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1. Des préliminaires par rapport aux rétrogradations

Ceci démontré, la suite naturelle est d’examiner les plus grandes et les plus petites rétrogradations de chacune des 5 planètes, et de montrer que leur taille, selon les hypothèses ci-⁠dessus, sont conformes à celles trouvées à partir des observations. Pour traiter de ce genre de problème, il y a un lemme préliminaire démontré (pour une seule anomalie, celle relative au Soleil) par nombre de mathématiciens, notamment Apollonios de Perga, à l’effet suivant.

Si [l’anomalie synodique] est représentée par l’hypothèse épicyclique, où l’épicycle se déplace dans un cercle concentrique au zodiaque suivant les signes [vers l’est], et la planète se déplace en anomalie sur l’épicycle [uniformément] par rapport à son centre, vers l’arrière le long de l’arc près de l’apogée , et si une ligne est tracée de notre point de vue coupant l’épicycle de telle manière que le rapport entre la moitié de ligne interceptée dans l’épicycle et le segment entre l’observateur et le point où la ligne touche l’épicycle du côté du périgée est égal au rapport de la vitesse de l’épicycle à la vitesse de la planète, alors le point sur l’arc de l’épicycle le plus proche du périgée déterminé par la ligne ainsi tracée se trouve la limite entre le mouvement direct et la rétrogradation , de sorte que lorsque la planète atteint ce point, elle semblera stationnaire.

Mais si l’anomalie liée au Soleil est expliquée par l’hypothèse excentrique — ce qui n’est possible que pour les trois planètes qui peuvent atteindre n’importe quelle élongation du Soleil [soit Mars, Jupiter, et Saturne] —, le centre de l’excentrique tourne autour du centre du zodiaque à la même vitesse que Soleil [moyen], et vers l’arrière [dans l’ordre] des signes [vers l’est], et la planète tourne sur l’excentrique vers l’avant [contre l’ordre] des signes à la vitesse de l’anomalie, et si une ligne est tracée dans l’excentrique passant par le centre de l’écliptique (c’est-⁠à-⁠dire par le lieu de l’œil) de sorte que le rapport entre la moitié de la ligne entière et le plus petit des deux segments de la ligne formée par le lieu de l’œil est égal au rapport entre la vitesse de l’excentrique et la vitesse de l’astre, alors lorsque la planète arrivera où cette ligne coupe l’arc de l’excentrique près du périgée, elle semblera stationnaire.

Nous arriverons aussi au résultat recherché par une méthode simple mais néanmoins commode, en combinant les deux hypothèses en une, afin de démontrer leur concordance et leur similitude dans les proportions obtenues.

Soit ABGD l’épicycle, de centre E et de diamètre AEG prolongé jusqu’au centre Z de l’écliptique (c’est-⁠à-⁠dire d’où nous regardons). Prenons de chaque côté du périgée G les arcs égaux GH et GΘ, et traçons, à partir de Z et passant par H et Θ, les droites ZHB et ZΘD. Joignons DH et BΘ pour qu’elles se croisent au point K sur le diamètre AG.

Nous disons que la droite AZ est à la droite ZG ce que la droite AK est à la droite KG [autrement dit, AZ : ZG = AK : KG].

[Preuve :] Joignons AD et DG, et à partir de G, traçons LGM parallèle à AD — donc perpendiculaire à DG, car ∠ ADG est droit. Maintenant, puisque ∠ GDH = ∠ GDΘ [Euclide III 27] et que GL = GM [les triangles LDG et MDG sont le miroir l’un de l’autre], alors AD sera dans les mêmes proportions à chacun [autrement dit, AD : GL = AD : GM]. Or, AD : GM = AZ : ZG [triangle ADZ ⦀ triangle GMZ] et AD : LG = AK : KG [triangle ADK ⦀ triangle GLK], alors AZ : ZG = AK : KG.

Donc, si dans l’hypothèse excentrique nous imaginons que l’épicycle ABGD est l’excentrique, le point K sera le centre du zodiaque, et le diamètre AG sera divisé par lui [K] dans la même proportion que dans l’hypothèse de l’épicycle. Car nous avons démontré que le rapport entre la plus grande distance AZ dans [l’hypothèse de] l’épicycle et la plus petite distance ZG est le même qu’entre la plus grande distance AK dans l’[hypothèse] excentrique et la plus petite distance KG.

Nous disons aussi que DZ : ZΘ = BK : KΘ. Dans un diagramme similaire, joignons la ligne BND — qui sera perpendiculaire au diamètre AG — et traçons à partir de Θ la droite ΘX qui lui est parallèle [à BND] . Puisque BN = ND, alors BN : XΘ = ND : XΘ. Mais puisque ND : XΘ = DZ : ZΘ [triangle ZND ⦀ triangle ZXΘ] et que BN : XΘ = BK : KΘ [triangle NBK ⦀ triangle ΘXK], alors DZ : ZΘ = BK : KΘ et, par composition, (DZ + ZΘ) : ZΘ = BΘ : ΘK. Aussi, en traçant les perpendiculaires EO et EP, et par division, [nous obtenons] OZ : ZΘ = PΘ : KΘ. Et, par [autre] division, OΘ : ZΘ = PK : KΘ. Donc, si, dans l’hypothèse de l’épicycle, DZ est tracé de telle manière que le rapport OΘ : ZΘ soit égal au rapport de la vitesse de l’épicycle à la vitesse de la planète, alors dans l’hypothèse excentrique, PK : KΘ va avoir le même rapport.

La raison pour laquelle dans ce cas [dans l’hypothèse excentrique] nous n’utilisons pas, pour obtenir les stations, ce rapport de division (soit PK : KΘ), mais plutôt le rapport de composition (soit PΘ : KΘ), est que la vitesse de l’épicycle est dans le même rapport à celle de la planète que le mouvement [moyen] en longitude (seul) au mouvement [moyen] en anomalie, alors que le rapport de la vitesse de l’excentrique à celle de la planète est le même que celui du mouvement moyen du Soleil (soit la somme des mouvements [moyens] de la planète en longitude et en anomalie) au mouvement en anomalie. Par exemple, pour Mars, le rapport de la vitesse de l’épicycle à la vitesse de la planète est d’environ 42 : 37 — car, comme nous avons démontré, cela est environ le rapport entre les mouvements [moyens] en longitude et en anomalie. C’est donc aussi le rapport OΘ : ΘZ. Mais le rapport de la vitesse de l’excentrique à la vitesse de la planète est de [42 + 37 =] 79 : 37, le même que le rapport PΘ : ΘK, puisque nous trouvé que le rapport divisé, PK : KΘ, est égal à OΘ : ΘZ (c’est-⁠à-⁠dire 42 : 37).

Laissons ce qui précède nous suffire comme théorèmes préliminaires.

Il reste à démontrer que lorsqu’on prend des droites [correspondant à ZD et BΘ] divisées dans le rapport susmentionné, alors dans les deux hypothèses, les points H et Θ sont où l’apparence de station se produit, et [donc] que l’arc HGΘ est nécessairement rétrograde [contre l’ordre des signes / vers l’ouest], et l’arc restant sera de mouvement direct [vers l’est].

[À ce sujet,] Apollonius propose le lemme préliminaire suivant. Dans le triangle ABG, où BG est plus grand que AG, si on prend [de GB] GD pas moindre que AG [GD ≥ AG], alors GD : BD sera plus grand que ∠ ABG : ∠ BGA. Sa preuve est la suivante. Il dit qu’une fois le parallélogramme ADGE complété, prolongeons les droites BA et GE jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en Z. Alors, puisque AE [= GD] ≥ AG, le cercle de centre A et de rayon AE passera par G ou au-⁠dessus de G. Traçons par G le [cercle] HEG. Puisque le triangle AEZ est plus grand que le secteur AEH et que le triangle AEG est plus petit que le secteur AEG, alors le [rapport] triangle AEZ : triangle AEG est plus grand que le [rapport] secteur AEH : secteur AEG. Mais puisque le [rapport] secteur AEH : secteur AEG est égal au [rapport] ∠ EAZ : ∠ EAG et que le [rapport] triangle AEZ : triangle AEG est égal au [rapport] base ZE : base EG, alors ZE : EG est plus grand que ∠ ZAE : ∠ EAG. Mais puisque ZE : EG = [ZA : AB =] GD : DB, alors ∠ ZAE = ∠ ABG et ∠ EAG = ∠ BGA. Donc GD : DB est plus grand que ∠ ABG : ∠ AGB. Et il est clair que la différence des rapports sera encore plus grande si GD (= AE) n’est pas supposé égal à AG, mais [qu’il lui est] supérieur.

Ce lemme préliminaire établi, soit l’épicycle ABGD de centre E et de diamètre AEG, prolongé jusqu’en Z, point de notre œil, de sorte que le rapport EG : GZ est plus grand que le rapport vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète. Ainsi, il sera possible de tracer une droite ZHB de telle sorte que [le rapport] 1⁄2BH : HZ soit égal [au rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de planète. Alors, d’après ce que nous avons démontré précédemment, si nous prenons l’arc AD égal à l’arc AB, et que nous joignons DΘH, le point Θ représentera, dans l’hypothèse excentrique, notre œil et [le rapport] 1⁄2DH : ΘH sera alors égal [au rapport] vitesse d’excentrique : vitesse de planète.

Nous disons donc que, dans l’une ou l’autre hypothèse, lorsque la planète atteindra le point H, il se produira l’apparence d’une station, et si nous prenons des arcs, si petits soient-⁠ils, de chaque côté de H, celui pris du côté de l’apogée sera un arc de mouvement vers l’avant [l’est / l’ordre des signes], et l’arc vers le périgée sera précédent [vers l’arrière / l’ouest / contre l’ordre des signes / rétrograde].

