EcliptiQc | L’Almageste de Ptolémée

Table des matières de l’*Almageste*.
Préface du traducteur Livre I Introduction De l’ordre des théorèmes Que le ciel se meut sphériquement Que la Terre est, sans son ensemble, sensiblement de forme sphérique Que la Terre est au centre du ciel Que la Terre est comme un point par rapport au ciel Que la Terre ne fait aucun mouvement dans l’espace Qu’il y a deux mouvements primaires différents dans le ciel Des concepts individuels De la taille des cordes Tableau des cordes De l’arc entre les tropiques Préliminaires pour les démonstrations sphériques Des arcs compris entre l’équateur et l’écliptique Tableau des inclinaisons Des levers dans la sphère droite Livre II De la situation, en général, de la partie habitée de la Terre La durée du plus long jour donnée, comment trouver les arcs de l’horizon entre l’équateur et l’écliptique Les mêmes quantités étant données, comment trouver la hauteur du pôle, et vice versa Comment calculer pour quelles régions, quand, et à quelle fréquence le Soleil atteint le zénith Comment trouver le ratio des gnomons aux ombres équinoxiales et solsticielles de midi pour les quantités susmentionnées Exposé de ce qui est propre à chaque parallèle Des levers simultanés des arcs de l’écliptique et de l’équateur dans la sphère oblique Tableau des levers par parallèles Des effets particuliers qui résultent des levers Des angles entre l’écliptique et le méridien Des angles entre l’écliptique et l’horizon Des angles et arcs formés avec l’écliptique par un cercle passant par les pôles et l’horizon Exposé des angles et arcs proposés par parallèles Livre III De la durée de l’année Tableau des mouvements moyens du Soleil Des hypothèses qui expliquent le mouvement circulaire uniforme De l’anomalie apparente du Soleil Construction du tableau de l’anomalie solaire Tableau de l’anomalie solaire De l’époque du mouvement moyen du Soleil Calcul de la position du Soleil De l’inégalité des nycthémères Livre IV Des observations nécessaires pour établir la théorie lunaire Des périodes lunaires Des mouvements moyens de la Lune Tableaux des mouvements moyens de la Lune Les phénomènes lunaires sont les mêmes dans l’hypothèse simple soit d’un excentrique, soit d’un épicycle Démonstration de la première et simple anomalie de la Lune De la correction des mouvements moyens de la longitude et de l’anomalie lunaires De l’époque des mouvements moyens de longitude et d’anomalie de la Lune De la correction des mouvements moyens de la Lune en latitude, et leur époque Tableau de la première et simple anomalie lunaire Que la différence dans l’anomalie lunaire selon Hipparque est due non pas aux hypothèses employées, mais à ses calculs Livre V De la construction d’un « astrolabe » De l’hypothèse d’une double anomalie de la Lune De la taille de l’anomalie lunaire qui dépend du Soleil De la proportion de l’excentricité lunaire De la direction de l’épicycle lunaire Du calcul géométrique de la position réelle de la Lune à partir des mouvements périodiques Construction d’un tableau pour l’anomalie lunaire totale Tableau de l’anomalie lunaire totale Du calcul complet de la position de la Lune Que la différence aux syzygies de l’excentrique lunaire est négligeable Des parallaxes de la Lune De la construction d’un instrument parallactique Démonstration des distances de la Lune De la proportion des diamètres apparents du Soleil, de la Lune, et de l’ombre aux syzygies De la distance du Soleil, et des conséquences de sa démonstration De la taille du Soleil, de la Lune, et de la Terre Des parallaxes individuelles du Soleil et de la Lune Tableau des parallaxes De la détermination des parallaxes Livre VI Des synodes et des pleines lunes Construction des tableaux des syzygies moyennes Tableaux des conjonctions, pleines lunes, et mouvements annuels pour les conjonctions et les oppositions Comment déterminer les syzygies moyennes et vraies Des limites écliptiques du Soleil et de la Lune De l’intervalle en mois entre les éclipses Construction des tableaux des éclipses Tableaux des éclipses de Soleil et de Lune, de la correction, et de la grandeur du Soleil et de la Lune Calcul des éclipses de Lune Calcul des éclipses de Soleil Des angles de position pendant les éclipses Tableau et diagramme des inclinaisons Détermination des directions Livre VII Que les étoiles sont fixes entre elles Que la sphère des étoiles fixes bouge par rapport à l’écliptique Que le mouvement de la sphère des étoiles fixes se fait par rapport aux pôles de l’écliptique De la méthode pour décrire la position des étoiles Tableaux des constellations de l’hémisphère nord Livre VIII Tableaux des constellations de l’hémisphère sud De la situation du cercle de la Voie lactée De la construction d’un globe solide Des configurations propres aux étoiles fixes Des levers, passages, et couchers des étoiles fixes Des première et dernière visibilités des étoiles fixes Livre IX De l’ordre des sphères du Soleil, de la Lune, et des cinq planètes Du fondement des hypothèses des planètes Des retours périodiques des cinq planètes Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes Du mode et de la différence entre ces hypothèses Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure Du double périgée de Mercure Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure De la correction des mouvements périodiques de Mercure De l’époque des mouvements périodiques de Mercure Livre X Démonstration de l’apogée de Vénus De la taille de l’épicycle de Vénus Des proportions des excentricités de Vénus De la correction des mouvements périodiques de Vénus De l’époque des mouvements périodiques de Vénus Préliminaires pour les démonstrations relatives aux autres planètes Démonstration de l’excentricité et de l’apogée de Mars Détermination de la taille de l’épicycle de Mars De la correction des mouvements périodiques de Mars De l’époque des mouvements périodiques de Mars Livre XI Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Jupiter Détermination de la taille de l’épicycle de Jupiter De la correction des mouvements périodiques de Jupiter De l’époque des mouvements périodiques de Jupiter Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Saturne Détermination de la taille de l’épicycle de Saturne De la correction des mouvements périodiques de Saturne De l’époque des mouvements périodiques de Saturne De la détermination géométrique des lieux vrais par les mouvements périodiques Construction d’un tableau des anomalies Tableaux des équations en longitude des cinq planètes Calcul de la longitude des cinq planètes Livre XII Des préliminaires par rapport aux rétrogradations Démonstration des rétrogradations de Saturne Démonstration des rétrogradations de Jupiter Démonstration des rétrogradations de Mars Démonstration des rétrogradations de Vénus Démonstration des rétrogradations de Mercure Construction d’un tableau des stations Tableau des stations Démonstration des plus grandes élongations solaires de Vénus et de Mercure Plus grandes élongations par rapport au Soleil vrai Livre XIII Des hypothèses de la position en latitude des cinq planètes Du mode de mouvement des inclinaisons et des obliquités selon les hypothèses De la taille de chacune des inclinaisons et des obliquités Construction d’un tableau pour la latitude de chaque planète Tableaux pour le calcul des latitudes Utilisation des tableaux pour le calcul de la latitude des cinq planètes Des première et dernière visibilités des cinq planètes Particularités des première et dernière visibilités de Vénus et de Mercure, de même qu’en accord avec les hypothèses Tableaux des première et dernière visibilités des cinq planètes Épilogue Glossaire

Nous avons vu ce que nous pouvons déterminer au sujet des étoiles fixes, selon ce que les phénomènes [observés] jusqu’à présent ont pu nous apprendre. Il reste, pour compléter notre traité, le traitement des cinq [astres] errants [πλανωμένων] ; pour éviter les répétitions, nous expliquerons ce qu’elles ont de commun, autant que possible, au moyen d’un exposé unique.

D’abord, l’ordre de leurs sphères, [leurs pôles] coïncidant presque toutes avec les pôles du cercle écliptique incliné : tous  s’accordent pour dire qu’elles sont plus proches de la Terre que les étoiles fixes, et plus loin de la Terre que la Lune, et que trois — Saturne, la plus grande ; Jupiter ensuite, plus près de la Terre ; et Mars en dessous — sont plus éloignées de la Terre et du Soleil que les autres. Au contraire, les sphères de Vénus et de Mercure, bien qu’elles soient placées par les anciens au-⁠dessous de celle du Soleil, sont plutôt placées au-⁠dessus [du Soleil] par certains de leurs successeurs, pour la raison que le Soleil n’a jamais été obscurci par elles [Vénus et Mercure] non plus. Cependant, une telle raison nous semble être faible, puisqu’il est possible que certaines planètes soient inférieures au Soleil, sans pour autant passer devant le Soleil, puisqu’elles peuvent être dans un plan qui ne passe pas par nos yeux, et donc ne pas nous paraître passer devant lui — tout comme, dans le cas de la plupart des synodes de la Lune [nouvelles lunes], aucune éclipse ne se produit.

Il n’y a pas de manière de prouver quelle est la véritable distance des astres [autres que le Soleil et la Lune], puisqu’aucun n’a de parallaxe notable, qui serait le seul moyen de déduire les distances. L’ordre établi par les anciens nous apparaît le plus plausible, car en mettant le Soleil au milieu, il sépare plus naturellement les planètes qui peuvent se trouver à n’importe quelle distance angulaire du Soleil de celles qui ne s’en écartent pas ; de plus, il place aussi les planètes assez loin du Soleil pour que, dans leur périgée, elles n’aient pas de parallaxe détectable.

2. Du fondement des hypothèses des planètes

Voilà donc ce que nous pouvons dire sur l’ordre et l’arrangement des sphères. Nous nous proposons maintenant de démontrer, comme nous l’avons fait pour le Soleil et la Lune, que toutes les anomalies apparentes des cinq planètes peuvent être représentées par des mouvements circulaires uniformes, puisque ceux-⁠ci sont propres à la nature des êtres divins, étrangers par leur nature au désordre et à l’irrégularité. Alors il est juste que nous pensions que le succès dans ce but était une grande chose, et vraiment la fin appropriée de la théorie mathématique qui fait partie de la philosophie. Mais cette recherche est difficile à bien des égards : d’abord, personne avant nous n’a encore réussi [à l’expliquer proprement]. Car la moindre erreur dans les observations que nous comparerons sera, lorsqu’elle s’accumulera sur une période continue, amplifiée et sensible, d’autant plus tôt lorsque l’intervalle [entre les observations] est court, et plus tard lorsqu’il est plus long. Aussi, nous n’avons d’enregistrements d’observations planétaires que depuis un temps récent par rapport à un si grand projet ; cela induit à long terme une incertitude dans les résultats. Aussi, une confusion considérable provient du fait qu’il est évident que chaque planète présente deux anomalies, inégales tant en grandeur que dans les périodes de leur retour — et, bien que l’une soit liée au Soleil et l’autre à la position sur l’écliptique, mais les deux anomalies se combinent si intimement qu’il en est difficile de distinguer ce qui est propre à chacune d’elles ; surtout que la plupart des anciennes observations [planétaires] n’ont été enregistrées ni avec minutie, ni avec précision. Les séries d’observations les plus continues concernent les stations et les apparitions [première et dernière visibilité], deux phénomènes impossibles à déterminer avec précision : les stations ne peuvent pas être fixées à un moment précis, parce que le changement de position de la planète est trop petit pour être observable pendant plusieurs jours avant et après la station réelle ; et pour les apparitions, non seulement les lieux [où sont les planètes] deviennent immédiatement invisibles avec l’astre que nous venons de voir pour la première ou la dernière fois, mais aussi parce qu’on peut se tromper sur le moment à cause des différences atmosphériques ou dans la [qualité de la] vision des observateurs. En général, les observations [de planètes] faites par rapport à l’une des étoiles fixes, lorsqu’elles sont prises sur une distance relativement grande, requièrent beaucoup de soin et d’habileté, faute de quoi les résultats [des calculs] seront douteux, non seulement parce que les lignes joignant les astres observés forment des angles variables (et pas toujours droits) avec l’écliptique, qui peuvent être de n’importe quelle taille — on peut donc s’attendre, à cause de l’inclinaison variable de l’écliptique [par rapport à l’horizon], à une erreur considérable dans la détermination de la position en latitude et longitude ; mais aussi parce que le même écart angulaire [entre l’étoile et la planète] semble plus grand près de l’horizon, et moindre au milieu du ciel [à la culmination] : il est donc évident que les intervalles en question peuvent être mesurés comme tantôt comme plus grands, tantôt moins, qu’ils ne le sont en réalité.

C’est pourquoi je pense qu’Hipparque a ardemment recherché la vérité par rapport à ce sujet, mais, puisqu’il n’a pas reçu des anciens d’observations aussi précises que celles qu’il nous a lui-⁠même fourni, il n’a étudié que les théories du Soleil et de la Lune, et il a démontré, au mieux de ses capacités et avec tous les moyens à sa disposition, que [ces théories] sont basées sur des mouvements circulaires uniformes, et rien dans ce qu’il nous a transmis n’indique il ait commencé à établir de théorie sur les cinq planètes. Ainsi, il a seulement compilé les observations [planétaires] disponibles d’une manière plus utile, et il a montré, au moyen de celles-⁠ci, que les phénomènes n’étaient pas d’accord avec les hypothèses de ceux venus avant lui . Il devait non seulement penser qu’il fallait démontrer que chaque planète ait une double anomalie, ou que chaque planète ait des arcs rétrogrades inégaux et inconstants (tandis que les autres [penseurs] avaient construit leurs modèles sur la base d’une seule anomalie et d’une seule rétrogradation) ; et il disait que ces anomalies ne pouvaient pas être représentées, soit par des cercles excentriques, soit par des cercles concentriques à l’écliptique et portant des épicycles, ou même, par Zeus !, en combinant les deux — l’anomalie écliptique étant de telle ou telle taille, et avec telle ou telle anomalie liée au Soleil [synodique] (car c’est sur quoi s’appuyaient ceux qui voulaient montrer le mouvement circulaire uniforme au moyen des tables dites perpétuelles, mais ils ont échoué et se sont trompés, certains n’ayant rien démontré, d’autres seulement dans une mesure limitée) ; mais aussi, il devait estimer que celui qui a atteint un tel degré d’exactitude et d’amour de la vérité, simplement par les mathématiques, ne peut pas en rester là, comme les autres qui n’avaient pas poussé plus loin [afin d’éliminer les imperfections], mais que pour se convaincre soi-⁠même de même que les autres, il fallait démontrer la taille et la période de chaque anomalie au moyen de phénomènes évidents et non contestés et, en les combinant, trouver la position et l’ordre des cercles par lesquels ils se produisent, de même que le type de leur mouvement, et ainsi expliquer tous les phénomènes par l’arrangement des cercles de son hypothèse. Et je soupçonne que cela lui a semblé difficile.

Cela n’est pas dit par vantardise [de notre propre réussite], mais au contraire, pour indiquer que, si nous sommes contraints, par la nature de notre sujet, d’utiliser de moyens qui ne sont pas strictement démontrés (comme lorsque nous utilisons, sans autre qualification, des cercles décrits dans les sphères planétaires [par la planète] et que nous supposons que ces cercles sont dans le plan de l’écliptique, c’est pour simplifier la preuve) ; ou si nous faisons des hypothèses de base non pas à partir d’une évidence, mais [à partir de ce] qu’une longue expérience et l’étude nous auront fait découvrir, ou de supposer un mode de mouvement ou d’inclinaison des cercles qui n’est pas le même et inchangé [pour toutes les planètes] ; nous croyons donc qu’une telle licence est justifiée, puisque nous savons que ce genre de procédure inexacte n’affectera pas le but recherché, pourvu qu’elle n’entraîne aucune erreur notable ; et nous savons aussi que des hypothèses faites sans preuve, du moment qu’elles sont en accord avec les phénomènes, n’ont pas pu être trouvées sans une certaine méthodologie et une certaine connaissance, même s’il est difficile d’expliquer comment elles sont apparues. En effet, il est en général difficile, voire impossible, de trouver la cause des premiers principes, et nous ne serons pas surpris et ne considérerons pas comme absurde une telle multitude de cercles [des planètes], considérant la variété et l’irrégularité des phénomènes planétaires ; car nous verrons que le mouvement circulaire et uniforme est conservé et représente les phénomènes individuels selon un principe plus fondamental et plus général que celui de la similitude des hypothèses [pour toutes les planètes].

Les observations que nous avons choisies pour les différentes démonstrations sont celles qui nous semblent les plus fiables ; elles ont été faites lors d’une conjonction ou d’un rapprochement très étroit avec une étoile ou avec la Lune, et surtout celles faites au moyen de l’astrolabe, dans lequel la vue de l’observateur est dirigée par des pinnules opposées sur les anneaux, ce qui permet de mesurer des distances égales sous forme d’arcs égaux dans toutes les directions, et au moyen duquel nous pouvons déterminer avec précision la position de la planète en question en latitude et longitude par rapport à l’écliptique, en faisant tourner l’anneau écliptique de l’astrolabe jusqu’à ce que les pinnules diamétralement opposées sur les anneaux soient alignées avec l’objet observé.

3. Des retours périodiques des cinq planètes

Suite à ces notions préliminaires, nous définirons d’abord la moindre période de révolution [anomalistique] de chacune des 5 planètes, telle que calculée par Hipparque et corrigée d’après nos recherches sur leurs anomalies, comme nous l’expliquerons plus loin. Nous les plaçons ici afin d’avoir les mouvements moyens en longitude et en anomalie de chaque planète sous une forme commode pour les calculs des anomalies — mais l’emploi des mouvements moyens a cela d’avantageux qu’il ne ferait aucune différence notable dans ces calculs si nous utilisions des mouvements moyens moins précisément calculés. Nous définissons généralement le « mouvement en longitude » comme étant celui du centre de l’épicycle sur le cercle excentrique, et l’« anomalie » comme étant le mouvement du corps sur son épicycle.

