13,23,15,30° ; et
Mars:15;43,18,26,55,46,30°.

Annuel :

Saturne:12;13,23,56,30,30,15° ;
Jupiter:30;20,22,52,52,58,35° ; et
Mars:191;16,54,27,38,35,45°.

Pour 18 ans :

Saturne:220;01,10,57,09,04,30°en mouvement moyen ;
Jupiter:186;06,51,51,53,34,30°
     en plus [des cercles complets]
Mars:203;04,20,17,34,43,30°.

Pour encore une fois rendre l’utilisation de ces quantités plus facile, nous dresserons, pour chaque planète dans l’ordre, des tableaux des mouvements moyens ci-⁠dessus. Comme les autres [tableaux de mouvement moyen], ceux-⁠ci seront de 45 lignes et 3 parties : la première contiendra les mouvements pour les périodes de 18 ans ; la seconde contiendra ceux des années simples et des heures ; et la troisième, ceux des mois et des jours. Les tableaux sont les suivants.

4. Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes

[NdT : Ptolémée n’a fait aucune erreur dans ces tableaux, ce qui n’est pas étonnant, puisqu’il s’agit simplement de faire des additions, les multiplications et divisions ayant déjà été faites — encore une fois, sans erreur. Toutefois, certains scribes ont commis des erreurs de copie, les manuscrits n’étant pas tous les mêmes entre eux.]

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Saturne


Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :          Capricorne     26° 43′
Position en anomalie [à l’époque] :0° 34′ 02″
Position de l’apogée [à l’époque] :Scorpion     14° 10′

Par période de 18 ans

Périodes de 18 ansLongitudeAnomalie
°″″″″°″″″″
18220011057090430135361439113000
3680022154180900271122918230000
5430003325127133046484357343000
72160044348361800182245836460000
9020055445452230318011315573000
10824007054254270093372755090000
126100081640033130229134234203000
1443200927371236004495713320000
162180103834214030140261152433000
18040114931304500276022631550000
19826013002839493051384111063000
216120141125485400187145550180000
234340152222575830322511029293000
25220016332007030098272508410000
27060174417160730234033947523000
2882801855142512009395427040000
306140200611341630145160906153000
3240211708432100280522345270000
34222022280552253056283824382959
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Par année

AnnéesLongitudeAnomalie
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Par heure

HeuresLongitudeAnomalie
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Par mois égyptien (30 jours)

MoisLongitudeAnomalie
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43 (1290 jours)43120046501630148160927085000
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Par jour

JoursLongitudeAnomalie
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45130250836381542504746174459

 

Jupiter


Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :          Balance     4° 41′
Position en anomalie [à l’époque] :146° 03′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :Vierge     2° 09′

Par période de 18 ans

Périodes de 18 ansLongitudeAnomalie
°″″″″°″″″″
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Par année

AnnéesLongitudeAnomalie
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Par heure

HeuresLongitudeAnomalie
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Par mois égyptien (30 jours)

MoisLongitudeAnomalie
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Par jour

JoursLongitudeAnomalie
°″″″″°″″″″
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Mars


Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :          Bélier     3° 32′
Position en anomalie [à l’époque] :327° 12′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :Cancer     16° 40′

Par période de 18 ans

Périodes de 18 ansLongitudeAnomalie
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Par année

AnnéesLongitudeAnomalie
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Par heure

HeuresLongitudeAnomalie
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Par mois égyptien (30 jours)

MoisLongitudeAnomalie
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Par jour

JoursLongitudeAnomalie
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Vénus


Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :          Poissons     0° 45′
Position en anomalie [à l’époque] :71° 06′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :Taureau     16° 10′

Par période de 18 ans

Périodes de 18 ansLongitudeAnomalie
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Par année

AnnéesLongitudeAnomalie
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Par heure

HeuresLongitudeAnomalie
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Par mois égyptien (30 jours)

MoisLongitudeAnomalie
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Par jour

JoursLongitudeAnomalie
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Mercure


Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :          Poissons     0° 45′
Position en anomalie [à l’époque] :21° 55′ 00″
Position de l’apogée [à l’époque] :Balance     1° 10′

Par période de 18 ans

Périodes de 18 ansLongitudeAnomalie
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Par année

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Par heure

HeuresLongitudeAnomalie
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Par mois égyptien (30 jours)

MoisLongitudeAnomalie
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Par jour

JoursLongitudeAnomalie
°″″″″°″″″″
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5. Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes

Après avoir exposé ces anomalies, nous devons maintenant discuter des mouvements en longitude des cinq planètes , que j’ai représentés généralement de la manière suivante.

Deux mouvements simples suffisent pour expliquer ce que nous proposons : un produit par des cercles excentriques [au centre du] zodiaque, et un autre produit par des cercles concentriques à l’écliptique, mais qui portent des épicycles. Il y a également deux anomalies apparentes pour chaque planète : une qui varie selon sa position dans l’écliptique, et l’autre selon sa position par rapport au Soleil. Pour cette dernière, nous trouvons, à partir d’une série de différentes configurations [de la planète avec le Soleil] observées dans les mêmes parties de l’écliptique, que les cinq planètes prennent plus de temps pour passer de la plus grande vitesse à la moyenne que pour passer de la moyenne à la minimale. Cet effet ne peut pas être une conséquence de l’hypothèse excentrique, qui produit exactement l’effet contraire, puisque la plus grande vitesse a lieu au périgée dans cette hypothèse, tandis que dans les deux hypothèses [excentrique et épicyclique], l’arc du périgée jusqu’au point de vitesse moyenne est plus petit que l’arc de ce point jusqu’à l’apogée ; mais dans l’hypothèse épicyclique, cet effet peut se produire quand la plus grande vitesse est non pas au périgée, comme dans le cas de la Lune, mais à l’apogée, c’est-⁠à-⁠dire lorsque la planète, partant de l’apogée, se déplace non pas dans le sens du premier mouvement [vers l’ouest], comme la Lune, mais plutôt vers l’arrière [l’est]. C’est pourquoi nous expliquons ce type d’anomalie par l’hypothèse épicyclique.

Pour l’anomalie relative à la position sur l’écliptique, nous trouvons le contraire à partir des [observations des] arcs de l’écliptique parcourus dans les mêmes phases [successives] ou dans les mêmes configurations [Soleil-planète] : le temps entre la moindre vitesse et la vitesse moyenne est toujours plus long que celui entre la vitesse moyenne et la plus grande. Ce effet peut résulter de l’une ou l’autre des deux hypothèses, comme nous l’avons expliqué au début de notre discussion sur le Soleil, en parlant de l’équivalence des hypothèses. Mais cet effet convient mieux à l’hypothèse excentrique, que nous utilisons pour expliquer ce genre d’anomalie, puisque l’autre anomalie se produit seulement dans l’hypothèse épicyclique.