Prenons d’abord un arc aléatoire du côté de l’apogée KH, et traçons ZKL et KΘM, puis joignons BK et DK ainsi que EK et EH. Puisque, dans le triangle BKZ, BH est plus grand que BK, alors BH : HZ est plus grand que ∠ HZK : ∠ HBK ; conséquemment, 1⁄2BH : HZ est plus grand que ∠ HZK : 2 ∠ KBH = ∠ HZK : ∠ KEH. Mais 1⁄2BH : HZ est égal [au rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète ; donc ∠ HZK : ∠ KEH est plus petit que [le rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète. Par conséquent, l’angle qui a le même rapport à ∠ KEH que le rapport (vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète) est plus grand que ∠ HZK. Appelons cet angle ∠ HZN ; puisque, dans le temps que met l’astre pour parcourir l’arc KH de l’épicycle, le centre de l’épicycle s’est déplacé en direction opposée d’une quantité égale à la distance [angulaire] de ZH à ZN, il est donc clair que, pour notre œil, l’arc KH de l’épicycle a avancé l’astre d’un angle ∠ HZK inférieur à l’angle ∠ HZN par lequel [le mouvement de] l’épicycle l’a déplacé vers l’arrière [vers l’est] pendant le même espace de temps. Ainsi, la planète demeure vers l’avant [vers l’ouest] par l’angle ∠ KZN .

Le même raisonnement serait valide si le cercle [ABGD] était un excentrique : puisque BH : HZ est plus grand que ∠ HZK : ∠ HBK, par composition, BZ : ZH est plus grand que [∠ HZK + ∠ HBK =] ∠ BKL : ∠ HBK. Mais BZ : ZH est égal à DΘ : ΘH, mais ∠ BKL = ∠ DKM et ∠ HBK = ∠ HDK ; donc DΘ : ΘH est plus grand que ∠ DKM : ∠ HDK. Donc, par composition, DH : HΘ est plus grand que [∠ DKM + ∠ HDK =] ∠ HΘK : ∠ HDK. Donc, par division, 1⁄2DH : HΘ est plus grand que ∠ HΘK : 2∠ HDK (qui est lui-même égal à ∠ HΘK : ∠ HEK). Or, [le rapport] 1⁄2DH : ΘH est égal [au rapport] vitesse de l’excentrique : vitesse de la planète ; donc ∠ HΘK : ∠ HEK est plus petit que [le rapport] vitesse de l’excentrique : vitesse de la planète. Par conséquent, l’angle qui a le même rapport à ∠ HEK que [le rapport de] la vitesse de l’excentrique à la vitesse de la planète est plus grand que ∠ HΘK. Soit donc cet angle ∠ HΘN ; puisque l’astre, dans le même temps qu’il s’est déplacé sur KH de l’angle ∠ KEH en avance, il a été emporté par le mouvement de l’excentrique vers l’arrière par ∠ HΘN, qui est plus grand que ∠ KΘH, il est donc clair que [par cette hypothèse aussi] la planète paraîtra avoir subi un mouvement vers l’avant [égal à ∠ KΘN.

On voit facilement que le cas contraire peut être prouvé par la même méthode, si dans la même figure nous supposons que [le rapport] 1⁄2LK : KZ est égal [au rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète et donc que [le rapport] 1⁄2MK : ΘK est égal [au rapport] vitesse de l’excentrique : vitesse de planète, et imaginons [aussi que] l’arc KH est pris du côté du périgée de la droite LZ.

Joignons LH pour produire le triangle LZH, dans lequel nous prenons ZK plus grand que ZH, alors LK : KZ est plus petit que ∠ HZK : ∠ HLK ; conséquemment, 1⁄2LK : KZ est plus petit que ∠ HZK : 2∠ HLK ([2∠ HLK] égal à ∠ KEH), ce qui est le contraire de ce qui a été démontré ci-⁠dessus.

Nous arriverons ainsi à la conclusion opposée [à ce qui précède, à savoir] que ∠ KEH : ∠ HZK est plus petit que [le rapport] vitesse de la planète : vitesse de l’épicycle et que ∠ KEH : ∠ HΘK est plus petit que [le rapport] vitesse de la planète : vitesse de excentrique. Ainsi, l’angle qui a le même rapport [à ∠ HZK ou ∠ HΘK que la vitesse de la planète à la vitesse de l’épicycle ou de l’excentrique] est plus grand que ∠ KEH, et le mouvement rétrograde résultant sera aussi plus grand que le mouvement prograde.

Il est aussi clair que, pour des distances auxquelles EG : GZ est plus petit  que [le rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète, il sera impossible de tracer une autre ligne [vers le cercle qui sera divisé] dans un rapport égal à celui [de la vitesse de l’épicycle à celle de la planète], et la planète ne semblera [jamais] stationnaire ou rétrograde, car puisque, dans le triangle EKZ, nous avons pris [la droite] EG égale à ou plus grande  que EK, ∠ GZK : ∠ GEK est plus petit que EG : GZ. Mais EG : GZ est plus petit que ou égal  au [rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète. Donc ∠ GZK : ∠ GEK est plus petit que [le rapport] vitesse de l’épicycle : vitesse de la planète. Ainsi, comme nous avons démontré que partout où cela se produit, l’astre est en arrière ([mouvement] direct ou dans les points suivants [à l’est]), nous ne trouverons aucun arc, ni sur l’épicycle ni sur l’excentrique, sur lequel il semblera rétrograder.

2. Démonstration des rétrogradations de Saturne

Ceci établi, nous appliquerons maintenant le calcul des rétrogradations à chaque planètes, conformément aux hypothèses démontrées, en commençant par Saturne. La méthode est la suivante.

Soit le cercle AB, de diamètre AGB, portant le centre de l’épicycle, et dans lequel G représente le centre de l’écliptique (notre œil). Traçons l’épicycle DEZH de centre A, ainsi que la droite GZE de sorte que, lorsque nous traçons AΘ qui lui est perpendiculaire, le rapport de la moitié EZ (donc ΘZ) à ZG est le même que celui de la vitesse de l’épicycle à la vitesse de la planète. Supposons d’abord que l’épicycle est situé à distance moyenne : ainsi, les mouvements périodiques en longitude et en anomalie sont à peu près les mêmes que ceux mesurés par rapport au centre de l’écliptique.

Puisque, pour Saturne, nous avons démontré que, où la distance moyenne GA est de 60^p, le rayon de l’épicycle AD = 6⁠1⁄2^p, alors la droite entière [par addition] DG = 66;30^p et la portion [par soustraction] GH = 53;30^p des mêmes unités. Ainsi, le rectangle construit sur ces droites [donc leur produit] est de 3 557;45^p, et puisque DG · GH = EG · GZ, nous aurons donc EG · GZ = 3 557;45^p des mêmes unités. En outre, selon les mouvements moyens, là où la vitesse de l’épicycle (ΘZ) est de 1^p, la vitesse de l’astre (ZG) est d’environ 28;25,46^p . Donc la droite entière [par addition] EG [= ZG + 2ΘZ] = 30;25,46^p, et EG · GZ = 865;05,32^p des mêmes unités. Donc, si nous divisons 3 557;45 par 865;05,32, ce qui donne un quotient de 4;06,45, et prenons la racine carrée de ce dernier, 2;01,40, et que nous multiplions ce facteur par ΘZ (= 1^p) puis par ZG (= 28;25,46^p) séparément, nous obtenons ΘZ = 2;01,40^p et ZG = 57;58,55^p où (EG · GZ) = 3 557;45^p. Maintenant, si nous joignons AZ, où AZ = 6;30^p , ZΘ = 2° 01′ 40″, donc où AZ = 120^p, ZΘ = 37;26,09^p. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AZΘ, l’arc ΘZ = 36° 21′ 15″ , donc l’angle ∠ ZAΘ = 36;21;15^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou ≈ 18° 10′ 38″ où quatre angles droits font 360°.

En outre, où l’hypoténuse [du triangle rectangle AGΘ] GHA = 60^p, par addition GZΘ [= 57;38,55^p + 2;01,40^p] = 59;40,35^p , de sorte que pour [GHA =] 120^p , GZΘ = 119;21,10^p. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AGΘ, l’arc GΘ = 168° 05′ 39″ . Donc ∠ GAΘ = 168;05,39^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou ≈ 84° 02′ 50″ où quatre angles droits font 360°. Ainsi, nous obtenons ∠ AGΘ = 5° 57′ 10″ (le complément d’un angle droit), et ∠ ZAH = ∠ GAΘ − ∠ ZAΘ = 65° 52′ 12″.

Alors, puisque dans la première station, l’astre est vu sur la droite GZ, et à l’opposition [moyenne] sur GH, il est clair que, si le centre de l’épicycle n’avait aucun mouvement vers l’arrière [selon l’ordre des signes / vers l’est] [pendant ce temps], l’arc ZH de l’épicycle, de 65° 52′ 12″, produirait un mouvement rétrograde égal à ∠ AGZ, soit 5° 57′ 10″ ; mais puisque, selon le rapport énoncé ci-⁠dessus de la vitesse de l’épicycle à la vitesse de l’astre, à cette anomalie de 65° 52′ 12″ correspondent environ 2° 19′ de [mouvement en] longitude, nous obtenons un mouvement rétrograde d’un point stationnaire à l’opposition de 3° 38′ 10″ et 69 j (qui est environ le temps pour l’astre de parcourir 2° 19′ en longitude), et une rétrogradation totale [d’un point stationnaire à l’autre en passant par l’opposition] de 7° 16′ 20″ et 138 j.

Nous allons maintenant chercher les quantités [correspondantes] proches de la plus grande distance dans les mêmes conditions, c’est-⁠à-⁠-dire quand l’opposition moyenne à mi-⁠chemin entre les [deux] stations amène le centre de l’épicycle précisément à l’apogée de l’excentrique, et, évidemment, amène chacune des deux stations à une distance [en longitude corrigée] de l’opposition (c’est-⁠à-⁠dire de l’apogée) qui est proche du 2° 19′ qui a été dérivé [ci-⁠dessus] du rapport entre les [mouvements] moyens ; dans cette situation, AG, qui représente la distance à cet instant, n’est pas loin de la plus grande distance, et s’obtient donc par les théorèmes développés précédemment, et où une prostaphérèse d’environ 6′ 30″ correspond à environ 1° de longitude. Ainsi, le rapport entre [le mouvement en] longitude et l’anomalie corrigée, c’est-⁠à-⁠dire de la vitesse apparente de l’épicycle à ce moment à la vitesse apparente de la planète, est de 0;53,30 : 28;32,16.