Mais si, pour chaque planète, nous réduisons la période de retour en jours, conformément à la durée que nous avons démontrée pour longueur de l’année, et les anomalies en degrés dont le cercle en contient 360, nous obtiendrons :

Divisons donc les degrés d’anomalie de chacune par le nombre de ses jours ; le mouvement quotidien moyen en anomalie sera donc environ :

Pour chacun de ces nombres, nous prenons la vingt-quatrième partie pour obtenir le mouvement horaire moyen en anomalie :

Ensuite, nous multiplions le mouvement quotidien de chacune par 30 pour obtenir le mouvement mensuel moyen en anomalie :

En multipliant le mouvement quotidien par les 365 jours dans une année égyptienne, nous obtenons le mouvement annuel moyen en anomalie :

Multiplions maintenant chaque mouvement annuel par 18, comme nous l’avons fait pour les tableaux des luminaires , pour obtenir l’anomalie moyenne en plus des circonférences complètes pour 18 années égyptiennes :

Nous pouvons également trouver les mouvements moyens en longitude correspondant à ce qui précède sans avoir à diviser le nombre de révolutions [en longitude] en degrés par sa période [en jours] indiquée ci-⁠dessus pour chaque planète. Pour Vénus et dans Mercure, il est évident que nous pouvons prendre les mêmes valeurs que celles du tableau pour le Soleil ; pour les trois autres planètes, en faisant la différence entre [le mouvement moyen en] anomalie [de la planète] et celui du Soleil. Nous obtiendrons ainsi le mouvement moyen en longitude [pour chaque planète] :

Pour encore une fois rendre l’utilisation de ces quantités plus facile, nous dresserons, pour chaque planète dans l’ordre, des tableaux des mouvements moyens ci-⁠dessus. Comme les autres [tableaux de mouvement moyen], ceux-⁠ci seront de 45 lignes et 3 parties : la première contiendra les mouvements pour les périodes de 18 ans ; la seconde contiendra ceux des années simples et des heures ; et la troisième, ceux des mois et des jours. Les tableaux sont les suivants.

4. Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes

[NdT : Ptolémée n’a fait aucune erreur dans ces tableaux, ce qui n’est pas étonnant, puisqu’il s’agit simplement de faire des additions, les multiplications et divisions ayant déjà été faites — encore une fois, sans erreur. Toutefois, certains scribes ont commis des erreurs de copie, les manuscrits n’étant pas tous les mêmes entre eux.]

Saturne

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Jupiter

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Mars

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Vénus

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Mercure

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

5. Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes

Périodes de 18 ans	Longitude	Anomalie
18	220	01	10	57	09	04	30	135	36	14	39	11	30	00
36	80	02	21	54	18	09	00	271	12	29	18	23	00	00
54	300	03	32	51	27	13	30	46	48	43	57	34	30	00
72	160	04	43	48	36	18	00	182	24	58	36	46	00	00
90	20	05	54	45	45	22	30	318	01	13	15	57	30	00
108	240	07	05	42	54	27	00	93	37	27	55	09	00	00
126	100	08	16	40	03	31	30	229	13	42	34	20	30	00
144	320	09	27	37	12	36	00	4	49	57	13	32	00	00
162	180	10	38	34	21	40	30	140	26	11	52	43	30	00
180	40	11	49	31	30	45	00	276	02	26	31	55	00	00
198	260	13	00	28	39	49	30	51	38	41	11	06	30	00
216	120	14	11	25	48	54	00	187	14	55	50	18	00	00
234	340	15	22	22	57	58	30	322	51	10	29	29	30	00
252	200	16	33	20	07	03	00	98	27	25	08	41	00	00
270	60	17	44	17	16	07	30	234	03	39	47	52	30	00
288	280	18	55	14	25	12	00	9	39	54	27	04	00	00
306	140	20	06	11	34	16	30	145	16	09	06	15	30	00
324	0	21	17	08	43	21	00	280	52	23	45	27	00	00
342	220	22	28	05	52	25	30	56	28	38	24	38	29	59
360	80	23	39	03	01	30	00	192	04	53	03	50	00	00
378	300	24	50	00	10	34	30	327	41	07	43	01	30	00
396	160	26	00	57	19	39	00	103	17	22	22	13	00	00
414	20	27	11	54	28	43	30	238	53	37	01	24	29	59
432	240	28	22	51	37	48	00	14	29	51	40	36	00	00
450	100	29	33	48	46	52	30	150	06	06	19	47	30	00
468	320	30	44	45	55	57	00	285	42	20	58	59	00	00
486	180	31	55	43	05	01	30	61	18	35	38	10	29	59
504	40	33	06	40	14	06	00	196	54	50	17	22	00	00
522	260	34	17	37	23	10	30	332	31	04	56	33	30	00
540	120	35	28	34	32	15	00	108	07	19	35	45	00	00
558	340	36	39	31	41	19	30	243	43	34	14	56	29	59
576	200	37	50	28	50	24	00	19	19	48	54	08	00	00
594	60	39	01	25	59	28	30	154	56	03	33	19	30	00
612	280	40	12	23	08	33	00	290	32	18	12	31	00	00
630	140	41	23	20	17	37	30	66	08	32	51	42	29	59
648	0	42	34	17	26	42	00	201	44	47	30	54	00	00
666	220	43	45	14	35	46	30	337	21	02	10	05	30	00
684	80	44	56	11	44	51	00	112	57	16	49	16	59	59
702	300	46	07	08	53	55	30	248	33	31	28	28	29	59
720	160	47	18	06	03	00	00	24	09	46	07	40	00	00
738	20	48	29	03	12	04	30	159	46	00	46	51	30	00
756	240	49	40	00	21	09	00	295	22	15	26	03	00	00
774	100	50	50	57	30	13	30	70	58	30	05	14	29	59
792	320	52	01	54	39	18	00	206	34	44	44	26	00	00
810	180	53	12	51	48	22	30	342	10	59	23	37	30	00

Années	Longitude	Anomalie
1	12	13	23	56	30	30	15	347	32	00	48	50	38	20
2	24	26	47	53	01	00	30	335	04	01	37	41	16	40
3	36	40	11	49	31	30	44	322	36	02	26	31	54	59
4	48	53	35	46	02	01	00	310	08	03	15	22	33	20
5	61	06	59	42	32	31	15	297	40	04	04	13	11	40
6	73	20	23	39	03	01	29	285	12	04	53	03	49	59
7	85	33	47	35	33	31	44	272	44	05	41	54	28	19
8	97	47	11	32	04	02	00	260	16	06	30	45	06	40
9	110	00	35	28	34	32	15	247	48	07	19	35	45	00
10	122	13	59	25	05	02	30	235	20	08	08	26	23	20
11	134	27	23	21	35	32	45	222	52	08	57	17	01	40
12	146	40	47	18	06	02	59	210	24	09	46	07	39	59
13	158	54	11	14	36	33	15	197	56	10	34	58	18	20
14	171	07	35	11	07	03	29	185	28	11	23	48	56	39
15	183	20	59	07	37	33	45	173	00	12	12	39	35	00
16	195	34	23	04	08	04	00	160	32	13	01	30	13	20
17	207	47	47	00	38	34	14	148	04	13	50	20	51	39
18	220	01	10	57	09	04	30	135	36	14	39	11	30	00
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40	128	55	57	40	20	10	00	221	20	32	33	45	33	20
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45	190	02	57	22	52	41	15	159	00	36	37	58	44	59

Heures	Anomalie
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2	00	10	02	47	37	24	0	04	45	38	38	28	38
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22	01	50	30	43	51	26	0	52	22	05	03	15	01
23	01	55	32	07	40	08	0	54	44	54	22	29	20
24	02	00	33	31	28	51	0	57	07	43	41	43	40
25	02	05	34	55	17	33	0	59	30	33	00	57	59
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41	03	25	57	16	16	47	1	37	35	42	08	47	05
42	03	30	58	40	05	29	1	39	58	31	28	01	25
43	03	36	00	03	54	11	1	42	21	20	47	15	44
44	03	41	01	27	42	53	1	44	44	10	06	30	03
45	03	46	02	51	31	35	1	47	06	59	25	44	22

Mois	Longitude	Anomalie
1 (30 jours)	1	00	16	45	44	25	30	28	33	51	50	51	50	00
2 (60 jours)	2	00	33	31	28	51	00	57	07	43	41	43	40	00
3 (90 jours)	3	00	50	17	13	16	30	85	41	35	32	35	30	00
4 (120 jours)	4	01	07	02	57	42	00	114	15	27	23	27	20	00
5 (150 jours)	5	01	23	48	42	07	30	142	49	19	14	19	10	00
6 (180 jours)	6	01	40	34	26	33	00	171	23	11	05	11	00	00
7 (210 jours)	7	01	57	20	10	58	30	199	57	02	56	02	50	00
8 (240 jours)	8	02	14	05	55	24	00	228	30	54	46	54	40	00
9 (270 jours)	9	02	30	51	39	49	30	257	04	46	37	46	29	59
10 (300 jours)	10	02	47	37	24	15	00	285	38	38	28	38	20	00
11 (330 jours)	11	03	04	23	08	40	30	314	12	30	19	30	10	00
12 (360 jours)	12	03	21	08	53	06	00	342	46	22	10	22	00	00
13 (390 jours)	13	03	37	54	37	31	30	11	20	14	01	13	50	00
14 (420 jours)	14	03	54	40	21	57	00	39	54	05	52	05	40	00
15 (450 jours)	15	04	11	26	06	22	30	68	27	57	42	57	30	00
16 (480 jours)	16	04	28	11	50	48	00	97	01	49	33	49	20	00
17 (510 jours)	17	04	44	57	35	13	30	125	35	41	24	41	10	00
18 (540 jours)	18	05	01	43	19	39	00	154	09	33	15	32	59	59
19 (570 jours)	19	05	18	29	04	04	30	182	43	25	06	24	50	00
20 (600 jours)	20	05	35	14	48	30	00	211	17	16	57	16	40	00
21 (630 jours)	21	05	52	00	32	55	30	239	51	08	48	08	30	00
22 (660 jours)	22	06	08	46	17	21	00	268	25	00	39	00	20	00
23 (690 jours)	23	06	25	32	01	46	30	296	58	52	29	52	09	59
24 (720 jours)	24	06	42	17	46	12	00	325	32	44	20	44	00	00
25 (750 jours)	25	06	59	03	30	37	30	354	06	36	11	35	50	00
26 (780 jours)	26	07	15	49	15	03	00	22	40	28	02	27	40	00
27 (810 jours)	27	07	32	34	59	28	30	51	14	19	53	19	30	00
28 (840 jours)	28	07	49	20	43	54	00	79	48	11	44	11	20	00
29 (870 jours)	29	08	06	06	28	19	30	108	22	03	35	03	10	00
30 (900 jours)	30	08	22	52	12	45	00	136	55	55	25	55	00	00
31 (930 jours)	31	08	39	37	57	10	30	165	29	47	16	46	50	00
32 (960 jours)	32	08	56	23	41	36	00	194	03	39	07	38	40	00
33 (990 jours)	33	09	13	09	26	01	30	222	37	30	58	30	30	00
34 (1020 jours)	34	09	29	55	10	27	00	251	11	22	49	22	20	00
35 (1050 jours)	35	09	46	40	54	52	30	279	45	14	40	14	10	00
36 (1080 jours)	36	10	03	26	39	18	00	308	19	06	31	05	59	59
37 (1110 jours)	37	10	20	12	23	43	30	336	52	58	21	57	50	00
38 (1140 jours)	38	10	36	58	08	09	00	5	26	50	12	49	40	00
39 (1170 jours)	39	10	53	43	52	34	30	34	00	42	03	41	30	00
40 (1200 jours)	40	11	10	29	37	00	00	62	34	33	54	33	20	00
41 (1230 jours)	41	11	27	15	21	25	30	91	08	25	45	25	09	59
42 (1260 jours)	42	11	44	01	05	51	00	119	42	17	36	17	00	00
43 (1290 jours)	43	12	00	46	50	16	30	148	16	09	27	08	50	00
44 (1320 jours)	44	12	17	32	34	42	00	176	50	01	18	00	40	00
45 (1350 jours)	45	12	34	18	19	07	30	205	23	53	08	52	30	00

Jours	Longitude	Anomalie
1	0	02	00	33	31	28	51	0	57	07	43	41	43	39
2	0	04	01	07	02	57	42	1	54	15	27	23	27	19
3	0	06	01	40	34	26	32	2	51	23	11	05	10	59
4	0	08	02	14	05	55	24	3	48	30	54	46	54	39
5	0	10	02	47	37	24	15	4	45	38	38	28	38	19
6	0	12	03	21	08	53	05	5	42	46	22	10	21	59
7	0	14	03	54	40	21	57	6	39	54	05	52	05	39
8	0	16	04	28	11	50	48	7	37	01	49	33	49	19
9	0	18	05	01	43	19	39	8	34	09	33	15	32	59
10	0	20	05	35	14	48	30	9	31	17	16	57	16	39
11	0	22	06	08	46	17	21	10	28	25	00	39	00	19
12	0	24	06	42	17	46	11	11	25	32	44	20	43	59
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14	0	28	07	49	20	43	54	13	19	48	11	44	11	19
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16	0	32	08	56	23	41	36	15	14	03	39	07	38	39
17	0	34	09	29	55	10	26	16	11	11	22	49	22	19
18	0	36	10	03	26	39	18	17	08	19	06	31	05	59
19	0	38	10	36	58	08	09	18	05	26	50	12	49	39
20	0	40	11	10	29	37	00	19	02	34	33	54	33	19
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24	0	48	13	24	35	32	23	22	51	05	28	41	27	59
25	0	50	13	58	07	01	15	23	48	13	12	23	11	39
26	0	52	14	31	38	30	05	24	45	20	56	04	55	19
27	0	54	15	05	09	58	57	25	42	28	39	46	38	59
28	0	56	15	38	41	27	48	26	39	36	23	28	22	39
29	0	58	16	12	12	56	39	27	36	44	07	10	06	19
30	1	00	16	45	44	25	30	28	33	51	50	51	49	59
31	1	02	17	19	15	54	21	29	30	59	34	33	33	39
32	1	04	17	52	47	23	12	30	28	07	18	15	17	19
33	1	06	18	26	18	52	02	31	25	15	01	57	00	59
34	1	08	18	59	50	20	53	32	22	22	45	38	44	39
35	1	10	19	33	21	49	45	33	19	30	29	20	28	19
36	1	12	20	06	53	18	36	34	16	38	13	02	11	59
37	1	14	20	40	24	47	27	35	13	45	56	43	55	39
38	1	16	21	13	56	16	17	36	10	53	40	25	39	19
39	1	18	21	47	27	45	09	37	08	01	24	07	22	59
40	1	20	22	20	59	14	00	38	05	09	07	49	06	39
41	1	22	22	54	30	42	51	39	02	16	51	30	50	19
42	1	24	23	28	02	11	41	39	59	24	35	12	33	59
43	1	26	24	01	33	40	32	40	56	32	18	54	17	39
44	1	28	24	35	05	09	24	41	53	40	02	36	01	19
45	1	30	25	08	36	38	15	42	50	47	46	17	44	59

Périodes de 18 ans	Longitude	Anomalie
18	186	06	51	51	53	34	29	169	30	33	44	26	59	59
36	12	13	43	43	47	08	59	339	01	07	28	53	59	59
54	198	20	35	35	40	43	29	148	31	41	13	20	59	59
72	24	27	27	27	34	17	59	318	02	14	57	47	59	59
90	210	34	19	19	27	52	30	127	32	48	42	14	59	59
108	36	41	11	11	21	26	59	297	03	22	26	41	59	59
126	222	48	03	03	15	01	29	106	33	56	11	08	59	59
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Années	Longitude	Anomalie
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45	285	17	09	39	43	56	14	63	46	24	21	07	30

Heures	Anomalie
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45	09	21	04	35	12	13	1	41	31	57	42	03	44

Mois	Longitude	Anomalie
1 (30 jours)	2	29	37	13	23	15	29	27	04	31	23	13	00	00
2 (60 jours)	4	59	14	26	46	30	59	54	09	02	46	26	00	00
3 (90 jours)	7	28	51	40	09	46	30	81	13	34	09	39	00	00
4 (120 jours)	9	58	28	53	33	01	59	108	18	05	32	52	00	00
5 (150 jours)	12	28	06	06	56	17	29	135	22	36	56	05	00	00
6 (180 jours)	14	57	43	20	19	33	00	162	27	08	19	18	00	00
7 (210 jours)	17	27	20	33	42	48	29	189	31	39	42	30	59	59
8 (240 jours)	19	56	57	47	06	03	59	216	36	11	05	44	00	00
9 (270 jours)	22	26	35	00	29	19	30	243	40	42	28	57	00	00
10 (300 jours)	24	56	12	13	52	34	59	270	45	13	52	10	00	00
11 (330 jours)	27	25	49	27	15	50	29	297	49	45	15	22	59	59
12 (360 jours)	29	55	26	40	39	06	00	324	54	16	38	36	00	00
13 (390 jours)	32	25	03	54	02	21	29	351	58	48	01	49	00	00
14 (420 jours)	34	54	41	07	25	36	59	19	03	19	25	01	59	59
15 (450 jours)	37	24	18	20	48	52	30	46	07	50	48	15	00	00
16 (480 jours)	39	53	55	34	12	07	59	73	12	22	11	28	00	00
17 (510 jours)	42	23	32	47	35	23	29	100	16	53	34	41	00	00
18 (540 jours)	44	53	10	00	58	39	00	127	21	24	57	54	00	00
19 (570 jours)	47	22	47	14	21	54	29	154	25	56	21	07	00	00
20 (600 jours)	49	52	24	27	45	09	59	181	30	27	44	20	00	00
21 (630 jours)	52	22	01	41	08	25	30	208	34	59	07	32	59	59
22 (660 jours)	54	51	38	54	31	40	59	235	39	30	30	45	59	59
23 (690 jours)	57	21	16	07	54	56	29	262	44	01	53	59	00	00
24 (720 jours)	59	50	53	21	18	12	00	289	48	33	17	12	00	00
25 (750 jours)	62	20	30	34	41	27	29	316	53	04	40	25	00	00
26 (780 jours)	64	50	07	48	04	42	59	343	57	36	03	38	00	00
27 (810 jours)	67	19	45	01	27	58	29	11	02	07	26	51	00	00
28 (840 jours)	69	49	22	14	51	13	59	38	06	38	50	03	59	59
29 (870 jours)	72	18	59	28	14	29	30	65	11	10	13	17	00	00
30 (900 jours)	74	48	36	41	37	45	00	92	15	41	36	30	00	00
31 (930 jours)	77	18	13	55	01	00	29	119	20	12	59	43	00	00
32 (960 jours)	79	47	51	08	24	15	59	146	24	44	22	56	00	00
33 (990 jours)	82	17	28	21	47	31	29	173	29	15	46	09	00	00
34 (1020 jours)	84	47	05	35	10	46	59	200	33	47	09	22	00	00
35 (1050 jours)	87	16	42	48	34	02	29	227	38	18	32	34	59	59
36 (1080 jours)	89	46	20	01	57	18	00	254	42	49	55	48	00	00
37 (1110 jours)	92	15	57	15	20	33	30	281	47	21	19	01	00	00
38 (1140 jours)	94	45	34	28	43	48	59	308	51	52	42	14	00	00
39 (1170 jours)	97	15	11	42	07	04	29	335	56	24	05	27	00	00
40 (1200 jours)	99	44	48	55	30	19	59	3	00	55	28	40	00	00
41 (1230 jours)	102	14	26	08	53	35	29	30	05	26	51	52	59	59
42 (1260 jours)	104	44	03	22	16	51	00	57	09	58	15	05	59	59
43 (1290 jours)	107	13	40	35	40	06	30	84	14	29	38	18	59	59
44 (1320 jours)	109	43	17	49	03	21	59	111	19	01	01	31	59	59
45 (1350 jours)	112	12	55	02	26	37	29	138	23	32	24	45	00	00