Cependant, à partir d’une comparaison à long terme des positions observées avec les résultats calculés à partir de la combinaison des deux hypothèses, nous constatons qu’il ne suffira pas de simplement supposer [comme nous l’avons fait jusqu’à présent] que les plans dans lesquels nous décrivons les cercles excentriques sont stationnaires et que la droite qui joint leurs centres et celui de l’écliptique, sur laquelle sont l’apogée et le périgée, reste à distance constante des points tropiques et équinoxiaux ; ni [de supposer] que l’excentrique portant le centre de l’épicycle est identique à l’excentrique par rapport au centre duquel l’épicycle fait sa révolution uniforme vers l’arrière, parcourant des angles égaux en des temps égaux. Nous constatons au contraire que l’apogée de l’excentrique effectue un mouvement lent vers l’arrière [selon l’ordre des signes / vers l’est] par rapport aux tropiques [solstices], qui est uniforme autour du centre de l’écliptique, qui est à peu près le même pour chaque planète que celui de la sphère des étoiles fixes, c’est-⁠à-⁠dire 1° en 100 ans, pour autant qu’on puisse en juger. Nous trouvons aussi que les centres des épicycles sont portés sur des excentriques qui, bien qu’égaux en grandeur à l’excentrique qui produit l’anomalie, ne sont pas décrits autour du même centre que celui-⁠ci ; le centre [du déférent réel] est le point bissecteur de la ligne joignant le centre de l’excentrique produisant l’anomalie au centre de l’écliptique. Pour Mercure, toutefois, le cercle est décrit autour d’un point aussi distant du centre du cercle autour duquel cet astre tourne que l’est ce dernier point de l’apogée du centre de l’excentrique produisant l’anomalie, qui est à la même distance vers l’apogée du point représentant l’observateur ; car nous trouvons, pour cette planète seulement, et comme pour la Lune, que l’excentrique est porté par [le mouvement du] centre mentionné ci-⁠dessus contre l’ordre des signes [vers l’ouest], en sens opposé à l’épicycle, au rythme d’une révolution par an, parce que la planète apparaît deux fois au périgée au cours d’une révolution, tout comme la Lune apparaît deux fois au périgée en un mois [synodique].

6. Du mode et de la différence entre ces hypothèses

Pour faire mieux comprendre en quoi consistent les diverses hypothèses dont nous venons de parler, soit d’abord pour les autres planètes [que Mercure], le cercle excentrique ABG autour du centre D, avec le diamètre ADG passant par D et par le centre de l’écliptique ; sur celui-⁠ci, soit E le centre de l’écliptique, où se trouve l’œil de l’observateur, de sorte que A est l’apogée et G, le périgée. DE est coupé en deux moitiés en Z, et de ce point Z et de rayon DA, traçons un cercle HΘK égal à ABG. Puis, autour de Θ, traçons l’épicycle LM et joignons LΘMD.

Pas à l’échelle, et grandement accéléré ▶️ ⏸️ B A H D Z E G K L M Θ

Supposons d’abord que le plan des cercles excentriques est incliné sur celui de l’écliptique, et que celui de l’épicycle est incliné sur celui des excentriques, à cause du mouvement en latitude des planètes, conformément à ce que nous démontrerons à ce sujet. Pour les mouvements en longitude, par commodité, imaginons qu’ils se font tous dans le plan de l’écliptique — il n’y aura pas de différence notable en longitude, du moins pour des inclinaisons sont aussi petites que celles que nous démontrerons pour chaque planète. Ensuite, nous disons que tous ces plans  tournent uniformément autour du centre E suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], faisant avancer les apogées et les périgées de 1° en 100 ans, et que le diamètre LΘM de l’épicycle tourne uniformément autour du centre D, aussi suivant l’ordre des signes, à une vitesse correspondant au retour de la planète en longitude, et qu’il emporte avec lui les points L et M de l’épicycle, et le centre Θ de l’épicycle (se déplaçant toujours sur l’excentrique HΘK), de même que la planète elle-même, qui se déplace uniformément sur l’épicycle LM et revenant toujours au même point sur ce diamètre vers le centre D, à une vitesse correspondant à la période moyenne de l’anomalie relative au Soleil [synodique], son mouvement à l’apogée L se faisant suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est].

(Remerciements au Dr. Jean-Pierre Lasota-Hirszowicz, Directeur de Recherche Emérite ; CNRS, Institut d’Astrophysique de Paris, pour m’avoir signalé une erreur dans l’animation ci-⁠dessus.)

Pas à l’échelle, et grandement accéléré. Mercure non illustré, pour aérer le schéma. ▶️ ⏸️

Quant aux particularités de l’hypothèse de Mercure, soit d’abord ABG, l’excentrique produisant l’anomalie, autour du centre D, et de diamètre ADEG passant par D, par le centre E de l’écliptique, et par l’apogée A. Sur AG, prenons [le segment] DZ vers l’apogée A, égal à DE. Ensuite, tout le reste demeurant pareil — c’est-⁠à-⁠dire que tout le plan [tourne] autour du centre E, emportant l’apogée dans l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est] de la même quantité que pour les autres planètes, et que l’épicycle tourne uniformément autour du centre D dans l’ordre des signes, comme par la ligne DB, et que la planète se déplace sur l’épicycle comme le font les autres planètes. Ici, le centre de l’autre excentrique, qui est de taille égale à celle du premier et sur lequel se trouve le centre de l’épicycle, est entraîné autour du point Z en sens contraire du mouvement de l’épicycle, c’est-⁠à-⁠dire contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], mais uniformément et avec la même vitesse que l’épicycle, comme par la ligne ZHΘ. Ainsi, en une année, chacune des lignes DB et ZHΘ reviendra une fois au même point de l’écliptique, mais deux fois l’une par rapport à l’autre. Le centre de second excentrique sera toujours à une distance ZH du point Z, égale tant à ED qu’à DZ. Ainsi le petit cercle décrit par son mouvement vers l’ouest, de centre Z et de rayon ZH, est bordé par le centre D du premier excentrique fixe ; mais l’excentrique mobile sera décrit du centre H et de rayon HΘ égal à DA (comme ici ΘK), son centre étant toujours sur cet excentrique mobile, comme ici au point K.

Nous comprendrons encore mieux ces hypothèses par les démonstrations des paramètres particuliers à chaque planète, où nous verrons mieux les motifs qui ont déterminé ces hypothèses.

Il faut toutefois préciser que les périodes longitudinales ne ramènent pas la planète à la même position sur l’écliptique et [en même temps] par rapport à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, à cause du déplacement de position de ces derniers. Ainsi, les mouvements moyens en longitude que nous avons tabulés ci-⁠dessus ne sont pas les retours [des planètes] aux apogées des excentriques, mais ceux définis par rapport aux points tropiques [solsticiaux] et équinoxiaux, sur une année telle que nous l’avons déterminée.

Nous devons donc d’abord prouver que, selon ces hypothèses, pour des distances égales de la planète en longitude moyenne d'un côté ou de l’autre de l’apogée ou du périgée, la différence [équation] d’anomalie écliptique d’un côté est égale à celle de l’autre côté, et que la plus grande élongation sur l’épicycle depuis la position moyenne [d’un côté est égal à celle de l’autre côté].

A B G D E Z H Θ K L M N X

Soit ABGD, le cercle excentrique qui porte le centre de l’épicycle, avec pour centre E et diamètre AEG, sur lequel nous supposons Z comme centre de l’écliptique et H comme centre de l’excentrique produisant l’anomalie, c’est-⁠à-⁠dire le point autour duquel nous disons que le mouvement uniforme de l’épicycle a lieu. Traçons BHΘ et DHK à distance égale de l’apogée A, de sorte que ∠ AHB = ∠ AHD. Traçons autour des points B et D des épicycles égaux, et joignons BZ et DZ. À partir de Z, l’observateur, traçons ZL et ZM comme tangentes aux épicycles [vers le périgée].

Je dis que les angles de l’équation de l’anomalie écliptique ∠ ZBH = ∠ HDZ et que les plus grandes élongations sur l’épicycle ∠ BZL = ∠ DZM. Ainsi, les inégalités [des plus grandes élongations] résultant de la combinaison [des hypothèses] excentrique et épicyclique seront égales.