Puis, en répétant la même figure, où le rayon DA de l’épicycle est de 6;30^p, GA (qui est à peine différent de la plus grande distance) mesure 63;25^p. Par conséquent, la droite entière [par addition] DG mesure 69;55^p, et sa portion [par soustraction] GH = 56;55^p. Et le rectangle formé par ces droites, soit [DG · GH] (= EG · EZ) = 3 979;25,25^p. Mais, où ZΘ (représentant la vitesse de l’épicycle, par hypothèse) vaut 0;53,30^p, GZ (représentant la vitesse de la planète) vaut 28;32,16^p ; donc la droite entière [par addition] EG [= GZ + 2ZΘ] = 30;19,16^p , et le rectangle EG · GZ = 865;17,50^p des mêmes parties.

Si nous divisons encore 3 979;25,25 par 865;17,50, ce qui donne 4;35,56, en prenons la racine carrée de ce dernier, soit 2;08,40, et la multiplions par ΘZ (= 0;53,30^p) et ZG (= 28;32,16^p) séparément, nous obtenons ΘZ = 1;54,44^p et GZ = 61;11,52^p où AZ = 6;30^p et AG = 63;25^p, et la droite entière [par addition] GΘ = 63;06,36^p des mêmes unités. Donc où l’hypoténuse [du triangle rectangle AZΘ] AZ = 120^p, la droite ΘZ = 35;18,9^p, et où l’hypoténuse [du triangle rectangle AGΘ] GA = 120^p, la droite GΘ = 119;25,11^p. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AZΘ, l’arc ΘZ = 34° 13′ 04″ et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AGΘ, l’arc GΘ = 168° 43′ 38″. Donc ∠ ZAΘ = 34;13,04^ꝏ et ∠ GAΘ = 168;43,38^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ; ou ∠ ZAΘ = 17° 06′ 32″ et ∠ GAΘ = 84° 21′ 49″ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi, l’angle restant [par soustraction de 90°] (qui serait l’angle de rétrogradation entre un point stationnaire et l’opposition, si l’épicycle n’avait pas de mouvement vers l’avant [l’est]) ∠ AGΘ = 5° 38′ 11″ et l’autre angle [par soustraction de ∠ ZAΘ de ∠ GAΘ] (qui représente le mouvement apparent sur l’épicycle à la même distance [invariable]) ∠ ZAH = 67° 15′ 17″. Or, suivant les proportions des vitesses dans l’apogée, à cette quantité correspondent 2° 06′ 06″ de longitude vraie ; nous obtenons donc, pour la moitié de la rétrogradation totale, [5° 38′ 11″ − 2° 06′ 06″ =] 3° 32′ 05″ et 70⁠1⁄3 j  (ce dernier est approximativement le temps que met la planète à parcourir 2° 21′ 25″ en longitude moyenne, qui est le montant correspondant aux 2° 06′ 06″ ci-⁠dessus en longitude corrigée) ; et, pour la rétrogradation totale, 7° 04′ 10″ et 140⁠2⁄3 j.

Nous allons maintenant, encore par la même méthode, chercher les quantités [correspondantes, mais] proches de la plus petite distance, c’est-⁠à-⁠dire lorsque l’opposition à mi-⁠chemin entre les [deux] stations est précisément au périgée de l’excentrique, et que chaque station est à la distance donnée [environ 2° 19′] en longitude depuis l’opposition (c’est-⁠à-⁠dire du périgée). Dans cette situation, la distance AG à ce moment se trouve de la même manière [qu’à la plus grande distance], puisqu’elle est à peine différente de la plus petite distance, et la prostaphérèse [addition ou soustraction] correspondant à 1° de longitude est d’environ 7′ 20″. Ainsi, le rapport de la vitesse apparente de l’épicycle à la vitesse apparente de la planète est de 1;07,20 : 28;18,26. Donc, où ΘZ = 1;07,20^p, nous avons GZ = 28;18,26^p et la droite entière [par addition] EG = 30;33,06^p , et le rectangle EG · GZ = 864;49,58^p. Mais où le rayon de l’épicycle DA = 6;30^p, AG (qui est à peine différent de la plus petite distance) est égal à 56;35^p ; par conséquent, la droite entière [par addition] DG = 63;05^p  et la portion [par soustraction] GH = 50;05^p, donc le rectangle DG · GH (= EG · GZ) = 3 159;25,25^p. Par conséquent, si, comme précédemment, nous divisons 3 159;25,25 par 864;49,58, ce qui donne 3;39,12 , prenons la racine carrée de cela, soit 1;54,41 , et la multiplions par ΘZ (= 1;07,20^p) et ZG (= 28;18,26^p) séparément, nous obtenons ΘZ = 2;08,43^p où le rayon de l’épicycle AZ = 6;30^p, et la distance à ce moment AG = 56;35^p ; ainsi que GZ = 54;06,22^p et la droite entière [par addition] GΘ = 56;15,05^p  des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse AZ = 120^p , alors ΘZ = 39;36,18^p et, où l’hypoténuse GA = 120^p, alors GΘ = 119;17,46^p.

Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AZΘ, l’arc ZΘ = 38° 32′ 34″ et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AGO, l’arc GΘ = 167° 34′ 54″. Donc ∠ ZAΘ = 38;32,34^ꝏ et ∠ GAΘ = 167;34,54^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ ZAΘ = 19° 16′ 17″ et ∠ GAΘ = 83° 47′ 27″ où quatre angles droits font 360°, donc nous obtenons l’angle restant [par soustraction de 90°], qui représente la rétrogradation (due à la vitesse de la planète) depuis un point stationnaire et l’opposition, ∠ AGΘ = 6° 12′ 33″ et l’autre angle [par soustraction de ∠ ZAΘ de ∠ GAΘ], qui représente le mouvement apparent sur l’épicycle à la même distance [invariable], ∠ ZAH = 64° 31′ 10″. Selon le rapport des vitesses au périgée, à cette dernière quantité correspondent 2° 33′ 28″ en longitude vraie. Nous obtenons donc, pour la moitié de la rétrogradation totale, [6° 12′ 33″ − 2;33,28^p =] 3° 39′ 05″ et 68 j (qui est approximativement le temps mis par la planète pour parcourir 2° 16′ 45″ en moyenne, quantité qui correspond aux 2° 33′ 28″ susmentionnés de longitude vraie) ; la rétrogradation totale est donc de 7° 18′ 10″ et 136 j.

3. Démonstration des rétrogradations de Jupiter

Pour l’astre Jupiter, d’après nos calculs à distance moyenne, ΘZ : GZ = 1 : 10;51,29, et EG : ZG = 12;51,29 : 10;51,29, donc le rectangle EG · ZG : 139;37,39. En outre, GA : AD = 60 : 11;30 et GD : GH = 71;30 : 48;30, donc le rectangle qu’elles forment [GD · GH] = 3 467;45. Donc en divisant [3 467;45 par 139;37,39] nous obtenons 24;50,09 , dont la racine carrée, 4;59,01, que nous multiplions par le rapport susmentionné de ΘZ : GZ, et nous obtenons, en termes des grandeurs citées de GA et AZ [soit 60 et 11;30], ΘZ = 4;59,01^p et GZ = 54;06,44^p des mêmes unités, et pour la droite entière [par addition] GΘ = 59;05,45^p. Ainsi, exprimées en unités dont les hypoténuses AZ et AG [respectivement] font 120^p, ΘZ = 52;00,10^p et GΘ = 118;11,30^p , et les arcs correspondants sont l’arc ZΘ = 51° 21′ 41″ et l’arc GΘ = 160° 04′ 55″. Conséquemment, ∠ ZAΘ ≈ 25° 40′ 50″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ ≈ 80° 02′ 28″. Les angles restants [par soustraction de ∠ GAΘ de 90°] sont celui qui représente la rétrogradation due à la vitesse de l’astre ∠ ZGA = 9° 57′ 32″, et celui qui représente le [mouvement] d’anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 54° 21′ 38″. À ces angles correspondent, selon le rapport ci-⁠dessus [de 1 : 10;51,29], 5° 01′ 24″ de mouvement en longitude. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est de 4° 56′ 08″ et d’environ 60⁠1⁄2 j, et la rétrogradation complète est de 9° 52′ 16″ et 121 j. Or, la distance à une élongation d’environ 5° de l’apogée ou du périgée est [respectivement] à peine plus petite que la plus grande distance et à peine plus grande que la plus petite distance. Or, d’après nos calculs pour la plus grande distance, la prostaphérèse de l’équation [correspondant à 1°] est de 5⁠1⁄6 soixantièmes [de degrés, donc minutes] ; donc ΘZ : GZ = 0;54,50 : 10;56,39 et EG : GZ = 12;46,19 : 10;56,39, et le rectangle EG · GZ = 139;46,42. En outre, GA : AD = 62;45 : 11;30, DG : GH = 74;15 : 51;15, et le rectangle DG · GH = 3 805;18,45. Nous divisons [3 805;18,45 par 139;46,42], ce qui donne 27;13,26, dont la racine carrée, 5;13,04, multipliée par le rapport susmentionné de ΘZ : GZ, donne, en termes des grandeurs données de GA et AZ [soit 62;45 et 11;30], ZΘ = 4;46,06^p et GZ = 57;06,19^p ; donc la droite entière [par addition] GΘ = 61;52,25^p.

Donc, en unités où les hypoténuses AZ et AG sont [chacune] de 120^p, ZΘ = 49;45,23^p et GΘ = 118;19,27^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 48° 59′ 34″ et l’arc GΘ = 160° 49′ 36″. Par conséquent, ∠ ZAΘ = 24° 29′ 47″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 80° 24′ 48″ . Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de la planète ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 9° 35′ 12″, et celui [du mouvement] d’anomalie apparente ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 55° 55′ 01″, auxquels correspondent, selon le rapport [des vitesses] à l’apogée, 4° 40′ 35″ de mouvement en longitude vraie et 5° 06′ 35″ en mouvement [de longitude] moyen. Ainsi la moitié de la rétrogradation est [9° 35′ 12″ − 4° 40′ 35″ =] 4° 54′ 37″ et environ 61⁠1⁄2 j, et la rétrogradation totale de 9° 49′ 14″ et 123 j.