Jours	Longitude	Anomalie
1	0	04	59	14	26	46	30	0	54	09	02	46	25	59
2	0	09	58	28	53	33	01	1	48	18	05	32	51	59
3	0	14	57	43	20	19	32	2	42	27	08	19	17	59
4	0	19	56	57	47	06	03	3	36	36	11	05	43	59
5	0	24	56	12	13	52	34	4	30	45	13	52	10	00
6	0	29	55	26	40	39	05	5	24	54	16	38	36	00
7	0	34	54	41	07	25	36	6	19	03	19	25	01	59
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9	0	44	53	10	00	58	38	8	07	21	24	57	53	59
10	0	49	52	24	27	45	09	9	01	30	27	44	20	00
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14	1	09	49	22	14	51	13	12	38	06	38	50	03	59
15	1	14	48	36	41	37	44	13	32	15	41	36	29	59
16	1	19	47	51	08	24	15	14	26	24	44	22	55	59
17	1	24	47	05	35	10	46	15	20	33	47	09	22	00
18	1	29	46	20	01	57	17	16	14	42	49	55	47	59
19	1	34	45	34	28	43	48	17	08	51	52	42	13	59
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21	1	44	44	03	22	16	50	18	57	09	58	15	05	59
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30	2	29	37	13	23	15	29	27	04	31	23	12	59	59
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35	2	54	33	25	37	08	04	31	35	16	37	05	09	59
36	2	59	32	40	03	54	35	32	29	25	39	51	35	59
37	3	04	31	54	30	41	06	33	23	34	42	38	01	59
38	3	09	31	08	57	27	37	34	17	43	45	24	27	59
39	3	14	30	23	24	14	08	35	11	52	48	10	53	59
40	3	19	29	37	51	00	39	36	06	01	50	57	20	00
41	3	24	28	52	17	47	10	37	00	10	53	43	46	00
42	3	29	28	06	44	33	41	37	54	19	56	30	11	59
43	3	34	27	21	11	20	12	38	48	28	59	16	37	59
44	3	39	26	35	38	06	43	39	42	38	02	03	03	59
45	3	44	25	50	04	53	14	40	36	47	04	49	29	59

Périodes de 18 ans	Longitude	Anomalie
18	203	04	20	17	34	43	30	152	33	05	18	45	51
36	46	08	40	35	09	27	00	305	06	10	37	31	42
54	249	13	00	52	44	10	30	97	39	15	56	17	33
72	92	17	21	10	18	54	00	250	12	21	15	03	24
90	295	21	41	27	53	37	30	42	45	26	33	49	15
108	138	26	01	45	28	21	00	195	18	31	52	35	06
126	341	30	22	03	03	04	30	347	51	37	11	20	57
144	184	34	42	20	37	48	00	140	24	42	30	06	48
162	27	39	02	38	12	31	30	292	57	47	48	52	39
180	230	43	22	55	47	15	00	85	30	53	07	38	30
198	73	47	43	13	21	58	30	238	03	58	26	24	21
216	276	52	03	30	56	42	00	30	37	03	45	10	12
234	119	56	23	48	31	25	30	183	10	09	03	56	03
252	323	00	44	06	06	09	00	335	43	14	22	41	54
270	166	05	04	23	40	52	30	128	16	19	41	27	45
288	9	09	24	41	15	36	00	280	49	25	00	13	36
306	212	13	44	58	50	19	30	73	22	30	18	59	27
324	55	18	05	16	25	03	00	225	55	35	37	45	18
342	258	22	25	33	59	46	30	18	28	40	56	31	09
360	101	26	45	51	34	30	00	171	01	46	15	17	00
378	304	31	06	09	09	13	30	323	34	51	34	02	51
396	147	35	26	26	43	57	00	116	07	56	52	48	42
414	350	39	46	44	18	40	30	268	41	02	11	34	33
432	193	44	07	01	53	24	00	61	14	07	30	20	24
450	36	48	27	19	28	07	30	213	47	12	49	06	15
468	239	52	47	37	02	51	00	6	20	18	07	52	06
486	82	57	07	54	37	34	30	158	53	23	26	37	57
504	286	01	28	12	12	18	00	311	26	28	45	23	48
522	129	05	48	29	47	01	30	103	59	34	04	09	39
540	332	10	08	47	21	45	00	256	32	39	22	55	30
558	175	14	29	04	56	28	30	49	05	44	41	41	21
576	18	18	49	22	31	12	00	201	38	50	00	27	12
594	221	23	09	40	05	55	30	354	11	55	19	13	03
612	64	27	29	57	40	39	00	146	45	00	37	58	54
630	267	31	50	15	15	22	30	299	18	05	56	44	45
648	110	36	10	32	50	06	00	91	51	11	15	30	36
666	313	40	30	50	24	49	30	244	24	16	34	16	27
684	156	44	51	07	59	33	00	36	57	21	53	02	18
702	359	49	11	25	34	16	30	189	30	27	11	48	09
720	202	53	31	43	09	00	00	342	03	32	30	34	00
738	45	57	52	00	43	43	30	134	36	37	49	19	51
756	249	02	12	18	18	27	00	287	09	43	08	05	42
774	92	06	32	35	53	10	30	79	42	48	26	51	33
792	295	10	52	53	27	54	00	232	15	53	45	37	24
810	138	15	13	11	02	37	30	24	48	59	04	23	15

Années	Longitude	Anomalie
1	191	16	54	27	38	35	45	168	28	30	17	42	32	50
2	22	33	48	55	17	11	30	336	57	00	35	25	05	40
3	213	50	43	22	55	47	15	145	25	30	53	07	38	30
4	45	07	37	50	34	23	00	313	54	01	10	50	11	20
5	236	24	32	18	12	58	45	122	22	31	28	32	44	09
6	67	41	26	45	51	34	30	290	51	01	46	15	17	00
7	258	58	21	13	30	10	15	99	19	32	03	57	49	50
8	90	15	15	41	08	46	00	267	48	02	21	40	22	40
9	281	32	10	08	47	21	45	76	16	32	39	22	55	29
10	112	49	04	36	25	57	30	244	45	02	57	05	28	19
11	304	05	59	04	04	33	15	53	13	33	14	48	01	10
12	135	22	53	31	43	09	00	221	42	03	32	30	34	00
13	326	39	47	59	21	44	45	30	10	33	50	13	06	49
14	157	56	42	27	00	20	30	198	39	04	07	55	39	40
15	349	13	36	54	38	56	15	7	07	34	25	38	12	29
16	180	30	31	22	17	32	00	175	36	04	43	20	45	20
17	11	47	25	49	56	07	45	344	04	35	01	03	18	10
18	203	04	20	17	34	43	30	152	33	05	18	45	50	59
19	34	21	14	45	13	19	15	321	01	35	36	28	23	50
20	225	38	09	12	51	55	00	129	30	05	54	10	56	39
21	56	55	03	40	30	30	45	297	58	36	11	53	29	30
22	248	11	58	08	09	06	30	106	27	06	29	36	02	20
23	79	28	52	35	47	42	15	274	55	36	47	18	35	09
24	270	45	47	03	26	18	00	83	24	07	05	01	08	00
25	102	02	41	31	04	53	45	251	52	37	22	43	40	49
26	293	19	35	58	43	29	30	60	21	07	40	26	13	39
27	124	36	30	26	22	05	15	228	49	37	58	08	46	30
28	315	53	24	54	00	41	00	37	18	08	15	51	19	20
29	147	10	19	21	39	16	45	205	46	38	33	33	52	10
30	338	27	13	49	17	52	30	14	15	08	51	16	24	59
31	169	44	08	16	56	28	15	182	43	39	08	58	57	49
32	1	01	02	44	35	04	00	351	12	09	26	41	30	40
33	192	17	57	12	13	39	45	159	40	39	44	24	03	30
34	23	34	51	39	52	15	30	328	09	10	02	06	36	20
35	214	51	46	07	30	51	15	136	37	40	19	49	09	09
36	46	08	40	35	09	27	00	305	06	10	37	31	41	59
37	237	25	35	02	48	02	45	113	34	40	55	14	14	50
38	68	42	29	30	26	38	30	282	03	11	12	56	47	40
39	259	59	23	58	05	14	15	90	31	41	30	39	20	30
40	91	16	18	25	43	50	00	259	00	11	48	21	53	19
41	282	33	12	53	22	25	45	67	28	42	06	04	26	09
42	113	50	07	21	01	01	30	235	57	12	23	46	59	00
43	305	07	01	48	39	37	14	44	25	42	41	29	31	50
44	136	23	56	16	18	13	00	212	54	12	59	12	04	40
45	327	40	50	43	56	48	45	21	22	43	16	54	37	30

Heures	Anomalie
1	01	18	36	32	14	38	01	09	14	10	48	22
2	02	37	13	04	29	17	02	18	28	21	36	44
3	03	55	49	36	43	56	03	27	42	32	25	07
4	05	14	26	08	58	35	04	36	56	43	13	29
5	06	33	02	41	13	14	05	46	10	54	01	52
6	07	51	39	13	27	53	06	55	25	04	50	14
7	09	10	15	45	42	32	08	04	39	15	38	36
8	10	28	52	17	57	10	09	13	53	26	26	59
9	11	47	28	50	11	49	10	23	07	37	15	21
10	13	06	05	22	26	28	11	32	21	48	03	44
11	14	24	41	54	41	07	12	41	35	58	52	06
12	15	43	18	26	55	46	13	50	50	09	40	29
13	17	01	54	59	10	25	15	00	04	20	28	51
14	18	20	31	31	25	04	16	09	18	31	17	13
15	19	39	08	03	39	43	17	18	32	42	05	36
16	20	57	44	35	54	21	18	27	46	52	53	58
17	22	16	21	08	09	00	19	37	01	03	42	21
18	23	34	57	40	23	39	20	46	15	14	30	43
19	24	53	34	12	38	18	21	55	29	25	19	05
20	26	12	10	44	52	57	23	04	43	36	07	28
21	27	30	47	17	07	36	24	13	57	46	55	50
22	28	49	23	49	22	15	25	23	11	57	44	13
23	30	08	00	21	36	54	26	32	26	08	32	35
24	31	26	36	53	51	32	27	41	40	19	20	58
25	32	45	13	26	06	11	28	50	54	30	09	20
26	34	03	49	58	20	50	30	00	08	40	57	42
27	35	22	26	30	35	29	31	09	22	51	46	05
28	36	41	03	02	50	08	32	18	37	02	34	27
29	37	59	39	35	04	47	33	27	51	13	22	50
30	39	18	16	07	19	26	34	37	05	24	11	12
31	40	36	52	39	34	05	35	46	19	34	59	34
32	41	55	29	11	48	43	36	55	33	45	47	57
33	43	14	05	44	03	22	38	04	47	56	36	19
34	44	32	42	16	18	01	39	14	02	07	24	42
35	45	51	18	48	32	40	40	23	16	18	13	04
36	47	09	55	20	47	19	41	32	30	29	01	27
37	48	28	31	53	01	58	42	41	44	39	49	49
38	49	47	08	25	16	37	43	50	58	50	38	11
39	51	05	44	57	31	16	45	00	13	01	26	34
40	52	24	21	29	45	54	46	09	27	12	14	56
41	53	42	58	02	00	33	47	18	41	23	03	19
42	55	01	34	34	15	12	48	27	55	33	51	41
43	56	20	11	06	29	51	49	37	09	44	40	03
44	57	38	47	38	44	30	50	46	23	55	28	26
45	58	57	24	10	59	09	51	55	38	06	16	48

Mois	Longitude	Anomalie
1 (30 jours)	15	43	18	26	55	46	30	13	50	50	09	40	29	00
2 (60 jours)	31	26	36	53	51	33	00	27	41	40	19	20	58	00
3 (90 jours)	47	09	55	20	47	19	30	41	32	30	29	01	26	59
4 (120 jours)	62	53	13	47	43	06	00	55	23	20	38	41	56	00
5 (150 jours)	78	36	32	14	38	52	29	69	14	10	48	22	25	00
6 (180 jours)	94	19	50	41	34	39	00	83	05	00	58	02	53	59
7 (210 jours)	110	03	09	08	30	25	29	96	55	51	07	43	22	59
8 (240 jours)	125	46	27	35	26	12	00	110	46	41	17	23	52	00
9 (270 jours)	141	29	46	02	21	58	30	124	37	31	27	04	21	00
10 (300 jours)	157	13	04	29	17	44	59	138	28	21	36	44	50	00
11 (330 jours)	172	56	22	56	13	31	29	152	19	11	46	25	19	00
12 (360 jours)	188	39	41	23	09	18	00	166	10	01	56	05	47	59
13 (390 jours)	204	22	59	50	05	04	30	180	00	52	05	46	16	59
14 (420 jours)	220	06	18	17	00	50	59	193	51	42	15	26	45	59
15 (450 jours)	235	49	36	43	56	37	30	207	42	32	25	07	15	00
16 (480 jours)	251	32	55	10	52	24	00	221	33	22	34	47	44	00
17 (510 jours)	267	16	13	37	48	10	30	235	24	12	44	28	13	00
18 (540 jours)	282	59	32	04	43	57	00	249	15	02	54	08	42	00
19 (570 jours)	298	42	50	31	39	43	30	263	05	53	03	49	10	59
20 (600 jours)	314	26	08	58	35	29	59	276	56	43	13	29	40	00
21 (630 jours)	330	09	27	25	31	16	29	290	47	33	23	10	08	59
22 (660 jours)	345	52	45	52	27	02	59	304	38	23	32	50	38	00
23 (690 jours)	1	36	04	19	22	49	30	318	29	13	42	31	07	00
24 (720 jours)	17	19	22	46	18	36	00	332	20	03	52	11	35	59
25 (750 jours)	33	02	41	13	14	22	30	346	10	54	01	52	05	00
26 (780 jours)	48	45	59	40	10	09	00	0	01	44	11	32	33	59
27 (810 jours)	64	29	18	07	05	55	29	13	52	34	21	13	03	00
28 (840 jours)	80	12	36	34	01	41	59	27	43	24	30	53	31	59
29 (870 jours)	95	55	55	00	57	28	30	41	34	14	40	34	01	00
30 (900 jours)	111	39	13	27	53	15	00	55	25	04	50	14	30	00
31 (930 jours)	127	22	31	54	49	01	30	69	15	54	59	54	59	00
32 (960 jours)	143	05	50	21	44	48	00	83	06	45	09	35	28	00
33 (990 jours)	158	49	08	48	40	34	30	96	57	35	19	15	56	59
34 (1020 jours)	174	32	27	15	36	21	00	110	48	25	28	56	26	00
35 (1050 jours)	190	15	45	42	32	07	30	124	39	15	38	36	54	59
36 (1080 jours)	205	59	04	09	27	54	00	138	30	05	48	17	24	00
37 (1110 jours)	221	42	22	36	23	40	30	152	20	55	57	57	53	00
38 (1140 jours)	237	25	41	03	19	27	00	166	11	46	07	38	21	59
39 (1170 jours)	253	08	59	30	15	13	30	180	02	36	17	18	51	00
40 (1200 jours)	268	52	17	57	10	59	59	193	53	26	26	59	20	00
41 (1230 jours)	284	35	36	24	06	46	29	207	44	16	36	39	49	00
42 (1260 jours)	300	18	54	51	02	32	59	221	35	06	46	20	17	59
43 (1290 jours)	316	02	13	17	58	19	29	235	25	56	56	00	46	59
44 (1320 jours)	331	45	31	44	54	05	59	249	16	47	05	41	16	00
45 (1350 jours)	347	28	50	11	49	52	30	263	07	37	15	21	45	00