Traçons, à partir de B et D, les droites BL et DM perpendiculaires à ZL et ZM, [respectivement], ainsi que, à partir de E, les droites EN et EX perpendiculaires à DK et BΘ [respectivement].

Alors, puisque ∠ XHE = ∠ NHE, que les angles en N et X sont droits, et que EH est commun aux triangles équiangles [NHE et XHE], NH = XH et perpendiculaire EN = perpendiculaire EX. Donc, les droites BΘ et DK sont à égale distance du centre E ; elles sont égales entre elles, et leurs moitiés sont aussi égales entre elles [BX = DN].

Par conséquent, par soustraction [de XH de BX et de NH de DN], BH = DH. Mais HZ est aussi commun [aux triangles BHZ et DHZ] et ∠ BHZ = ∠ DHZ. Donc base BZ = base DZ, et ∠ HBZ = ∠ HDZ. Aussi, BL = DM (rayons de l’épicycle), et les angles en L et en M sont droits. Donc ∠ BZL = ∠ DZM.

A B G D E L M N X H Z K Θ

Maintenant, pour représenter l’hypothèse de Mercure, soit ABG le diamètre passant par les centres et l’apogée des cercles [excentriques], et soit A le centre de l’écliptique, B le centre de l’excentrique produisant l’anomalie, et G le point autour duquel tourne le centre de l’excentrique qui porte l’épicycle. Traçons, de part et d’autre [de l’apogée], les droites BD et BE, représentant le mouvement uniforme de l’épicycle dans l’ordre des signes [vers l’est], et les droites GZ et GH représentant la révolution de l’excentrique contre l’ordre des signes [vers l’ouest] à vitesse égale [à celle de l’épicycle]. Il est clair que les angles G et B sont égaux, et que BD est parallèle à GZ, et BE à GH. Sur GZ et GH, prenons les centres des excentres [mobiles] en Θ et en K, et faisons passer par les points D et E les excentriques autour de ces centres, sur lesquels nous traçons les épicycles égaux. Joignons AD et AE, et traçons AL et AM tangentes aux épicycles.

Nous devons maintenant prouver que, dans cette situation aussi, les angles de l’équation d’anomalie écliptique ∠ ADB = ∠ AEB, et que les angles de plus grande élongation sur l’épicycle ∠ DAL = ∠ EAM.

Joigons BΘ, BK, ΘD, et KE, et traçons, à partir de G, les droites GN et GX perpendiculaires à BD et BE [respectivement] ; et à partir de D et E, les droites DZ et EH perpendiculaires à GZ et GH ainsi que les droites DL et EM perpendiculaires à AL et AM. Puisque ∠ GBN = ∠ GBX [par hypothèse], que les angles en N et X sont droits, et que la droite GB est commune [aux triangles GBN et GBX], les droites GN = GX et DZ = EH. Aussi, ΘD = KE et les angles en Z et H sont droits, donc ∠ DΘZ = ∠ EKH ; aussi, parce que [dans les triangles GΘB et GKB] ΘG = GK (par hypothèse), que GB est commun, et que ∠ ΘGB = ∠ KGB, alors ∠ GΘB = ∠ GKB. Donc, les angles restants [par soustraction] ∠ BΘD = ∠ BKE, et base BD = base BE. Aussi, [dans les triangles BAD et BAE] BA est commun et ∠ DBA = ∠ EBA [par hypothèse], alors base AD = base AE et ∠ ADB = ∠ AEB. Par le même raisonnement, puisque DL = EM [rayons de l’épicycle] et que les angles en L et M sont droits, ∠ DAL = ∠ EAM.

7. Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure

Maintenant que cette théorie est étable, nous allons d’abord chercher dans quelle partie du cercle mitoyen du zodiaque [l’écliptique] se trouve l’apogée de Mercure, de la méthode suivante. Nous avons rassemblé les observations des plus grandes élongations dans lesquelles la distance de [Mercure] au Soleil en tant qu’[étoile du] matin [ἑῶοι] est égale à sa distance en tant qu’[étoile du] soir [ἑσπερίαις] ; car cela étant trouvé, nos démonstrations [ci-⁠dessus] impliquent que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre ces deux élongations soit l’apogée de l’excentrique. Il est vrai que les observations que nous avons choisies sont peu nombreuses, puisque celles où cette égalité se produit sont rares — mais elles suffisent à nos besoins. Les plus récentes d’entre elles sont les suivantes.

Nous avons observé, la seizième année d’Hadrien, le soir du 16 au 17 du mois égyptien de phaminoth [2/3 février 132], au moyen de l’astrolabe, Mercure à son plus grand écart de longitude moyenne [par rapport] au Soleil. Comparée à l’étoile brillante des Hyades, elle avait alors une longitude de 1° des Poissons. À ce moment, la longitude moyenne du Soleil était de 9⁠3⁄4° du Verseau. La plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était donc de 21⁠1⁄4°.

Dans la dix-huitième année d’Hadrien, le matin du 18 au 19 du mois égyptien d’epiphi [3/4 juin 134], à l’aube, Mercure était à sa plus grande élongation, apparaissant très petite et faible. Par rapport à l’étoile brillante des Hyades, elle était à 18⁠3⁄4° du Taureau. À ce moment, le Soleil moyen était à 10° des Gémeaux. Ici aussi, donc, la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du matin était des mêmes 21⁠1⁄4°.

Ainsi, puisque la position moyenne de la planète était de 9⁠3⁄4° du Verseau dans une de ces observations, et de 10° des Gémeaux dans l’autre, et que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre les deux est à 10° moins 1⁄8° [9⁠7⁄8°] du Bélier, le diamètre passant par l’apogée doit alors se situer dans cette position [soit 9° 52′ 30″ du Bélier].

Aussi, la première année d’Antonin, le soir du 20 au 21 du mois égyptien d’epiphi [4/5 juin 138], nous avons observé Mercure au moyen de l’astrolabe à sa plus grande distance de la longitude moyenne du Soleil. Comparé à l’étoile au cœur du Lion, nous avons vu qu’elle était à 7° du Cancer. Mais à ce moment, le Soleil moyen était à 10⁠1⁄2° des Gémeaux. Par conséquent, la plus grande élongation [de Mercure] en tant qu’étoile du soir était de 26⁠1⁄2° .

De même, dans la quatrième année d’Antonin, à l’aube du 18 au 19 du mois égyptien de phaminoth [1/2 février 141], [Mercure a été observé], à sa plus grande élongation ; comparée à l’étoile appelée Antarès, elle était à 13⁠1⁄2° du Capricorne, alors que le Soleil moyen était à 10° du Verseau. La plus grande élongation par rapport à la moyenne de l’étoile du matin était alors aussi de 26⁠1⁄2° .

Ainsi, puisque la position moyenne de la planète était de 10⁠1⁄2° des Gémeaux dans une de ces observations et de 10° du Verseau dans l’autre, et que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre les deux est à 10⁠1⁄4° de la Balance, le diamètre passant par l’apogée devait alors se trouver dans cette position.

Par ces observations, nous trouvons donc que l’apogée est à environ 10° du Bélier ou de la Balance ; mais d’après les anciennes observations des plus grandes élongations, il tombait à environ 6° des mêmes signes, comme nous pouvons le calculer à partir de ce qui suit.