Mais d’après nos calculs pour la plus petite distance, la prostaphérèse de l’équation [correspondant à 1°] est de 5⁠2⁄3′. Nous avons donc le rapport ΘZ : ZG = 1;05,40 : 10;45,49 et le rapport EG : ZG = 12;57,09 : 10;45,49 ; donc le rectangle EG · ZG = 139;24,56. De plus, GA : AD = 57;15 : 11;30 et DG : GH = 68;45 : 45;45, donc le rectangle qu’elles forment [DG · GH =] 3 145;18,45. En divisant [ce dernier par l’autre, soit 139;24,56], nous obtenons 22;33,39, dont la racine carrée, 4;45, multipliée par le rapport susmentionné de ΘZ : GZ, donne, en termes des tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 57;15 et 11;30], ΘZ = 5;11,55^p, ZG = 51;07,38^p, et pour la droite entière [par addition] GΘ = 56;19,33^p. Donc, en unités où les hypoténuses ZA et AG font chacune 120^p, ZΘ = 54;14,47^p et GΘ = 118;03,46^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 53° 45′ 04″ et l’arc GΘ = 159° 22′ 40″. Par conséquent, ∠ ZAΘ = 26° 52′ 32″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 79° 41′ 20″. Les angles restants [par soustraction] sont celui qui représente la rétrogradation due à la vitesse de l’astre ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 10° 18′ 40″, et celui qui représente [le mouvement en] anomalie apparente ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 52° 48′ 48″, auxquels correspondent, selon le rapport [des vitesses] au périgée, 5° 21′ 20″ en mouvement de longitude vraie et 4° 54′ 20″ en mouvement [de longitude] moyen. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est [10° 18′ 40″ − 5° 21′ 20″ =] 4° 57′ 20″ et environ 59 j, et la rétrogradation totale est de 9° 54′ 40″ et 118 j.

4. Démonstration des rétrogradations de Mars

À nouveau, dans le cas de Mars, selon nos calculs pour la distance [proche de la] moyenne, ΘZ : ZG = 1 : 0;52,51, et EG : GZ = 2;52,51 : 0;52,51, donc le rectangle EG · GZ = 2;32,15. En outre, GA : AH = 60 : 39;30, et DG : GH = 99;30 : 20;30, donc le rectangle DG · GH = 2 039;45. En divisant [2 039;45 par 2;32,15], nous obtenons 803;50,50, dont la racine carrée, 28;21,08, multipliée par le rapport susmentionné de ΘZ : ZG, donne, en rapport des tailles de GA et d’AZ [soit 60 et 39;30], ΘZ = 28;21,08^p et GZ = 24;58,25^p des mêmes unités, et la droite entière [par addition] GΘ = 53;19,33^p. Ainsi, en unités où les hypoténuses AZ et AG sont chacune de 120^p, ZΘ = 86;08,00^p et GΘ = 106;39,06^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 91;44,34^p et l’arc GΘ = 125° 26′ 10″. Par conséquent, ∠ ZAΘ = 45° 52′ 17″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 62° 43′ 05″. Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 27° 16′ 55″, et celui du [mouvement d]’anomalie, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 16° 50′ 48″ ; à ces angles correspond 19° 07′ 33″ de mouvement [moyen] en longitude, selon le rapport ci-⁠dessus [des vitesses, de 1 : 0;52,51]. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est [27° 16′ 55″ − 19° 07′ 33″ =] 8° 09′ 22″ et environ 36⁠1⁄2 j, et la rétrogradation totale est de 16° 18′ 44″ et 73 j.

Mais la distance des points stationnaires à l’élongation de l’apogée et du périgée  est [respectivement] de vingt soixantièmes environ [0;20^p ] de la distance moyenne [de 60^p] inférieure à la plus grande distance, et environ la même quantité supérieure à la plus petite distance.

D’après nos calculs pour [les environs de] la plus grande distance, la prostaphérèse de l’équation correspondant à 1° est de 10⁠1⁄3′ ; ainsi, ΘZ : ZG = 0;49,40 : 1;03,11 et EG : GZ = 2;42,31 : 1;03,11, donc le rectangle EG · GZ = 2;51,08. De plus, GA : AH = 65;40 : 39,30  et DG : GH = 105;10 : 26;10, donc le rectangle DG · GH = 2 751;51,40. Quand nous divisons [2 751;51,40 par 2;51,08], nous obtenons 964;48,47, dont la racine carrée, 31;03,41, multipliée par le rapport susmentionné de ΘZ : ZG, donne, par rapport aux valeurs de GA et AZ [soit 65;40 et 39;30, ci-⁠dessus], ΘZ = 25;42,43^p et GZ = 32;42,34^p, donc la droite complète [par addition] GΘ = 58;25,17^p. Donc, exprimé en unités dont les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ZΘ = 78;06,44^p et GΘ = 106;45,36^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 81° 13′ 08″  et l’arc GΘ = 125° 39′ 46″. Ainsi ∠ ZAΘ = 40° 36′ 34″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 62° 49′ 53″ des mêmes degrés. Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de la planète, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 27° 10′ 07″, et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 22° 13′ 19″, auxquels correspondent [des mouvements en] longitude vraie de 17° 13′ 21″ et, selon les rapports [des vitesses] à l’apogée, de 20° 58′ 21″ en longitude moyenne. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est [27° 10′ 07″ − 17° 13′ 21″ =] 9° 56′ 46″ et environ 40 j, et la rétrogradation entière est de 19° 53′ 32″ et 80 j.

D’après nos calculs pour la plus proche distance, la prostaphérèse de l’équation [correspondant à un argument de 1°] est de 12⁠2⁄3′ , donc ΘZ : ZG = 1;12,40 : 0,40,11 et EG : GZ = 3;05,31 : 0;40,11 ; donc le rectangle EG · GZ = 2;04,14. De plus, GA : AH = 54;20 : 39;30  et DG : GH = 93;50 : 14;50, donc le rectangle DG · GH = 1 391;51,40. En divisant [1 391;51,40 par 2;04,14], nous obtenons 672;13, dont la racine carrée, 25;55,38, multipliée par le rapport ΘZ : ZG susmentionné, donne, par rapport aux tailles de GA et AZ [soit 54;20 et 39;30], ΘZ = 31;24,03^p et GZ = 17;21,51^p des mêmes unités, donc pour la droite entière [par addition] GΘ = 48;45,54^p. Ainsi, où les hypoténuses AZ et AG sont chacune de 120^p, ZΘ = 95;23,42^p et GΘ = 107;42,07^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 105° 18′ 10″ et l’arc GΘ = 127° 40′ 22″. Conséquemment, ∠ ZAΘ = 52° 39′ 05″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 63° 50′ 11″. Les autres angles sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 26° 09′ 49″, et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 11° 11′ 06″, auxquels correspondent [des mouvements en] longitude vraie de 20° 33′ 42″ et en longitude moyenne de 16° 52′ 52″ , selon les rapports [des vitesses] au périgée. Donc la moitié de la rétrogradation est [26° 09′ 49″ − 20° 33′ 42″ =] 5° 36′ 07″ et environ 32⁠1⁄4 j, et la rétrogradation totale est de 11° 12′ 14″ et 64⁠1⁄2 j.

5. Démonstration des rétrogradations de Vénus

Maintenant, dans le cas de la planète Vénus, selon nos calculs de distance moyenne, ΘZ : ZG = 1 : 0;37,31 et EG : GZ = 2;37,31 : 0;37,31, donc le rectangle EG · GZ = 1;38,30. En outre, GA : AH = 60 : 43;10 et DG : GH = 103;10 : 16;50, donc le rectangle DG · GH = 1 736;38,20 . En divisant [1 736;38,20 par 1;38,30], nous obtenons 1 057;51, dont la racine carrée, 32;31,29, multipliée par le rapport de ΘZ : ZG susmentionné, donne, en termes des tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 60 et 43;10], ΘZ = 32;31,29^p et GZ = 20;20,11^p des mêmes unités ; donc la droite entière [par addition] GΘ = 52;51,40^p. Conséquemment, où les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ZΘ = 90;24,58^p et GΘ = 105;43,20^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 97° 47′ 00″  et arc GΘ = 123° 31′ 49″. Ainsi ∠ ZAΘ = 48° 53′ 30″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ ≈ 61° 45′ 54″ des mêmes unités. Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 28° 14′ 06″, et celui du [mouvement moyen] en anomalie, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 12° 52′ 24″, auxquels correspondent un mouvement en longitude [moyenne] de 20° 35′ 19″, selon le rapport moyen [des vitesses] ci-⁠dessus. La moitié de la rétrogradation est donc de [28° 14′ 06″ − 20° 35′ 19″ =] 7° 38′ 47″ et environ 20⁠5⁄6 j et la rétrogradation entière, de 15° 17′ 34″ et 41⁠2⁄3 j.

Or, la distance des points stationnaires depuis l’apogée et le périgée est [respectivement] d’environ 0;05^p de la distance moyenne [de 60^p] inférieure à la plus grande distance, et d’environ la même quantité supérieure à la plus petite distance. Ainsi, d’après nos calculs pour [les environs de] la plus grande distance, la prostaphérèse de l’équation [correspondant à 1°] est de 2⁠1⁄3′ . Par conséquent, ΘZ : ZG = 0;57,40 : 0;39,51  et EG : GZ = 2;35,11 : 0;39,51, donc le rectangle EG · GZ = 1;43,04. De plus, GA : AH = 61;10 : 43;10 et DG : HG = 104;20 : 18;00, donc le rectangle DG · HG = 1 878;00. La division [de 1 878 par 1;43,04] nous donne 1 093;16,23, dont la racine carrée, 33;03,53, multipliée par le rapport susmentionné de ΘZ : ZG, donne, en termes des tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 61;10 et 43;10], ΘZ = 31;46,44^p et GZ = 21;57,38^p des mêmes unités, donc la droite entière [par addition] GΘ = 53;44,22^p. Ainsi, où les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ZΘ = 88;20,34^p et GΘ = 105;25,44^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 94° 48′ 54″ et l’arc GΘ = 122° 56′ 27″. Ainsi, ∠ ZAΘ = 47° 24′ 27″ et ∠ GAΘ = 61° 28′ 14″. Les autres angles [par soustraction] sont celui rétrogradation la due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 28° 31′ 46″, et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 14° 03′ 47″, auxquels correspondent [des mouvements de] 20° 19′ 03″ en longitude vraie et 21° 09′ 03″ en longitude moyenne, selon les rapports [des vitesses] à l’apogée. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est de [28° 31′ 46″ − 20° 19′ 03″ =] 8° 12′ 43″ et environ 21⁠1⁄2 j, et la rétrogradation entière est de 16° 25′ 26″ et 43 j.