Jours	Longitude	Anomalie
1	0	31	26	36	53	51	32	0	27	41	40	19	20	58
2	1	02	53	13	47	43	05	0	55	23	20	38	41	56
3	1	34	19	50	41	34	38	1	23	05	00	58	02	54
4	2	05	46	27	35	26	11	1	50	46	41	17	23	52
5	2	37	13	04	29	17	44	2	18	28	21	36	44	50
6	3	08	39	41	23	09	17	2	46	10	01	56	05	48
7	3	40	06	18	17	00	50	3	13	51	42	15	26	46
8	4	11	32	55	10	52	23	3	41	33	22	34	47	44
9	4	42	59	32	04	43	56	4	09	15	02	54	08	42
10	5	14	26	08	58	35	29	4	36	56	43	13	29	40
11	5	45	52	45	52	27	02	5	04	38	23	32	50	37
12	6	17	19	22	46	18	35	5	32	20	03	52	11	36
13	6	48	45	59	40	10	08	6	00	01	44	11	32	34
14	7	20	12	36	34	01	41	6	27	43	24	30	53	32
15	7	51	39	13	27	53	14	6	55	25	04	50	14	30
16	8	23	05	50	21	44	47	7	23	06	45	09	35	28
17	8	54	32	27	15	36	20	7	50	48	25	28	56	26
18	9	25	59	04	09	27	53	8	18	30	05	48	17	24
19	9	57	25	41	03	19	26	8	46	11	46	07	38	22
20	10	28	52	17	57	10	59	9	13	53	26	26	59	20
21	11	00	18	54	51	02	32	9	41	35	06	46	20	18
22	11	31	45	31	44	54	05	10	09	16	47	05	41	15
23	12	03	12	08	38	45	38	10	36	58	27	25	02	14
24	12	34	38	45	32	37	11	11	04	40	07	44	23	12
25	13	06	05	22	26	28	44	11	32	21	48	03	44	10
26	13	37	31	59	20	20	17	12	00	03	28	23	05	08
27	14	08	58	36	14	11	50	12	27	45	08	42	26	06
28	14	40	25	13	08	03	23	12	55	26	49	01	47	04
29	15	11	51	50	01	54	56	13	23	08	29	21	08	02
30	15	43	18	26	55	46	29	13	50	50	09	40	29	00
31	16	14	45	03	49	38	02	14	18	31	49	59	49	58
32	16	46	11	40	43	29	35	14	46	13	30	19	10	56
33	17	17	38	17	37	21	08	15	13	55	10	38	31	54
34	17	49	04	54	31	12	41	15	41	36	50	57	52	52
35	18	20	31	31	25	04	14	16	09	18	31	17	13	50
36	18	51	58	08	18	55	47	16	37	00	11	36	34	48
37	19	23	24	45	12	47	20	17	04	41	51	55	55	46
38	19	54	51	22	06	38	53	17	32	23	32	15	16	44
39	20	26	17	59	00	30	26	18	00	05	12	34	37	42
40	20	57	44	35	54	21	59	18	27	46	52	53	58	40
41	21	29	11	12	48	13	32	18	55	28	33	13	19	38
42	22	00	37	49	42	05	05	19	23	10	13	32	40	36
43	22	32	04	26	35	56	38	19	50	51	53	52	01	34
44	23	03	31	03	29	48	11	20	18	33	34	11	22	31
45	23	34	57	40	23	39	44	20	46	15	14	30	43	30

Périodes de 18 ans	Longitude	Anomalie
18	355	37	25	36	20	34	30	90	27	44	34	23	46	29
36	351	14	51	12	41	09	00	180	55	29	08	47	32	59
54	346	52	16	49	01	43	30	271	23	13	43	11	19	29
72	342	29	42	25	22	18	00	1	50	58	17	35	05	59
90	338	07	08	01	42	52	30	92	18	42	51	58	52	29
108	333	44	33	38	03	27	00	182	46	27	26	22	38	59
126	329	21	59	14	24	01	30	273	14	12	00	46	25	29
144	324	59	24	50	44	36	00	3	41	56	35	10	11	59
162	320	36	50	27	05	10	30	94	09	41	09	33	58	30
180	316	14	16	03	25	45	00	184	37	25	43	57	44	59
198	311	51	41	39	46	19	30	275	05	10	18	21	31	29
216	307	29	07	16	06	54	00	5	32	54	52	45	17	59
234	303	06	32	52	27	28	29	96	00	39	27	09	04	30
252	298	43	58	28	48	03	00	186	28	24	01	32	50	59
270	294	21	24	05	08	37	30	276	56	08	35	56	37	29
288	289	58	49	41	29	12	00	7	23	53	10	20	23	59
306	285	36	15	17	49	46	29	97	51	37	44	44	10	30
324	281	13	40	54	10	21	00	188	19	22	19	07	57	00
342	276	51	06	30	30	55	30	278	47	06	53	31	43	29
360	272	28	32	06	51	30	00	9	14	51	27	55	29	59
378	268	05	57	43	12	04	29	99	42	36	02	19	16	30
396	263	43	23	19	32	39	00	190	10	20	36	43	02	59
414	259	20	48	55	53	13	30	280	38	05	11	06	49	29
432	254	58	14	32	13	48	00	11	05	49	45	30	35	59
450	250	35	40	08	34	22	29	101	33	34	19	54	22	30
468	246	13	05	44	54	56	59	192	01	18	54	18	09	00
486	241	50	31	21	15	31	30	282	29	03	28	41	55	30
504	237	27	56	57	36	06	00	12	56	48	03	05	41	59
522	233	05	22	33	56	40	29	103	24	32	37	29	28	29
540	228	42	48	10	17	15	00	193	52	17	11	53	14	59
558	224	20	13	46	37	49	30	284	20	01	46	17	01	29
576	219	57	39	22	58	24	00	14	47	46	20	40	47	59
594	215	35	04	59	18	58	29	105	15	30	55	04	34	30
612	211	12	30	35	39	32	59	195	43	15	29	28	21	00
630	206	49	56	12	00	07	30	286	11	00	03	52	07	30
648	202	27	21	48	20	42	00	16	38	44	38	15	54	00
666	198	04	47	24	41	16	29	107	06	29	12	39	40	29
684	193	42	13	01	01	51	00	197	34	13	47	03	26	59
702	189	19	38	37	22	25	30	288	01	58	21	27	13	29
720	184	57	04	13	43	00	00	18	29	42	55	50	59	59
738	180	34	29	50	03	34	29	108	57	27	30	14	46	30
756	176	11	55	26	24	08	59	199	25	12	04	38	33	00
774	171	49	21	02	44	43	30	289	52	56	39	02	19	30
792	167	26	46	39	05	18	00	20	20	41	13	26	05	59
810	163	04	12	15	25	52	30	110	48	25	47	49	52	29

Années	Longitude	Anomalie
1	359	45	24	45	21	08	34	225	01	32	28	34	39	15
2	359	30	49	30	42	17	09	90	03	04	57	09	18	30
3	359	16	14	16	03	25	44	315	04	37	25	43	57	45
4	359	01	39	01	24	34	19	180	06	09	54	18	37	00
5	358	47	03	46	45	42	55	45	07	42	22	53	16	15
6	358	32	28	32	06	51	29	270	09	14	51	27	55	30
7	358	17	53	17	28	00	05	135	10	47	20	02	34	45
8	358	03	18	02	49	08	39	0	12	19	48	37	14	00
9	357	48	42	48	10	17	14	225	13	52	17	11	53	15
10	357	34	07	33	31	25	50	90	15	24	45	46	32	30
11	357	19	32	18	52	34	24	315	16	57	14	21	11	45
12	357	04	57	04	13	42	59	180	18	29	42	55	51	00
13	356	50	21	49	34	51	34	45	20	02	11	30	30	15
14	356	35	46	34	56	00	10	270	21	34	40	05	09	30
15	356	21	11	20	17	08	44	135	23	07	08	39	48	45
16	356	06	36	05	38	17	19	0	24	39	37	14	28	00
17	355	52	00	50	59	25	55	225	26	12	05	49	07	15
18	355	37	25	36	20	34	29	90	27	44	34	23	46	30
19	355	22	50	21	41	43	04	315	29	17	02	58	25	45
20	355	08	15	07	02	51	40	180	30	49	31	33	05	00
21	354	53	39	52	24	00	14	45	32	22	00	07	44	15
22	354	39	04	37	45	08	49	270	33	54	28	42	23	30
23	354	24	29	23	06	17	24	135	35	26	57	17	02	45
24	354	09	54	08	27	25	59	0	36	59	25	51	42	00
25	353	55	18	53	48	34	34	225	38	31	54	26	21	15
26	353	40	43	39	09	43	09	90	40	04	23	01	00	30
27	353	26	08	24	30	51	45	315	41	36	51	35	39	45
28	353	11	33	09	52	00	20	180	43	09	20	10	19	00
29	352	56	57	55	13	08	54	45	44	41	48	44	58	15
30	352	42	22	40	34	17	29	270	46	14	17	19	37	30
31	352	27	47	25	55	26	04	135	47	46	45	54	16	45
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34	351	44	01	41	58	51	50	90	52	24	11	38	14	30
35	351	29	26	27	20	00	25	315	53	56	40	12	53	45
36	351	14	51	12	41	08	59	180	55	29	08	47	33	00
37	351	00	15	58	02	17	34	45	57	01	37	22	12	15
38	350	45	40	43	23	26	09	270	58	34	05	56	51	30
39	350	31	05	28	44	34	44	136	00	06	34	31	30	45
40	350	16	30	14	05	43	20	1	01	39	03	06	10	00
41	350	01	54	59	26	51	55	226	03	11	31	40	49	15
42	349	47	19	44	48	00	29	91	04	44	00	15	28	30
43	349	32	44	30	09	09	04	316	06	16	28	50	07	45
44	349	18	09	15	30	17	39	181	07	48	57	24	47	00
45	349	03	34	00	51	26	14	46	09	21	25	59	26	15

Heures	Longitude	Anomalie
1	0	02	27	50	43	03	00	0	01	32	28	34	42	58
2	0	04	55	41	26	06	01	0	03	04	57	09	25	57
3	0	07	23	32	09	09	03	0	04	37	25	44	08	55
4	0	09	51	22	52	12	03	0	06	09	54	18	51	54
5	0	12	19	13	35	15	04	0	07	42	22	53	34	53
6	0	14	47	04	18	18	06	0	09	14	51	28	17	51
7	0	17	14	55	01	21	06	0	10	47	20	03	00	50
8	0	19	42	45	44	24	07	0	12	19	48	37	43	49
9	0	22	10	36	27	27	09	0	13	52	17	12	26	47
10	0	24	38	27	10	30	09	0	15	24	45	47	09	46
11	0	27	06	17	53	33	11	0	16	57	14	21	52	45
12	0	29	34	08	36	36	12	0	18	29	42	56	35	43
13	0	32	01	59	19	39	13	0	20	02	11	31	18	42
14	0	34	29	50	02	42	13	0	21	34	40	06	01	41
15	0	36	57	40	45	45	14	0	23	07	08	40	44	39
16	0	39	25	31	28	48	15	0	24	39	37	15	27	38
17	0	41	53	22	11	51	16	0	26	12	05	50	10	37
18	0	44	21	12	54	54	18	0	27	44	34	24	53	35
19	0	46	49	03	37	57	18	0	29	17	02	59	36	34
20	0	49	16	54	21	00	19	0	30	49	31	34	19	33
21	0	51	44	45	04	03	20	0	32	22	00	09	02	31
22	0	54	12	35	47	06	22	0	33	54	28	43	45	30
23	0	56	40	26	30	09	23	0	35	26	57	18	28	29
24	0	59	08	17	13	12	24	0	36	59	25	53	11	27
25	1	01	36	07	56	15	24	0	38	31	54	27	54	26
26	1	04	03	58	39	18	26	0	40	04	23	02	37	25
27	1	06	31	49	22	21	26	0	41	36	51	37	20	23
28	1	08	59	40	05	24	27	0	43	09	20	12	03	22
29	1	11	27	30	48	27	29	0	44	41	48	46	46	21
30	1	13	55	21	31	30	29	0	46	14	17	21	29	19
31	1	16	23	12	14	33	31	0	47	46	45	56	12	18
32	1	18	51	02	57	36	32	0	49	19	14	30	55	17
33	1	21	18	53	40	39	32	0	50	51	43	05	38	15
34	1	23	46	44	23	42	33	0	52	24	11	40	21	14
35	1	26	14	35	06	45	34	0	53	56	40	15	04	13
36	1	28	42	25	49	48	36	0	55	29	08	49	47	11
37	1	31	10	16	32	51	36	0	57	01	37	24	30	10
38	1	33	38	07	15	54	37	0	58	34	05	59	13	09
39	1	36	05	57	58	57	39	1	00	06	34	33	56	07
40	1	38	33	48	42	00	39	1	01	39	03	08	39	06
41	1	41	01	39	25	03	41	1	03	11	31	43	22	05
42	1	43	29	30	08	06	41	1	04	44	00	18	05	03
43	1	45	57	20	51	09	42	1	06	16	28	52	48	02
44	1	48	25	11	34	12	44	1	07	48	57	27	31	01
45	1	50	53	02	17	15	44	1	09	21	26	02	13	59

Mois	Longitude	Anomalie
1 (30 jours)	29	34	08	36	36	15	29	18	29	42	56	35	44	00
2 (60 jours)	59	08	17	13	12	30	59	36	59	25	53	11	28	00
3 (90 jours)	88	42	25	49	48	46	29	55	29	08	49	47	12	00
4 (120 jours)	118	16	34	26	25	01	59	73	58	51	46	22	56	00
5 (150 jours)	147	50	43	03	01	17	30	92	28	34	42	58	40	00
6 (180 jours)	177	24	51	39	37	32	59	110	58	17	39	34	24	00
7 (210 jours)	206	59	00	16	13	48	29	129	28	00	36	10	07	59
8 (240 jours)	236	33	08	52	50	03	59	147	57	43	32	45	52	00
9 (270 jours)	266	07	17	29	26	19	29	166	27	26	29	21	36	00
10 (300 jours)	295	41	26	06	02	35	00	184	57	09	25	57	20	00
11 (330 jours)	325	15	34	42	38	50	29	203	26	52	22	33	03	59
12 (360 jours)	354	49	43	19	15	05	59	221	56	35	19	08	48	00
13 (390 jours)	24	23	51	55	51	21	29	240	26	18	15	44	32	00
14 (420 jours)	53	58	00	32	27	36	59	258	56	01	12	20	15	59
15 (450 jours)	83	32	09	09	03	52	29	277	25	44	08	56	00	00
16 (480 jours)	113	06	17	45	40	07	59	295	55	27	05	31	44	00
17 (510 jours)	142	40	26	22	16	23	30	314	25	10	02	07	28	00
18 (540 jours)	172	14	34	58	52	38	59	332	54	52	58	43	12	00
19 (570 jours)	201	48	43	35	28	54	29	351	24	35	55	18	56	00
20 (600 jours)	231	22	52	12	05	10	00	9	54	18	51	54	40	00
21 (630 jours)	260	57	00	48	41	25	29	28	24	01	48	30	23	59
22 (660 jours)	290	31	09	25	17	40	59	46	53	44	45	06	07	59
23 (690 jours)	320	05	18	01	53	56	29	65	23	27	41	41	52	00
24 (720 jours)	349	39	26	38	30	11	59	83	53	10	38	17	36	00
25 (750 jours)	19	13	35	15	06	27	29	102	22	53	34	53	20	00
26 (780 jours)	48	47	43	51	42	42	59	120	52	36	31	29	04	00
27 (810 jours)	78	21	52	28	18	58	30	139	22	19	28	04	48	00
28 (840 jours)	107	56	01	04	55	13	59	157	52	02	24	40	31	59
29 (870 jours)	137	30	09	41	31	29	29	176	21	45	21	16	16	00
30 (900 jours)	167	04	18	18	07	44	59	194	51	28	17	52	00	00
31 (930 jours)	196	38	26	54	44	00	29	213	21	11	14	27	44	00
32 (960 jours)	226	12	35	31	20	15	59	231	50	54	11	03	28	00
33 (990 jours)	255	46	44	07	56	31	29	250	20	37	07	39	11	59
34 (1020 jours)	285	20	52	44	32	47	00	268	50	20	04	14	56	00
35 (1050 jours)	314	55	01	21	09	02	29	287	20	03	00	50	39	59
36 (1080 jours)	344	29	09	57	45	17	59	305	49	45	57	26	24	00
37 (1110 jours)	14	03	18	34	21	33	29	324	19	28	54	02	07	59
38 (1140 jours)	43	37	27	10	57	48	59	342	49	11	50	37	52	00
39 (1170 jours)	73	11	35	47	34	04	29	1	18	54	47	13	36	00
40 (1200 jours)	102	45	44	24	10	20	00	19	48	37	43	49	20	00
41 (1230 jours)	132	19	53	00	46	35	30	38	18	20	40	25	04	00
42 (1260 jours)	161	54	01	37	22	50	59	56	48	03	37	00	47	59
43 (1290 jours)	191	28	10	13	59	06	29	75	17	46	33	36	32	00
44 (1320 jours)	221	02	18	50	35	21	59	93	47	29	30	12	15	59
45 (1350 jours)	250	36	27	27	11	37	29	112	17	12	26	48	00	00

Jours	Longitude	Anomalie
1	0	59	08	17	13	12	30	0	36	59	25	53	11	27
2	1	58	16	34	26	25	01	1	13	58	51	46	22	55
3	2	57	24	51	39	37	32	1	50	58	17	39	34	23
4	3	56	33	08	52	50	03	2	27	57	43	32	45	51
5	4	55	41	26	06	02	34	3	04	57	09	25	57	19
6	5	54	49	43	19	15	05	3	41	56	35	19	08	47
7	6	53	58	00	32	27	36	4	18	56	01	12	20	15
8	7	53	06	17	45	40	07	4	55	55	27	05	31	43
9	8	52	14	34	58	52	38	5	32	54	52	58	43	11
10	9	51	22	52	12	05	09	6	09	54	18	51	54	39
11	10	50	31	09	25	17	40	6	46	53	44	45	06	07
12	11	49	39	26	38	30	11	7	23	53	10	38	17	35
13	12	48	47	43	51	42	42	8	00	52	36	31	29	03
14	13	47	56	01	04	55	13	8	37	52	02	24	40	31
15	14	47	04	18	18	07	44	9	14	51	28	17	51	59
16	15	46	12	35	31	20	15	9	51	50	54	11	03	27
17	16	45	20	52	44	32	46	10	28	50	20	04	14	55
18	17	44	29	09	57	45	17	11	05	49	45	57	26	23
19	18	43	37	27	10	57	48	11	42	49	11	50	37	51
20	19	42	45	44	24	10	19	12	19	48	37	43	49	19
21	20	41	54	01	37	22	50	12	56	48	03	37	00	47
22	21	41	02	18	50	35	21	13	33	47	29	30	12	15
23	22	40	10	36	03	47	52	14	10	46	55	23	23	43
24	23	39	18	53	17	00	23	14	47	46	21	16	35	11
25	24	38	27	10	30	12	54	15	24	45	47	09	46	39
26	25	37	35	27	43	25	25	16	01	45	13	02	58	07
27	26	36	43	44	56	37	56	16	38	44	38	56	09	35
28	27	35	52	02	09	50	27	17	15	44	04	49	21	03
29	28	35	00	19	23	02	58	17	52	43	30	42	32	31
30	29	34	08	36	36	15	29	18	29	42	56	35	43	59
31	30	33	16	53	49	28	00	19	06	42	22	28	55	27
32	31	32	25	11	02	40	31	19	43	41	48	22	06	55
33	32	31	33	28	15	53	02	20	20	41	14	15	18	23
34	33	30	41	45	29	05	33	20	57	40	40	08	29	51
35	34	29	50	02	42	18	04	21	34	40	06	01	41	19
36	35	28	58	19	55	30	35	22	11	39	31	54	52	47
37	36	28	06	37	08	43	06	22	48	38	57	48	04	15
38	37	27	14	54	21	55	37	23	25	38	23	41	15	43
39	38	26	23	11	35	08	08	24	02	37	49	34	27	11
40	39	25	31	28	48	20	39	24	39	37	15	27	38	39
41	40	24	39	46	01	33	10	25	16	36	41	20	50	07
42	41	23	48	03	14	45	41	25	53	36	07	14	01	35
43	42	22	56	20	27	58	12	26	30	35	33	07	13	03
44	43	22	04	37	41	10	43	27	07	34	59	00	24	31
45	44	21	12	54	54	23	14	27	44	34	24	53	35	59

Périodes de 18 ans	Longitude	Anomalie
18	355	37	25	36	20	34	30	251	00	45	45	53	45
36	351	14	51	12	41	09	00	142	01	31	31	47	30
54	346	52	16	49	01	43	30	33	02	17	17	41	15
72	342	29	42	25	22	18	00	284	03	03	03	35	00
90	338	07	08	01	42	52	30	175	03	48	49	28	45
108	333	44	33	38	03	27	00	66	04	34	35	22	30
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Années	Longitude	Anomalie
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45	349	03	34	00	51	26	14	267	31	54	24	44	22	30

Heures	Longitude	Anomalie
1	0	02	27	50	43	03	00	0	07	46	00	17	28	59
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45	1	50	53	02	17	15	44	5	49	30	13	06	44	41

Mois	Longitude	Anomalie
1 (30 jours)	29	34	08	36	36	15	29	93	12	03	29	47	54	59
2 (60 jours)	59	08	17	13	12	30	59	186	24	06	59	35	49	59
3 (90 jours)	88	42	25	49	48	46	29	279	36	10	29	23	44	59
4 (120 jours)	118	16	34	26	25	01	59	12	48	13	59	11	39	59
5 (150 jours)	147	50	43	03	01	17	30	106	00	17	28	59	34	59
6 (180 jours)	177	24	51	39	37	32	59	199	12	20	58	47	29	59
7 (210 jours)	206	59	00	16	13	48	29	292	24	24	28	35	24	59
8 (240 jours)	236	33	08	52	50	03	59	25	36	27	58	23	19	59
9 (270 jours)	266	07	17	29	26	19	29	118	48	31	28	11	14	59
10 (300 jours)	295	41	26	06	02	35	00	212	00	34	57	59	09	59
11 (330 jours)	325	15	34	42	38	50	29	305	12	38	27	47	04	59
12 (360 jours)	354	49	43	19	15	05	59	38	24	41	57	34	59	59
13 (390 jours)	24	23	51	55	51	21	29	131	36	45	27	22	54	59
14 (420 jours)	53	58	00	32	27	36	59	224	48	48	57	10	49	59
15 (450 jours)	83	32	09	09	03	52	29	318	00	52	26	58	44	59
16 (480 jours)	113	06	17	45	40	07	59	51	12	55	56	46	39	59
17 (510 jours)	142	40	26	22	16	23	30	144	24	59	26	34	34	59
18 (540 jours)	172	14	34	58	52	38	59	237	37	02	56	22	29	59
19 (570 jours)	201	48	43	35	28	54	29	330	49	06	26	10	24	59
20 (600 jours)	231	22	52	12	05	10	00	64	01	09	55	58	19	59
21 (630 jours)	260	57	00	48	41	25	29	157	13	13	25	46	14	59
22 (660 jours)	290	31	09	25	17	40	59	250	25	16	55	34	09	59
23 (690 jours)	320	05	18	01	53	56	29	343	37	20	25	22	04	59
24 (720 jours)	349	39	26	38	30	11	59	76	49	23	55	09	59	59
25 (750 jours)	19	13	35	15	06	27	29	170	01	27	24	57	54	59
26 (780 jours)	48	47	43	51	42	42	59	263	13	30	54	45	49	59
27 (810 jours)	78	21	52	28	18	58	30	356	25	34	24	33	44	59
28 (840 jours)	107	56	01	04	55	13	59	89	37	37	54	21	39	59
29 (870 jours)	137	30	09	41	31	29	29	182	49	41	24	09	34	59
30 (900 jours)	167	04	18	18	07	44	59	276	01	44	53	57	29	59
31 (930 jours)	196	38	26	54	44	00	29	9	13	48	23	45	24	59
32 (960 jours)	226	12	35	31	20	15	59	102	25	51	53	33	19	59
33 (990 jours)	255	46	44	07	56	31	29	195	37	55	23	21	14	59
34 (1020 jours)	285	20	52	44	32	47	00	288	49	58	53	09	09	59
35 (1050 jours)	314	55	01	21	09	02	29	22	02	02	22	57	04	59
36 (1080 jours)	344	29	09	57	45	17	59	115	14	05	52	44	59	59
37 (1110 jours)	14	03	18	34	21	33	29	208	26	09	22	32	54	59
38 (1140 jours)	43	37	27	10	57	48	59	301	38	12	52	20	49	59
39 (1170 jours)	73	11	35	47	34	04	29	34	50	16	22	08	44	59
40 (1200 jours)	102	45	44	24	10	20	00	128	02	19	51	56	39	59
41 (1230 jours)	132	19	53	00	46	35	30	221	14	23	21	44	34	59
42 (1260 jours)	161	54	01	37	22	50	59	314	26	26	51	32	29	59
43 (1290 jours)	191	28	10	13	59	06	29	47	38	30	21	20	24	59
44 (1320 jours)	221	02	18	50	35	21	59	140	50	33	51	08	19	59
45 (1350 jours)	250	36	27	27	11	37	29	234	02	37	20	56	15	00

Jours	Longitude	Anomalie
1	0	59	08	17	13	12	30	3	06	24	06	59	35	50
2	1	58	16	34	26	25	01	6	12	48	13	59	11	40
3	2	57	24	51	39	37	32	9	19	12	20	58	47	30
4	3	56	33	08	52	50	03	12	25	36	27	58	23	20
5	4	55	41	26	06	02	34	15	32	00	34	57	59	10
6	5	54	49	43	19	15	05	18	38	24	41	57	35	00
7	6	53	58	00	32	27	36	21	44	48	48	57	10	50
8	7	53	06	17	45	40	07	24	51	12	55	56	46	40
9	8	52	14	34	58	52	38	27	57	37	02	56	22	30
10	9	51	22	52	12	05	09	31	04	01	09	55	58	20
11	10	50	31	09	25	17	40	34	10	25	16	55	34	10
12	11	49	39	26	38	30	11	37	16	49	23	55	10	00
13	12	48	47	43	51	42	42	40	23	13	30	54	45	50
14	13	47	56	01	04	55	13	43	29	37	37	54	21	40
15	14	47	04	18	18	07	44	46	36	01	44	53	57	30
16	15	46	12	35	31	20	15	49	42	25	51	53	33	20
17	16	45	20	52	44	32	46	52	48	49	58	53	09	10
18	17	44	29	09	57	45	17	55	55	14	05	52	45	00
19	18	43	37	27	10	57	48	59	01	38	12	52	20	50
20	19	42	45	44	24	10	19	62	08	02	19	51	56	40
21	20	41	54	01	37	22	50	65	14	26	26	51	32	30
22	21	41	02	18	50	35	21	68	20	50	33	51	08	20
23	22	40	10	36	03	47	52	71	27	14	40	50	44	10
24	23	39	18	53	17	00	23	74	33	38	47	50	20	00
25	24	38	27	10	30	12	54	77	40	02	54	49	55	50
26	25	37	35	27	43	25	25	80	46	27	01	49	31	40
27	26	36	43	44	56	37	56	83	52	51	08	49	07	30
28	27	35	52	02	09	50	27	86	59	15	15	48	43	20
29	28	35	00	19	23	02	58	90	05	39	22	48	19	10
30	29	34	08	36	36	15	29	93	12	03	29	47	55	00
31	30	33	16	53	49	28	00	96	18	27	36	47	30	50
32	31	32	25	11	02	40	31	99	24	51	43	47	06	40
33	32	31	33	28	15	53	02	102	31	15	50	46	42	30
34	33	30	41	45	29	05	33	105	37	39	57	46	18	20
35	34	29	50	02	42	18	04	108	44	04	04	45	54	10
36	35	28	58	19	55	30	35	111	50	28	11	45	30	00
37	36	28	06	37	08	43	06	114	56	52	18	45	05	50
38	37	27	14	54	21	55	37	118	03	16	25	44	41	40
39	38	26	23	11	35	08	08	121	09	40	32	44	17	30
40	39	25	31	28	48	20	39	124	16	04	39	43	53	20
41	40	24	39	46	01	33	10	127	22	28	46	43	29	10
42	41	23	48	03	14	45	41	130	28	52	53	43	05	00
43	42	22	56	20	27	58	12	133	35	17	00	42	40	50
44	43	22	04	37	41	10	43	136	41	41	07	42	16	40
45	44	21	12	54	54	23	14	139	48	05	14	41	52	30

Après avoir exposé ces anomalies, nous devons maintenant discuter des mouvements en longitude des cinq planètes , que j’ai représentés généralement de la manière suivante.

Deux mouvements simples suffisent pour expliquer ce que nous proposons : un produit par des cercles excentriques [au centre du] zodiaque, et un autre produit par des cercles concentriques à l’écliptique, mais qui portent des épicycles. Il y a également deux anomalies apparentes pour chaque planète : une qui varie selon sa position dans l’écliptique, et l’autre selon sa position par rapport au Soleil. Pour cette dernière, nous trouvons, à partir d’une série de différentes configurations [de la planète avec le Soleil] observées dans les mêmes parties de l’écliptique, que les cinq planètes prennent plus de temps pour passer de la plus grande vitesse à la moyenne que pour passer de la moyenne à la minimale. Cet effet ne peut pas être une conséquence de l’hypothèse excentrique, qui produit exactement l’effet contraire, puisque la plus grande vitesse a lieu au périgée dans cette hypothèse, tandis que dans les deux hypothèses [excentrique et épicyclique], l’arc du périgée jusqu’au point de vitesse moyenne est plus petit que l’arc de ce point jusqu’à l’apogée ; mais dans l’hypothèse épicyclique, cet effet peut se produire quand la plus grande vitesse est non pas au périgée, comme dans le cas de la Lune, mais à l’apogée, c’est-⁠à-⁠dire lorsque la planète, partant de l’apogée, se déplace non pas dans le sens du premier mouvement [vers l’ouest], comme la Lune, mais plutôt vers l’arrière [l’est]. C’est pourquoi nous expliquons ce type d’anomalie par l’hypothèse épicyclique.

Pour l’anomalie relative à la position sur l’écliptique, nous trouvons le contraire à partir des [observations des] arcs de l’écliptique parcourus dans les mêmes phases [successives] ou dans les mêmes configurations [Soleil-planète] : le temps entre la moindre vitesse et la vitesse moyenne est toujours plus long que celui entre la vitesse moyenne et la plus grande. Ce effet peut résulter de l’une ou l’autre des deux hypothèses, comme nous l’avons expliqué au début de notre discussion sur le Soleil, en parlant de l’équivalence des hypothèses. Mais cet effet convient mieux à l’hypothèse excentrique, que nous utilisons pour expliquer ce genre d’anomalie, puisque l’autre anomalie se produit seulement dans l’hypothèse épicyclique.

Cependant, à partir d’une comparaison à long terme des positions observées avec les résultats calculés à partir de la combinaison des deux hypothèses, nous constatons qu’il ne suffira pas de simplement supposer [comme nous l’avons fait jusqu’à présent] que les plans dans lesquels nous décrivons les cercles excentriques sont stationnaires et que la droite qui joint leurs centres et celui de l’écliptique, sur laquelle sont l’apogée et le périgée, reste à distance constante des points tropiques et équinoxiaux ; ni [de supposer] que l’excentrique portant le centre de l’épicycle est identique à l’excentrique par rapport au centre duquel l’épicycle fait sa révolution uniforme vers l’arrière, parcourant des angles égaux en des temps égaux. Nous constatons au contraire que l’apogée de l’excentrique effectue un mouvement lent vers l’arrière [selon l’ordre des signes / vers l’est] par rapport aux tropiques [solstices], qui est uniforme autour du centre de l’écliptique, qui est à peu près le même pour chaque planète que celui de la sphère des étoiles fixes, c’est-⁠à-⁠dire 1° en 100 ans, pour autant qu’on puisse en juger. Nous trouvons aussi que les centres des épicycles sont portés sur des excentriques qui, bien qu’égaux en grandeur à l’excentrique qui produit l’anomalie, ne sont pas décrits autour du même centre que celui-⁠ci ; le centre [du déférent réel] est le point bissecteur de la ligne joignant le centre de l’excentrique produisant l’anomalie au centre de l’écliptique. Pour Mercure, toutefois, le cercle est décrit autour d’un point aussi distant du centre du cercle autour duquel cet astre tourne que l’est ce dernier point de l’apogée du centre de l’excentrique produisant l’anomalie, qui est à la même distance vers l’apogée du point représentant l’observateur ; car nous trouvons, pour cette planète seulement, et comme pour la Lune, que l’excentrique est porté par [le mouvement du] centre mentionné ci-⁠dessus contre l’ordre des signes [vers l’ouest], en sens opposé à l’épicycle, au rythme d’une révolution par an, parce que la planète apparaît deux fois au périgée au cours d’une révolution, tout comme la Lune apparaît deux fois au périgée en un mois [synodique].

6. Du mode et de la différence entre ces hypothèses

Pour faire mieux comprendre en quoi consistent les diverses hypothèses dont nous venons de parler, soit d’abord pour les autres planètes [que Mercure], le cercle excentrique ABG autour du centre D, avec le diamètre ADG passant par D et par le centre de l’écliptique ; sur celui-⁠ci, soit E le centre de l’écliptique, où se trouve l’œil de l’observateur, de sorte que A est l’apogée et G, le périgée. DE est coupé en deux moitiés en Z, et de ce point Z et de rayon DA, traçons un cercle HΘK égal à ABG. Puis, autour de Θ, traçons l’épicycle LM et joignons LΘMD.

Supposons d’abord que le plan des cercles excentriques est incliné sur celui de l’écliptique, et que celui de l’épicycle est incliné sur celui des excentriques, à cause du mouvement en latitude des planètes, conformément à ce que nous démontrerons à ce sujet. Pour les mouvements en longitude, par commodité, imaginons qu’ils se font tous dans le plan de l’écliptique — il n’y aura pas de différence notable en longitude, du moins pour des inclinaisons sont aussi petites que celles que nous démontrerons pour chaque planète. Ensuite, nous disons que tous ces plans  tournent uniformément autour du centre E suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], faisant avancer les apogées et les périgées de 1° en 100 ans, et que le diamètre LΘM de l’épicycle tourne uniformément autour du centre D, aussi suivant l’ordre des signes, à une vitesse correspondant au retour de la planète en longitude, et qu’il emporte avec lui les points L et M de l’épicycle, et le centre Θ de l’épicycle (se déplaçant toujours sur l’excentrique HΘK), de même que la planète elle-même, qui se déplace uniformément sur l’épicycle LM et revenant toujours au même point sur ce diamètre vers le centre D, à une vitesse correspondant à la période moyenne de l’anomalie relative au Soleil [synodique], son mouvement à l’apogée L se faisant suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est].

(Remerciements au Dr. Jean-Pierre Lasota-Hirszowicz, Directeur de Recherche Emérite ; CNRS, Institut d’Astrophysique de Paris, pour m’avoir signalé une erreur dans l’animation ci-⁠dessus.)

Quant aux particularités de l’hypothèse de Mercure, soit d’abord ABG, l’excentrique produisant l’anomalie, autour du centre D, et de diamètre ADEG passant par D, par le centre E de l’écliptique, et par l’apogée A. Sur AG, prenons [le segment] DZ vers l’apogée A, égal à DE. Ensuite, tout le reste demeurant pareil — c’est-⁠à-⁠dire que tout le plan [tourne] autour du centre E, emportant l’apogée dans l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est] de la même quantité que pour les autres planètes, et que l’épicycle tourne uniformément autour du centre D dans l’ordre des signes, comme par la ligne DB, et que la planète se déplace sur l’épicycle comme le font les autres planètes. Ici, le centre de l’autre excentrique, qui est de taille égale à celle du premier et sur lequel se trouve le centre de l’épicycle, est entraîné autour du point Z en sens contraire du mouvement de l’épicycle, c’est-⁠à-⁠dire contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], mais uniformément et avec la même vitesse que l’épicycle, comme par la ligne ZHΘ. Ainsi, en une année, chacune des lignes DB et ZHΘ reviendra une fois au même point de l’écliptique, mais deux fois l’une par rapport à l’autre. Le centre de second excentrique sera toujours à une distance ZH du point Z, égale tant à ED qu’à DZ. Ainsi le petit cercle décrit par son mouvement vers l’ouest, de centre Z et de rayon ZH, est bordé par le centre D du premier excentrique fixe ; mais l’excentrique mobile sera décrit du centre H et de rayon HΘ égal à DA (comme ici ΘK), son centre étant toujours sur cet excentrique mobile, comme ici au point K.

Nous comprendrons encore mieux ces hypothèses par les démonstrations des paramètres particuliers à chaque planète, où nous verrons mieux les motifs qui ont déterminé ces hypothèses.

Il faut toutefois préciser que les périodes longitudinales ne ramènent pas la planète à la même position sur l’écliptique et [en même temps] par rapport à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, à cause du déplacement de position de ces derniers. Ainsi, les mouvements moyens en longitude que nous avons tabulés ci-⁠dessus ne sont pas les retours [des planètes] aux apogées des excentriques, mais ceux définis par rapport aux points tropiques [solsticiaux] et équinoxiaux, sur une année telle que nous l’avons déterminée.

Nous devons donc d’abord prouver que, selon ces hypothèses, pour des distances égales de la planète en longitude moyenne d'un côté ou de l’autre de l’apogée ou du périgée, la différence [équation] d’anomalie écliptique d’un côté est égale à celle de l’autre côté, et que la plus grande élongation sur l’épicycle depuis la position moyenne [d’un côté est égal à celle de l’autre côté].

Soit ABGD, le cercle excentrique qui porte le centre de l’épicycle, avec pour centre E et diamètre AEG, sur lequel nous supposons Z comme centre de l’écliptique et H comme centre de l’excentrique produisant l’anomalie, c’est-⁠à-⁠dire le point autour duquel nous disons que le mouvement uniforme de l’épicycle a lieu. Traçons BHΘ et DHK à distance égale de l’apogée A, de sorte que ∠ AHB = ∠ AHD. Traçons autour des points B et D des épicycles égaux, et joignons BZ et DZ. À partir de Z, l’observateur, traçons ZL et ZM comme tangentes aux épicycles [vers le périgée].

Je dis que les angles de l’équation de l’anomalie écliptique ∠ ZBH = ∠ HDZ et que les plus grandes élongations sur l’épicycle ∠ BZL = ∠ DZM. Ainsi, les inégalités [des plus grandes élongations] résultant de la combinaison [des hypothèses] excentrique et épicyclique seront égales.

Traçons, à partir de B et D, les droites BL et DM perpendiculaires à ZL et ZM, [respectivement], ainsi que, à partir de E, les droites EN et EX perpendiculaires à DK et BΘ [respectivement].

Alors, puisque ∠ XHE = ∠ NHE, que les angles en N et X sont droits, et que EH est commun aux triangles équiangles [NHE et XHE], NH = XH et perpendiculaire EN = perpendiculaire EX. Donc, les droites BΘ et DK sont à égale distance du centre E ; elles sont égales entre elles, et leurs moitiés sont aussi égales entre elles [BX = DN].

Par conséquent, par soustraction [de XH de BX et de NH de DN], BH = DH. Mais HZ est aussi commun [aux triangles BHZ et DHZ] et ∠ BHZ = ∠ DHZ. Donc base BZ = base DZ, et ∠ HBZ = ∠ HDZ. Aussi, BL = DM (rayons de l’épicycle), et les angles en L et en M sont droits. Donc ∠ BZL = ∠ DZM.

Maintenant, pour représenter l’hypothèse de Mercure, soit ABG le diamètre passant par les centres et l’apogée des cercles [excentriques], et soit A le centre de l’écliptique, B le centre de l’excentrique produisant l’anomalie, et G le point autour duquel tourne le centre de l’excentrique qui porte l’épicycle. Traçons, de part et d’autre [de l’apogée], les droites BD et BE, représentant le mouvement uniforme de l’épicycle dans l’ordre des signes [vers l’est], et les droites GZ et GH représentant la révolution de l’excentrique contre l’ordre des signes [vers l’ouest] à vitesse égale [à celle de l’épicycle]. Il est clair que les angles G et B sont égaux, et que BD est parallèle à GZ, et BE à GH. Sur GZ et GH, prenons les centres des excentres [mobiles] en Θ et en K, et faisons passer par les points D et E les excentriques autour de ces centres, sur lesquels nous traçons les épicycles égaux. Joignons AD et AE, et traçons AL et AM tangentes aux épicycles.

Nous devons maintenant prouver que, dans cette situation aussi, les angles de l’équation d’anomalie écliptique ∠ ADB = ∠ AEB, et que les angles de plus grande élongation sur l’épicycle ∠ DAL = ∠ EAM.

Joigons BΘ, BK, ΘD, et KE, et traçons, à partir de G, les droites GN et GX perpendiculaires à BD et BE [respectivement] ; et à partir de D et E, les droites DZ et EH perpendiculaires à GZ et GH ainsi que les droites DL et EM perpendiculaires à AL et AM. Puisque ∠ GBN = ∠ GBX [par hypothèse], que les angles en N et X sont droits, et que la droite GB est commune [aux triangles GBN et GBX], les droites GN = GX et DZ = EH. Aussi, ΘD = KE et les angles en Z et H sont droits, donc ∠ DΘZ = ∠ EKH ; aussi, parce que [dans les triangles GΘB et GKB] ΘG = GK (par hypothèse), que GB est commun, et que ∠ ΘGB = ∠ KGB, alors ∠ GΘB = ∠ GKB. Donc, les angles restants [par soustraction] ∠ BΘD = ∠ BKE, et base BD = base BE. Aussi, [dans les triangles BAD et BAE] BA est commun et ∠ DBA = ∠ EBA [par hypothèse], alors base AD = base AE et ∠ ADB = ∠ AEB. Par le même raisonnement, puisque DL = EM [rayons de l’épicycle] et que les angles en L et M sont droits, ∠ DAL = ∠ EAM.

7. Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure

Maintenant que cette théorie est étable, nous allons d’abord chercher dans quelle partie du cercle mitoyen du zodiaque [l’écliptique] se trouve l’apogée de Mercure, de la méthode suivante. Nous avons rassemblé les observations des plus grandes élongations dans lesquelles la distance de [Mercure] au Soleil en tant qu’[étoile du] matin [ἑῶοι] est égale à sa distance en tant qu’[étoile du] soir [ἑσπερίαις] ; car cela étant trouvé, nos démonstrations [ci-⁠dessus] impliquent que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre ces deux élongations soit l’apogée de l’excentrique. Il est vrai que les observations que nous avons choisies sont peu nombreuses, puisque celles où cette égalité se produit sont rares — mais elles suffisent à nos besoins. Les plus récentes d’entre elles sont les suivantes.

Nous avons observé, la seizième année d’Hadrien, le soir du 16 au 17 du mois égyptien de phaminoth [2/3 février 132], au moyen de l’astrolabe, Mercure à son plus grand écart de longitude moyenne [par rapport] au Soleil. Comparée à l’étoile brillante des Hyades, elle avait alors une longitude de 1° des Poissons. À ce moment, la longitude moyenne du Soleil était de 9⁠3⁄4° du Verseau. La plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était donc de 21⁠1⁄4°.

Dans la dix-huitième année d’Hadrien, le matin du 18 au 19 du mois égyptien d’epiphi [3/4 juin 134], à l’aube, Mercure était à sa plus grande élongation, apparaissant très petite et faible. Par rapport à l’étoile brillante des Hyades, elle était à 18⁠3⁄4° du Taureau. À ce moment, le Soleil moyen était à 10° des Gémeaux. Ici aussi, donc, la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du matin était des mêmes 21⁠1⁄4°.

Ainsi, puisque la position moyenne de la planète était de 9⁠3⁄4° du Verseau dans une de ces observations, et de 10° des Gémeaux dans l’autre, et que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre les deux est à 10° moins 1⁄8° [9⁠7⁄8°] du Bélier, le diamètre passant par l’apogée doit alors se situer dans cette position [soit 9° 52′ 30″ du Bélier].

Aussi, la première année d’Antonin, le soir du 20 au 21 du mois égyptien d’epiphi [4/5 juin 138], nous avons observé Mercure au moyen de l’astrolabe à sa plus grande distance de la longitude moyenne du Soleil. Comparé à l’étoile au cœur du Lion, nous avons vu qu’elle était à 7° du Cancer. Mais à ce moment, le Soleil moyen était à 10⁠1⁄2° des Gémeaux. Par conséquent, la plus grande élongation [de Mercure] en tant qu’étoile du soir était de 26⁠1⁄2° .

De même, dans la quatrième année d’Antonin, à l’aube du 18 au 19 du mois égyptien de phaminoth [1/2 février 141], [Mercure a été observé], à sa plus grande élongation ; comparée à l’étoile appelée Antarès, elle était à 13⁠1⁄2° du Capricorne, alors que le Soleil moyen était à 10° du Verseau. La plus grande élongation par rapport à la moyenne de l’étoile du matin était alors aussi de 26⁠1⁄2° .

Ainsi, puisque la position moyenne de la planète était de 10⁠1⁄2° des Gémeaux dans une de ces observations et de 10° du Verseau dans l’autre, et que le point de l’écliptique à mi-⁠chemin entre les deux est à 10⁠1⁄4° de la Balance, le diamètre passant par l’apogée devait alors se trouver dans cette position.

Par ces observations, nous trouvons donc que l’apogée est à environ 10° du Bélier ou de la Balance ; mais d’après les anciennes observations des plus grandes élongations, il tombait à environ 6° des mêmes signes, comme nous pouvons le calculer à partir de ce qui suit.

Dans la 23^e année du calendrier de Dionysius, à l’aube du 21 d’hydron , Stilbon [Mercure] était à 3 lunes au nord de l’étoile brillante de la queue du Capricorne. À ce moment, cette étoile, selon l’origine [de nos coordonnées], soit celle commençant par les points solsticiaux ou équinoxiaux, avait une position de 22⁠1⁄3° du Capricorne, tout comme Mercure, et le Soleil moyen était à 18⁠1⁄6° du Verseau ; cette date correspond au matin du 17 au 18 du mois égyptien de khoiak de la 486^e année de Nabonassar [11/12 février −261]. La plus grande élongation par rapport à la moyenne [de Mercure] en tant qu’étoile du matin était donc de 25⁠5⁄6°.

Nous n’avons pas trouvé, dans les observations qui nous sont parvenues, de plus grande élongation à la moyenne comme étoile du soir qui soit exactement égale à cela, mais nous avons calculé la [position à une élongation] égale au moyen de deux observations très rapprochées [de la situation requise], de la manière suivante.

Dans la même 23^e année du calendrier de Dionysius, le soir du 4 tauron, [Mercure] était à 3 lunes derrière [à l’est de] la ligne droite passant par les cornes du Taureau [β Tau et ζ Tau] ; elle semblait [aussi] être à plus de 3 lunes au sud de l’étoile commune [au Cocher et au Taureau]. Elle était donc, à compter de notre point de départ, à 23⁠2⁄3° du Taureau. Cette observation a été faite dans la 486^e année de Nabonassar, le soir du 30 méchir au 1^er phaminoth du calendrier égyptien [25/26 avril −261] . À ce moment, la longitude moyenne du Soleil était de 29⁠1⁄2° du Bélier ; la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était donc de 24⁠1⁄6°.

Dans la 28^e année de Dionysius, le soir du 7 didymon, [Mercure] était en ligne droite avec les têtes des Gémeaux, et était au sud de la plus au sud, par 1⁄3 de Lune moins de deux fois la distance entre les têtes. Selon nos coordonnées, Mercure était donc alors à 29⁠1⁄3° des Gémeaux. Ce moment était dans la 491^e année de Nabonassar, le soir du 5 au 6 du mois égyptien de pharmouthi [28/29 mai −256] ; la longitude moyenne du Soleil était alors de 2⁠5⁄6° des Gémeaux. [La plus grande] élongation était donc de 26⁠1⁄2°.

Or, quand la position moyenne était de 29⁠1⁄2° du Bélier, la plus grande élongation était de 24⁠1⁄6°, et quand la position moyenne était de 2⁠5⁄6° des Gémeaux, la plus grande élongation était de 26⁠1⁄2° ; mais la [plus grande élongation] en tant qu’étoile du matin, dont nous recherchions [la plus grande élongation en tant qu’étoile du soir] opposée, était de 25⁠5⁄6°. Nous avons donc cherché l’emplacement de la position moyenne pour une [plus grande] élongation du soir de 25⁠5⁄6°, à partir de la différence entre les deux observations ci-⁠dessus  : la différence entre les positions moyennes aux deux observations est de 33⁠1⁄3°, et celle entre les plus grandes élongations de 2⁠1⁄3° ; ainsi, à 1⁠2⁄3° (qui est l’excès de 25⁠5⁄6° sur 24⁠1⁄6°) correspondent approximativement 24°. Si nous ajoutons cela aux 29⁠1⁄2° du Bélier, nous obtenons la position moyenne où la plus grande élongation du soir est égale à celle du matin (de 25⁠5⁄6°), soit 23⁠1⁄2° du Taureau. Et le point à mi-⁠chemin entre 18⁠1⁄6° du Verseau et 23⁠1⁄2° du Taureau est à 5⁠5⁄6° du Bélier.

Dans la 24^e année du calendrier de Dionysius, le soir du 28 léonton, [Mercure] était à un peu plus de 3° en avance sur [à l’ouest de] Spica, selon le calcul d’Hipparque. Ainsi, sa longitude à ce moment était de 19⁠1⁄2° de la Vierge à partir de notre point de départ. Ce moment était dans la 486^e année de Nabonassar, le soir du 30 payni du calendrier égyptien [23 août −261], moment auquel la longitude moyenne du Soleil était de 27⁠5⁄6° du Lion. Ainsi, la plus grande élongation par rapport à la moyenne en tant qu’étoile du soir était de 21⁠2⁄3°. Nous avons calculé [la position de] l’élongation du matin correspondant précisément à celle-⁠ci à partir de deux des [observations] disponibles.

Dans la 75^e année du calendrier chaldéen, à l’aube du 14 dios , à l’aube, [Mercure] était une demi-⁠coudée [≈ 1°] au-⁠dessus [de l’étoile] du plateau sud [de la Balance] ; c’était donc à 14⁠1⁄6° de la Balance, relativement à notre point de départ. Ce moment était dans la 512^e année de Nabonassar, à l’aube du 9 au 10 thout du calendrier égyptien [29/30 octobre −236] ; la longitude moyenne du Soleil était de 5⁠1⁄6° du Scorpion. Par conséquent, la plus grande élongation matinale était donc de 21°.

Dans la 67^e année des chaldéens, à l’aube du 5 apellaios, [Mercure] était une demi-⁠coudée [≈ 1°] au-⁠dessus de l’[étoile du] front nord du Scorpion. Elle était donc à 2⁠1⁄3° du Scorpion, selon notre système. Ce moment était dans la 504^e année de Nabonassar, au matin du 27 au 28 thout du calendrier égyptien [18/19 novembre −244] ; la longitude moyenne du Soleil était de 24⁠5⁄6° du Scorpion. [La plus grande] élongation [du matin] était donc de 22°1⁄2.

Dans ces deux observations, donc, puisque la différence entre les deux positions moyennes était de 19⁠2⁄3° et que la différence entre les plus grandes élongations était de 1⁠1⁄2°, il s’ensuit que 2⁄3° (qui est l’excès des 21⁠2⁄3° de l’élongation requise sur les 21° de la moindre [des deux]) correspond à environ 9°. Si nous ajoutons cela à 5⁠1⁄6° du Scorpion, nous obtenons la position moyenne à laquelle la plus grand élongation du matin devient égale à celle du soir (soit 21⁠2⁄3°) : ce point est à 14⁠1⁄6° du Scorpion. Le point à mi-⁠chemin entre 27⁠5⁄6° du Lion et 14⁠1⁄6° du Scorpion est à 6° de la Balance, [le même que précédemment].

D’après ces observations, et aussi des calculs semblables faits pour les autres planètes, nous trouvons que les diamètres passant par les apogées et les périgées des cinq planètes  se déplacent suivant l’ordre des signes [vers l’est] autour du centre de l’écliptique, et que ce déplacement se fait au même rythme que celui de la sphère des étoiles fixes, car cette dernière se déplace d’environ 1° en 100 ans, comme nous l’avons démontré, et que l’intervalle depuis les observations anciennes, dans lesquelles l’apogée de Mercure était d’environ le sixième degré [des signes en question], jusqu’au temps de nos observations, où il s’est déplacé d’environ 4° (puisqu’il occupe [maintenant] le dixième degré), comprend environ 400 ans.

8. Du double périgée de Mercure

Suivant ce qui précède, nous avons cherché la taille des plus grandes élongations qui se produisent lorsque la longitude moyenne du Soleil est à l’apogée, et [de même] lorsqu’elle est diamétralement opposée [à ce point]. Nous les avons pas obtenues des observations anciennes, mais par celles que nous avons faites avec l’astrolabe. Car c’est dans cette situation que l’on peut le mieux apprécier l’utilité d’une telle observation, puisque, même si les étoiles visibles ne sont pas proches de la planète observée (ce qui est généralement le cas de Mercure, puisque, pour la plupart des étoiles fixes, il est rare qu’elles soient visibles lorsque si proches du Soleil que Mercure), on peut encore déterminer avec précision les positions de la planète en question en latitude et longitude, en visant des étoiles qui sont à une distance plus grande.

Dans la 19^e année d’Hadrien, à l’aube du 14 au 15 du mois égyptien d’athyr [2/3 octobre 134], à l’aube, Mercure, voisine de sa plus grande élongation, a été comparée [en termes de position] à l’étoile du cœur du Lion, et nous avons trouvé qu’elle avait une longitude de 20⁠1⁄5° de la Vierge. Le Soleil moyen était à environ 9⁠1⁄4° de la Balance, la plus grande élongation était donc de 19⁠1⁄20°.

La même année, dans la soirée du 19 de pachon [5 avril 135], [Mercure] était de nouveau voisine de sa plus grande élongation. Comparée à l’étoile brillante des Hyades, nous lui avons trouvé une longitude de 4⁠1⁄3° du Taureau. Le Soleil moyen avait une longitude de 11⁠1⁄12° du Bélier. Ainsi, la plus grande élongation était à 23⁠1⁄4°, et il est clair que l’apogée de l’excentrique est en Balance et non en Bélier.

Avec ces données, soit ABG le diamètre passant par l’apogée, B le centre de l’écliptique (où se trouve l’observateur), A le point à 10° de la Balance, et G le point à 10° du Bélier. Traçons des épicycles égaux autour des points A et G porteurs [respectivement] des points D et E, et traçons à partir de B des tangentes à [ces points], soit BD et BE. Traçons aussi les perpendiculaires AD et GE des centres [A et E] aux points de tangence [D et G].

Maintenant, puisque la plus grande élongation matinale dans la Balance était à 19⁠1⁄20°, ∠ ABD = 19° 03′ où quatre angles droits font 360°, ou 38;06^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ABD, arc AD = 38° 06′ et sa corde, AD ≈ 39;09^p où l’hypoténuse AB = 120^p. Et puisque la plus grande élongation vespérale [du soir] dans le Bélier a été observée à 23⁠1⁄4°, ∠ GBE = 23° 15′ où quatre angles droits font 360°, ou 46;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GBE, arc GE = 46° 30′ et sa corde, GE = 47;22^p où l’hypoténuse BG = 120^p. Donc, où GE = 39;09^p et AB = 120^p (pour AD = GE, les rayons de l’épicycle), BG = 99;09^p et, par addition [de AB à BG], ABG = 219;09^p.

Donc en la coupant en deux parties égales au point Z, sa moitié AZ = 109;34^p et la distance entre les points B et Z = 10;25^p dans les mêmes unités.

Or il est clair que, soit le point Z est le centre de l’excentrique sur lequel se trouve toujours le centre de l’épicycle, soit le centre de cet excentrique se déplace autour du point Z ; car ce n’est qu’ainsi que le centre de l’épicycle pourrait être équidistant de Z dans les deux situations diamétralement opposées ci-⁠dessus, comme nous l’avons démontré. Mais si Z était le centre réel de l’excentrique sur lequel le centre de l’épicycle était toujours situé, cet excentrique serait stationnaire, et la position dans le Bélier serait la plus proche de la Terre [le périgée], puisque BG est la plus courte des lignes tracées de B au cercle décrit au centre Z. Cependant, nous constatons que la position dans le Bélier n’est pas la plus proche de la Terre, mais que les positions dans les Gémeaux et le Verseau sont encore plus proches de la Terre — et presque égales entre elles. Il est donc clair que le centre de l’excentrique en question tourne autour du point Z, en sens inverse de la révolution de l’épicycle (c’est-⁠à-⁠dire contre l’ordre des signes [vers l’ouest]), faisant lui aussi une révolution en un tour [de l’épicycle]. Car ainsi, le centre de l’épicycle sera deux fois au périgée par révolution.

Que l’épicycle soit plus proche de la Terre dans les Gémeaux et le Verseau que dans le Bélier est clairement une conséquence immédiate des observations susmentionnées. Car dans l’observation de la 16^e année d’Hadrien, le 16 phaminoth, la plus grande élongation vespérale était de 21⁠1⁄4°, et dans l’observation de la 4^e année d’Antonin, le 19 phaminoth, la plus grande élongation matinale était de 26⁠1⁄2°, tandis que dans les deux observations, le Soleil moyen était proche de 10° du Verseau. Et dans l’observation de la 18^e année d’Hadrien, le 19 epiphi, la plus grande élongation matinale était de 21⁠1⁄4°, et dans l’observation de la 1^re année d’Antonin, le 20 epiphi, la plus grande élongation vespérale était de 26⁠1⁄2°, le Soleil moyen dans ces deux observations étant proche de 10° des Gémeaux. Ainsi, la somme des plus grandes élongations opposées dans le Verseau que dans les Gémeaux est de 47⁠3⁄4°, tandis que la somme des deux élongations du Bélier est [seulement] de 46⁠1⁄2°, puisque l’élongation du soir (qui est égale à l’élongation du matin) a été observée à 23⁠1⁄4°.

9. Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure

Après avoir décrit ces principes, il nous reste à démontrer la position du point, sur la ligne AB, autour duquel s’effectue la révolution annuelle de l’épicycle, suivant l’ordre des signes [vers l’est] en mouvement uniforme, et la distance de Z au centre de cet excentrique qui fait sa révolution dans la même période [que l’épicycle] contre l’ordre des signes [vers l’ouest]. Pour trouver cela, nous avons utilisé deux observations des plus grandes élongations, une matinale et l’autre vespérale, dans lesquelles la position moyenne était à un quadrant de l’apogée — cas dans lequel, environ, la plus grande équation d’anomalie écliptique se produit.

Dans la 14^e année d’Hadrien, le soir du 18 mésori du calendrier égyptien [4 juillet 130], selon les observations que nous avons reçues de Théon , il dit que [Mercure] était à sa plus grande élongation du Soleil, à 3⁠5⁄6° derrière [à l’est de] l’étoile du cœur du Lion. Selon nos coordonnées, sa longitude était donc d’environ 6⁠1⁄3° du Lion, tandis que la longitude du Soleil moyen était alors d’environ 10⁠1⁄12° du Cancer. Ainsi, la plus grande élongation du soir était de 26⁠1⁄4°.

La 2^e année d’Antonin, à l’aube du 20 au 21 mésori  du calendrier égyptien [4/5 juillet 139], nous avons observé sa plus grande distance au moyen de l’astrolabe : en la comparant à l’étoile brillante des Hyades, nous avons trouvé sa longitude comme étant de 20⁠1⁄12° des Gémeaux. Le Soleil moyen était alors à environ 10⁠1⁄3° du Cancer. Ainsi, la plus grande élongation matinale était de 20⁠1⁄4°.

Avec ces données, soit AZBG comme diamètre passant par 10° de la Balance et 10° du Bélier, et, comme dans la figure précédente, supposons que A est point où se trouve le centre de l’épicycle lorsque sa longitude est de 10° de la Balance et G est le point où il est lorsque sa longitude est de 10° du Bélier, B est le centre de l’écliptique, et Z est le point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’ouest].

Proposons-nous d’abord de trouver la distance au point B du centre autour duquel nous disons que se fait le mouvement uniforme de l’épicycle selon l’ordre des signes [vers l’est].

Supposons que ce centre soit H. Traçons depuis H une droite perpendiculaire à AG, de sorte que sa distance [angulaire] à l’apogée soit un quart de cercle [90°]. Sur cette ligne, prenons le centre Θ de l’épicycle correspondant aux observations ci-⁠dessus — puisque, dans celles-⁠ci, la longitude moyenne du Soleil était à un quart de cercle de l’apogée, étant proche de 10° du Cancer). Traçons l’épicycle KL avec pour centre Θ, de même que les tangentes BK et BL à partir de B. Joignons ΘK, ΘL, et BΘ.

Puisque, relativement à la position moyenne en question, la plus grande élongation matinale est de 20⁠1⁄4° [par hypothèse], et que la plus grande élongation du soir est de 26⁠1⁄4°, ∠ KBL = [20⁠1⁄4° + 26⁠1⁄4° =] 46° 30′ où quatre angles droits font 360°. Donc sa moitié, ∠ KBΘ = 46;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BΘK, l’arc ΘK = 46° 30′ et sa corde ΘK = 47;22^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc où le rayon de l’épicycle ΘK = 39;09^p et, comme nous l’avons démontré, BZ = 10;25^p, BΘ = 99;09^p.

De plus, la différence entre les plus grandes élongations ci-⁠dessus, qui est de 6°, correspond à deux fois l’équation de l’anomalie écliptique, représentée par ∠ BΘH, comme nous l’avons démontré. Donc, ∠ BΘH = 3° où quatre angles droits font 360°, ou 6^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle BHΘ, arc BH = 6° et BH = 6;17^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc, où BΘ = 99;09^p et BZ = 10;25^p, BH = 5;12^p. Par conséquent, BH est approximativement la moitié de BZ, et BH ≈ HZ ≈ 5;12^p où le rayon de l’épicycle est 39;9^p.

Maintenant, dans la même figure, traçons depuis Z la droite ZMN perpendiculaire à AG, mais du côté opposé à HΘ. Parce que les lignes HΘ et ZN revenant en temps égaux à leur position d’origine, mais en sens opposés, le centre de l’excentrique porteur du centre Θ de l’épicycle se trouvera sur ZMN à ce moment. Supposons que ZN est égal à ZA, de sorte que chacune est la somme du rayon de l’excentrique et de la distance entre le centre de l’excentrique et le point Z. Prenons [au hasard] sur ZN  le centre de l’excentrique, M, et joignons ZΘ.

Puisque ∠ MZH est droit et que ∠ ΘZH est pratiquement un angle droit, donc NZΘ est pratiquement une droite ; et il a été démontré que, où le rayon de l’épicycle est de 39;09^p, NZ = AZ = 109;34^p et ZΘ = BΘ = 99;09^p. Donc, [par addition,] la ligne entière NZΘ = 208;43^p et sa moitié, (le rayon de l’excentrique) NM ≈ 104;22^p ; [par soustraction de NM de NZ,] la distance restante entre les centres ZM = 5;12^p. Or, nous avons montré que BH = HZ = 5;12^p. Nous en avons conclu que, où le rayon de l’excentrique est de 104;22^p, chacune des droites entre les centres [BH, HZ, et ZM] mesure 5;12^p et [que] le rayon de l’épicycle est de 39;09^p. Donc, où le rayon de l’excentrique est de 60^p, chacune des droites entre les centres mesure 3;00^p et le rayon de l’épicycle mesure 22;30^p.

Partant de cela, les plus grandes élongations [calculées] aux périgées sont en accord avec celles observés — quand la position moyenne est à 10° du Verseau ou 10° des Gémeaux, et que la distance à l’apogée est égale à l’angle sous-⁠tendu par le côté du triangle [inscrit] [120°], l’angle sous-⁠tendu à l’œil par l’épicycle est d’environ 47⁠3⁄4° —, comme nous allons le démontrer.

Soit le diamètre ABGDE passant par l’apogée, où A est pris comme apogée, B comme point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], G comme point autour duquel le centre de l’épicycle tourne [uniformément] suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], et D comme centre de l’écliptique. Supposons que chacun des mouvements [ci-⁠dessus] ait couvert le côté du triangle [inscrit] [120°] (effectué uniformément et à vitesse égale autour de son propre centre) à partir de l’apogée A sur les côtés opposés de celui-⁠ci. Supposons que la droite faisant tourner l’épicycle soit GZ, que celle faisant tourner le centre de l’excentrique soit BH, et que le centre de l’excentrique soit H et le centre de l’épicycle, Z. Autour de ce dernier, traçons l’épicycle de même que ses tangentes DΘ et DK ; joignons GH, DZ, ZΘ, et ZK ; et à partir de D, traçons la droite DL perpendiculaire à GZ.

Nous devons démontrer que ∠ ΘDK = 47⁠1⁄4° où quatre angles droits font 360°. Maintenant, ∠ ABH et ∠ AGL sous-⁠tendent le côté d’un triangle [inscrit] et sont égaux à 120° où deux angles droits font 180° ; donc, ∠ GBH = ∠ DGL = 60° et ∠ BHG = ∠ BGH (puisque BG = BH, par hypothèse) ; aussi, ∠ BHG + ∠ BGH = 120° [étant le supplément de ∠ GBH = 60°], alors ∠ BHG = ∠ BGH = 60°. Le triangle BGH est donc équiangle et équilatéral. De plus, ∠ DGL = ∠ BGH ; donc les points H, G, et Z sont sur une droite ; ainsi le rayon de l’excentrique HZ = 60^p où GH = GD = 3^p, la distance entre les centres. Par conséquent, [par soustraction de GH de HZ,] le reste GZ = 57^p des mêmes unités.

En outre, puisque ∠ DGL = 60° où quatre angles droits font 360°, ou 120^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDL, l’arc DL = 120° et l’arc restant GL = 60° [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DL = 103;55^p et GL = 60^p où l’hypoténuse GD = 120^p. Donc, où DG = 3^p et GZ = 57^p, DL = 2;36^p et GL = 1;30^p ; donc le reste [par soustraction de GL de GZ] LZ = 55;30^p. Or, puisque LZ² + DL² = DZ², DZ = 55;34^p où le rayon de l’épicycle (chacune des droites ZΘ et ZK) = 22;30^p, par hypothèse. Donc, où l’hypoténuse DZ = 120^p, ΘZ = ZK = 48;35^p; et ∠ ZDΘ = ∠ ZDK = 47;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, l’angle entier [par addition de ∠ ZDΘ à ∠ ZDK,] ∠ ΘDK = 47° 46′ où quatre angles droits font 360°.

10. De la correction des mouvements périodiques de Mercure

Ce qui précède nous amène à établir les mouvements périodiques de Mercure et leur époque . Nous pouvons connaître ceux-⁠ci pour la longitude, c’est-⁠à-⁠dire pour le mouvement uniforme de l’épicycle autour du point G, à partir de ceux du Soleil. Quant à ceux [mouvement et époque] en anomalie, c’est-⁠à-⁠dire ceux de la planète sur l’épicycle autour du centre de l’épicycle, nous l’avons dérivé de deux observations sures : une parmi celles que nous avons faites et enregistrées, l’autre parmi les anciennes observations.

Nous avons observé Mercure dans la 2^e année d’Antonin (soit la 886^e année depuis Nabonassar), le soir du 2 au 3 epiphi du calendrier égyptien [17/18 mai 139], au moyen de l’astrolabe. Elle n’était pas encore à sa plus grande élongation vespérale. Mesurée par rapport à l’étoile du cœur du Lion, elle était à une longitude de 17⁠1⁄2° des Gémeaux ; à ce moment-là, elle était aussi à 1⁠1⁄6° en arrière [à l’est] du centre de la Lune. Il était à Alexandrie 4⁠1⁄2 heures équinoxiales avant minuit du [2 au] 3 [epiphi], puisque l’astrolabe indiquait que le 12^e degré de la Vierge [soit l’intervalle 11°–12°] était au méridien [supérieur], tandis que le Soleil était à environ 23° du Taureau. À cet instant, les positions selon les hypothèses que nous avons démontrées étaient les suivantes :

Par conséquent, Mercure, puisqu’elle était à 1⁠1⁄6° derrière [à l’est] du centre de la Lune, était à 17⁠1⁄2° des Gémeaux.

Avec ces données, soit ABGDE le diamètre passant par l’apogée et le périgée, sur lequel A est l’apogée, B le point autour duquel le centre de l’excentrique tourne contre l’ordre des signes [vers l’avant / l’ouest], G le point autour duquel le centre de l’épicycle tourne suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / l’est], et D le centre de l’écliptique. Soit aussi Z le centre de l’épicycle, porté par la droite GZ autour du point G, de l’angle AGZ, et H le centre de l’excentrique porté par la droite BH autour du point B, de l’angle ABH, qui est toujours égal à ∠ AGZ en raison de l’égale vitesse [ἰσοχρόνιον ; isochronisme] des mouvements. Traçons l’épicycle ΘKL autour du centre Z, et supposons la planète en L. Joignons GH, HZ, DZ, ZL et DL, prolongeons GZΘ, et traçons, à partir de H et D, les droites HM et DN perpendiculaires à GZΘ et, à partir de Z, la droite ZX perpendiculaire à DL. Nous nous proposons de trouver l’arc de l’épicycle entre Θ, l’apogée [de l’épicycle], et la planète en L.

À ce moment, la longitude du Soleil moyen était de 22° 34′ du Taureau, et le périgée de la planète était à environ 10° du Bélier ; ainsi, sa longitude moyenne au périgée était de 42° 34′. Donc, ∠ GBH = 42° 34′ où quatre angles droits font 360°, ou 85;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais puisque, dans tous les cas, BG = BH, alors ∠ BHG = ∠ BGH = 137;26^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit au triangle BGH, arc HG = 85° 08′ et arc BG = 137° 26′. Donc, les cordes correspondantes GH = 81;10^p et BG = 111;49^p où le diamètre du cercle est 120^p. Donc où BG = 3^p, GH = 2;11^p.

De plus, puisque ∠ BGH = 137;26^ꝏ et ∠ BGM = 85;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, l’angle restant, [par soustraction,] ∠ HGM = 52;18^ꝏ des mêmes unités. Donc dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GHM, arc HM = 52° 18′ et l’arc restant GM = 127° 42′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes HM = 52;53^p et GM = 107;43^p où l’hypoténuse GH = 120^p. Par conséquent, où GH = 2;11^p et où le rayon de l’excentrique portant l’épicycle, HZ = 60^p, HM = 0;58^p et GM = 1;58^p. Par conséquent, MZ, étant de très peu plus courte que HZ, l’hypoténuse [du triangle HMZ], est la même, soit 60^p, et [par soustraction de GM de MZ] sa partie GZ = 58;02^p.

De même, puisque ∠ DGN = 85;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDN, arc DN = 85° 08′ et arc GN = 94° 52′ restants [le supplément]. Donc, les cordes correspondantes DN = 81;10^p et GN = 88;23^p où l’hypoténuse GD = 120^p. Donc où GD = 3^p et, tel que démontré, GZ = 58;02^p, DN = 2;02^p et GN = 2;13^p, et le restant [par soustraction de GN de GZ], NZ = 55;49^p. D’où l’hypoténuse DZ [= √(DN² + NZ²)] ≈ 55;51² où le rayon de l’épicycle = 22;30^p. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZN, où l’hypoténuse DZ = 120^p, DN = 4;22^p et l’arc DN = 4° 11′. Donc ∠ DZN = 4;11^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et l’angle entier [par addition de ∠ DZN et ∠ DGN] ∠ EDZ = 89;19^ꝏ. Or, l’angle entier EDL = 135^ꝏ des mêmes unités, puisque la planète semblait être à 67° 30′ du périgée. Donc, [par soustraction de ∠ EDZ de ∠ EDL], l’angle restant ∠ ZDL = 45;41^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZX, l’arc ZX = 45° 41′ et ZX = 46;35^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc, où l’hypoténuse DZ = 55;51^p et le rayon de l’épicycle ZL = 22;30^p, ZX = 21;41^p. Or, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZLX, où l’hypoténuse ZL = 120^p, ZX = 115;39^p. Donc, arc ZX = 149° 02′ et ∠ ZLX = 149;02^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons démontré que ∠ ZDL = 45;41^ꝏ dans les mêmes unités, [donc ∠ LZK = ∠ ZLX + ∠ ZDL = 194;43^ꝏ] et ∠ ΘZK [= ∠ DZN] = 4;11^ꝏ ; ainsi, [par addition [de ∠ ΘZK + ∠ LZK], l’angle entier ∠ ΘZL = 198;54^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 99° 27′ où quatre angles droits font 360°. Par conséquent, l’arc ΘKL de l’épicycle, qui était la distance de la planète Mercure à l’apogée Θ lors de l’observation, était de 99° 27′.

Dans la 21^e année du calendrier de Dionysius, qui était la 484^e année depuis Nabonassar, le 22 skorpion, ou le 18/19 thout du calendrier égyptien [14/15 novembre −264], Stilbon [Mercure] [comme étoile du] matin était à une [largeur de] lune à l’arrière [à l’est] de la ligne droite passant par l’[étoile du] nord du front du Scorpion et par celle du milieu [du front], et était à 2 lunes au nord de celle du front. Maintenant, selon nos coordonnées, la plus médiane des étoiles du front du Scorpion avait une longitude de 1⁠2⁄3° du Scorpion, et était à la même distance [1⁠2⁄3°] au sud de l’écliptique, tandis que [l’étoile] la plus au nord avait une longitude de 2⁠1⁄3° du Scorpion et se trouvait à 1⁠1⁄3° au nord de l’écliptique. Ainsi, Mercure avait une longitude d’environ 3⁠1⁄3° du Scorpion. Il est clair qu’elle n’était pas encore à sa plus grande élongation matinale, puisque 4 jours plus tard, le 26 skorpion, il est rapporté que sa distance de la même ligne droite vers l’arrière [l’est] était de 1⁠1⁄2 lunes — puisqu [à ce moment-⁠là] l’élongation était devenue plus grande, le Soleil s’étant déplacé d’environ 4°, mais la planète de [seulement] une demi-lune. Et le 19 thout à l’aube, la longitude du Soleil moyen, selon nos tableaux, était de 20⁠5⁄6° du Scorpion, tandis que la longitude de l’apogée de la planète était d’environ 6° de la Balance, puisque les quelque 400 années entre les observations produisent un déplacement de l’apogée d’environ 4°.

Avec ces données, traçons donc un diagramme similaire au précédent, mais dans lequel, en raison de la différence des positions, les angles vers l’apogée A [∠ AGZ et ∠ ABH] doivent être dessinés comme aigus ; les droites joignant la planète [ZL et DL] sont en avant [à l’ouest] [du centre] de l’épicycle ; et la perpendiculaire ZX passe au-⁠delà de ZL, le rayon de l’épicycle [à la planète].

Alors, puisque la position moyenne de la planète était de [20⁠5⁄6° du Scorpion moins 6° de la Balance =] 44° 50′ de l’apogée, ∠ ARH = 44° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 89;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc son supplément ∠ GBH = 270;20^ꝏ et ∠ BGH = ∠ BHG = 44;50^ꝏ des mêmes unités. De même, dans le cercle circonscrit au triangle BGH, les cordes correspondantes GH = 84;36^p et BG = BH = 45;46^p où le diamètre est 120^p. Donc où BG = BH = 3^p, GH = 5;33^p. De plus, puisque nous supposons que ∠ AGZ = 89;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et ∠ BGH = 44;50^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle entier [par addition] ∠ ZGH = 134;30^ꝏ et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GHM, arc HM = 134° 30′ et le reste, arc GM = 45° 30′ [son supplément]. Donc les cordes correspondantes MH = 110;40^p et GM = 46;24^p où l’hypoténuse GH = 120^p. Donc où GH = 5;33^p (c’est-⁠à-⁠dire où le rayon de l’excentrique, ZH = 60^p), HM = 5;07^p et GM = 2;10^p. Donc ZM [= √ZH² − HM²] = 59;47^p et, par addition [de MG à ZM], ZMG = 61;57^p des mêmes unités.

De même, puisque ∠ DGN [= ∠ AGZ] = 89;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle GDN, l’arc DN = 89° 40′ et l’arc restant GN = 90° 20′ [son supplément]. Donc, les cordes correspondantes DN = 84;36^p et GN = 85;06^p où l’hypoténuse GD = 120^p. Donc où GD = 3^p, DN = 2;07^p et GN = 2;08^p et la droite entière [par addition de ZG à GN] ZGN = 64;05^p ; ainsi, l’hypoténuse ZD = √ZN² + DN²] = 64;07 des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZDX, où ZD = 120^p, DN = 3;58^p et l’arc DN = 3° 48′. Donc ∠ DZN = 3;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et le reste [par soustraction de ∠ DZN de ∠ AGZ], ∠ ADZ = 85;52^ꝏ des mêmes unités. Mais ∠ ADL est [par hypothèse] de 54;40^ꝏ des mêmes unités — puisque la planète a été observée à [3⁠1⁄3° du Scorpion moins 6° de la Balance =] 27° 20′ de l’apogée — de sorte que l’angle restant [par soustraction] ∠ ZDL = 31;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZDX, l’arc ZX = 31° 12′ et ZX = 32;16^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 64;07^p (donc où le rayon de l’épicycle ZL = 22;30^p), XZ = 17;15^p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZLX, où l’hypoténuse ZL = 120^p, ZX ≈ 92^p. Donc l’arc ZX = 100° 08′, et ∠ ZLX = 100;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Et nous avons montré que, des mêmes unités, ∠ ZDL = 31;12^ꝏ, [donc ∠ ΘZL = ∠ ZLX − ∠ ZDL = 68;56^ꝏ] et que ∠ ΘZK = 3;48^ꝏ. Ainsi, l’angle restant [par soustraction de ∠ ΘZK de ∠ ΘZL] ∠ KZL = 65;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 32° 34′ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi donc, lors de cette observation, la planète était à 32° 34′ du périgée de l’épicycle K, donc à 212° 34′ de l’apogée. Mais nous avons montré qu’au moment de l’observation, elle était à 99° 27′ de l’apogée de l’épicycle, et l’intervalle entre les deux observations est d’environ 402 années égyptiennes, 283 jours, 13⁠1⁄2 heures ; cet intervalle contient 1 268 retours complets de la planète en anomalie (puisque 20 années égyptiennes produisent presque 63 retours, donc 400 ans en produisent 1 260, et les 2 années restantes plus les jours supplémentaires 8 autres retours complets). Ainsi, nous avons donc prouvé qu’en 402 années égyptiennes, 283 jours, 13⁠1⁄2 heures, Mercure s’est déplacée en anomalie, en plus de ses 1 268 révolutions complètes, de 246° 53′, qui est l’écart en avance [vers l’est] entre sa position lors de notre observation et la précédente — à peu près le même excès [en anomalie] résulte des tableaux que nous avons dressés ci-⁠dessus, car c’est sur la base de ces mêmes calculs que nous avons fait notre correction aux mouvements périodiques de Mercure, en réduisant les temps données en jours, et les révolutions complètes et l’excès en anomalie en degrés. Car, lorsque le total des degrés est divisé par le total des jours, il en résulte le mouvement journalier moyen en anomalie que nous avons exposé pour Mercure dans notre discussion précédente.

11. De l’époque des mouvements périodiques de Mercure

Pour établir l’époque des cinq planètes, comme nous l’avons fait pour le Soleil et la Lune, à la première année de Nabonassar, à midi le 1^er jour du mois égyptien de thout, nous avons pris l’intervalle entre ce moment et la plus ancienne observation qui s’en rapproche le plus : c’est à peu près 483 années égyptiennes, 17 jours, 18 heures.

L’excédent [sur les révolutions complètes] du mouvement moyen en anomalie correspondant à cet intervalle est de 190° 39′. Si nous soustrayons cette valeur du 212° 34′ (depuis l’apogée) dérivé de l’observation, nous obtenons pour la 1^re année de Nabonassar, à midi le 1^er du mois égyptien de thout :

(Puisque ¹⁄₁₀₀^e [de degré pour chacune] des années ci-⁠dessus totalise environ 4⁠5⁄6° ; soustrait de [la longitude] 6° de la Balance trouvée par l’observation, cela donne 1⁠1⁄6° [de la Balance]).

Fin du neuvième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

Références et suggestions de lecture

Légende : 📜 Manuscrit · 📖 Livre ou chapitre de livre · 📰 Article · 🌐 Site web

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pour Saturne	:	21 551;18 jours et 20 520° d’anomalie ;
pour Jupiter	:	25 927;37 jours et 23 400° d’anomalie ;
pour Mars	:	28 857;43 jours et 13 320° d’anomalie ;
pour Vénus	:	2 919;40 jours et 1 800° d’anomalie ; et
pour Mercure	:	16 802;24 jours et 52 200° d’anomalie.

pour Saturne	:	0;57,07,43,41,43,40° ;
pour Jupiter	:	0;54,09,02,46,26,00° ;
pour Mars	:	0;27,41,40,19,20,58° ;
pour Vénus	:	0;36,59,25,53,11,28° ; et
pour Mercure	:	3;06,24,06,59,35,50°.

pour Saturne	:	0;02,22,49,19,14,19,10° ;
pour Jupiter	:	de 0;02,15,22,36,56,05° ;
pour Mars	:	de 0;01,09,14,10,48,22,25° ;
pour Vénus	:	de 0;01,32,28,34,42,58,40° ; et
pour Mercure	:	de 0;07,46,00,17,28,59,35°.

pour Saturne	:	28;33,51,50,51,50,00° ;
pour Jupiter	:	27;04,31,23,13,00,00° ;
pour Mars	:	13;50,50,09,40,29,00° ;
pour Vénus	:	18;29,42,56,35,44,00° ; et
pour Mercure	:	93;12,03,29,47,55,00°.

pour Saturne	:	347;32,00,48,50,38,20° ;
pour Jupiter	:	329;25,01,52,28,10,00° ;
pour Mars	:	168;28,30,17,42,32,50° ;
pour Vénus	:	225;01,32,28,34,39,15° ; et
pour Mercure	:	53;56,42,32,32,59,10°, en plus des circonférences [complètes].

pour Saturne	:	135;36,14,39,11,30,00° ;
pour Jupiter	:	169;30,33,44,27,00,00° ;
pour Mars	:	152;33,05,18,45,51,00° ;
pour Vénus	:	90;27,44,34,23,46,30° ; et
pour Mercure	:	251;00,45,45,53,45,00°.

Saturne	:	0;02,00,33,31,28,51° ;
Jupiter	:	0;04,59,14,26,46,31° ; et
Mars	:	0;31,26,36,53,51,33°.

Saturne	:	0;00,05,01,23,48,42,07,30° ;
Jupiter	:	0;00,12,28,06,06,56,17,30° ; et
Mars	:	0;01,18,36,32,14,38,52,30°.

Saturne	:	1;00,16,45,44,25,30° ;
Jupiter	:	2;29,37,13,23,15,30° ; et
Mars	:	15;43,18,26,55,46,30°.

Saturne	:	12;13,23,56,30,30,15° ;
Jupiter	:	30;20,22,52,52,58,35° ; et
Mars	:	191;16,54,27,38,35,45°.

Saturne	:	220;01,10,57,09,04,30°	en mouvement moyen ;
Jupiter	:	186;06,51,51,53,34,30°	⎱ en plus [des cercles complets] ⎰
Mars	:	203;04,20,17,34,43,30°.	⎱ en plus [des cercles complets] ⎰

Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :	Capricorne 26° 43′
Position en anomalie [à l’époque] :	0° 34′ 02″
Position de l’apogée [à l’époque] :	Scorpion 14° 10′

Périodes de 18 ans	Longitude							Anomalie
Périodes de 18 ans	°	′	″	″′	″″	″″′	″″″	°	′	″	″′	″″	″″′	″″″
18	220	01	10	57	09	04	30	135	36	14	39	11	30	00
36	80	02	21	54	18	09	00	271	12	29	18	23	00	00
54	300	03	32	51	27	13	30	46	48	43	57	34	30	00
72	160	04	43	48	36	18	00	182	24	58	36	46	00	00
90	20	05	54	45	45	22	30	318	01	13	15	57	30	00
108	240	07	05	42	54	27	00	93	37	27	55	09	00	00
126	100	08	16	40	03	31	30	229	13	42	34	20	30	00
144	320	09	27	37	12	36	00	4	49	57	13	32	00	00
162	180	10	38	34	21	40	30	140	26	11	52	43	30	00
180	40	11	49	31	30	45	00	276	02	26	31	55	00	00
198	260	13	00	28	39	49	30	51	38	41	11	06	30	00
216	120	14	11	25	48	54	00	187	14	55	50	18	00	00
234	340	15	22	22	57	58	30	322	51	10	29	29	30	00
252	200	16	33	20	07	03	00	98	27	25	08	41	00	00
270	60	17	44	17	16	07	30	234	03	39	47	52	30	00
288	280	18	55	14	25	12	00	9	39	54	27	04	00	00
306	140	20	06	11	34	16	30	145	16	09	06	15	30	00
324	0	21	17	08	43	21	00	280	52	23	45	27	00	00
342	220	22	28	05	52	25	30	56	28	38	24	38	29	59
360	80	23	39	03	01	30	00	192	04	53	03	50	00	00
378	300	24	50	00	10	34	30	327	41	07	43	01	30	00
396	160	26	00	57	19	39	00	103	17	22	22	13	00	00
414	20	27	11	54	28	43	30	238	53	37	01	24	29	59
432	240	28	22	51	37	48	00	14	29	51	40	36	00	00
450	100	29	33	48	46	52	30	150	06	06	19	47	30	00
468	320	30	44	45	55	57	00	285	42	20	58	59	00	00
486	180	31	55	43	05	01	30	61	18	35	38	10	29	59
504	40	33	06	40	14	06	00	196	54	50	17	22	00	00
522	260	34	17	37	23	10	30	332	31	04	56	33	30	00
540	120	35	28	34	32	15	00	108	07	19	35	45	00	00
558	340	36	39	31	41	19	30	243	43	34	14	56	29	59
576	200	37	50	28	50	24	00	19	19	48	54	08	00	00
594	60	39	01	25	59	28	30	154	56	03	33	19	30	00
612	280	40	12	23	08	33	00	290	32	18	12	31	00	00
630	140	41	23	20	17	37	30	66	08	32	51	42	29	59
648	0	42	34	17	26	42	00	201	44	47	30	54	00	00
666	220	43	45	14	35	46	30	337	21	02	10	05	30	00
684	80	44	56	11	44	51	00	112	57	16	49	16	59	59
702	300	46	07	08	53	55	30	248	33	31	28	28	29	59
720	160	47	18	06	03	00	00	24	09	46	07	40	00	00
738	20	48	29	03	12	04	30	159	46	00	46	51	30	00
756	240	49	40	00	21	09	00	295	22	15	26	03	00	00
774	100	50	50	57	30	13	30	70	58	30	05	14	29	59
792	320	52	01	54	39	18	00	206	34	44	44	26	00	00
810	180	53	12	51	48	22	30	342	10	59	23	37	30	00

Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :	Balance 4° 41′
Position en anomalie [à l’époque] :	146° 03′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :	Vierge 2° 09′

Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :	Bélier 3° 32′
Position en anomalie [à l’époque] :	327° 12′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :	Cancer 16° 40′

Position [moyenne] en longitude [à l’époque] :	Poissons 0° 45′
Position en anomalie [à l’époque] :	71° 06′ 60″
Position de l’apogée [à l’époque] :	Taureau 16° 10′

longitude moyenne du Soleil	:	22° 34′ du Taureau
longitude moyenne de la Lune	:	12° 14′ des Gémeaux
anomalie de la Lune par rapport à l’apogée de l’épicycle	:	281° 20′
Donc, par calcul :
position vraie du centre de la Lune	:	17° 10′ des Gémeaux
position apparente du centre de la Lune	:	16° 20′ [des Gémeaux]

anomalie depuis l’apogée de l’épicycle	:	21° 55′
longitude [moyenne], identique à celle du Soleil	:	0° 45′ des Poissons
apogée de l’excentrique	:	≈ 1⁠1⁄6° de la Balance

1. De l’ordre des sphères du Soleil, de la Lune, et des cinq planètes

2. Du fondement des hypothèses des planètes

3. Des retours périodiques des cinq planètes

4. Tableaux des mouvements moyens de longitude et d’anomalie des cinq planètes

Saturne

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Jupiter

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Mars

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Vénus

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

Mercure

Par période de 18 ans

Par année

Par heure

Par mois égyptien (30 jours)

Par jour

5. Notions préliminaires aux hypothèses des cinq planètes

6. Du mode et de la différence entre ces hypothèses

7. Démonstration de l’apogée et du mouvement de Mercure

8. Du double périgée de Mercure

9. Des proportions et des grandeurs des anomalies de Mercure

10. De la correction des mouvements périodiques de Mercure

11. De l’époque des mouvements périodiques de Mercure

Fin du neuvième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

Références et suggestions de lecture