Dans la 23e année du calendrier de Dionysius, à l’aube du 21 d’hydron , Stilbon [Mercure] était à 3 lunes au nord de l’étoile brillante de la queue du Capricorne. À ce moment, cette étoile, selon l’origine [de nos coordonnées], soit celle commençant par les points solsticiaux ou équinoxiaux, avait une position de 22⁠1⁄3° du Capricorne, tout comme Mercure, et le Soleil moyen était à 18⁠1⁄6° du Verseau ; cette date correspond au matin du 17 au 18 du mois égyptien de khoiak de la 486e année de Nabonassar [11/12 février −261]. La plus grande élongation par rapport à la moyenne [de Mercure] en tant qu’étoile du matin était donc de 25⁠5⁄6°.

Nous n’avons pas trouvé, dans les observations qui nous sont parvenues, de plus grande élongation à la moyenne comme étoile du soir qui soit exactement égale à cela, mais nous avons calculé la [position à une élongation] égale au moyen de deux observations très rapprochées [de la situation requise], de la manière suivante.

Voici une simulation de la situation le 26 avril −261, à 18 h 50, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1° ; « trois lunes » correspondent à environ 1⁠1⁄2°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres.

26 avril −261

Dans la même 23e année du calendrier de Dionysius, le soir du 4 tauron, [Mercure] était à 3 lunes derrière [à l’est de] la ligne droite passant par les cornes du Taureau [β Tau et ζ Tau] ; elle semblait [aussi] être à plus de 3 lunes au sud de l’étoile commune [au Cocher et au Taureau]. Elle était donc, à compter de notre point de départ, à 23⁠2⁄3° du Taureau. Cette observation a été faite dans la 486e année de Nabonassar, le soir du 30 méchir au 1er phaminoth du calendrier égyptien [25/26 avril −261] . À ce moment, la longitude moyenne du Soleil était de 29⁠1⁄2° du Bélier ; la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était donc de 24⁠1⁄6°.

Voici une simulation de la situation le 28 mai −256, à 19 h 10, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1° ; la ligne rouge, allant de Castor jusqu’à Mercure en passant par Pollux, a la longueur indiquée dans le texte, soit « 1⁄3 de Lune moins de deux fois la distance entre [Castor et Pollux] ». La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres. L’échelle est un peu moindre que dans l’image précédente.

28 mai −256

Dans la 28e année de Dionysius, le soir du 7 didymon, [Mercure] était en ligne droite avec les têtes des Gémeaux, et était au sud de la plus au sud, par 1⁄3 de Lune moins de deux fois la distance entre les têtes. Selon nos coordonnées, Mercure était donc alors à 29⁠1⁄3° des Gémeaux. Ce moment était dans la 491e année de Nabonassar, le soir du 5 au 6 du mois égyptien de pharmouthi [28/29 mai −256] ; la longitude moyenne du Soleil était alors de 2⁠5⁄6° des Gémeaux. [La plus grande] élongation était donc de 26⁠1⁄2°.

Or, quand la position moyenne était de 29⁠1⁄2° du Bélier, la plus grande élongation était de 24⁠1⁄6°, et quand la position moyenne était de 2⁠5⁄6° des Gémeaux, la plus grande élongation était de 26⁠1⁄2° ; mais la [plus grande élongation] en tant qu’étoile du matin, dont nous recherchions [la plus grande élongation en tant qu’étoile du soir] opposée, était de 25⁠5⁄6°. Nous avons donc cherché l’emplacement de la position moyenne pour une [plus grande] élongation du soir de 25⁠5⁄6°, à partir de la différence entre les deux observations ci-⁠dessus  : la différence entre les positions moyennes aux deux observations est de 33⁠1⁄3°, et celle entre les plus grandes élongations de 2⁠1⁄3° ; ainsi, à 1⁠2⁄3° (qui est l’excès de 25⁠5⁄6° sur 24⁠1⁄6°) correspondent approximativement 24°. Si nous ajoutons cela aux 29⁠1⁄2° du Bélier, nous obtenons la position moyenne où la plus grande élongation du soir est égale à celle du matin (de 25⁠5⁄6°), soit 23⁠1⁄2° du Taureau. Et le point à mi-⁠chemin entre 18⁠1⁄6° du Verseau et 23⁠1⁄2° du Taureau est à 5⁠5⁄6° du Bélier.

Voici une simulation de la situation le 23 août −261, à 19 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres.

23 août −261

Dans la 24e année du calendrier de Dionysius, le soir du 28 léonton, [Mercure] était à un peu plus de 3° en avance sur [à l’ouest de] Spica, selon le calcul d’Hipparque. Ainsi, sa longitude à ce moment était de 19⁠1⁄2° de la Vierge à partir de notre point de départ. Ce moment était dans la 486e année de Nabonassar, le soir du 30 payni du calendrier égyptien [23 août −261], moment auquel la longitude moyenne du Soleil était de 27⁠5⁄6° du Lion. Ainsi, la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était de 21⁠2⁄3°. Nous avons calculé [la position de] l’élongation du matin correspondant précisément à celle-⁠ci à partir de deux des [observations] disponibles.

Voici une simulation de la situation le 30 octobre −236, à 06 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. Le texte de Ptolémée ne mentionne pas Mars ; on peut supposer qu’elle était toutefois mentionnée dans le texte original. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres.

30 octobre −236

Dans la 75e année du calendrier chaldéen, à l’aube du 14 dios , à l’aube, [Mercure] était une demi-⁠coudée [≈ 1°] au-⁠dessus [de l’étoile] du plateau sud [de la Balance] ; c’était donc à 14⁠1⁄6° de la Balance, relativement à notre point de départ. Ce moment était dans la 512e année de Nabonassar, à l’aube du 9 au 10 thout du calendrier égyptien [29/30 octobre −236] ; la longitude moyenne du Soleil était de 5⁠1⁄6° du Scorpion. Par conséquent, la plus grande élongation matinale était donc de 21°.

Voici une simulation de la situation le 19 novembre −244, à 06 h 00, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres.

19 novembre −244

Dans la 67e année des chaldéens, à l’aube du 5 apellaios, [Mercure] était une demi-⁠coudée [≈ 1°] au-⁠dessus de l’[étoile du] front nord du Scorpion. Elle était donc à 2⁠1⁄3° du Scorpion, selon notre système. Ce moment était dans la 504e année de Nabonassar, au matin du 27 au 28 thout du calendrier égyptien [18/19 novembre −244] ; la longitude moyenne du Soleil était de 24⁠5⁄6° du Scorpion. [La plus grande] élongation [du matin] était donc de 22°1⁄2.

Dans ces deux observations, donc, puisque la différence entre les deux positions moyennes était de 19⁠2⁄3° et que la différence entre les plus grandes élongations était de 1⁠1⁄2°, il s’ensuit que 2⁄3° (qui est l’excès des 21⁠2⁄3° de l’élongation requise sur les 21° de la moindre [des deux]) correspond à environ 9°. Si nous ajoutons cela à 5⁠1⁄6° du Scorpion, nous obtenons la position moyenne à laquelle la plus grand élongation du matin devient égale à celle du soir (soit 21⁠2⁄3°) : ce point est à 14⁠1⁄6° du Scorpion. Le point à mi-⁠chemin entre 27⁠5⁄6° du Lion et 14⁠1⁄6° du Scorpion est à 6° de la Balance, [le même que précédemment].

D’après ces observations, et aussi des calculs semblables faits pour les autres planètes, nous trouvons que les diamètres passant par les apogées et les périgées des cinq planètes  se déplacent suivant l’ordre des signes [vers l’est] autour du centre de l’écliptique, et que ce déplacement se fait au même rythme que celui de la sphère des étoiles fixes, car cette dernière se déplace d’environ 1° en 100 ans, comme nous l’avons démontré, et que l’intervalle depuis les observations anciennes, dans lesquelles l’apogée de Mercure était d’environ le sixième degré [des signes en question], jusqu’au temps de nos observations, où il s’est déplacé d’environ 4° (puisqu’il occupe [maintenant] le dixième degré), comprend environ 400 ans.