Selon nos calculs pour la distance la plus proche, la prostaphérèse de l’équation [correspondant à un argument de 1°] est la même quantité, soit 2⁠1⁄3′  Nous avons donc ZΘ : ZG = 1;02,20 : 0;35,11 et EG : GZ = 2;39,51 : 0;35,11, donc le rectangle EG · GZ = 1;33,44. En outre, GA : AD = 58;50 : 43;10 et DG : GH = 102;00 : 15;40, donc le rectangle DG · GH = 1 598;00. La division [de 1 598 par 1;33,44] nous donne 1 022;54,07, dont la racine carrée, 31;58;58, multipliée par le rapport ΘZ : ZG susmentionné, donne, en termes des tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 58;50 et 43;10], ΘZ = 33;13,36^p et GZ = 18;45,16^p des mêmes unités, pour une droite entière [par addition] GΘ = 51;58,52^p. Conséquemment, où les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ZΘ = 92;22,03^p et GΘ = 106;01,23^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 100° 39′ 34″  et l’arc GΘ = 124° 08′ 22″. Donc ∠ ZAΘ = 50° 19′ 47″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ GAΘ = 62° 04′ 11″. Les angles restants [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ GAΘ =] 27° 55′ 49″, et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ GAΘ − ∠ ZAΘ =] 11° 44′ 24″, auxquels correspondent [des mouvements de] 20° 53′ 30″ en longitude vraie et 20° 04′ 30″ en longitude moyenne, selon les rapports [des vitesses] au périgée. Ainsi, la moitié de la rétrogradation est de [27° 55′ 49″ − 20° 53′ 30″ =] 7° 02′ 19″ et environ 20⁠1⁄3 j, pour une rétrogradation entière de 14° 04′ 38″ et 40⁠2⁄3 j.

6. Démonstration des rétrogradations de Mercure

En ce qui concerne Mercure, selon nos calculs pour la distance moyenne, ΘZ : ZG = 1 : 3;09,08 et EG : GZ = 5;09,08 : 3;09,08, donc le rectangle EG · GZ = 16;14,27. En outre, GA : AH = 60;22⁠1⁄2 et DG : GH = 82;30 : 37;30, donc le rectangle DG · GH = 3 093;45. La division [de 3 093;45 par 16;14,27] nous donne 190;29,31, dont la racine carrée, 13;48,07, multipliée par le rapport susmentionné ΘZ : ZG, et exprimé en termes des tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 60 et 22;30], donne ΘZ = 13;48,07^p et ZG = 43;30,24^p ; la droite entière [par addition] est donc GΘ = 57;18,31^p. Ainsi, où les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ZΘ = 73;36,37^p et GΘ = 114;37,02^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 75° 40′ 28″ et arc GΘ = 145° 32′ 52″. Conséquemment, ∠ ZAΘ = 37° 50′ 14″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ ΘAG = 72° 46′ 26″. Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ ΘAG =] 17° 13′ 34″, et celui du [mouvement moyen en] anomalie, ∠ ZAH = [∠ ΘAG − ∠ ZAΘ =] 34° 56′ 12″, auxquels correspondent un mouvement en longitude [moyenne] de 11° 04′ 59″, selon le rapport [des vitesses] susmentionné, et il reste pour la moitié de la rétrogradation [par soustraction : 17° 13′ 34″ − 11° 04′ 59″ =] 6° 08′ 35″ et environ 11⁠1⁄4 j. La rétrogradation entière se compose donc de 12° 17′ 10″ et 22⁠1⁄2 j.

Selon nos calculs pour [les environs de] la plus grande distance, c’est-⁠à-⁠dire quand la longitude corrigée est d’environ 11° de l’apogée (correspondant à une longitude moyenne d’environ 11⁠1⁄2°), la prostaphérèse de l’équation correspondant à 1° [d’anomalie] est d’environ 2⁠1⁄3′ . Pour cette raison, les rapports ΘZ : ZG = 0;57,40 : 3;11,28 et EG : GZ = 5;06,48 : 3;11,28, donc le rectangle EG · GZ = 16;19,02. En outre, GA : AH = 68;36 : 22;30  et DG : GH = 91;06 : 46;06, donc le rectangle DG · GH = 4 199;42,36. Leur division [de 4 199;42,36 par 16;19,02] donne 257;22,44, dont la racine carrée, 16;02,35, multipliée par le rapport énoncé de ΘZ : ZG, relativement grandeurs données de GA et AZ [soit 68;36 et 22;30], donne ΘZ = 15;25,09^p et ZG = 51;11,43^p  des mêmes unités, et la droite entière [par addition] GΘ = 66;36,52^p . Ainsi, où les hypoténuses ZA et AG font chacune 120^p, ZΘ = 82;14,08^p  et GΘ = 116;31,36^p, auxquelles correspondent l’arc ZΘ = 86° 31′ 04″ et l’arc ΘG = 152° 27′ 56″. Conséquemment, ∠ ZAΘ = 43° 15′ 32″ où quatre angles droits font 360° et ∠ ΘAG = 76° 13′ 58″. Les angles restants [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de l’astre, ∠ ZGA = [90° − ∠ ΘAG =] 13° 46′ 02″, et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ ΘAG − ∠ ZAΘ =] 32° 52′ 26″, auxquels correspondent [des mouvements de] 9° 48′ 51″ en longitude vraie et 10° 16′ 51″ en [longitude] moyenne, selon les rapports [des vitesses] à l’apogée. Ainsi, il reste la moitié de la rétrogradation, de [par soustraction : 13° 46′ 02″ − 9° 48′ 51″ =] 3° 57′ 11″ et environ 10⁠1⁄2 j, et la rétrogradation entière est de 7° 54′ 22″ et 21 j.

Selon nos calculs pour la plus petite distance (qui se produit près des élongations de 120° en mouvement moyen depuis l’apogée), la prostaphérèse de l’équation, dérivée [du tableau] à environ 11° de part et d’autre des périgées est d’environ 1⁠1⁄2′. Il s’ensuit que ΘZ : ZG = 1;01,30 : 3;07,38 et EG : GZ = 5;10,38 : 3;07,38, et le rectangle EG · GZ = 16;11,25. En outre, GA : AH ≈ 55;42 : 22;30 et DG : GH = 78;12 : 33;12, donc le rectangle DG · GH = 2 596;14,24. La division [de 2 596;14,24 par 16;11,25] donne 160;21,29 , dont la racine carrée, 12;39,48, multipliée séparément par le rapport susmentionné ΘZ : ZG, et relativement aux tailles susmentionnées de GA et AZ [soit 55;42 et 22;30], donne ΘZ = 12;58,47^p et ZG = 39;36,04^p des mêmes unités, donc la droite entière [par addition] GΘ = 52;34,51^p. C’est pourquoi, où les hypoténuses AZ et AG font chacune 120^p, ΘZ = 69;13,31^p et ΘG = 113;16,48^p, auxquelles correspondent l’arc ΘZ = 70° 27′ 44″ et l’arc ΘG = 141° 28′ 14″. Conséquemment, ∠ ΘAZ = 35° 13′ 52″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ ΘAG = 70° 44′ 07″. Les autres angles [par soustraction] sont celui de la rétrogradation due à la vitesse de la planète, ∠ ZGA = [90° − ∠ ΘAG =] 19° 15′ 53″ , et celui du [mouvement en] anomalie apparente, ∠ ZAH = [∠ ΘAG − ∠ ΘAZ =] 35° 30′ 15″ , auxquels correspondent [des mouvements de] 11° 39′ 30″ en longitude corrigée, et 11° 21′ 30″ en [longitude] moyenne, selon les rapports [des vitesses près du périgée] susmentionnées. Il reste donc la moitié de la rétrogradation [par soustraction : 19° 15′ 53″ − 11° 39′ 30″ =] 7° 36′ 23″ et environ 11⁠1⁄2 j, pour une rétrogradation entière de 15° 12′ 46″ et 23 j.

Les quantités [des rétrogradations] que nous avons démontrées concordent assez bien avec celles dérivées des phénomènes réels associés à chaque planète. Nous avons d’ailleurs utilisé la méthode suivante pour trouver les mouvements en longitude aux plus grandes et aux plus petites distances.

Par exemple, dans le cas de Mars [XII 4], nous avons démontré que, aux environs de la plus grande distance, l’arc apparent de l’épicycle d’un point stationnaire à l’opposition (celui vu du centre de l’écliptique) est de 22° 13′ 19″, auquel correspond (selon le rapport 1 : 1;03,11) un mouvement en longitude moyenne d’environ 21° 10′ — mais celui-⁠ci n’est pas exact[ement vrai], puisque les rapports des vitesses que nous avons établis pour les stations ne restent pas inchangés pendant toute la période de rétrogradation. Cependant, il est suffisamment proche de la vérité pour que la prostaphérèse qui lui correspond (qui est d’environ 3° 45′) ne soit pas significativement différente [de la réalité]. Nous avons donc soustrait celle-⁠ci [3° 45′] du 22° 13′ 19″ de l’épicycle (puisqu’à la plus grande distance le mouvement apparent sur l’épicycle est supérieur au mouvement moyen), et [ainsi] trouvé que le mouvement moyen correspondant en anomalie d’un point stationnaire à l’opposition est de 18° 28′ 19″, auquel correspond, selon le rapport des mouvements moyens [0;52,51 : 1], un mouvement moyen en longitude de 20° 58′ 21″. Nous avons donc adopté cela comme valeur au lieu des 21° 10′ [précédents], puisqu’elle est plus exacte, et en avons soustrait les 3° 45′ de la prostaphérèse, qui reste ici pratiquement la même. [Nous avons soustrait] parce qu’à la plus grande distance, le mouvement apparent en longitude est inférieur au [mouvement] moyen. Ainsi, nous avons trouvé que le mouvement apparent en longitude est de 17° 13′ 21″, l’intervalle indiqué ci-⁠dessus.