8. Du double périgée de Mercure

Suivant ce qui précède, nous avons cherché la taille des plus grandes élongations qui se produisent lorsque la longitude moyenne du Soleil est à l’apogée, et [de même] lorsqu’elle est diamétralement opposée [à ce point]. Nous les avons pas obtenues des observations anciennes, mais par celles que nous avons faites avec l’astrolabe. Car c’est dans cette situation que l’on peut le mieux apprécier l’utilité d’une telle observation, puisque, même si les étoiles visibles ne sont pas proches de la planète observée (ce qui est généralement le cas de Mercure, puisque, pour la plupart des étoiles fixes, il est rare qu’elles soient visibles lorsque si proches du Soleil que Mercure), on peut encore déterminer avec précision les positions de la planète en question en latitude et longitude, en visant des étoiles qui sont à une distance plus grande.

Dans la 19e année d’Hadrien, à l’aube du 14 au 15 du mois égyptien d’athyr [2/3 octobre 134], à l’aube, Mercure, voisine de sa plus grande élongation, a été comparée [en termes de position] à l’étoile du cœur du Lion, et nous avons trouvé qu’elle avait une longitude de 20⁠1⁄5° de la Vierge. Le Soleil moyen était à environ 9⁠1⁄4° de la Balance, la plus grande élongation était donc de 19⁠1⁄20°.

La même année, dans la soirée du 19 de pachon [5 avril 135], [Mercure] était de nouveau voisine de sa plus grande élongation. Comparée à l’étoile brillante des Hyades, nous lui avons trouvé une longitude de 4⁠1⁄3° du Taureau. Le Soleil moyen avait une longitude de 11⁠1⁄12° du Bélier. Ainsi, la plus grande élongation était à 23⁠1⁄4°, et il est clair que l’apogée de l’excentrique est en Balance et non en Bélier.

A B G D E Z

Avec ces données, soit ABG le diamètre passant par l’apogée, B le centre de l’écliptique (où se trouve l’observateur), A le point à 10° de la Balance, et G le point à 10° du Bélier. Traçons des épicycles égaux autour des points A et G porteurs [respectivement] des points D et E, et traçons à partir de B des tangentes à [ces points], soit BD et BE. Traçons aussi les perpendiculaires AD et GE des centres [A et E] aux points de tangence [D et G].

Maintenant, puisque la plus grande élongation matinale dans la Balance était à 19⁠1⁄20°, ∠ ABD = 19° 03′ où quatre angles droits font 360°, ou 38;06 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ABD, arc AD = 38° 06′ et sa corde, AD ≈ 39;09p où l’hypoténuse AB = 120p. Et puisque la plus grande élongation vespérale [du soir] dans le Bélier a été observée à 23⁠1⁄4°, ∠ GBE = 23° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 46;30 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GBE, arc GE = 46° 30′ et sa corde, GE = 47;22p où l’hypoténuse BG = 120p. Donc, où GE = 39;09p et AB = 120p (pour AD = GE, les rayons de l’épicycle), BG = 99;09p et, par addition [de AB à BG], ABG = 219;09p.

Donc en la coupant en deux parties égales au point Z, sa moitié AZ = 109;34p et la distance entre les points B et Z = 10;25p dans les mêmes unités.

Or il est clair que, soit le point Z est le centre de l’excentrique sur lequel se trouve toujours le centre de l’épicycle, soit le centre de cet excentrique se déplace autour du point Z ; car ce n’est qu’ainsi que le centre de l’épicycle pourrait être équidistant de Z dans les deux situations diamétralement opposées ci-⁠dessus, comme nous l’avons démontré. Mais si Z était le centre réel de l’excentrique sur lequel le centre de l’épicycle était toujours situé, cet excentrique serait stationnaire, et la position dans le Bélier serait la plus proche de la Terre [le périgée], puisque BG est la plus courte des lignes tracées de B au cercle décrit au centre Z. Cependant, nous constatons que la position dans le Bélier n’est pas la plus proche de la Terre, mais que les positions dans les Gémeaux et le Verseau sont encore plus proches de la Terre — et presque égales entre elles. Il est donc clair que le centre de l’excentrique en question tourne autour du point Z, en sens inverse de la révolution de l’épicycle (c’est-⁠à-⁠dire contre l’ordre des signes [vers l’ouest]), faisant lui aussi une révolution en un tour [de l’épicycle]. Car ainsi, le centre de l’épicycle sera deux fois au périgée par révolution.

Que l’épicycle soit plus proche de la Terre dans les Gémeaux et le Verseau que dans le Bélier est clairement une conséquence immédiate des observations susmentionnées. Car dans l’observation de la 16e année d’Hadrien, le 16 phaminoth, la plus grande élongation vespérale était de 21⁠1⁄4°, et dans l’observation de la 4e année d’Antonin, le 19 phaminoth, la plus grande élongation matinale était de 26⁠1⁄2°, tandis que dans les deux observations, le Soleil moyen était proche de 10° du Verseau. Et dans l’observation de la 18e année d’Hadrien, le 19 epiphi, la plus grande élongation matinale était de 21⁠1⁄4°, et dans l’observation de la 1re année d’Antonin, le 20 epiphi, la plus grande élongation vespérale était de 26⁠1⁄2°, le Soleil moyen dans ces deux observations étant proche de 10° des Gémeaux. Ainsi, la somme des plus grandes élongations opposées dans le Verseau que dans les Gémeaux est de 47⁠3⁄4°, tandis que la somme des deux élongations du Bélier est [seulement] de 46⁠1⁄2°, puisque l’élongation du soir (qui est égale à l’élongation du matin) a été observée à 23⁠1⁄4°.

9. Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure

Après avoir décrit ces principes, il nous reste à démontrer la position du point, sur la ligne AB, autour duquel s’effectue la révolution annuelle de l’épicycle, suivant l’ordre des signes [vers l’est] en mouvement uniforme, et la distance de Z au centre de cet excentrique qui fait sa révolution dans la même période [que l’épicycle] contre l’ordre des signes [vers l’ouest]. Pour trouver cela, nous avons utilisé deux observations des plus grandes élongations, une matinale et l’autre vespérale, dans lesquelles la position moyenne était à un quadrant de l’apogée — cas dans lequel, environ, la plus grande équation d’anomalie écliptique se produit.

Dans la 14e année d’Hadrien, le soir du 18 mésori du calendrier égyptien [4 juillet 130], selon les observations que nous avons reçues de Théon , il dit que [Mercure] était à sa plus grande élongation du Soleil, à 3⁠5⁄6° derrière [à l’est de] l’étoile du cœur du Lion. Selon nos coordonnées, sa longitude était donc d’environ 6⁠1⁄3° du Lion, tandis que la longitude du Soleil moyen était alors d’environ 10⁠1⁄12° du Cancer. Ainsi, la plus grande élongation du soir était de 26⁠1⁄4°.

La 2e année d’Antonin, à l’aube du 20 au 21 mésori  du calendrier égyptien [4/5 juillet 139], nous avons observé sa plus grande distance au moyen de l’astrolabe : en la comparant à l’étoile brillante des Hyades, nous avons trouvé sa longitude comme étant de 20⁠1⁄12° des Gémeaux. Le Soleil moyen était alors à environ 10⁠1⁄3° du Cancer. Ainsi, la plus grande élongation matinale était de 20⁠1⁄4°.