De même, lorsque l’épicycle est à 11° 22′  [en longitude moyenne] depuis le périgée, la planète effectue ses stations à une distance [en anomalie] de 35° 30′ du périgée apparent de l’épicycle, de sorte que la différence avec la distance moyenne est de [35° 30′ − 34° 56′ =] 34′ . Et la plus petite distance est 55;34^p où la moyenne est 60^p, et leur différence est 4;26^p, tandis qu’à l’élongation ci-⁠dessus du périgée la distance est d’environ 55;42^p, et la différence de la moyenne 4;18^p. De même, en multipliant 4;26 par 0;34 et en divisant le produit par 4;18, nous trouvons la différence [en anomalie] par rapport à la distance moyenne au périgée réel, de 0° 35′. C’est pourquoi la distance depuis le périgée apparent de l’épicycle est de [34° 56′ + 0° 35′ =] 35° 31′, et depuis l’apogée, de 144° 29′ pour la première station et de 215° 31′ pour la deuxième station. Nous inscrivons ces quantités dans les mêmes [11^e et 12^e] colonnes, mais pas en face du nombre 180 de longitude, mais en face des nombres 120 et 240, puisque nous avons démontré que les points de l’excentrique de la planète Mercure les plus proches de la Terre  sont à ces positions.

7. Construction d’un tableau des stations

Afin de nous permettre de calculer commodément à quel point de l’épicycle se trouve chaque planète lorsqu’elle semble stationnaire, pour les distances comprises dans l’intervalle entre la distance moyenne et la plus grande ou la plus petite distance, nous avons dressé un tableau de 31 lignes et 12 colonnes, dont les deux premières contiendront les chiffres de la longitude moyenne à des intervalles de 6°, correspondant à la disposition des autres tableaux. Les 10 colonnes suivantes contiendront les distances en anomalie corrigée depuis l’apogée apparente de l’épicycle pour chacune des 5 planètes : dans chaque cas, la première colonne [de la paire pour cette planète] contiendra le nombre pour la première station, et la seconde colonne celui pour la deuxième station. Nous avons obtenu ces nombres [des entrées] à partir des [nombres] démontrés ci-⁠dessus pour les distances moyennes, minimales, et maximales, et à partir des incréments à des distances entre celles-⁠ci, que nous avons déjà déterminées dans [nos calculs] des soixantièmes [c’est-⁠à-⁠dire des minutes] que nous avons indiquées dans la huitième colonne des tableaux des anomalies. Car en démontrant le montant de l’équation maximale d’anomalie correspondant à chaque entrée dans le mouvement moyen, nous démontrons simultanément la distance de l’épicycle, qui est le principal facteur affectant la différence dans [la position des] stations.

Mais d’abord, puisque les rétrogradations que nous avons démontrées pour [les environs de] l’apogée et [du] périgée ne représentent pas les stations qui se produisent lorsque le centre de l’épicycle est précisément à l’apogée et au périgée, mais plutôt celles [qui se produisent] lorsqu’il est à une certaine distance spécifiée [d’eux], nous avons utilisé ce dernier pour déterminer, pour chaque planète, le montant correspondant à l’apogée et au périgée réels, comme suit.

Pour ce qui est de Saturne et Jupiter, puisqu’il n’y a pas de différence significative entre les distances de l’épicycle à l’apogée et au périgée [d’une part] et celles aux élongations de l’apogée et du périgée utilisés ci-⁠dessus [d’autre part], nous avons entré les quantités d’anomalie (comptées depuis l’apogée apparente de l’épicycle) dérivées pour ces élongations sur les lignes appropriées, c’est-⁠à-⁠dire que nous avons entré la quantité pour l’apogée sur la ligne avec l’argument 360, et la quantité pour le périgée sur la ligne avec l’argument 180. Mais nous avons démontré que pour Saturne, la distance [en anomalie] du périgée de l’épicycle à l’apogée de l’excentrique est d’environ 67° 15′, et au périgée de l’excentrique d’environ 64° 31′ ; et que pour Jupiter, elle est de 55° 55′ à l’apogée et de 52° 49′ au périgée. Pour plus de facilité d’utilisation, nous avons inscrit les quantités [en anomalie] correspondant à ceux-⁠ci, comptés à partir de l’apogée de l’épicycle, sur les lignes appropriées dans les 4 colonnes suivant les [colonnes d’argument de] longitude : sur la ligne d’argument 360 (pour l’apogée) [nous avons entré], dans la troisième colonne, 112° 45′ pour la première station de Saturne, et, dans la quatrième colonne, 247° 15′ pour sa deuxième station ; de même, dans la cinquième colonne, 124° 05′ pour la première station de Jupiter, et, dans la sixième colonne, 235° 55′ pour sa seconde station. Et sur la ligne avec l’argument 180 (pour le périgée) [nous entrons], suivant le même ordre, 115° 29′ et 244° 31′, et de même 127° 11′ et 232° 49′.

Dans le cas de Mars, nous avons démontré que lorsque le centre de l’épicycle est à 20° 58′ en [longitude] moyenne depuis l’apogée de l’excentrique, la planète est à son point stationnaire à une distance de 22° 13′ [en anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle ; et la quantité [correspondante] [d’anomalie] à distance moyenne est de 16° 51′, de sorte que la différence est de 5° 22′. De plus, là où la distance moyenne est de 60^p, la plus grande distance est de 66^p et la différence entre la plus grande et la moyenne est de 6^p, tandis qu’à la distance ci-⁠dessus de l’apogée [de 20° 58′] la distance est de 65;40^p et la différence entre ceci et la moyenne est de 5;40^p. Ainsi, en multipliant 6 par 5;22 et en divisant le résultat par 5;40, nous trouvons que la différence par rapport à la distance moyenne à l’apogée réelle est d’environ 5° 41′ . Ainsi, nous calculons que la distance [en anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle est de [16° 51′ + 5° 41′ =] 22° 32′, et depuis l’apogée, pour la première station, de 157° 28′, que nous inscrivons dans la septième colonne à la ligne de 360 et, pour la deuxième station, 202° 32′, que nous inscrivons dans la huitième colonne sur la même ligne.

De même, quand le centre de l’épicycle est à 16° 53′ en [longitude] moyenne depuis le périgée [de l’excentrique], elle [Mars] effectue ses stations à une distance de 11° 11′ [en anomalie] du périgée apparent de l’épicycle, de sorte que la différence [en anomalie] avec la distance moyenne est [16° 51′ − 11° 11′ =] 5° 40′ , et la plus petite distance est de 54^p des mêmes unités, avec une différence de 6^p avec la moyenne ; et à l’élongation ci-⁠dessus du périgée de l’excentrique est de 54;20^p, avec une différence avec la moyenne de 5;40^p. Ainsi, au périgée réel, nous obtenons la différence totale [en anomalie par rapport à la moyenne] de [5° 40′ × 6 ÷ 5;40 =] 6°. C’est pourquoi, la quantité [d’anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle est de [16° 51′ − 6° =] 10° 51′ ; et depuis l’apogée, de 169° 09′ pour la première station, et de 190° 51′ la seconde, que nous inscrivons dans les colonnes appropriées sur la ligne de 180.

Dans le cas de Vénus, nous avons démontré que, lorsqu’elle est à 21° 09′ en longitude moyenne depuis l’apogée [de l’excentrique], elle effectue ses stations à 14° 04′ [en anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle, tandis que le montant [correspondant] à distance moyenne est de 12° 52′, de sorte que la différence est de 1° 12′. Et, où la distance moyenne est de 60^p, la plus grande distance est de 61;15^p, et la différence de la moyenne de 1;15^p ; tandis qu’à l’élongation ci-⁠dessus depuis l’apogée, la distance est de 61;10^p, pour une différence avec la moyenne de 1;10^p. De même, nous multiplions donc 1;15 par 1;12 et divisons le produit par 1;10 ; nous trouvons ainsi la différence [en anomalie] de 1° 17′ à l’apogée réelle par rapport à celle de la distance moyenne. Ainsi nous calculons que la distance [en anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle est de [12° 52′ + 1° 17′ =] 14° 09′, et depuis l’apogée, pour la première station, de 165° 51′. Nous inscrivons [ces montants] dans la neuvième colonne sur la ligne avec 360, et, pour la seconde station, 194° 09′, que nous inscrivons dans la dixième colonne sur la même ligne.

De même, lorsque l’épicycle est à environ 20^p en longitude moyenne depuis le périgée de l’excentrique, elle [Vénus] effectue ses stations à 11° 44′ [en anomalie] depuis le périgée apparent de l’épicycle, pour une différence par rapport à la distance moyenne de [12;52 − 11° 44′ =] 1° 08′. Et la plus petite distance est de 58;45^p où la moyenne fait 60^p, et leur différence est de 1;15^p. En outre, la distance à l’élongation susmentionnée depuis le périgée est de 58;50^p des mêmes unités, et la différence avec la moyenne de 1;10^p. En multipliant donc 1;15 par 1;08 et en divisant le résultat par 1;10, nous trouvons la différence [en anomalie] par rapport à la distance moyenne de 1° 13′ au périgée réel. Ainsi la quantité d’anomalie du périgée apparent de l’épicycle est [12° 52′ − 1° 13′ =] 11° 39′, et celle de l’apogée, de 168° 21′ pour la première station et de 191° 39′ pour la seconde station, que nous inscrivons dans les mêmes colonnes [c’est-⁠à-⁠dire la neuvième et la dixième, respectivement] en face du nombre 180.

Dans le cas de la planète Mercure, nous avons démontré que lorsque l’épicycle est à 10° 17′ en longitude moyenne de l’apogée de l’excentrique, la planète effectue ses stations à une distance [en anomalie] de 32° 52′ depuis le périgée apparent de l’épicycle, tandis que le montant [correspondant] à distance moyenne est de 34° 56′, pour une différence de 2° 04′. De plus, lorsque la distance moyenne est de 60^p, la plus grande distance est de 69^p, pour une différence de 9^p, tandis qu’à l’élongation susmentionnée par rapport à l’apogée, la distance est de 68;36^p et la différence par rapport à la moyenne, de 8;36^p. Par la même procédure que précédemment, en multipliant 9 par 2;04 et en divisant le résultat par 8;36, nous obtenons une différence [en anomalie] à l’apogée réelle d’environ 2° 10′ par rapport à la distance moyenne. Ainsi, nous calculons que la distance [en anomalie] apparent de l’épicycle est de [34° 56′ − 2° 10′ =] 32° 46′ depuis le périgée, et depuis l’apogée, pour la première station, de 147° 14′, ce qui nous inscrivons dans la onzième colonne en face de 360, et pour la seconde station, de 212° 46′, que nous inscrivons dans la douzième colonne sur la même ligne.

Après cet exposé préliminaire, les incréments pour les positions entre [l’apogée et le périgée] peuvent être obtenus en utilisant les mêmes méthodes. Par exemple, proposons-nous de trouver les entrées (en anomalie apparente) pour la première station lorsque la position moyenne en longitude est à 30° de l’apogée. Dans cette situation la distance de l’épicycle, pour une distance moyenne dans tous les cas de 60^p, calculée par les méthodes expliquées précédemment, est (comme nous l’avons dit précédemment) la suivante :

Par conséquent, les différences par rapport à la moyenne sont, selon le même ordre pour éviter les répétitions :

Mais les différences entre la distance à l’apogée réelle et la moyenne, puisque les montants précédents pour la distance sont dans tous les cas supérieurs à la moyenne, sont, des mêmes unités :

Donc, les différences totales d’anomalie apparente entre l’apogée et la distance moyenne sont les suivantes (en utilisant le même ordre) :

Nous multiplions chacun de ces nombres par la différence entre la distance entre ce point et la distance moyenne de la planète respective (par exemple, tel que mentionné [pour Saturne], 1° 23′ avec 3° 02′), et divisons le produit par la différence entre la plus grande distance [et la moyenne], (par exemple [pour Saturne] par 3° 25′), et nous obtenons ainsi, pour la position susmentionnée en longitude, pour chaque planète, les quantités suivantes de différence en anomalie par rapport à celles à la distance moyenne :

Les distances [en anomalie] depuis l’apogée apparente de l’épicycle aux distances moyennes sont :

La [valeur correspondante] à la plus grande distance est inférieure à celle ci-⁠dessus, sauf pour Mercure, qui a les plus grandes. Ainsi, la différence trouvée pour la distance en question est supprimée de celle pour la distance moyenne, mais ajoutée pour Mercure, et nous obtenons [ainsi] les quantités suivantes, en anomalie apparente depuis l’apogée de l’épicycle, indiquées dans les colonnes pour la première station opposée à 30° de longitude moyenne :

Nous pouvons compléter les colonnes des secondes stations, en inscrivant, pour chaque [planète], la différence avec 360° des valeurs des premières stations, [en mettant le résultat] dans les colonnes des secondes stations sur la même ligne :

Il est aisé de voir que, si nous n’avions pas choisi de noter l’anomalie prise par rapport à l’apogée apparent de l’épicycle, mais l’anomalie non corrigée prise par rapport à la distance moyenne [apogée épicyclique], nous pourrions immédiatement la déduire aussi, en prenant dans le tableau des anomalies la prostaphérèse (combinée [des 3^e et 4^e colonnes]) correspondant à chaque argument de longitude moyenne, et en la soustrayant du montant que nous avons trouvé pour l’anomalie apparente sur les 180° de l’excentrique comptés depuis l’apogée, mais en l’ajoutant pour [longitudes à partir de l’apogée] de plus de 180°. Et ce tableau est le suivant.

8. Tableau des stations

9. Démonstration des plus grandes élongations solaires de Vénus et de Mercure

Maintenant que nous avons couvert les rétrogradations, il sied de démontrer les plus grandes élongations des astres Vénus et Mercure par rapport au Soleil, dans chacune des dodécatémories [signes zodiacaux ], tels que dérivées des hypothèses précédentes. Nous avons les rapportées par rapport à la position apparente du Soleil, en supposant que les planètes sont au début des signes [respectifs], et que les positions de leurs les apogées par rapport aux points solsticiaux et équinoxiaux sont celles de notre temps, à savoir : pour Vénus, en 25° du Taureau, et pour Mercure, en 10° de la Balance. Il sera facile pour ceux qui viendront après nous de corriger le changement des plus grandes distances dû au déplacement des apogées, en utilisant les mêmes méthodes, et de toute façon le changement restera très longtemps négligeable.

Pour faciliter la compréhension de notre méthode [à titre d’exemple], nous devons démontrer, pour Vénus d’abord, les plus grandes élongations matinales et vespérales [du soir] (comme nous les avons définies) lorsque la planète est à l’équinoxe de printemps, donc au début du Bélier.

Soit ABGDE la droite passant par l’apogée A de l’excentrique, sur laquelle B est le centre du mouvement uniforme, G le centre de l’excentrique portant l’épicycle, et D le centre du zodiaque [notre œil]. Dessinons GZ comme rayon de l’excentrique, décrivons l’épicycle HΘ autour de Z, et dessinons à partir de D la droite DΘ tangente à l’épicycle du côté [de la visibilité] du matin et est en avant [de son centre ; donc à l’ouest de celui-⁠]. Joignons BZH et ZΘ, et traçons les perpendiculaires GK, GL, et BM [à GZ, ZΘ, et GZ, respectivement].

Alors, puisque DA pointe vers 25° du Taureau et DΘ vers le début du Bélier, nous avons ∠ ADΘ = 55° où quatre angles droits font 360°, ou 110^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ; et ∠ DGK = 70^ꝏ restants [son supplément]. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GDK, l’arc GK = 110° et GK = 98;18^p où l’hypoténuse GD = 120^p. Donc où GD = 1;15^p et le rayon de l’épicycle ZΘ = 43;10^p, GK (= LΘ) = 1;01^p, et la portion restante [par soustraction de LΘ de ZΘ] ZL = 42;09^p, où le rayon de l’excentrique GZ = 60^p. Donc où l’hypoténuse GZ = 120^p, ZL = 84;18^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GZL, l’arc ZL = 89° 16′. Ainsi, ∠ ZGL = 89;16^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ DGK = 70^ꝏ des mêmes unités, et ∠ LGK est un angle droit, donc l’angle entier [par addition] ∠ ZGD = [89;16 + 70 + 180] = 339;16^ꝏ et l’angle explémentaire  [par soustraction de deux angles droits] ∠ AGZ = 20;44^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BGM, l’arc BM = 20° 44′ et l’arc GM = 159° 16′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BM = 21;35^p et GM = 118;02^p où l’hypoténuse BG = 120^p. Donc où BG = 1;15^p et le rayon de l’excentrique GZ = 60^p, la droite BM = 0;13^p, GM = 1;14^p, et le restant [par soustraction de GM de GZ] MZ = 58;46^p ; c’est pourquoi l’hypoténuse BZ [= √(BM² + MZ²)] = 58;46^p des mêmes unités. Donc, où BZ = 120^p, BM = 0;27^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BZM, l’arc BM = 0° 26′. Donc ∠ BZG = 0;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Et nous avons démontré que ∠ AGZ = 20;44^ꝏ des mêmes unités. Donc l’angle entier [par addition], qui représente le mouvement moyen en longitude, ∠ ABZ = 21;10^ꝏ où deux angles droits font 360°, ou 10° 35′ où quatre angles droits font 360°. Conséquemment, la position du soleil moyen sera 10° 35′ en avant [à l’ouest] de l’apogée A, et sera donc à 14° 25′ du Taureau, mais la vraie position du Soleil sera à 15° 14′ du Taureau. Ainsi, l’astre [Vénus], lorsqu’il est au début du Bélier, aura une élongation matinale maximale par rapport au Soleil vrai de 45° 14′.

Maintenant, dessinons un diagramme semblable, mais avec la tangente au côté de l’épicycle qui représente [de la visibilité] du soir et est vers l’arrière [vers l’est] [du centre] de l’épicycle, tandis que la planète, comme précédemment, est prise comme étant au début du Bélier. D’après ce qui a été démontré, ∠ ADΘ restera le même et ∠ DGK = 70^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et GK = LΘ = 1;01^p où le rayon de l’excentrique GZ = 60^p et le rayon de l’épicycle ZΘ = 43;10^p. Ainsi la droite entière [par addition] ZL [= ZΘ + LΘ] = 44;11^p des mêmes unités. Mais il est évident que, où l’hypoténuse [du triangle GZL] GZ = 120^p, ZL = 88;22^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GZL, l’arc ZL = 94° 51′. Donc ∠ ZGL = 94;51^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et ∠ ZGK = 85;09^ꝏ restants [son supplément] ; donc l’angle entier [par addition] ∠ ZGD (= ∠ BGM) [= ∠ DGK + ∠ ZGK] = 155;09^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BGM, l’arc BM = 155° 09′  et l’arc GM = 24° 51′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes BM = 117;11^p et GM = 25;49^p où l’hypoténuse BG = 120^p. Donc, où BG = 1;15^p, BM = 1;13^p, MG = 0;16^p, et la droite entière [par addition] MZ = 60;16^p ; c’est pourquoi l’hypoténuse BZ [= √(BM² + MZ²)] = 60;17^p des mêmes unités. Donc, où BZ = 120^p, BM = 2;25^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BZM, l’arc BM = 2° 19′, donc ∠ BZM = 2;19^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ BGZ = 204;51^ꝏ des mêmes unités, puisque nous avons prouvé que ∠ DGZ = 155;09^ꝏ des mêmes unités. Donc l’angle entier [par addition], qui représente le mouvement moyen en longitude, ∠ ABZ = 207;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 103° 35′ où quatre angles droits font 360°. Donc la position du soleil moyen sera de [25° du Taureau − 103° 35′ =] 11° 25′ du Verseau et la position [du Soleil] vrai de 13° 38′ du Verseau . Ainsi, la plus grande élongation du soir de l’astre [Vénus] par rapport au Soleil vrai, quand, comme auparavant, il est au début du Bélier, sera de 46° 22′.