A Z H B G Θ K L

Avec ces données, soit AZBG comme diamètre passant par 10° de la Balance et 10° du Bélier, et, comme dans la figure précédente, supposons que A est point où se trouve le centre de l’épicycle lorsque sa longitude est de 10° de la Balance et G est le point où il est lorsque sa longitude est de 10° du Bélier, B est le centre de l’écliptique, et Z est le point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’ouest].

Proposons-nous d’abord de trouver la distance au point B du centre autour duquel nous disons que se fait le mouvement uniforme de l’épicycle selon l’ordre des signes [vers l’est].

Supposons que ce centre soit H. Traçons depuis H une droite perpendiculaire à AG, de sorte que sa distance [angulaire] à l’apogée soit un quart de cercle [90°]. Sur cette ligne, prenons le centre Θ de l’épicycle correspondant aux observations ci-⁠dessus — puisque, dans celles-⁠ci, la longitude moyenne du Soleil était à un quart de cercle de l’apogée, étant proche de 10° du Cancer). Traçons l’épicycle KL avec pour centre Θ, de même que les tangentes BK et BL à partir de B. Joignons ΘK, ΘL, et BΘ.

Puisque, relativement à la position moyenne en question, la plus grande élongation matinale est de 20⁠1⁄4° [par hypothèse], et que la plus grande élongation du soir est de 26⁠1⁄4°, ∠ KBL = [20⁠1⁄4° + 26⁠1⁄4° =] 46° 30′ où quatre angles droits font 360°. Donc sa moitié, ∠ KBΘ = 46;30 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BΘK, l’arc ΘK = 46° 30′ et sa corde ΘK = 47;22p où l’hypoténuse BΘ = 120p. Donc où le rayon de l’épicycle ΘK = 39;09p et, comme nous l’avons démontré, BZ = 10;25p, BΘ = 99;09p.

De plus, la différence entre les plus grandes élongations ci-⁠dessus, qui est de 6°, correspond à deux fois l’équation de l’anomalie écliptique, représentée par ∠ BΘH, comme nous l’avons démontré. Donc, ∠ BΘH = 3° où quatre angles droits font 360°, ou 6 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BHΘ, arc BH = 6° et BH = 6;17p où l’hypoténuse BΘ = 120p. Donc, où BΘ = 99;09p et BZ = 10;25p, BH = 5;12p. Par conséquent, BH est approximativement la moitié de BZ, et BH ≈ HZ ≈ 5;12p où le rayon de l’épicycle est 39;9p.

A Z H B G Θ N M

Maintenant, dans la même figure, traçons depuis Z la droite ZMN perpendiculaire à AG, mais du côté opposé à HΘ. Parce que les lignes HΘ et ZN revenant en temps égaux à leur position d’origine, mais en sens opposés, le centre de l’excentrique porteur du centre Θ de l’épicycle se trouvera sur ZMN à ce moment. Supposons que ZN est égal à ZA, de sorte que chacune est la somme du rayon de l’excentrique et de la distance entre le centre de l’excentrique et le point Z. Prenons [au hasard] sur ZN  le centre de l’excentrique, M, et joignons ZΘ.

Puisque ∠ MZH est droit et que ∠ ΘZH est pratiquement un angle droit, donc NZΘ est pratiquement une droite ; et il a été démontré que, où le rayon de l’épicycle est de 39;09p, NZ = AZ = 109;34p et ZΘ = BΘ = 99;09p. Donc, [par addition,] la ligne entière NZΘ = 208;43p et sa moitié, (le rayon de l’excentrique) NM ≈ 104;22p ; [par soustraction de NM de NZ,] la distance restante entre les centres ZM = 5;12p. Or, nous avons montré que BH = HZ = 5;12p. Nous en avons conclu que, où le rayon de l’excentrique est de 104;22p, chacune des droites entre les centres [BH, HZ, et ZM] mesure 5;12p et [que] le rayon de l’épicycle est de 39;09p. Donc, où le rayon de l’excentrique est de 60p, chacune des droites entre les centres mesure 3;00p et le rayon de l’épicycle mesure 22;30p.

Partant de cela, les plus grandes élongations [calculées] aux périgées sont en accord avec celles observés — quand la position moyenne est à 10° du Verseau ou 10° des Gémeaux, et que la distance à l’apogée est égale à l’angle sous-⁠tendu par le côté du triangle [inscrit] [120°], l’angle sous-⁠tendu à l’œil par l’épicycle est d’environ 47⁠3⁄4° —, comme nous allons le démontrer.

H A B G D E Θ K Z L

Soit le diamètre ABGDE passant par l’apogée, où A est pris comme apogée, B comme point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], G comme point autour duquel le centre de l’épicycle tourne [uniformément] suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], et D comme centre de l’écliptique. Supposons que chacun des mouvements [ci-⁠dessus] ait couvert le côté du triangle [inscrit] [120°] (effectué uniformément et à vitesse égale autour de son propre centre) à partir de l’apogée A sur les côtés opposés de celui-⁠ci. Supposons que la droite faisant tourner l’épicycle soit GZ, que celle faisant tourner le centre de l’excentrique soit BH, et que le centre de l’excentrique soit H et le centre de l’épicycle, Z. Autour de ce dernier, traçons l’épicycle de même que ses tangentes DΘ et DK ; joignons GH, DZ, ZΘ, et ZK ; et à partir de D, traçons la droite DL perpendiculaire à GZ.

Nous devons démontrer que ∠ ΘDK = 47⁠1⁄4° où quatre angles droits font 360°. Maintenant, ∠ ABH et ∠ AGL sous-⁠tendent le côté d’un triangle [inscrit] et sont égaux à 120° où deux angles droits font 180° ; donc, ∠ GBH = ∠ DGL = 60° et ∠ BHG = ∠ BGH (puisque BG = BH, par hypothèse) ; aussi, ∠ BHG + ∠ BGH = 120° [étant le supplément de ∠ GBH = 60°], alors ∠ BHG = ∠ BGH = 60°. Le triangle BGH est donc équiangle et équilatéral. De plus, ∠ DGL = ∠ BGH ; donc les points H, G, et Z sont sur une droite ; ainsi le rayon de l’excentrique HZ = 60p où GH = GD = 3p, la distance entre les centres. Par conséquent, [par soustraction de GH de HZ,] le reste GZ = 57p des mêmes unités.

En outre, puisque ∠ DGL = 60° où quatre angles droits font 360°, ou 120 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDL, l’arc DL = 120° et l’arc restant GL = 60° [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DL = 103;55p et GL = 60p où l’hypoténuse GD = 120p. Donc, où DG = 3p et GZ = 57p, DL = 2;36p et GL = 1;30p ; donc le reste [par soustraction de GL de GZ] LZ = 55;30p. Or, puisque LZ2 + DL2 = DZ2, DZ = 55;34p où le rayon de l’épicycle (chacune des droites ZΘ et ZK) = 22;30p, par hypothèse. Donc, où l’hypoténuse DZ = 120p, ΘZ = ZK = 48;35p; et ∠ ZDΘ = ∠ ZDK = 47;46 où deux angles droits font 360. Donc, l’angle entier [par addition de ∠ ZDΘ à ∠ ZDK,] ∠ ΘDK = 47° 46′ où quatre angles droits font 360°.

10. De la correction des mouvements périodiques de Mercure

Ce qui précède nous amène à établir les mouvements périodiques de Mercure et leur époque . Nous pouvons connaître ceux-⁠ci pour la longitude, c’est-⁠à-⁠dire pour le mouvement uniforme de l’épicycle autour du point G, à partir de ceux du Soleil. Quant à ceux [mouvement et époque] en anomalie, c’est-⁠à-⁠dire ceux de la planète sur l’épicycle autour du centre de l’épicycle, nous l’avons dérivé de deux observations sures : une parmi celles que nous avons faites et enregistrées, l’autre parmi les anciennes observations.

Voici une simulation de la situation le 17 mai 139, à 19 h 30, heure d’Alexandrie. Chaque case (en coordonnées écliptiques) correspond à 1°. La taille des points est proportionnelle à la magnitude des astres. La Lune était alors un très mince croissant, éclairé à 4,3 % (angle de phase de 156°).

17 mai 139

Nous avons observé Mercure dans la 2e année d’Antonin (soit la 886e année depuis Nabonassar), le soir du 2 au 3 epiphi du calendrier égyptien [17/18 mai 139], au moyen de l’astrolabe. Elle n’était pas encore à sa plus grande élongation vespérale. Mesurée par rapport à l’étoile du cœur du Lion, elle était à une longitude de 17⁠1⁄2° des Gémeaux ; à ce moment-là, elle était aussi à 1⁠1⁄6° en arrière [à l’est] du centre de la Lune. Il était à Alexandrie 4⁠1⁄2 heures équinoxiales avant minuit du [2 au] 3 [epiphi], puisque l’astrolabe indiquait que le 12e degré de la Vierge [soit l’intervalle 11°–12°] était au méridien [supérieur], tandis que le Soleil était à environ 23° du Taureau. À cet instant, les positions selon les hypothèses que nous avons démontrées étaient les suivantes :

longitude moyenne du Soleil:22° 34′ du Taureau
longitude moyenne de la Lune:12° 14′ des Gémeaux
anomalie de la Lune par rapport à l’apogée de l’épicycle:281° 20′
Donc, par calcul :
position vraie du centre de la Lune:17° 10′ des Gémeaux
position apparente du centre de la Lune:16° 20′ [des Gémeaux]

Par conséquent, Mercure, puisqu’elle était à 1⁠1⁄6° derrière [à l’est] du centre de la Lune, était à 17⁠1⁄2° des Gémeaux.

A B G D E Z K Θ H L M N X

Avec ces données, soit ABGDE le diamètre passant par l’apogée et le périgée, sur lequel A est l’apogée, B le point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], G le point autour duquel le centre de l’épicycle tourne suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], et D le centre de l’écliptique. Soit aussi Z le centre de l’épicycle, porté par la droite GZ autour du point G, de l’angle AGZ, et H le centre de l’excentrique porté par la droite BH autour du point B, de l’angle ABH, qui est toujours égal à ∠ AGZ en raison de l’égale vitesse [ἰσοχρόνιον ; isochronisme] des mouvements. Traçons l’épicycle ΘKL autour du centre Z, et supposons la planète en L. Joignons GH, HZ, DZ, ZL et DL, prolongeons GZΘ, et traçons, à partir de H et D, les droites HM et DN perpendiculaires à GZΘ et, à partir de Z, la droite ZX perpendiculaire à DL. Nous nous proposons de trouver l’arc de l’épicycle entre Θ, l’apogée [de l’épicycle], et la planète en L.

À ce moment, la longitude du Soleil moyen était de 22° 34′ du Taureau, et le périgée de la planète était à environ 10° du Bélier ; ainsi, sa longitude moyenne au périgée était de 42° 34′. Donc, ∠ GBH = 42° 34′ où quatre angles droits font 360°, ou 85;08 où deux angles droits font 360. Mais puisque, dans tous les cas, BG = BH, alors ∠ BHG = ∠ BGH = 137;26 des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit au triangle BGH, arc HG = 85° 08′ et arc BG = 137° 26′. Donc, les cordes correspondantes GH = 81;10p et BG = 111;49p où le diamètre du cercle est 120p. Donc où BG = 3p, GH = 2;11p.

De plus, puisque ∠ BGH = 137;26 et ∠ BGM = 85;08 où deux angles droits font 360, l’angle restant, [par soustraction,] ∠ HGM = 52;18 des mêmes unités. Donc dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GHM, arc HM = 52° 18′ et l’arc restant GM = 127° 42′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes HM = 52;53p et GM = 107;43p où l’hypoténuse GH = 120p. Par conséquent, où GH = 2;11p et où le rayon de l’excentrique portant l’épicycle, HZ = 60p, HM = 0;58p et GM = 1;58p. Par conséquent, MZ, étant de très peu plus courte que HZ, l’hypoténuse [du triangle HMZ], est la même, soit 60p, et [par soustraction de GM de MZ] sa partie GZ = 58;02p.

De même, puisque ∠ DGN = 85;08 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDN, arc DN = 85° 08′ et arc GN = 94° 52′ restants [le supplément]. Donc, les cordes correspondantes DN = 81;10p et GN = 88;23p où l’hypoténuse GD = 120p. Donc où GD = 3p et, tel que démontré, GZ = 58;02p, DN = 2;02p et GN = 2;13p, et le restant [par soustraction de GN de GZ], NZ = 55;49p. D’où l’hypoténuse DZ [= √(DN2 + NZ2)] ≈ 55;512 où le rayon de l’épicycle = 22;30p. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZN, où l’hypoténuse DZ = 120p, DN = 4;22p et l’arc DN = 4° 11′. Donc ∠ DZN = 4;11 où deux angles droits font 360, et l’angle entier [par addition de ∠ DZN et ∠ DGN] ∠ EDZ = 89;19. Or, l’angle entier EDL = 135 des mêmes unités, puisque la planète semblait être à 67° 30′ du périgée. Donc, [par soustraction de ∠ EDZ de ∠ EDL], l’angle restant ∠ ZDL = 45;41. Ainsi, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZX, l’arc ZX = 45° 41′ et ZX = 46;35p où l’hypoténuse DZ = 120p. Donc, où l’hypoténuse DZ = 55;51p et le rayon de l’épicycle ZL = 22;30p, ZX = 21;41p. Or, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZLX, où l’hypoténuse ZL = 120p, ZX = 115;39p. Donc, arc ZX = 149° 02′ et ∠ ZLX = 149;02 où deux angles droits font 360. Mais nous avons démontré que ∠ ZDL = 45;41 dans les mêmes unités, [donc ∠ LZK = ∠ ZLX + ∠ ZDL = 194;43] et ∠ ΘZK [= ∠ DZN] = 4;11 ; ainsi, [par addition [de ∠ ΘZK + ∠ LZK], l’angle entier ∠ ΘZL = 198;54 où deux angles droits font 360, ou 99° 27′ où quatre angles droits font 360°. Par conséquent, l’arc ΘKL de l’épicycle, qui était la distance de la planète Mercure à l’apogée Θ lors de l’observation, était de 99° 27′.

Dans la 21e année du calendrier de Dionysius, qui était la 484e année depuis Nabonassar, le 22 skorpion, ou le 18/19 thout du calendrier égyptien [14/15 novembre −264], Stilbon [Mercure] [comme étoile du] matin était à une [largeur de] lune à l’arrière [à l’est] de la ligne droite passant par l’[étoile du] nord du front du Scorpion et par celle du milieu [du front], et était à 2 lunes au nord de celle du front. Maintenant, selon nos coordonnées, la plus médiane des étoiles du front du Scorpion avait une longitude de 1⁠2⁄3° du Scorpion, et était à la même distance [1⁠2⁄3°] au sud de l’écliptique, tandis que [l’étoile] la plus au nord avait une longitude de 2⁠1⁄3° du Scorpion et se trouvait à 1⁠1⁄3° au nord de l’écliptique. Ainsi, Mercure avait une longitude d’environ 3⁠1⁄3° du Scorpion. Il est clair qu’elle n’était pas encore à sa plus grande élongation matinale, puisque 4 jours plus tard, le 26 skorpion, il est rapporté que sa distance de la même ligne droite vers l’arrière [l’est] était de 1⁠1⁄2 lunes — puisqu [à ce moment-⁠là] l’élongation était devenue plus grande, le Soleil s’étant déplacé d’environ 4°, mais la planète de [seulement] une demi-lune. Et le 19 thout à l’aube, la longitude du Soleil moyen, selon nos tableaux, était de 20⁠5⁄6° du Scorpion, tandis que la longitude de l’apogée de la planète était d’environ 6° de la Balance, puisque les quelque 400 années entre les observations produisent un déplacement de l’apogée d’environ 4°.

A B G D E Z K Θ H L M N X

Avec ces données, traçons donc un diagramme similaire au précédent, mais dans lequel, en raison de la différence des positions, les angles vers l’apogée A [∠ AGZ et ∠ ABH] doivent être dessinés comme aigus ; les droites joignant la planète [ZL et DL] sont en avant [à l’ouest] [du centre] de l’épicycle ; et la perpendiculaire ZX passe au-⁠delà de ZL, le rayon de l’épicycle [à la planète].

Alors, puisque la position moyenne de la planète était de [20⁠5⁄6° du Scorpion moins 6° de la Balance =] 44° 50′ de l’apogée, ∠ ARH = 44° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 89;40 où deux angles droits font 360. Donc son supplément ∠ GBH = 270;20 et ∠ BGH = ∠ BHG = 44;50 des mêmes unités. De même, dans le cercle circonscrit au triangle BGH, les cordes correspondantes GH = 84;36p et BG = BH = 45;46p où le diamètre est 120p. Donc où BG = BH = 3p, GH = 5;33p. De plus, puisque nous supposons que ∠ AGZ = 89;40 où deux angles droits font 360 et ∠ BGH = 44;50 des mêmes unités, donc l’angle entier [par addition] ∠ ZGH = 134;30 et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GHM, arc HM = 134° 30′ et le reste, arc GM = 45° 30′ [son supplément]. Donc les cordes correspondantes MH = 110;40p et GM = 46;24p où l’hypoténuse GH = 120p. Donc où GH = 5;33p (c’est-⁠à-⁠dire où le rayon de l’excentrique, ZH = 60p), HM = 5;07p et GM = 2;10p. Donc ZM [= √ZH2 − HM2] = 59;47p et, par addition [de MG à ZM], ZMG = 61;57p des mêmes unités.

De même, puisque ∠ DGN [= ∠ AGZ] = 89;40 où deux angles droits font 360, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDN, l’arc DN = 89° 40′ et l’arc restant GN = 90° 20′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DN = 84;36p et GN = 85;06p où l’hypoténuse GD = 120p. Donc où GD = 3p, DN = 2;07p et GN = 2;08p et la droite entière [par addition de ZG à GN] ZGN = 64;05p ; ainsi, l’hypoténuse ZD = √ZN2 + DN2] = 64;07 des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZDX, où ZD = 120p, DN = 3;58p et l’arc DN = 3° 48′. Donc ∠ DZN = 3;48 où deux angles droits font 360, et le reste [par soustraction de ∠ DZN de ∠ AGZ], ∠ ADZ = 85;52 des mêmes unités. Mais ∠ ADL est [par hypothèse] de 54;40 des mêmes unités — puisque la planète a été observée à [3⁠1⁄3° du Scorpion moins 6° de la Balance =] 27° 20′ de l’apogée — de sorte que l’angle restant [par soustraction] ∠ ZDL = 31;12 où deux angles droits font 360. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZDX, l’arc ZX = 31° 12′ et ZX = 32;16p où l’hypoténuse DZ = 120p. Donc où DZ = 64;07p (donc où le rayon de l’épicycle ZL = 22;30p), XZ = 17;15p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZLX, où l’hypoténuse ZL = 120p, ZX ≈ 92p. Donc l’arc ZX = 100° 08′, et ∠ ZLX = 100;08 où deux angles droits font 360. Et nous avons montré que, des mêmes unités, ∠ ZDL = 31;12, [donc ∠ ΘZL = ∠ ZLX − ∠ ZDL = 68;56] et que ∠ ΘZK = 3;48. Ainsi, l’angle restant [par soustraction de ∠ ΘZK de ∠ ΘZL] ∠ KZL = 65;08 où deux angles droits font 360, ou 32° 34′ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi donc, lors de cette observation, la planète était à 32° 34′ du périgée de l’épicycle K, donc à 212° 34′ de l’apogée. Mais nous avons montré qu’au moment de l’observation, elle était à 99° 27′ de l’apogée de l’épicycle, et l’intervalle entre les deux observations est d’environ 402 années égyptiennes, 283 jours, 13⁠1⁄2 heures ; cet intervalle contient 1 268 retours complets de la planète en anomalie (puisque 20 années égyptiennes produisent presque 63 retours, donc 400 ans en produisent 1 260, et les 2 années restantes plus les jours supplémentaires 8 autres retours complets). Ainsi, nous avons donc prouvé qu’en 402 années égyptiennes, 283 jours, 13⁠1⁄2 heures, Mercure s’est déplacée en anomalie, en plus de ses 1 268 révolutions complètes, de 246° 53′, qui est l’écart en avance [vers l’est] entre sa position lors de notre observation et la précédente — à peu près le même excès [en anomalie] résulte des tableaux que nous avons dressés ci-⁠dessus, car c’est sur la base de ces mêmes calculs que nous avons fait notre correction aux mouvements périodiques de Mercure, en réduisant les temps données en jours, et les révolutions complètes et l’excès en anomalie en degrés. Car, lorsque le total des degrés est divisé par le total des jours, il en résulte le mouvement journalier moyen en anomalie que nous avons exposé pour Mercure dans notre discussion précédente.

11. De l’époque des mouvements périodiques de Mercure

Pour établir l’époque des cinq planètes, comme nous l’avons fait pour le Soleil et la Lune, à la première année de Nabonassar, à midi le 1er jour du mois égyptien de thout, nous avons pris l’intervalle entre ce moment et la plus ancienne observation qui s’en rapproche le plus : c’est à peu près 483 années égyptiennes, 17 jours, 18 heures.

L’excédent [sur les révolutions complètes] du mouvement moyen en anomalie correspondant à cet intervalle est de 190° 39′. Si nous soustrayons cette valeur du 212° 34′ (depuis l’apogée) dérivé de l’observation, nous obtenons pour la 1re année de Nabonassar, à midi le 1er du mois égyptien de thout :

anomalie depuis l’apogée de l’épicycle:21° 55′
longitude [moyenne], identique à celle du Soleil:0° 45′ des Poissons
apogée de l’excentrique:≈ 1⁠1⁄6° de la Balance

(Puisque 1100e [de degré pour chacune] des années ci-⁠dessus totalise environ 4⁠5⁄6° ; soustrait de [la longitude] 6° de la Balance trouvée par l’observation, cela donne 1⁠1⁄6° [de la Balance]).

Fin du neuvième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2025-01-17 à 00 h 49 UTC