Dans le cas de la planète Mercure, afin de mieux aborder les démonstrations de ses phases manquantes que nous donnerons plus loin, proposons-⁠nous de trouver son élongation maximale à partir du Soleil vrai, comme étoile du soir quand elle est au début du Scorpion, et comme étoile du matin quand elle est au début du Taureau.

D’après notre hypothèse pour Mercure, lorsque la position apparente de cet astre est donnée, la position moyenne en longitude ne peut pas être trouvée, puisque la ligne GZ ne demeure pas de longueur constante, et n’est pas toujours égale au rayon de l’excentrique (comme elle fait dans l’hypothèse des autres [planètes]). Mais si la position moyenne en longitude est donnée, la position apparente peut être démontrée. Supposons donc, pour chaque signe [du zodiaque], deux positions en longitude [moyenne] qui peuvent amener la planète [à sa plus grande élongation] près du début du signe en question, une en avance [du début du signe], et le second à l’arrière [de celui-⁠ci ; donc à l’ouest et à l’est, respectivement] ; nous calculons les plus grandes élongations aux positions choisies, et de là [par interpolation linéaire], nous trouvons la plus grande élongation qui se produit au début réel du signe. Cela deviendra clair par l’usage — et d’abord pour la plus grande élongation du soir au début du Scorpion.

Soit ABGD le diamètre passant par l’apogée A, sur lequel G est le centre de l’écliptique et B le centre du mouvement uniforme de l’épicycle. Imaginons premièrement le centre de l’épicycle comme étant exactement à l’apogée, de sorte que la position moyenne en longitude du soleil sera de 10° de la Balance, et sa longitude vraie de 8° de la Balance. Autour du centre A, dessinons l’épicycle ZH, traçons GH comme tangente à son côté représentant [la visibilité] de soir, et traçons la perpendiculaire AH [à GH].

Puisque nous avons démontré que là où la plus grande distance GA = 69^p, le rayon de l’épicycle AH = 22⁠1⁄2^p, alors où l’hypoténuse [du triangle rectangle AGH] AG = 120^p, AH = 39;08^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AGH, l’arc AH = 38° 04′  et ∠ AGH = 38;04^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ ou 119° 02′ où quatre angles droits font 360°, et GA est à 10° de la Balance. La planète sera donc à 29° 02′ de la Balance, son élongation maximale par rapport au Soleil vrai étant de 21° 02′.

Supposons maintenant que la distance en longitude moyenne de l’apogée soit de 3° : ainsi, le soleil moyen sera à 13° de la Balance, et le Soleil vrai à 11° 04′ de la Balance. Menons la droite BE et, autour du centre E, décrivons l’épicycle ZH. Comme précédemment, traçons la tangente GH, et joignons EG et EH . Alors dans la situation en question, c’est-⁠à-⁠dire avec ∠ ABE = 3° où quatre angles droits font 360°, nous pouvons démontrer par nos méthodes précédentes que l’angle de la différence d’excentricité ∠ AGE = 2° 52′ , et alors la distance de l’épicycle EG ≈ 68;58^p  où le rayon de l’épicycle EH = 22;30^p. Par conséquent, où l’hypoténuse EG = 120^p, EH = 39;09^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEH, l’arc EH = 38° 05′, et ∠ EGH = 38;05^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou environ 19° 03′ où quatre angles droits font 360°. Donc l’angle entier [par addition] ∠ AGH = 21° 55′ des mêmes unités. Ainsi, lorsque l’astre [Mercure] est à 1° 55′ du Scorpion, sa plus grande élongation par rapport au Soleil vrai est de [1° 55′ de la Vierge − 11° 04′ de la Balance =] 20° 51′. Et nous avons démontré que lorsqu’il est à 29° 02′ de la Balance, sa plus grande élongation par rapport au Soleil vrai est de 21° 02′. Ainsi, la différence entre les longitudes est de 2° 53′, et la différence entre les plus grandes élongations est de 11′, et ainsi au 0° 58′ restants de la première position jusqu’au début du Scorpion correspond [une diminution de la plus grande élongation de] 4′ environ ; si nous le soustrayons de 21° 02′ nous obtiendrons la plus grande élongation du soir du Soleil vrai [lorsque l’astre est] au début du Scorpion, de 20° 58′.

Ensuite, pour trouver la plus grande élongation matinale  au début du Taureau, supposons d’abord que la position moyenne en longitude [de la planète] soit de 39° vers l’arrière [l’est] du périgée. Ainsi, le soleil moyen est à 19° du Taureau, et le Soleil vrai à 19° 38′ du Taureau. Traçons un diagramme semblable [au précédent], dans lequel l’épicycle est décrit en arrière [à l’est] du périgée, et la tangente est tracée au côté [de la visibilité] du matin de l’épicycle. Alors à la position en question, c’est-⁠à-⁠dire avec ∠ DBZ = 39° où quatre angles droits font 360°, nous pouvons démontrer par la méthode décrite précédemment que ∠ DGE = 40° 57′, et que la distance à cet instant GE = 55;59^p où le rayon de l’épicycle EH = 22;30^p. Donc où l’hypoténuse [du triangle rectangle GEH] GE = 120^p, EH = 48;14^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEH, arc EH = 47° 24′. Donc ∠ EGH = 47;24^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 23° 42′ où quatre angles droits font 360°, et l’angle restant [par soustraction de ∠ DGE] ∠ HGD = 17° 15′ des mêmes unités. Par conséquent, lorsque l’astre Mercure a une longitude de 27° 15′ du Bélier, sa plus grande élongation matinale par rapport au Soleil vrai est de [19° 38′ du Taureau − 27° 15′ du Bélier =] 22° 23′.

Supposons maintenant que la distance [de l’astre] en longitude moyenne du périgée, du même côté [toujours à l’est], est de 42°, de sorte que le soleil sera à 22° du Taureau et le [Soleil] vrai à 22° 31′ du Taureau. Alors à cette position, c’est-⁠à-⁠dire avec ∠ DBZ = 42° où quatre angles droits font 360°, il s’avère que ∠ DGE = 44° 04′, et à cet instant la distance GE = 55;53^p  où le rayon de l’épicycle EH = 22;30^p. Donc, où l’hypoténuse EG = 120^p, EH = 48;19^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EGH, l’arc EH = 47° 30′. Donc ∠ EGH = 47;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 23° 45′ où quatre angles droits font 360°, et l’angle restant [par soustraction de ∠ DGE] ∠ HGD = 20° 19′ des mêmes unités. Par conséquent, quand l’astre de Mercure est à 0° 19′ du Taureau, sa plus grande élongation matinale par rapport au Soleil vrai sera de [22° 31′ du Taureau − 0° 19′ du Taureau =] 22° 12′.

Et nous avons montré que lorsqu’il [Mercure] est à 27° 15′ du Bélier, sa plus grande élongation (définie de manière similaire) sera de 22° 23′. Donc, puisque la différence entre les longitudes est de 3° 04′ et que la différence entre les plus grandes élongations est de 11′, aux 2° 45′ de la longitude à la première position jusqu’au début du Taureau correspondent environ 10′. Ainsi, en soustrayant cette dernière [valeur] de 22° 23′, nous obtenons la plus grande élongation matinale au Soleil vrai [lorsque la planète est] au début du Taureau de 22° 13′.

De la même manière, nous avons calculé les plus grandes élongations matinales et vespérales pour les deux planètes par calcul au [début] des autres signes, et nous avons construit un petit tableau pour eux, avec 12 lignes (égales en nombre [aux signes]) et 5 colonnes. Dans la première colonne sont les premiers points des signes, en commençant par le Bélier. Dans les quatre colonnes suivantes, nous avons mis les plus grandes élongations calculées depuis le Soleil vrai : la seconde contient les élongations matinales de la planète Vénus ; la troisième, ses élongations vespérales ; la quatrième, les élongations matinales de Mercure ; et la cinquième, ses élongations vespérales. Le tableau est le suivant.

10. Plus grandes élongations par rapport au Soleil vrai

Fin du douzième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

Le Livre XII de l’Almageste est différent des livres précédents ; il ne s’agit pas de construire des théories planétaires, mais de décrire des événements synodiques intéressant l astronomie traditionnelle préptolémaïque. En ce qui concerne les mouvements rétrogrades, le Livre XII a révélé que la théorie ptolémaïque de la longitude était incapable de décrire ce phénomène de manière simple, de sorte que Ptolémée s’était rabattu sur le vieux théorème d’Apollonios. D’un certain point de vue, ce fut un échec. D’un autre côté, ce fut une circonstance heureuse qui a permis à Ptolémée de démontrer son ingéniosité mathématique d’une manière rarement surpassée ailleurs dans l’Almageste, d’abord et avant tout par sa brillante extension du théorème d’Apollonios et par son habile utilisation de l’inversion circulaire. Comparée à de tels exploits, sa théorie des élongations maximales semble plus banale et dénuée de tout intérêt essentiel. Elle montre seulement que ce phénomène pourrait aussi être maîtrisé et réduit à la forme d’un tableau.

Il aurait été naturel d’inclure dans le Livre XII une théorie des périodes de visibilité des planètes comme troisième exemple des événements synodiques vénérés. Cependant, comme les phénomènes de visibilité dépendent des latitudes des planètes, ils ne peuvent être décrits tant que nous n’avons pas une théorie des latitudes. Une telle théorie est développée dans le Livre XIII […].

— Olaf Pedersen, A Survey of the Almagest, p. 354

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC