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1. De la construction d’un « astrolabe »

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Nous considérons comme suffisante, sans aucun changement, l’hypothèse énoncée ci-⁠dessus pour la première et simple anomalie lunaire pour les syzygies [de la Lune] avec le Soleil à la nouvelle lune et à la pleine lune, et donc pour les éclipses. Mais pour certaines autres configurations Soleil–Lune particulières, nous trouverons qu’elle n’est plus adéquate puisque, comme nous l’avons dit, nous avons découvert qu’il existe une deuxième anomalie lunaire, liée à sa distance angulaire au Soleil. Cette anomalie concorde avec la première aux deux syzygies, mais elle atteint un maximum aux dichotomies [quartiers de lune]. Nous avons été amenés à la découvrir et à la confirmer, tant par les observations des positions lunaires enregistrées par Hipparque, ainsi que par nos propres observations, qui ont été faites au moyen d’un instrument dont nous allons maintenant décrire la construction.

Nous prenons d’abord deux anneaux, aux surfaces tournées avec précision sur le tour de manière à être équarries [sections rectangulaires], égaux et similaires entre eux dans toutes les dimensions, et nous les unissons à angles droits, par un diamètre commun. L’un d’eux représente l’écliptique, et l’autre, le méridien passant par les pôles de l’écliptique et l’équateur. Sur ce dernier, en utilisant le côté du carré inscrit [comme mesure], nous avons marqué les points représentant les pôles de l’écliptique, et passé par chaque point [une cheville] cylindrique dépassant à l’extérieur et à l’intérieur. Sur les côtés extérieurs, nous avons ajouté un autre anneau dont la surface concave [intérieure] s’adapte étroitement à la surface convexe [extérieure] des deux anneaux joints, de telle manière qu’il puisse se déplacer dans le sens de la longitude, en pivotant librement sur les pôles de l’écliptique. De même, sur les côtés intérieurs, nous avons ajouté un autre anneau, dont la convexité [extérieure] s’adapte étroitement à la concavité [intérieure] des deux premiers [anneaux joints], et qui tourne librement en longitude autour des mêmes pôles avec l’anneau extérieur. Nous avons marqué cet anneau intérieur, ainsi que l’anneau représentant l’écliptique, des 360 degrés ordinaires de la circonférence, de même que des plus petites subdivisions d’un degré possibles. Ensuite, nous avons ajouté, dans l’anneau intérieur, un autre anneau plus petit dont le bord convexe [extérieur] glisse dans la concavité [intérieure] de l’anneau intérieur, avec des pinnules en saillie et diamétralement opposées, de sorte à ce qu’il puisse tourner dans le plan de l’anneau intérieur, vers l’un ou l’autre des pôles [précédemment mentionnés], afin de permettre l’observation des latitudes.

Après avoir terminé la construction ci-dessus, nous avons marqué, sur l’anneau représentant le cercle passant par les pôles de l’écliptique, à partir des deux pôles de l’écliptique, un arc égal à la distance entre les pôles de l’écliptique et l’équateur (comme mentionné précédemment), et à l’extrémité de chacun de ces arcs (diamétralement opposés), nous avons de nouveau inséré des pivots, en les attachant à un anneau méridien semblable à celui décrit au début de ce traité pour faire des observations de l’arc du méridien entre les tropiques. Cet anneau méridien a été installé dans la même position que le précédent, perpendiculaire au plan de l’horizon et [pointant] à la hauteur du pôle pour le lieu d’observation, ainsi que parallèlement au plan du méridien réel. Ainsi, les anneaux intérieurs peuvent tourner autour des pôles de l’équateur, d’est en ouest, suivant le premier mouvement de l’univers [mouvement diurne].

L’instrument ainsi installé, chaque fois que nous le Soleil et la Lune pouvaient être observés en même temps au-⁠dessus de la Terre [de l’horizon ; voir encart], nous avons tourné l’anneau extérieur sur le degré [sur l’anneau écliptique] correspondant approximativement à la position du Soleil à ce moment, puis nous avons fait tourner l’anneau qui passe par les pôles jusqu’à ce que l’ombre de l’intersection des anneaux – celui de l’écliptique et celui des pôles de l’écliptique – tombe sur [l’intersection opposée]. Si nous visions plutôt une étoile, appliqué un œil sur une face de l’anneau extérieur et [nous avons fait tourner l’anneau de sorte que] l’étoile apparaisse collée, pour ainsi dire, aux deux cercles. Enfin, nous avons tourné l’anneau intérieur vers la Lune – ou tout autre objet désiré – de sorte que la Lune – ou tout autre objet désiré – soit vue à travers les deux pinnules de l’anneau le plus interne en même temps que le Soleil (ou l’autre étoile observée) était aperçu [comme décrit ci-⁠dessus, par l’intersection des anneaux].

De cette façon, nous pouvons connaître la position [de l’astre] en longitude sur l’écliptique, à l’intersection de cet anneau et de l’anneau intérieur, ainsi que sa distance à l’écliptique vers le nord ou le sud, le long du cercle passant par les pôles de l’écliptique, à partir des graduations de l’anneau intérieur de l’astrolabe, à l’endroit pointé par les pinnules de l’anneau rotatif depuis l’anneau écliptique.

2. De l’hypothèse d’une double anomalie lunaire

L’angle Lune–Soleil, soit dans les observations rapportées par Hipparque ou dans les nôtres, était parfois en accord avec celui calculé à partir de l’hypothèse ci-⁠dessus, et parfois en désaccord, parfois de peu, parfois de beaucoup. Mais en étant plus attentif aux circonstances de cette variation, nous avons remarqué qu’à la conjonction et à l’opposition, la différence elle est imperceptible ou très petite, et peut être causée par la parallaxe lunaire. Nous avons toutefois remarqué qu’aux quadratures, l’écart est très faible ou nul lorsque la Lune est à l’apogée ou au périgée de l’épicycle, mais au contraire maximal lorsque la Lune est proche de sa vitesse moyenne et donc que la première anomalie est également maximale ; de plus, lorsque la première anomalie est soustractive, dans les quadratures, la longitude observée de la Lune est plus petite que celle calculée en soustrayant l’équation de la première anomalie, mais lorsque la première anomalie est additive, sa longitude réelle est plus grande qu’en fonction de la première anomalie. Cela nous fait donc supposer que l’épicycle de la Lune est porté sur un cercle excentrique, qui atteint son apogée aux conjonctions et aux pleines lunes, et son périgée aux quadratures. La première hypothèse donnerait ces résultats en introduisant la correction suivante.

Imaginons ainsi le cercle concentrique à l’écliptique se déplaçant contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest] dans le plan incliné de la Lune, comme ci-⁠dessus, pour [représenter le mouvement en] latitude, autour des pôles de l’écliptique et à une vitesse égale à l’excès du mouvement en latitude sur le mouvement en longitude. De même, [imaginons] la Lune parcourant le cercle épicycle — de sorte qu’à son apogée, elle aille contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest] – à une vitesse correspondant [à celle du] retour de la première anomalie. Supposons aussi, dans ce plan incliné, deux mouvements, en sens opposés, tous deux uniformes par rapport au centre de l’écliptique : l’un d’eux porte le centre de l’épicycle suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est] à la vitesse du mouvement en latitude, tandis que l’autre porte le centre et l’apogée de l’excentrique (situé dans le même plan) — le centre de l’épicycle sera toujours situé sur cet excentrique – contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest] d’une quantité égale à la différence entre le mouvement en latitude et la double élongation (l’élongation étant la quantité par laquelle le mouvement moyen de la Lune en longitude dépasse le mouvement moyen du Soleil). Ainsi, par exemple, le centre de l’épicycle parcourt en un jour environ 13° 14′ en [mouvement de] latitude suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est], mais paraît avoir parcouru 13° 11′ en longitude sur l’écliptique, puisque [l’ensemble du] cercle incliné [de la Lune] a tourné de 3′ dans le sens opposé, soit contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest] ; mais [pendant ce temps] l’apogée de l’excentrique, se déplace dans la direction opposée (soit encore contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest]) de 11° 09′, soit la quantité par laquelle la double élongation Lune–Soleil, 24° 23′, dépasse le mouvement en latitude, 13° 14′. La combinaison de ces deux mouvements, qui ont lieu en sens opposés, comme nous l’avons dit, autour du centre de l’écliptique, aura pour effet que le rayon portant le centre de l’épicycle et le rayon portant le centre de l’excentrique seront séparés par un arc qui est la somme de 13° 14′ et 11° 09′, et est le double de l’élongation (qui est d’environ 12° 11⁠1⁄2′). Ainsi, l’épicycle traversera l’excentrique deux fois par mois [synodique moyen], le retour à l’apogée ayant lieu à la conjonction et à la pleine lune calculées selon le mouvement moyen.

Afin de bien illustrer les détails de cette hypothèse, imaginons le cercle ABGD concentrique à l’écliptique et dans le plan incliné de la Lune, avec pour centre E et diamètre AEG. Supposons aussi que le point A soit à la fois l’apogée de l’excentrique, le centre de l’épicycle, la limite nord, le début du Bélier, et le Soleil moyen, au même instant. Je dis donc qu’au cours d’une journée, tout le plan avance de A vers D autour du centre E, d’environ 3′, de sorte que la limite nord A atteint 29° 57′ des Poissons, tandis que les deux mouvements opposés sont effectués par le rayon correspondant à EA [tournant] uniformément autour de E, le centre de l’écliptique. Je dis donc que, au cours d’une journée, le rayon passant par le centre de l’excentrique et correspondant à EA tourne uniformément contre l’ordre des signes [en avance / vers l’ouest] jusqu’à la position ED, portant l’apogée de l’excentrique en D, et couvrant un arc AD de 11° 09′, portant sur lui [et donc, tournant du même angle] le centre de l’excentrique, Z. [Dans le même temps, un autre] rayon passant par le centre de l’épicycle [correspondant à EA] tourne uniformément, à nouveau autour de E, vers l’arrière à travers les signes jusqu’à la position EB, portant sur lui [et donc, tournant du même angle] le centre de l’épicycle, H, et faisant l’arc AB 13° 14′. Ainsi la distance apparente de H, centre de l’épicycle :

• à la limite nord, A, est de 13° 14′ (en mouvement de latitude)
• au début du Bélier est de 13° 11′ (en longitude) (puisque la limite nord A s’est entretemps déplacée vers 29° 57′ des Poissons)
• à l’apogée de l’excentrique, D, est de 24° 23′ ([somme] des arcs AD et AB, soit le double de [la différence] d’élongation quotidienne moyenne).

Puisque, de cette manière, le mouvement par B et celui par D se rencontrent une fois par demi-mois [synodique] moyen, il est évident que ces mouvements seront toujours diamétralement opposés à des intervalles d’un quart et de trois quarts de cette période, c’est-à-dire aux quadratures moyennes. Le centre de l’épicycle [H], situé sur EB, sera [alors] diamétralement opposé à l’apogée de l’excentrique [D], situé sur ED, et [ainsi H] sera au périgée de l’excentrique.

Il est clair que, dans ces circonstances de l’excentrique, c’est-à-dire le fait que l’arc DB est différent de l’arc DH, ne produira aucune différence du mouvement moyen de la droite EB. En effet, celle-⁠ci ne parcourt pas l’arc DH de l’excentrique, mais l’arc DB de l’écliptique, et uniformément, puisqu’elle ne tourne pas autour du centre de l’excentrique Z, mais autour de E. La seule différence qui en résultera est due à l’épicycle : lorsque qu’il arrive vers le périgée, il augmente toujours l’équation d’anomalie, qu’elle soit additive ou soustractive, puisque l’angle [formé par l’épicycle] à l’œil de l’observateur est plus grand aux positions [de l’épicycle] plus près du périgée. Il n’y aura aucune différence avec la première hypothèse lorsque le centre de l’épicycle est à l’apogée A, l’épicycle étant alors en conjonction ou en opposition moyennes.

Car si nous traçons l’épicycle MN autour du point A, le rapport AE:AM est le même que celui que nous avons démontré à partir des éclipses ; la plus grande différence sera lorsque l’épicycle atteindra le point H, périgée de l’excentrique (comme XO ici). Cela se produit aux dichotomies ou quadratures moyennes, parce que le rapport XH:HE est plus grand que dans toute autre position, puisque XH, le rayon de l’épicycle, est toujours de longueur constante, tandis que la droite EH est la plus courte de toutes les droites tracées du centre de la Terre à l’excentrique.

3. De la taille de l’anomalie lunaire qui dépend du Soleil

Pour connaître l’équation d’anomalie maximale, lorsque l’épicycle est au périgée de l’excentrique, nous avons recherché des observations de la distance de la Lune au Soleil dans lesquelles :

• la vitesse [de la Lune] était à peu près moyenne (car c’est là que l’équation de l’anomalie est maximale) ;
• l’élongation moyenne de la Lune par rapport au Soleil était d’environ un quart de cercle, lorsque l’épicycle était proche du périgée de l’excentrique ; et
• en plus, où la Lune n’avait pas de parallaxe en longitude.

Si ces conditions sont remplies, et que la distance apparente observée est la même que la vraie, nous donc déduire sans erreur la valeur de la deuxième anomalie que nous recherchons. Lorsque nous calculons donc sur la base de ces observations, nous constatons que, lorsque l’épicycle est au plus proche de la Terre ou périgée, la plus grande équation d’anomalie est d’environ 7⁠2⁄3° par rapport à la position moyenne, ou 2⁠2⁄3°  par rapport à la première anomalie.

Voici un exemple à partir d’observations. Nous avons observé, avec notre instrument, le Soleil et la Lune dans la deuxième année d’Antonin, le 25 du mois égyptien phaminoth [9 février 139], après le lever du soleil, à 5⁠1⁄4 heures équinoxiales avant midi. Le Soleil était alors à 18⁠5⁄6° du Verseau, et Sagittaire 4[°] était au méridien ; la position apparente de la Lune était 9⁠2⁄3° du Scorpion — aussi sa vraie position, puisqu’à Alexandrie, lorsqu’elle est proche du début du Scorpion, à environ 1⁠1⁄2 h à l’ouest du méridien, elle n’a pas de parallaxe perceptible en longitude . Le temps écoulé entre l’époque de la première année de Nabonassar et l’observation est de 885 années égyptiennes, 203 jours, 18⁠3⁄4 heures (tant équinoxiales que vraies [temps solaire vrai ou moyen]), ce qui nous fait calculer la position moyenne du Soleil à 16° 27′ du Verseau, et sa position vraie à 18° 50′ [du Verseau], conformément à sa position visée selon l’astrolabe . Suivant la première hypothèse, la Lune à ce moment était, selon son mouvement moyen en longitude, à 17° 20′ du Scorpion, d’où une élongation moyenne par rapport au Soleil d’environ un quadrant, et [la distance de la Lune], en anomalie par rapport à l’apogée de son épicycle, était de 87° 19′, soit le maximum [ou presque]. Ainsi la position vraie de la Lune était inférieure à la position moyenne de 7⁠2⁄3°, plutôt que les 5° de la première anomalie.

En mentionnant « le 241^e », Hipparque réfère à un tableau du mouvement quotidien vrai de la Lune sur 248 jours (environ neuf mois anomalistiques) hérité des Babyloniens. La valeur citée serait alors 13° 30′ ou 13° 13′ 30″, selon qu’il a compté du début ou de la fin dudit tableau. La signification de ce passage a longtemps été mal comprise — à preuve, Halma utilise plutôt μέσος « moyen », et Manitius a 259°, expliquant qu’il considère qu’il y a eu erreur de copie manuscrite (entre σμαʹ, 241, et σνθʹ, 259) dans ce qu’il croit être un nombre de degrés, et que 259° est proche des 257° 47′ mentionnés plus loin par Ptolémée, 241° étant trop loin de cette valeur. Toomer indique que la réponse a été apportée quand des textes cunéiformes babyloniens ont été déchiffrés, notamment le MLC 1880 (ACT 190) illustré ci-⁠dessous.

Crédit photo : Klaus Wagensonner. Cliquer sur l’image pour l’agrandir (dans un nouvel onglet), ou cliquer ici pour voir une transcription assortie d’une explication (dans un nouvel onglet).

Maintenant, pour démontrer que la valeur de l’équation est la même dans des positions semblables à partir des observations d’Hipparque, nous en citerons une où il dit qu’il a observé la Lune, dans la cinquante-et-unième année du troisième cycle callipique, le 16 du mois égyptien d’epiphi [5 août −127], lorsque les deux tiers de la première heure étaient passés. Il indique que le mouvement quotidien vrai était [celui du jour] 241^e [voir encadré], et que le Soleil était à 8⁠7⁄12° du Lion, que la position apparente de la Lune était Taureau 12⁠1⁄3°, et que sa vraie position était approximativement la même. La vraie distance observée entre la Lune et le Soleil était donc de 86° 15′. Mais lorsque le Soleil est proche du début du Lion, à Rhodes (où l’observation a été faite), une heure de la journée correspond à 17⁠1⁄3 degrés de temps . Ainsi, les 5⁠1⁄3 heures saisonnières qui composent l’intervalle jusqu’au midi [suivant] équivalent à 6⁠1⁄6 heures équinoxiales ; l’observation a donc eu lieu 6⁠1⁄6 heures équinoxiales avant midi le 16, alors que 9° du Taureau [culminait] au méridien. Le temps écoulé entre l’époque et l’observation est donc de 619 années égyptiennes, 314 jours, 17⁠5⁄6 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai], soit 17⁠3⁄4 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen].

Pour cet instant, nous trouvons, d’après nos hypothèses (puisque le méridien passant par Rhodes est le même que celui passant par Alexandrie), que la position moyenne du Soleil est 10° 27′ du Lion et sa position vraie, de 8° 20′ du Lion. De plus, la position moyenne de la Lune en longitude était de 4° 25′ du Taureau — son élongation moyenne était donc à nouveau de près d’un quadrant — et la distance moyenne de la Lune à l’apogée de son épicycle (anomalie) de 257° 47′, proche de [la position de] l’équation maximale de l’anomalie due à l’épicycle.

Nous concluons donc que la distance entre la Lune moyenne et le vrai Soleil est de 93° 55′. Nous avons observé 86° 15′ d’écart entre la position vraie du Soleil et celle de la Lune, ce qui signifie que la vraie position de la Lune était donc supérieure [en longitude, donc à l’est] à sa vitesse moyenne, toujours de 7⁠2⁄3° au lieu des 5° de la première hypothèse. Puisqu’il est certain que de ces deux observations ont été faites près de la deuxième quadrature , la nôtre s’est avérée inférieure [à la position calculée à partir de la première anomalie] de 2⁠2⁄3°, tandis que celle d’Hipparque était plus grande d’autant, puisque l’équation totale de l’anomalie était soustractive [pour notre observation] et additive à celle d’Hipparque. Enfin, de nombreuses autres observations similaires nous ont révélé que la plus grande équation d’anomalie est d’environ 7⁠2⁄3°, quand l’épicycle est au périgée de l’excentrique.

4. De la proportion de l’excentricité lunaire

Partant de cela, soit ABG le cercle excentrique de la Lune, avec pour centre D et diamètre ADG, sur lequel nous supposons E comme centre de l’écliptique, de sorte que A est l’apogée de l’excentrique et G le périgée. Autour du point G, traçons l’épicycle de la Lune ZHΘ, puis la tangente EΘB, et joignons GΘ. Puisque la plus grande équation d’anomalie se produit quand la Lune est à la tangente de l’épicycle, et que nous avons démontré que cela équivaut à 7⁠2⁄3°, l’angle au centre de l’écliptique, ∠ GEΘ = 7° 40′ où quatre angles droits font 360°, et 115;20^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle GEΘ, l’arc GΘ = 15° 20′ et la corde correspondante GΘ ≈ 16^p où l’hypoténuse GE = 120^p. Donc, où la droite GΘ, rayon de l’épicycle, fait 5;15^p, comme nous l’avons démontré, et où EA, la distance du centre de l’écliptique à l’apogée de l’excentrique, vaut 60^p, EG, la distance du centre de l’écliptique au périgée de l’excentrique, vaut 39;22^p. Le diamètre AG en entier vaut donc [par addition] 99;22^p ; DA, le rayon de l’excentrique, vaut 49;41^p ; et ED, la distance entre le centre de l’écliptique et celui de l’excentrique, vaut 10;19^p, ce qui nous donne le rapport de l’excentricité.

5. De la direction de l’épicycle lunaire

La théorie précédente est suffisante pour expliquer les phénomènes de la Lune aux syzygies et aux quadratures ; mais à partir d’observations individuelles où la Lune est en forme de faucille ou biconvexe [gibbeuse] — quand l’épicycle est entre l’apogée et le périgée de l’excentrique — nous constatons que la Lune a une caractéristique particulière associée à la direction  dans laquelle pointe son épicycle. Chaque épicycle doit, en général, posséder un point unique et immuable définissant la position de retour de révolution sur cet épicycle — nous appelons ce point « l’apogée moyen », base du calcul du mouvement sur l’épicycle — comme le point Z dans le diagramme précédent. Ce point est défini, pour la position de l’épicycle à l’apogée ou au périgée de l’excentrique, par la droite passant par tous les centres [de l’écliptique, de l’excentrique, et de l’épicycle], comme DEG.

Dans les autres hypothèses, toutefois, [faisant intervenir l’épicycle sur l’excentrique, comme pour les planètes], nous ne voyons absolument rien dans les phénomènes qui viendraient s’opposer à ce que, dans les autres positions de l’épicycle [que l’apogée et le périgée de l’excentrique], le diamètre de l’épicycle passant par l’apogée ci-⁠dessus, c’est-à-dire ZGH, garde toujours la même position par rapport à la ligne droite qui transporte le centre de l’épicycle avec un mouvement uniforme (ici EG), et [ainsi] (comme on verra qu’il s’agit d’une conséquence nécessaire) pointe toujours vers le centre de révolution, autour duquel des angles égaux de mouvement uniforme sont parcourus en des temps égaux. La Lune, cependant, montre des phénomènes par lesquels les positions de l’épicycle [comprises] entre A et G, le diamètre ZH ne pointe pas toujours vers E, le centre de révolution, mais diverge de la même position qu’EG. Nous trouvons en effet que la direction dans laquelle [le diamètre ZH, ligne des apsides] pointe est un point unique et invariable du diamètre AG, mais ce point n’est ni E, le centre de l’écliptique, ni D, le centre de l’excentrique, mais un point éloigné de E vers le périgée de l’excentrique d’un montant égal à [la distance] DE. Nous montrerons cela par plusieurs observations, dont nous en avons choisi deux qui sont particulièrement propres à illustrer notre propos, puisque l’épicycle à ces observations était à mi-⁠chemin [entre l’apogée et le périgée de l’excentrique], et la Lune était proche de l’apogée ou du périgée de son épicycle ; c’est dans ces situations que se produit la plus grande différence de la direction [du diamètre de l’épicycle].

Hipparque rapporte qu’il a observé le Soleil et la Lune, avec ses instruments, à Rhodes au début de la deuxième heure, le onzième jour du mois égyptien de pharmouti, dans la 197e année après la mort d’Alexandre [2 mai −126]. Il dit que le Soleil était aperçu à 7⁠3⁄4° du Taureau, et que la position apparente du centre de la Lune était de 21⁠2⁄3° des Poissons, sa vraie position étant de 21⁠1⁄3 + 1⁄8° [21;27⁠1⁄2°]. À ce moment, la distance de la vraie Lune au vrai Soleil était d’environ 313° 42′, suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est]. L’observation ayant été faite au début de la deuxième heure, soit environ 5 heures saisonnières avant midi le 11 — ou environ 5⁠2⁄3 heures équinoxiales à Rhodes —, le temps entre notre époque et l’observation est donc de 18⁠1⁄3 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai], ou 18 heures équinoxiales comptées exactement [temps solaire moyen]. Pour cet instant, nous trouvons que le Soleil moyen était à 6° 41′ du Taureau ; le Soleil vrai était à 7° 45′ du Taureau ; et la Lune moyenne à 22° 13′ des Poissons en longitude et à 185° 30′ de l’apogée moyen de l’épicycle en anomalie. La distance de la Lune moyenne au Soleil vrai était donc de 314° 28′.

Partant de cela, soit ABG le cercle excentrique de la Lune, avec pour centre D et diamètre ADG, sur lequel nous supposons E comme représentant le centre de l’écliptique. Au centre B, traçons l’épicycle de la Lune, ZHΘ. Supposons que le mouvement de l’épicycle suive l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est] de B vers A, et que la Lune sur cet épicycle aille de Z vers H et [puis] vers Θ. Joignons DB et EΘBZ. Dans un mois [synodique] moyen, il se produit deux révolutions de l’épicycle sur l’excentrique, et dans la position en question, la Lune moyenne est à 315° 32′ du Soleil moyen. Donc, si nous doublons ce dernier et que nous soustrayons [les 360° d’]un cercle, nous obtiendrons l’élongation de l’épicycle à l’apogée de l’excentrique [à ce moment], soit, suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est] 271° 04′. Donc, l’angle restant AEB [quand 271° 04′ est soustrait] de 360° mesure 88° 56′. Traçons maintenant DK perpendiculaire à EB en partant de D. Puisque l’angle DEB = 88° 56′ où quatre angles droits font 360° et 177;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en orange ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DEK, arc DK = 177° 52′ et arc EK = 2° 08′ (supplément). Donc, ou l’hypoténuse DE fait 120 parties, les cordes correspondantes DK = 119;59^p et EK = 2;14^p. La droite DE, entre les centres, valant 10;19^p, et la droite DB, rayon de l’excentrique, valant 49;41^p, DK ≈ 10;19^p aussi, et EK = 0;12^p. Mais puisque BK² = DB² − DK², alors BK = 48;36^p et, la droite entière BKE [= BK + EK] = 48;48^p.

De plus, puisque la distance de la Lune moyenne au Soleil vrai était de 314° 28′, et que la distance de la Lune vrai [au Soleil vrai] a été observée à 313° 42′, l’équation d’anomalie est donc de −0° 46′. La position moyenne de la Lune est vue le long de la ligne EB, alors supposons la Lune située au point H (puisqu’elle est proche du périgée), puis joignons EH et BH, et traçons, à partir de B, la droite BL perpendiculaire à EH prolongée. Alors, puisque ∠ BEL contient l’équation d’anomalie de la Lune, ∠ BEL = 0° 46′ où quatre angles droits font 360° ou 1;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en rouge ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle EBL, l’arc BL = 1° 32′ et la corde correspondante BL = 1;36^p où l’hypoténuse EB = 120^p. Donc BL = 0;39^p où BE = 48;48^p et BH, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p. Par conséquent, où BH, le rayon de l’épicycle, vaut 120^p, BL = 14;52^p et, dans le cercle circonscrit [en vert lime ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BHL, l’arc BL = 14° 14′, et donc ∠ BHL = 14;14^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et, l’angle restant [par soustraction de ∠ BEL] ∠ EBH = 12:42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et 6° 21′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [6° 21′] est donc la taille de l’arc HΘ de l’épicycle, qui comprend la distance de la Lune au périgée vrai [de l’épicycle].

Mais puisque la distance de la Lune à l’apogée moyen au moment de l’observation était de 185° 30′, il est clair que le périgée moyen est en avance sur [donc de longitude moindre que] la Lune (le point H). Soit [le périgée moyen] le point M ; traçons la droite BMN puis EX qui lui est perpendiculaire (à partir du point E). Puisque, comme nous l’avons démontré, l’arc ΘH = 6° 21′, et que l’arc HM, la distance au périgée, est supposé être 5° 30′, alors [par addition] l’arc entier ΘM = 11° 51′, et ∠ EBX = 11° 51′ où quatre angles droits font 360° et 23;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit [en rouge, coïncidant avec le cercle circonscrit au triangle EBL ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BEX, de 360°, l’arc EX = 23° 42′ et la droite EX = 24;39^p où l’hypoténuse BE = 120^p. [Si nous ramenons cela à] BE = 48;48^p, alors EX = 10;02^p.

En outre, puisque ∠ AEB = 177;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et que ∠ EBN = 23;42^ꝏ, l’angle restant [par soustraction] ∠ ENB = 154;10^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en bleu ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle ENX, arc EX = 154° 10′ et arc EX = 116;58^p où l’hypoténuse EN = 120^p. [Si nous ramenons cela à] EX = 10;02^p et DE, la distance entre les centres, est 10;19^p, [alors] EN = 10;18^p. Par conséquent, le rayon de l’épicycle passant par le périgée moyen, BM, pointe dans une direction N qui coupe la droite EN qui est à peu près égale à l’excentricité DE.

Afin de démontrer que nous obtenons le même résultat dans les parties opposées de l’excentrique et de l’épicycle, nous avons de nouveau choisi, parmi les distances [entre le Soleil et la Lune] observées par Hipparque à Rhodes, l’observation qu’il a faite la même 197^e année depuis la mort d’Alexandre, à 9⁠1⁄3 heures le 17^e jour du mois égyptien de payni [7 juillet −126]. Il dit que le Soleil était alors aperçu à 10⁠9⁄10° du Cancer, et que la position apparente de la Lune était de 29° du Lion — c’était aussi sa vraie position, car à Rhodes, vers la fin du Lion, à environ une heure après le méridien, la Lune n’a pas de parallaxe longitudinale. Par conséquent, l’élongation de la vraie Lune par rapport au vrai Soleil [à ce moment] était de 48° 06′ suivant l’ordre des signes [vers l’arrière / vers l’est]. L’observation ayant été réalisée à 3⁠1⁄3 heures saisonnières après midi du 17 payni, ce qui correspond à environ 4 heures équinoxiales à Rhodes à cette date, le temps [écoulé] depuis notre époque [de Nabonassar] jusqu’à l’observation était de 620 années égyptiennes, 286 jours, 4 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai], ou 3⁠2⁄3 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen].

Pour cet instant, nous calculons que le Soleil moyen était à 12° 05′ du Cancer, que le Soleil vrai était à 10° 40′ du Cancer, et que la Lune moyenne était à 27° 20′ du Lion en longitude, donc que la distance de la Lune moyenne au vrai Soleil était de 46° 40′, et que son anomalie par rapport à l’apogée moyen de l’épicycle était de 333° 12′.

Partant de cela, supposons le cercle excentrique de la Lune ABG, avec pour centre D et diamètre ADG, sur lequel le centre de l’écliptique est représenté par le point E. Autour du point B, traçons l’épicycle de la Lune, ZHΘ, et joignons DB et EΘBZ. Alors, puisque deux fois l’élongation moyenne entre le Soleil et la Lune était de 90° 30′, nous aurons, d’après ce que nous avons démontré, ∠ AEB = 90° 30′ où quatre angles droits font 360°, et 181^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Si nous prolongeons donc BE et traçons, à partir de D, la droite DK perpendiculaire [à BE], alors ∠ DEK = 179^ꝏ, son supplément [soit 360^ꝏ − 181^ꝏ]. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) [en jaune ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DEK, l’arc DK = 179° et l’arc EK = 1°, son supplément. Les cordes correspondantes mesureront donc, pour DK, 119;59^p, et pour EK, 1;03^p où l’hypoténuse DE mesure 120^p ; et puisque DE, la distance entre les centres, vaut 10;19^p et que BD, le rayon de l’excentrique, vaut 49;41^p, alors DK ≈ 10;19^p et EK = 0;05^p. Or, puisque BK² = BD² − DK², alors BK = 48;36^p et, [par soustraction de EK], EB = 48;31^p.

En outre, puisque la distance de la Lune moyenne au Soleil vrai est de 46° 40′, et que la distance de la Lune vraie [au Soleil vrai a été observée à] 48° 06′, l’équation de l’anomalie est +1° 26′. Soit donc la position de la Lune en H (puisqu’elle est proche de l’apogée de l’épicycle). Joignons EH et BH, puis traçons à partir de B la droite BL perpendiculaire à EH. Puisque ∠ BEL = 1° 26′ où quatre angles droits font 360°, ou 2;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit [en rouge ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BEL, arc BL = 2° 52′ et BL = 2;59^p où l’hypoténuse EB = 120^p, alors où EB = 48;31^p et BH, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p, BL = 1;12^p. Donc, dans le cercle circonscrit [en bleu ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BHL, BL = 27;34^p où l’hypoténuse BH = 120^p, et l’arc BL = 26° 34′. Par conséquent, ∠ BHL = 26;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et, par addition [de ∠ BEL = 2;52^ꝏ], ∠ ZBH = 29;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 14° 43′ où quatre angles droits font 360°. Cela [14° 43′] est donc la taille de l’arc HZ de l’épicycle, qui comprend la distance [angulaire] de la Lune à l’apogée vrai.

Mais puisque la distance [de la Lune] à l’apogée moyen au moment de l’observation était de 333° 12′, si nous plaçons l’apogée moyen en M, traçons la ligne MBN, et traçons la perpendiculaire EX à partir de E, alors l’arc HZM = 26° 48′ (par soustraction [de 333° 12′] du cercle), et, par soustraction [de l’arc HZ = 14° 43′], arc ZM = 12° 05′. Par conséquent, ∠ MBZ = ∠ EBX = 12° 05′ où quatre angles droits font 360°, ou 24;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en rouge, coïncidant avec le cercle circonscrit au triangle rectangle BEL ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BEX, arc EX = 24° 10′ et EX = 25;07^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc, où BE = 48;31^p et DE, la ligne entre les centres, mesure 10;19^p, EX = 10;08^p.

Aussi, puisque ∠ AEB est donné comme 181^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et que ∠ EBN = 24;10^ꝏ, tel que nous l’avons démontré, alors par soustraction, ∠ ENB = 156;50^ꝏ des mêmes unités, et, dans le cercle circonscrit [en vert lime ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle ENX, l’arc EX = 156° 50′ et EX = 117;33^p où l’hypoténuse EN = 120^p. Donc, où EX = 10;08^p et DE, la ligne entre les centres, mesure 10;19^p, EN = 10;20^p. Donc, de ce calcul aussi, il s’avère que la droite MB — [le rayon de l’épicycle] passant par M, l’apogée moyen — pointe dans une direction telle que, lorsqu’elle est prolongée vers N, elle coupe une ligne EN approximativement égale à DE, la distance entre les centres.

Nous constatons également qu’à peu près le même rapport est obtenu sur la base de nombreuses autres observations, ce qui confirme notre hypothèse sur cette caractéristique de la direction de l’épicycle de la Lune, que la révolution [uniforme] du centre de l’épicycle s’effectue autour de E, le centre de l’écliptique, mais que le diamètre de l’épicycle, qui définit le point de l’apogée et du périgée moyens, pointe non pas (comme pour les autres [planètes]) vers E, le centre du mouvement moyen, mais toujours vers un point N, placé dans le prolongement de DE, et à une distance égale à l’intervalle entre les centres.

6. Du calcul géométrique de la position réelle de la Lune à partir des mouvements périodiques

Ceci démontré, la suite logique est de démontrer comment nous pouvons trouver, pour chaque position de la Lune, étant donnés ses mouvements moyens, et à partir de l’élongation et de la position de la Lune sur son épicycle [en anomalie], la prostaphérèse [correction] due à l’anomalie qui doit être ajoutée ou soustraite au mouvement moyen en longitude. La manière de résoudre un tel problème passe par une construction graphique basée sur les théorèmes précédents.

Prenons comme exemple le dernier diagramme [ci-⁠dessus], et supposons les mêmes mouvements périodiques en élongation et en anomalie, soit les 90° 30′ du double de l’élongation, et les 333° 12′ d’anomalie comptée à partir de l’apogée moyen [de l’épicycle]. Traçons la perpendiculaire NX [à ZK] (plutôt que EX) et la perpendiculaire HL [à ZK] (plutôt que BL). Nous connaissons déjà les angles au centre [E], et nous savons que les hypoténuses DE et EN sont égales . De là, DK = NX ≈ 10;19^p où DB, le rayon de l’excentrique, mesure 49;41^p ; BH, le rayon de l’épicycle, mesure 5;15^p ; et EK = EX = 0;05^p. Par conséquent, comme indiqué précédemment, BK = 48;36^p ; [par soustraction de EK] BE = 48;31^p ; et, par soustraction [de EX] BX = 48;26^p. Donc, puisque BX² + XN² = BN², BN = 49;31^p où NX = 10;19^p.

Ainsi, dans le cercle circonscrit [en rouge ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, au triangle rectangle BNX, où l’hypoténuse BN = 120^p, NX ≈ 25^p et l’arc NX = 24° 03′ ; par conséquent, ∠ NBX = ∠ ZBM = 24;03^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, soit environ 12° 01′ où quatre angles droits font 360°. Ainsi, l’arc ZM de l’épicycle a cette mesure [12° 01′].

Mais puisque le point H, représentant la Lune, est distant de M, l’apogée moyen, d’un tour moins [l’anomalie moyenne de 333° 12′], soit 26° 48′, par soustraction [de l’arc ZM à l’arc MH], arc HZ = 14;47^p. Ainsi donc, ∠ HBZ = 14° 47′ où quatre angles droits font 360°, ou 29;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et, dans le cercle circonscrit [en bleu ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle HBL, l’arc HL = 29° 34′ et l’arc restant LB = 150° 26′ (supplément). Par conséquent, où l’hypoténuse BH = 120^p, les cordes correspondantes HL = 30;37^p et LB = 116;02^p de ces mêmes parties. Donc, où BH, le rayon de l’épicycle, mesure 5;15^p et (tel que nous l’avons prouvé) BE = 48;31^p, HL = 1;20^p et LB = 5;05^p. La droite entière EBL mesure donc [par addition] 53;36^p où LH = 1;20^p. En outre, puisque EL² + LH² = EH², EH ≈ 53;37^p des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit [en vert ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle EHL, où l’hypoténuse EH = 120^p, HL = 2;59^p et l’arc HL = 2;52^p. En conclusion, l’équation de l’anomalie, ∠ HEL = 2 52 ^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et 1° 26′ où quatre angles droits font 360 °.

7. Construction d’un tableau pour l’anomalie lunaire totale

Afin de fournir un moyen facile de calculer les prostaphérèses [équations additives ou soustractives] individuelles par un tableau, nous avons complété le tableau de l’anomalie simple donné précédemment avec des colonnes qui permettent de corriger facilement la deuxième anomalie lunaire, d’après les calculs que nous avons faits partant des mêmes méthodes géométriques [expliquées ci-⁠dessus]. Après les deux [premières] colonnes contenant l’argument, nous avons inséré une troisième colonne contenant la correction à faire à l’anomalie, afin de réduire le mouvement moyen compté depuis M, l’apogée moyen, à Z, l’apogée vrai. Ci-⁠dessus, pour une élongation de 90° 30′, nous avons démontré que l’arc ZM est de 12° 01′, et donc, quand la distance de la lune à M, l’apogée moyen, est de 333° 12′, nous constatons que sa distance de Z, l’apogée vrai, est de 345° 13′, pour lesquels il faut calculer la prostaphérèse (correction du mouvement moyen en longitude) dans l’épicycle. En gros, pour toutes les autres élongations, nous avons calculé la quantité correspondante de l’équation en question et l’avons inscrite dans la troisième colonne. Des colonnes suivantes, la quatrième contiendra les équations de l’anomalie épicyclique (déjà exposées dans le tableau précédent), où l’équation maximale atteint environ 5° 01′, correspondant au rapport 60 : 5;15. La cinquième colonne contiendra les différences additives dues à la seconde anomalie par rapport à la première, la prostaphérèse maximale étant de 7⁠2⁄3°, correspondant au rapport 60 : 8 . Ainsi, la quatrième colonne est pour la position de l’épicycle à l’apogée de l’excentre (qui se produit aux syzygies), et la cinquième colonne est pour les ajouts [aux équations] provenant de [la position de l’épicycle, soit l’anomalie] au périgée de l’excentrique (qui se produit aux quadratures ou dichotomies).

Afin de permettre de trouver la proportion de ces incréments tabulés [dans la cinquième colonne] correspondant à une position de l’épicycle entre ces deux emplacements [à l’apogée et au périgée de l’excentre], nous avons ajouté une sixième colonne, qui contient la fraction correspondante (donnée en soixantièmes) de l’incrément tabulé qui doit être ajoutée à l’équation d’anomalie tabulée dans la quatrième colonne. Nous avons calculé ces fractions de la manière suivante.

Soit à nouveau l’excentrique de la lune ABG, avec comme centre D et diamètre ADG, sur lequel E est le centre de l’écliptique. Marquons l’arc AB, traçons l’épicycle, ZHΘK, avec comme centre B, et traçons la ligne EBZ. Considérons l’élongation comme donnée — par exemple, 60°. Donc, pour les raisons démontrées précédemment, l’angle AEB est le double de l’élongation donnée, soit 120°. Traçons DL à partir de D, perpendiculaire à BE prolongé, et traçons HBKD. Supposons que la ligne du centre E à la Lune, EMN, soit tangente à l’épicycle, produisant une équation d’anomalie maximale, et joignons BM. Alors, puisque ∠ AEB = 120° où quatre angles droits font 360°, ou 240^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, l’angle restant DEL = 120^ꝏ (son supplément). Donc, dans le cercle circonscrit [en rouge ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DEL, arc DL = 120° et l’arc restant EL = 60° (son supplément). Donc, les cordes correspondantes EL = 60^p et DL = 103;55^p où l’hypoténuse DE = 120^p. Donc, où DE = 10;19^p et DB = 49;41^p, EL ≈ 5;10^p et DL = 8;56^p. Et, puisque BL² = BD² − DL², BEL = 48;53^p, et, par soustraction [de EL], EB = 43;43^p, où MB, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p. Donc, dans le cercle circonscrit [en bleu ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] (de 360°) au triangle rectangle BEM, et où l’hypoténuse EB = 120^p, BM = 14;25^p et l’arc BM = 13° 48′. Par conséquent, l’équation maximale d’anomalie, ∠ BEM = 13;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 6° 54′ où quatre angles droits font 360°. Ainsi, à cette distance en élongation, l’équation d’anomalie différait des 5° 01′ [de l’équation maximale] à l’apogée [de l’excentrique] par 1° 53′. Mais la différence totale [entre l’équation maximale à l’apogée et] le périgée [de l’excentre] est de 2° 39′. Ainsi, où la différence totale est de 60, 1° 53′ deviendra 42′ 38″, quantité que nous mettrons dans la sixième colonne correspondant à 120° d’élongation [double].

De cette manière, nous avons donc calculé, pour les autres arguments tabulés, les fractions de la différence entre les deux anomalies, et nous les avons inscrites, exprimées en soixantièmes de cette différence, en face de l’argument correspondant. Il est évident que le total de 60 [soixantièmes] correspond au double de 90° d’élongation, qui est à 180° de l’excentre, l’emplacement du périgée. Nous avons également ajouté une septième colonne, qui contient la position de la Lune en latitude, de part et d’autre de l’écliptique, mesurée le long d’un cercle passant par les pôles de l’écliptique, c’est-à-dire les arcs de ce cercle compris entre l’écliptique et l’orbite inclinée de la Lune autour du même centre [que l’écliptique], pour chaque position [tabulée] de la Lune sur son cercle incliné. Pour cela nous avons utilisé la même méthode qui nous a servi à calculer les arcs de cercle passant par les pôles de l’équateur [qui sont coupés] entre l’équateur et l’écliptique. Ici, cependant, nous avons pris l’arc entre l’écliptique et la limite (nord ou sud) de l’orbite inclinée de la Lune, tel que mesuré le long du grand cercle [passant] à travers leurs deux pôles, comme valant 5°. Car, comme Hipparque, nous avons trouvé par calcul, à partir des positions apparentes les plus au nord et au sud de la Lune, que sa plus grande déviation de part et d’autre de l’écliptique est approximativement de cette quantité. En effet, presque toutes les observations de la Lune, qu’elles aient été prises par rapport aux étoiles ou prises avec des instruments, correspondent à une déviation latitudinale maximale de cette quantité, comme cela ressortira des démonstrations ultérieures. Le tableau de l’anomalie lunaire complète est le suivant.

8. Tableau de l’anomalie lunaire totale

[NdT : La première rangée est le numéro de la colonne et figure dans les manuscrits. Le tableau contient de nombreuses erreurs, certaines attribuables à l’arrondissement ou à l’interpolation, certaines autres inexplicables (selon Toomer). Une version corrigée est aussi disponible.]

9. Du calcul complet de la position de la Lune

Toutes les fois que nous voulons calculer la [position en] anomalie de la Lune au moyen du tableau, nous prenons, pour le moment en question à Alexandrie, les mouvements moyens de la lune en longitude, en élongation, en anomalie, et en latitude, tel que décrit . Nous doublons toujours le chiffre calculé pour l’élongation, et (après avoir soustrait 360°, si nécessaire), nous l’entrons dans le tableau des anomalies et nous prenons la somme correspondante dans la troisième colonne. Si le double de l’élongation est inférieur à 180°, nous ajoutons la quantité [de la troisième colonne] à l’anomalie moyenne, mais si le double de l’élongation est supérieur à 180°, nous soustrayons la quantité de l’anomalie moyenne. Nous entrons ensuite cette anomalie vraie résultante dans le même tableau, et prenons l’équation correspondante dans la quatrième colonne, de même que l’incrément correspondant dans la cinquième colonne, et notons [les deux] séparément. Ensuite, nous entrons l’élongation moyenne doublée dans le même tableau, prenons les soixantièmes qui lui correspondent dans la sixième colonne, et multiplions l’incrément que nous avons noté séparément par ce nombre de soixantièmes, puis ajoutons toujours ce résultat à l’équation calculée précédemment à partir de la quatrième colonne. Si l’anomalie vraie est inférieure à 180°, nous soustrayons cette somme de la longitude moyenne et de la latitude moyenne, mais nous l’ajoutons si l’anomalie vraie est supérieure à 180°. Ainsi, nous avons [deux] quantités ; nous ajoutons celle de la longitude à la position moyenne [de la Lune] à l’époque : le résultat sera la vraie position de la Lune. Pour la latitude, nous entrons l’[argument de la] latitude, compté à partir de la limite nord, dans le même tableau : la valeur correspondante dans la septième colonne sera la distance du centre de la Lune à l’écliptique, mesurée le long du grand cercle passant par les pôles de l’écliptique. Si l’argument tombe dans les 15 premières lignes du tableau, ce sera au nord [de l’écliptique], mais s’il tombe dans les lignes inférieures, ce sera au sud. La première colonne d’arguments comprend le mouvement de la Lune du nord au sud, et la deuxième colonne son mouvement du sud au nord.

10. Que la différence aux syzygies de l’excentrique lunaire est négligeable

On pourrait croire que le cercle excentrique de la Lune pourrait causer une différence notable dans les synodes [nouvelles lunes] et pleines lunes ainsi que dans les éclipses, puisque le centre de l’épicycle n’est pas toujours exactement à l’apogée, mais qu’il peut s’en écarter d’un arc [de l’excentrique] considérable, car les retours à l’apogée se produisent dans les syzygies moyennes, alors que la détermination de la synode et de la pleine lune [opposition] vraies nécessite de tenir compte des anomalies des deux astres [le Soleil et la Lune]. Nous essaierons donc de montrer que cette différence ne peut pas produire d’erreur considérable dans [le calcul] des phénomènes aux syzygies, même si la correction due à l’excentricité n’est pas prise en compte.

Prenons donc le cercle excentrique de la Lune ABG, avec pour centre D et diamètre ADG, sur lequel se trouve E, le centre de l’écliptique, et le point Z de direction opposée à D [du point de vue de E]. Prenons un arc AB à partir de l’apogée A, et dessinons l’épicycle, HΘKL, de centre B. Joignons BD, HBKE, et BLZ. Or, la taille de l’[équation d’]anomalie peut différer de celle qu’elle est quand l’épicycle est à l’apogée (en A), et ce, de deux manières — soit parce que l’épicycle est éloigné vers le périgée et sous-tend alors un angle plus grand en E, soit parce que la direction dans laquelle pointe le diamètre [passant] par l’apogée et le périgée moyens [de l’épicycle] n’est plus en E mais en Z.

L’effet du premier cas est maximal lorsque l’équation d’anomalie de la Lune est maximale, tandis que l’effet du second cas est maximal lorsque la Lune est proche de l’apogée ou du périgée de l’épicycle. Il est donc évident que, lorsque l’effet maximal du premier cas se produit, l’effet du second cas est négligeable, puisque l’équation d’anomalie de la Lune ne varie presque pas sur une grande portion de l’épicycle de part et d’autre de la tangente. Cependant, [dans cette situation] la vraie syzygie peut différer de la moyenne par la somme des équations [d’anomalie] des deux astres, si l’une est additive et l’autre soustractive. D’autre part, lorsque l’effet du deuxième cas — la différence due à la direction — est maximal, là encore l’effet du premier cas est négligeable, puisque l’anomalie est alors soit nulle, soit très petite, lorsque la Lune est près de l’apogée ou du périgée de l’épicycle. Dans ce cas, la différence entre la syzygie vraie et la moyenne ne provient que de l’équation d’anomalie du Soleil.

Supposons donc que le Soleil ait une équation additive maximale de 2° 23′, et que la Lune ait d’abord, elle aussi, une équation maximale (mais soustractive) de 5° 01′. Ainsi, ∠ AEB = 14° 48′, soit deux fois la somme (7° 24′) [de ces deux anomalies]. Traçons, à partir du point E, la droite EΘ tangente à l’épicycle, de même que les droites BΘ perpendiculaire [à EΘ]  et DM pependiculaire à BE. Alors puisque ∠ AEB = 14° 48′ où quatre angles droits font 360°, ou 29;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit [en bleu ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, au triangle rectangle DEM, arc DM = 29° 36′ et l’arc restant EM = 150° 24′ [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DM = 30;39^p et EM = 116;01^p, où l’hypoténuse DE = 120^p. Donc où DE, la distance entre les centres, vaut 10;19^p et BD, le rayon de l’excentrique, vaut 49;41^p, alors DM = 2;38^p et EM = 9;59^p. Et puisque BM² = BD² - DM², BM = 49;37^p et la droite entière BME [par addition de EM] mesure 59;36^p, où BΘ, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p. Donc, dans le cercle circonscrit [en orange ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, au triangle rectangle BEΘ, où l’hypoténuse EB = 120^p, BΘ = 10;34^p et l’arc BΘ = 10;06°. Par conséquent, l’angle de l’équation maximale d’anomalie, ∠ BEΘ = 10;06^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 5° 03′ où quatre angles droits font 360°, au lieu de 5° 01′ qu’il mesurait lorsque l’épicycle était à l’apogée A.

Par conséquent, la différence dans l’équation d’anomalie due à cet effet serait de deux soixantièmes de degré [2′], ce qui ne peut pas produire une erreur dépassant 1⁄16^e d’heure.

Supposons maintenant la Lune en L, le périgée moyen. Ainsi l’angle AEB mesurera approximativement le double de l’équation d’anomalie [maximale] du Soleil, soit 4° 46′. Dans un diagramme similaire [au précédent], traçons la droite EL, et tirons les perpendiculaires LN (à partir de L) et DM (à partir de D) sur BE, et ZX (à partir de Z) sur le segment BE prolongé. Puis, par le même raisonnement que précédemment, puisque l’angle en E, [∠ AEB] = 4° 46′ où quatre angles droits font 360°, ou 9;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans les cercles circonscrits aux triangles rectangles EDM et EZX, arc DM = arc ZX = 9° 32′ et les arcs restants arc EM = arc EX = 170° 28′ [le supplément]. Par conséquent, Crd arc DM = Crd arc ZX = 9;58^p, et Crd arc ME = Crd arc EX = 119;35^p où les hypoténuses DE et EZ mesurent chacune 120^p.

Donc, où DE = EZ = 10;19^p et DB, le rayon de l’excentrique, mesure 49;41^p, DM = ZX = 0;51^p et ME = EX = 10;17^p. Et puisque BM² = BD² − DM², BM ≈ 49;41^p. Par conséquent, BE = [BM + ME = ] 59;58^p et la droite entière [par addition de EX] BX = 70;15^p où ZX = 0;51^p. Par le même raisonnement, l’hypoténuse BZ [du triangle BZX] sera approximativement de la même taille [que BX], soit 70;15^p. Or, puisque BZ : ZX = BL : LN et BZ : BX = BL : BX, alors BL, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p et BE, comme cela a été démontré, mesure 59;58^p, LN = 0;04^p et BN ≈ 5;15^p, et le reste [par soustraction de BN à BE] NE = 54;43^p où LN = 0;04^p. Mais puisque, par le même raisonnement, l’hypoténuse EL [du triangle ELX] n’est pas sensiblement différente de 54;43^p, il s’ensuit que, où l’hypoténuse EL = 120^p, arc LN ≈ 0;08^p et, dans le cercle circonscrit, de 360°, au triangle rectangle ELX, arc LN = 0;08°.

Donc la différence de position de la Lune par rapport à la direction de Z, ∠ BEL = 0;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 0° 04′ où quatre angles droits font 360°.

Ainsi, ici aussi, la différence dans l’équation d’anomalie de la Lune est [de seulement] quatre soixantièmes [4′], ce qui ne produit pas d’erreur significative dans les phénomènes aux syzygies, puisqu’elle ne peut pas atteindre le 1⁄8e d’heure qui résulte fréquemment de l’erreur d’observation.

Nous avons expliqué ce qui précède, pas parce qu’il est impossible de tenir compte de ces différences, si minimes soient-elles, dans le calcul des syzygies, mais pour montrer que nous n’avons pas fait de faute notable dans nos démonstrations précédentes utilisant des éclipses lunaires lorsque nous utilisions l’[hypothèse simple], et non celle complétée par l’introduction de l’excentrique.

11. Des parallaxes de la Lune

Ce qui précède nous indique comment trouver les vraies positions de la Lune. Cependant, dans le cas de la Lune, il y a le problème supplémentaire que sa position apparente ne coïncide pas avec sa vraie position, puisque, comme nous l’avons dit, la Terre n’a pas le rapport d’un point à la distance de la sphère de la Lune. Par conséquent, il devient nécessaire de tenir compte des parallaxes lunaires, en particulier pour le calcul des éclipses solaires, entre autres. Au moyen de celles-⁠ci [les parallaxes lunaires], il sera possible, étant donné une position vraie [de la Lune] par rapport au centre de la Terre et de l’écliptique, de déterminer sa position apparente, soit celle vue d’un point quelconque de la surface terrestre, et, inversement, de déterminer la position vraie à partir de la position apparente. Toutefois, il est impossible de trouver la valeur de la parallaxe pour des positions individuelles à moins de connaître le rapport de la distance [du corps au rayon de la Terre], ni de trouver ce rapport sans connaître la parallaxe pour cette situation précise. Pour les corps sans parallaxe perceptible, donc, c’est-⁠à-⁠dire ceux [à la distance desquels] la Terre a le rapport d’un point, il est impossible de trouver le rapport de la distance. Quant aux corps qui, comme la lune, présentent une parallaxe, il s’agit, étant donné une parallaxe particulière, de trouver le rapport de la distance, puisqu’il est possible de faire une observation d’une parallaxe [particulière] de ce genre par elle-même, mais impossible de déterminer la quantité de la distance [par elle-même].

Hipparque a utilisé le Soleil comme base de sa recherche [des parallaxes], car certaines caractéristiques du Soleil et de la Lune (dont nous discuterons plus loin) font en sorte que, étant donné la distance à l’un de ces deux luminaires, la distance à l’autre est également donnée. Il [Hipparque] essaie de démontrer la distance de la Lune en présupposant celle du Soleil. Il suppose d’abord que le Soleil a une parallaxe minimale pour trouver sa distance, puis il se sert d’une éclipse solaire dans ses calculs, supposant d’abord que le Soleil n’a pas de parallaxe perceptible, et plus tard, qu’il en a une assez grande [pour être observée]. Il trouve ainsi deux valeurs différentes pour la distance de la Lune ; il est difficile de savoir laquelle est bonne, puisque, dans le cas du Soleil, non seulement nous ignorons sa vraie parallaxe, mais même s’il a une parallaxe [tout court].

12. De la construction d’un instrument parallactique

Quant à nous, pour éviter de prendre des facteurs incertains dans notre examen de ce sujet, avons construit un instrument pour nous permettre d’observer aussi précisément que possible la quantité de parallaxe de la Lune, et sa distance au zénith, le long du grand cercle à travers les pôles de l’horizon et la Lune.

Cliquer sur l’image pour la voir en plus grand.

Nous avons fait deux règles à quatre faces, d’au moins quatre coudées de longueur chacune — pour y mettre des graduations plus fines — et assez épaisses pour qu’elles ne soient pas déformées à cause de leur longueur, mais qu’elles gardent chaque côté strictement droit. Ensuite, nous avons tracé une ligne droite le long du milieu du côté le plus large de chaque règle, et apposé à chaque extrémité de l’une des [règles] et perpendiculaires à l’axe central, deux pinnules rectangulaires, de taille égale et parallèles l’une à l’autre. Chacune était percée d’un trou exactement au centre ; un plus petit pour l’œil, l’autre plus grand vers la Lune, de telle sorte que lorsqu’un œil était placé près du petit trou, la Lune entière était visible à travers le trou de l’autre plaque. Dans les deux règles, nous avons fait un trou de taille égale, à l’extrémité de la ligne médiane près de la plaque avec le plus grand trou, et monté une cheville à travers les deux trous de telle manière que les côtés des règles inscrites avec les lignes ont été fixés ensemble autour la cheville comme centre, mais la règle avec les pinnules pouvait tourner librement dans toutes les directions. Nous avons fixé solidement la règle sans pinnules debout sur une base. Sur la ligne médiane de chaque règle, à l’extrémité par la base, nous avons pris un point le plus loin possible du centre de la cheville (à la même distance de celle-ci [sur les deux règles]), et, sur la règle avec la base, nous avons divisé la ligne ainsi définie en 60 sections, subdivisant chaque section en autant de subdivisions que possible. Nous avons également attaché, à chacune des extrémités arrières de cette règle, deux plaques alignées l’une avec l’autre et équidistantes de cette même ligne médiane, de sorte que lorsqu’un fil à plomb était suspendu entre elles, la règle pouvait être mis en place exactement perpendiculaire au plan de l’horizon. Nous avions aussi une ligne méridienne toute tracée dans le plan parallèle à celui de l’horizon dans un endroit sans ombre ; nous avons placé l’instrument debout de telle manière que les côtés des règles qui étaient maintenues au ras l’une de l’autre par la cheville pointaient vers le sud, parallèles à la ligne méridienne, et la règle avec la base était fixée exactement perpendiculaire, dans un position ferme et fixe, tandis que l’autre règle pouvait se déplacer dans le plan du méridien autour de la cheville, dans la position où nous l’arrêtions. Nous avons également ajouté une autre règle, mince et droite, attachée par une petite broche à l’extrémité de base de la ligne graduée, de sorte qu’elle aussi puisse être tournée, et assez longue pour atteindre la fin de la ligne sur l’autre règle équidistante [de la cheville] lorsqu’elle était tournée à sa distance maximale [de la base] ; ainsi en la faisant tourner en même temps que cette dernière, nous pouvions nous en servir pour indiquer la distance en ligne droite entre les extrémités [des axes sur les deux règles].

Voici comment nous avons fait nos observations de la Lune passant au méridien et près des solstices sur l’écliptique — puisque dans ces positions, le grand cercle passant par les pôles de l’horizon et le centre de la Lune coïncident à peu près avec le grand cercle passant par les pôles de l’écliptique, le long duquel la latitude de la Lune est mesurée ; c’est aussi une situation dans laquelle la vraie distance [de la Lune] au zénith peut être déterminée de manière pratique. Lorsque la Lune était précisément au méridien, nous avons déplacé la règle avec les pinnules jusqu’à la position dans laquelle le centre de la Lune, lorsqu’elle était vue à travers les deux ouvertures, était au centre de la plus grande ouverture, puis nous avons marqué sur la règle mince la distance entre les extrémités des lignes sur les [deux] règles, puis appliqué la distance [marquée sur la règle mince] à la ligne graduée en 60 sections sur la règle verticale. Ainsi, nous avons trouvé à combien — des 60 portions du cercle décrit par la rotation [de la règle avec les plaques de visée] dans le plan du méridien — correspond l’intervalle mesuré. En calculant l’arc correspondant à cet intervalle [qui est une corde], nous avons trouvé la distance angulaire du centre apparent de la Lune au zénith, mesurée le long du grand cercle passant par les pôles de l’horizon et le centre de la Lune, qui coïncidait à ce moment avec le méridien passant par les pôles de l’équateur et de l’écliptique.

Pour pouvoir connaître précisément la plus grande latitude de la Lune, nous l’avons observée lorsqu’elle était [simultanément] près du solstice d’été et près de la limite nord de son orbite inclinée  ; dans ces points, en effet, la latitude de la Lune reste sensiblement la même sur un intervalle considérable [de son orbite], et de plus, comme la Lune est alors très près du zénith au parallèle passant par Alexandrie — où nous avons fait nos observations —, sa position apparente est presque identique à sa position réelle. Nous avons ainsi constaté que le centre de la Lune était toujours éloigné du zénith d’environ 2⁠1⁄8°. Par conséquent, cette recherche démontre que la plus grande latitude de la Lune, de part et d’autre de l’écliptique, est de 5°, ce qui correspond à la latitude d’Alexandrie, de 30° 58′, moins 2⁠1⁄8° (distance apparente [du centre de la Lune au zénith]), moins la distance de l’équateur au solstice d’été, de 23° 51′.

Ensuite, pour observer les parallaxes, nous avons pointé la Lune de la même manière, mais cette fois lorsqu’elle était proche du solstice d’hiver, tant pour la raison mentionnée ci-⁠dessus que parce que sa distance au zénith est la plus grande sur le même méridien ; ainsi, la parallaxe est alors plus grande et plus facilement déterminable. Nous exposerons une seule des nombreuses observations de parallaxe que nous avons faites dans de telles situations ; nous allons ainsi illustrer la méthode de calcul, et nous démonstrerons le reste dans l’ordre approprié.

13. Démonstration des distances de la Lune

Nous avons observé la Lune au méridien, dans la vingtième année d’Hadrien, à 5⁠5⁄6 heures équinoxiales après midi, le 13^e jour du mois égyptien athyr [1^er octobre 135], juste avant le coucher du soleil. Selon l’instrument, son centre était à 50⁠11⁄12° du zénith — la distance marquée sur la règle mince était de 51⁠7⁄12 des 60 graduations de l’instrument [correspondant à un rayon d’une révolution de 360°], et une corde de cette taille sous-tend un arc de 50⁠11⁄12°. Le temps écoulé de l’ère de la première année de Nabonassar jusqu’au moment de cette observation est de 882 années égyptiennes, 72 jours, 5⁠5⁄6 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai], soit 5⁠1⁄3 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen]. À ce moment, nous trouvons que la longitude moyenne du Soleil était de 7° 31′ de la Balance ; que la longitude vraie du Soleil était de 5° 28′ de la Balance ; et que la longitude moyenne de la Lune était de 25° 44′ du Sagittaire. Ceci donne une élongation moyenne de 78° 31′. La distance [en anomalie] de [la Lune à] l’apogée moyen de l’épicycle était de 262° 20′, et sa distance en [argument de] latitude à la limite nord de 354° 40′.

Selon le tableau, cela donne +7° 26′ d’équation complète de l’anomalie, de sorte que la vraie position de la Lune à ce moment était de 3° 10′ du Capricorne en longitude, et de 2° 06′ en [argument de] latitude sur l’orbite inclinée depuis la limite nord, soit 4° 59′ depuis l’écliptique vers le nord, sur le grand cercle passant par les pôles de l’écliptique, qui coïncidait essentiellement avec le méridien à ce moment.

Or, 3° 10′ du Capricorne est à 23° 49′ au sud de l’équateur sur le même cercle [méridien], et l’équateur est à 30° 58′ au sud du zénith à Alexandrie. Par conséquent, la vraie distance du centre de la Lune au zénith était à [23° 49′ + 30° 58′ − 4° 59′ =] 49° 48′, mais il en paraissait éloigné de 50° 55′ ; donc, la parallaxe de la Lune à la distance [Terre–Lune] à cette occasion était de 1° 07′ le long du grand cercle passant par la Lune et les pôles de l’horizon, alors que sa vraie distance au zénith était de 49° 48′.

Ceci bien établi, traçons dans le plan du grand cercle passant par les pôles de l’horizon et de la Lune les grands cercles suivants, de centre commun : AB pour la Terre, GD pour celui passant par le centre de la Lune au moment de l’observation, et EZHΘ en comparaison duquel la Terre a la taille d’un point. Soit K le centre commun de tous ces cercles, et KAGE la droite passant par les points verticaux [au zénith]. Supposons que la Lune, en D, soit à 49° 48′ du zénith comme déterminé, et joignons KDH et ADΘ. À partir du point A, qui représente le lieu d’où nous observions, traçons AL perpendiculaire à KB, et AZ parallèle à KH.

Il est évident que, pour une personne au point A, la parallaxe de la Lune était l’arc HΘ, de 1° 07′, selon [le calcul fait à partir de] l’observation. Mais puisque l’arc ZΘ n’est pas plus grand que l’arc HΘ (car la Terre entière est comme un point par rapport au cercle EZHΘ), l’arc ZHΘ est à peu près le même, soit aussi 1° 07′. Ainsi, puisque le point A n’est pas différent pour la peine du centre du cercle ZΘ, ∠ ZAΘ = 1° 07′ où quatre angles droits font 360°, ou 2;14^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et ∠ ADL = ∠ ZAΘ = 2;14^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ADL, arc AL = 2;14° et Crd arc AL = 2;21^p où l’hypoténuse AD = 120^p. Mais LD est presque égal à AD, donc où LA = 2;21^p, LD ≈ 120^p.

Nous avons aussi supposé que arc GD = 49° 48′, donc l’angle au centre du cercle, ∠ GKD = 49° 48′ où quatre angles droits font 360°, ou 99;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ALK, arc AL = 99° 36′ et le reste, arc LK = 80° 24′ [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes AL = 91;39^p et LK = 77;27^p où l’hypoténuse AK = 120^p. Donc où AK, le rayon de la terre, mesure 1^p, AL = 0;46^p et KL = 0;39^p. Mais où AL = 2;21^p, LD, comme démontré, mesure 120^p. Par conséquent, où AL = 0;46^p, LD = 39;06^p. Mais KL = 0;39^p et le rayon de la Terre KA = 1^p, donc où KA, le rayon de la Terre, vaut 1^p, la droite entière KLD [par addition], qui est la distance de la Lune lors de l’observation, vaut 39;45^p [rayons terrestres].

Ceci démontré, soit ABG le cercle excentrique de la Lune, avec centre D et diamètre ADG, sur lequel E est pris comme centre de l’écliptique, et Z comme la direction [du diamètre moyen de l’apogée] de l’épicycle. Traçons l’épicycle, HΘKL, autour du point B, et joignons HBΘE, BD, et BKZ. Soit L la position de la Lune lors de cette observation. Traçons des perpendiculaires à BE, soit DM à partir de D et ZN à partir de Z . Puis puisque, au moment de l’observation, la valeur de l’élongation était de 78° 13′, et pour les raisons mentionnées ci-⁠dessus, il s’ensuit que ∠ AEB = 156° 26′ où quatre angles droits font 360°, et ∠ ZEN = ∠ DEM feront chacun le reste, soit 23° 34′ où quatre angles droits font 360°, ou 47;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans les cercles circonscrits, de 360°, aux triangles rectangles correspondants [ZEN et DEM], puisque DE = EZ et que arc DM = arc ZN = 47° 08′, alors arc EM = arc EN = 132° 52′ [suppléments]. Par conséquent, les cordes correspondantes DM = ZN = 47;59^p et EM = EN = 110;00^p où hypoténuse DE = hypoténuse EZ = 120^p. Par conséquent, où DE = EZ = 10;19^p et DB, le rayon de l’excentrique, est de 49;41^p, chacune des droites DM = ZN = 4;08^p et chacune des droites EM = EN = 9;27^p. Et puisque BM² = BD² − DM², alors BM = 49;31^p et BE = [BM − EM =] 40;04^p, et le reste [par soustraction de EN de BE], BN = 30;37^p où ZN = 4;08^p. Conséquemment, puisque BN² + ZN² = BZ², l’hypoténuse BZ = 30;54^p. Donc, dans le cercle circonscrit, de 360°, au triangle rectangle BZN, où l’hypoténuse BZ = 120^p, la droite ZN = 16;02^p et l’arc ZN = 15° 21′. Il s’ensuit donc que ∠ ZBN = 15;21^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, soit environ 7° 40′ où quatre angles droits font 360°. Ceci [7;40°] est donc la taille de l’arc ΘK de l’épicycle.

En outre, la distance de la Lune à l’apogée moyen de l’épicycle au moment de l’observation était de 262° 20′, et donc sa distance de K, le périgée moyen, était de 82° 20′ (par soustraction d’un demi-⁠cercle), ce qui fait que arc KL = 82° 20′ et l’arc entier ΘKL = [arc ΘK + arc KL =] 90° — donc, ∠ ΘBL est un angle droit. Ainsi, puisque EL² = BL² + EB², et où DB, le rayon de l’excentre, vaut 49;41^p et BL, le rayon de l’épicycle, vaut 5;15^p, EB, comme nous l’avons montré = 40;04^p, alors EL = 40;25^p.

La distance de la Lune en longitude lors de l’observation est donc de 40;25^p, où BL, le rayon de l’épicycle, est de 5;15^p et où EA, la distance du centre de la Terre à l’apogée de l’excentrique, est de 60^p, et où EG, la distance du centre de la Terre au périgée de l’excentrique, est 39;22^p.

Mais nous avons démontré que la distance de la Lune lors de l’observation, c’est-à-dire EL, était de 39;45^p où le rayon de la Terre est un, donc où EL, la distance de la Lune lors de l’observation, est 39;45^p et le rayon de la terre est 1^p, EA, la distance moyenne aux syzygies, mesure 59;00^p, et EG, la distance moyenne aux dichotomies [quadratures] mesure 38;43^p, et le rayon de l’épicycle = 5;10^p.

14. De la proportion des diamètres apparents du Soleil, de la Lune, et de l’ombre aux syzygies

Maintenant que nous avons démontré les distances de la Lune, la suite naturelle est de démontrer également celles du Soleil. Cela aussi peut facilement être réalisé géométriquement, si on nous donne, en plus des distances de la Lune aux syzygies, les tailles des angles formés à l’œil par les diamètres du Soleil, de la Lune, et de l’ombre.

Ptolémée ne détaille pas la construction de cet instrument, mais d’autres sources ont permis la reconstruction ci-⁠dessous. Cliquer sur l’image pour l’agrandir (dans un autre onglet). Deux styles de curseurs sont possibles : un plein, qui convient à la Lune, ainsi que un troué, qui convient plus au Soleil (les liens ouvrent dans de nouveaux onglets).

La seconde image montre une vue simulée à travers l’instrument. Le demi-disque gris près du centre est la Lune. En utilisant l’instrument, on fait glisser le curseur jusqu’à ce que son diamètre apparent soit le même que celui de la Lune.

Nous avons rejeté, des méthodes utilisées pour résoudre ce problème, toutes celles qui prétendaient mesurer le Soleil ou la Lune en mesurant l’écoulement de l’eau [d’une clepsydre] ou par les temps de lever [du Soleil ou de la Lune] à l’équinoxe, puisque de telles méthodes ne peuvent pas fournir une mesure précise. Au lieu de cela, nous avons construit l’instrument décrit par Hipparque, qui utilise une tige de quatre coudées, et, en observant avec, nous avons constaté que le diamètre du Soleil sous-tend toujours approximativement le même angle, sans différence notable due à [la variation de] sa distance, mais que la Lune sous-tend le même angle que le Soleil uniquement lorsqu’elle est à sa plus grande distance de la Terre (c’est-à-dire l’apogée de l’épicycle) à la pleine Lune, et non à sa distance moyenne, comme le supposaient mes prédécesseurs . En outre, nous avons constaté que les angles eux-mêmes sont plus petits que ceux traditionnellement acceptés ; ceci non pas en calculant la mesure à l’instrument, mais d’après certaines éclipses lunaires. En effet, il était possible de déterminer facilement, grâce à l’instrument, lorsque les deux diamètres étaient identiques, puisqu’une telle détermination n’implique aucune mesure réelle. Mais pour ce qui est de la valeur absolue [de l’angle sous-tendu], elle nous semblait douteuse, puisque la mesure impliquant le positionnement de la pinnule sur la longueur de la tige partant de l’œil peut être imprécise. Cependant, quand la Lune à sa plus grande distance sous-tendait le même angle à l’œil que le Soleil, nous avons calculé la taille de l’angle qu’elle sous-tend à partir des observations d’éclipses lunaires dans lesquelles la Lune était [proche de sa plus grande] distance, et ainsi obtenu, par le fait même, la taille de l’angle sous-tendu par le Soleil. Nous allons expliquer la méthode de procédure en cela au moyen de deux des éclipses utilisées.

Dans la cinquième année de Nabopolassar, qui est la 127^e année de l’ère de Nabonassar, à la fin de la onzième heure du 27 au 28 du mois égyptien d’athyr [21/22 avril −620], à Babylone, la Lune a commencé à être éclipsée ; l’obscurcissement maximal a été de 1⁄4 du diamètre depuis le sud. Puisque l’éclipse a commencé 5 heures saisonnières après minuit, et que le milieu arriva à environ 6 heures [saisonnières après minuit] — ce qui correspond à 5⁠5⁄6 heures équinoxiales à Babylone à cette date, puisque la vraie position du Soleil était de 27° 03′ du Bélier —, il est clair que la mi-⁠éclipse, donc le moment où l’obscurcissement est maximal, s’est produite 5⁠5⁄6 heures équinoxiales après minuit à Babylone, et exactement 5 heures après minuit à Alexandrie.

Le temps écoulé depuis l’époque est de 126 années égyptiennes, 86 jours, 17 heures équinoxiales comptées simplement, ou 16⁠3⁄4 heures équinoxiales en jours solaires moyens. La position moyenne en longitude de la Lune était alors de 25° 32′ de la Balance ; sa position vraie en longitude, de 27° 05′ de la Balance ; sa distance [anomalie] à l’apogée de l’épicycle, de 340° 07′, et sa distance [argument de latitude latitude] de la limite nord de son orbite inclinée, de 80° 40′. Il est clair que lorsque le centre de la Lune près de sa plus grande distance est à 9⁠1⁄3° du nœud, mesuré le long de son orbite inclinée, et que le centre de l’ombre se trouve sur le grand cercle qui passe par le centre de la Lune à angle droit avec cette orbite (qui est la situation dans laquelle se produit le plus grand obscurcissement), 1⁄4 du diamètre de la Lune est alors immergé dans l’ombre.

Cette éclipse est mentionnée sur une tablette cunéiforme (ci-dessous ; c’est l’une des deux seules éclipses mentionnées dans l’Almageste qui ont été identifiées parmi celles mentionnées dans les tablettes cunéiformes publiées jusqu’à maintenant — l’autre a déjà été mentionnée), dans les quatrième et troisième lignes à partir du bas. Le texte original est :

šattu 7 Dūzu mūši 14 1⁠2⁄3 KAS.BU mūši illikū [MI DU]
Sin atalū gamru [TIL] iššakan i-ṣi i-ri-ḫi iltānu izziz [***]

Selon Franz Xaver Kugler, qui fut le premier à la publier, la traduction est la suivante :

Année 7, mois IV, nuit du 14, 1⁠2⁄3 heure double après le début de la nuit une éclipse lunaire ; visible tout au long [du phénomène] ; elle était éclipsée depuis le nord sur plus de la moitié.

Abraham Sachs, dans une communication privée à John Phillips Britton publiée par ce dernier, opte plutôt pour :

Année 7, mois IV, nuit du 14, 1⁠2⁄3 heure double dans la nuit une éclipse lunaire « totale » a eu lieu [avec seulement] un peu qui restait [non éclipsé]. Le vent du nord soufflait.

Tablette BM 33066. © The Trustees of the British Museum. Cliquer sur l’image pour l’agrandir (dans un nouvel onglet).

L’autre éclipse a eu lieu dans la septième année de Cambyse [II], qui est la 225^e année de Nabonassar, dans la nuit du 17 au 18 du mois égyptien de phaminoth [16/17 juillet −522], 1⁠5⁄6 heure [équinoxiale] avant minuit à Babylone. La moitié du diamètre [lunaire] a été obscurci depuis le nord. Cette éclipse s’est donc produite environ 1⁠5⁄6 heure équinoxiale avant minuit à Alexandrie. Le temps écoulé depuis l’époque était de 224 années égyptiennes, 196 jours, 10⁠1⁄6 heures équinoxiales comptées simplement, 9⁠5⁄6 heures équinoxiales comptées avec précision, puisque la position du Soleil était de 18° 12′ du Cancer).

La position moyenne de la Lune en longitude était alors de 20° 22′ du Capricorne ; sa position vraie en longitude, de 18° 14′ du Capricorne ; sa distance [anomalie] à l’apogée de l’épicycle, de 28° 05′ ; et sa distance [argument de latitude] depuis la limite nord de son orbite inclinée, de 262° 12′. Il est donc évident que, le centre de la Lune étant, à nouveau près de sa plus grande distance, à 7⁠4⁄5° du nœud, tel que mesuré le long de son orbite inclinée, et que le centre de l’ombre a la même position par rapport à elle qu’avant, la moitié du diamètre de la Lune est immergé dans l’ombre.

Quand le centre de la Lune est à 9⁠1⁄3° du nœud le long de l’orbite inclinée, il est à 48⁠1⁄2′ de l’écliptique le long du grand cercle passant par lui et perpendiculaire à l’orbite inclinée. Quand, au contraire, il est à 7⁠4⁄5° du nœud le long du cercle incliné, il est à 40⁠2⁄3′ de l’écliptique sur le grand cercle passant par lui et perpendiculaire à l’orbite inclinée. Donc, puisque la différence entre [les tailles de] les deux éclipses est du quart du diamètre de la Lune, et que la différence entre les distances [mentionnées ci-⁠dessus] du centre de la Lune à l’écliptique — c’est-⁠à-⁠dire du centre de l’ombre — est de [48⁠1⁄2 − 40⁠2⁄3 =] 7⁠5⁄6′, le diamètre total de la Lune sous-tend donc un arc de grand cercle de [4 × 7⁠5⁄6=] 31⁠1⁄3′.

À partir de ces données, nous voyons clairement que le rayon de l’ombre à la plus grande distance de la Lune sous-tend 40⁠2⁄3′, car lorsque le centre de la Lune était à cette distance [40⁠2⁄3′] du centre de l’ombre, il touchait le [bord du] cercle de l’ombre, puisque la moitié du diamètre de la Lune était alors éclipsée. C’est à peine moins que 2⁠3⁄5 du rayon de la Lune, qui est de 15⁠2⁄3′. Par d’autres observations similaires, nous avons trouvé des valeurs qui sont en accord avec celles-⁠ci ; c’est pourquoi nous les utilisons, à la fois pour traiter des éclipses que dans la démonstration suivante de la distance solaire, qui sera dans le même sens que celle suivie par Hipparque. Une autre présupposition [de cette démonstration] est que les cercles du Soleil, de la Lune, et de la terre entourés par les cônes sont essentiellement les mêmes que les grands cercles de leurs sphères, et les diamètres aussi.

15. De la distance du Soleil, et des conséquences de sa démonstration

Avec ces données, et sachant que la plus grande distance de la Lune aux syzygies est de 64;10 unités où le rayon de la Terre est de 1 (vu que nous avons démontré que sa distance moyenne est de 59 de ces unités et que le rayon de l’épicycle est de 5;10), voyons la grandeur de la distance du Soleil qui en résulte.

Soient les grands cercles suivants, situés dans le même plan : ABG pour le Soleil, de centre D ; EZH pour la Lune à sa plus grande distance, de centre Θ ; et KLM pour la Terre, de centre N. Soient aussi les plans passant par les centres : AXG passant par les centres de la Terre et du Soleil [dans le cône tangent], et ANG passant par les centres du Soleil et de la Lune [dans le cône tangent], avec DΘNX comme axe commun. Soient enfin les droites passant par les points de tangence, qui sont évidemment parallèles entre elles, et qui sont sensiblement égales aux diamètres : ADG pour le cercle solaire, EΘH sur le cercle lunaire, KNM sur le cercle terrestre, et OPR sur le cercle de l’ombre dans laquelle la Lune est plongée à sa plus grande distance — de sorte que ΘN est égale à NP, et chacune d’elles vaut 64;10 unités où NL, le rayon de la Terre, vaut 1. La question est de trouver le rapport entre ND, la distance du Soleil, et NL, le rayon de la Terre.

Prolongeons donc EH jusqu’à [rencontrant XG à] S. Puisque nous avons démontré que, la plus grande distance aux syzygies, le diamètre de la Lune sous-tend 0° 31′ 20″ du cercle (de 360°) tracé par la Lune autour du centre de la Terre, alors ∠ ENH = 0° 31′ 20″ où quatre angles droits font 360°, et ∠ ΘNH = 1⁄2 ∠ ENH = 0;31,20^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ.

Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle NHΘ, arc ΘH = 0° 31′ 20″ et le restant, arc ΘN = 179° 28′ 40″ [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes HΘ = 0;32,48^p et NΘ ≈ 120^p où le diamètre NH = 120^p. Donc, où NΘ = 64;10, ΘH = 0;17,33, et NM, le rayon de la Terre, vaut 1 dans les mêmes unités. Mais puisque PR : ΘH ≈ 2;36 : 1, alors PR = 0;45,38 dans les mêmes unités. Donc ΘH + PR = 1;03,11 où NM = 1. Mais les deux droites PR + ΘS = 2, puisque PR + ΘS = 2NM — puisque, comme nous l’avons dit, toutes ces droites sont parallèles, et NP = NΘ. Par conséquent, le reste [par soustraction de (PR + ΘH) de (PR + ΘS)], HS = 0;56,49 où NM = 1. Et NM : HS = NG : HG = ND : ΘD, donc où ND = 1, DΘ = 0;56,49, et, par soustraction, ΘN = 0;03,11. Par conséquent, où NΘ = 64;10 et NM = 1, la distance du Soleil, ND ≈ 1 210.

Pareillement, comme nous l’avons démontré, PR = 0;45,38 où NM = 1, et NM : PR = NX : XP, donc, où NX = 1, XP = 0;45,38, et le reste [par soustraction] PN = 0;14,22. Donc où PN = 64;10 et NM, le rayon terrestre, vaut une unité, XP ≈ 203;50, et, par addition, XN = 268.

De tout cela, nous concluons que, là où le rayon de la Terre est de 1, la distance moyenne de la Lune aux syzygies est de 59, la distance du Soleil est de 1 210, et la distance du centre de la Terre au sommet du cône d’ombre est de 268 .

16. De la taille du Soleil, de la Lune, et de la Terre

Partant de cela, les rapports des autres tailles [volumes] sont faciles à déterminer d’après les [rapports des] diamètres du Soleil, de la Lune, et de la Terre. Car, puisque nous avons démontré que, où NM, le rayon de la Terre, vaut 1, le rayon de la Lune, ΘH = 0;17,33 et NΘ = 64;10, et puisque NΘ : ΘH = ND : DG, et que nous avons démontré que ND = 1 210 des mêmes rayons terrestres, le rayon du Soleil, DG ≈ 5⁠1⁄2 des mêmes unités. Les rapports des diamètres seront donc les mêmes. Ainsi, où le diamètre de la Lune est de 1, le diamètre de la Terre est d’environ 3⁠2⁄5 et celui du Soleil de 18⁠4⁄5. Le diamètre de la Terre est donc de 3⁠2⁄5 fois celui de la Lune, et celui du Soleil est de 18⁠4⁄5 fois [celui de la Lune], et de 5⁠1⁄2 fois celui de la Terre.

Or, puisque 1³ = 1, et 3⁠2⁄5³ ≈ 39⁠1⁄4, et 18⁠4⁄5³ ≈ 6 644⁠1⁄2, nous concluons que, là où le volume de la Lune est de 1, le volume de la Terre est de 39⁠1⁄4 et celui du Soleil de 6 644⁠1⁄2. Le volume du Soleil est donc environ 170 fois celui de la Terre .

17. Des parallaxes individuelles du Soleil et de la Lune

L’étape suivante est de démontrer la méthode à utiliser pour calculer les parallaxes individuelles du Soleil et de la Lune à partir de leurs distances ; d’abord, traitons de celles par rapport au grand cercle tracé par le zénith et l’astre.

Soient, dans le plan de ce grand cercle : le grand cercle AB représentant la Terre, le grand cercle GD représentant l’orbite du Soleil ou de la Lune, et le grand cercle EZHΘ auquel la Terre porte le rapport d’un point. Soit K le centre de tous ces cercles, et KAGE le diamètre passant par les points verticaux [zénith et nadir]. Prenons un arc GD depuis le point vertical G, par exemple, de 30° (d’un cercle de 360°), et dessinons KDH et ADΘ. À partir de A, traçons AZ parallèle à KH, et AL perpendiculaire [à KH].

Puisque aucun des deux astres ne reste toujours à la même distance — bien que la différence résultante dans les parallaxes du Soleil sera très petite et imperceptible, puisque l’excentricité de son cercle est petite et sa distance grande, mais que pour la Lune, la différence résultante est très sensible, tant à cause de son mouvement sur son épicycle qu’à cause de celui de l’épicycle sur l’excentrique, chacun ne produisant pas une petite différence de distance. Nous ne démontrerons donc les parallaxes solaires que pour un seul rapport, à savoir 1 210 : 1, mais pour démontrer celles de la Lune, nous utiliserons quatre rapports convenant le mieux aux méthodes à venir. Les deux premiers sont lorsque l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique :

• [Première limite :] La distance à l’apogée de l’épicycle, qui est, selon notre démonstration précédente, de 64;10 rayons terrestres ; et
• [Deuxième limite :] La distance au périgée de l’épicycle, que nous calculons comme étant [59;00 − 5;10 =] 53;50 rayons terrestres.

Les deux secondes sont lorsque l’épicycle est au périgée de l’excentrique :

• [Troisième limite :] La distance à l’apogée de l’épicycle, que nous avons démontrée être de [38;43 + 5;10 =] 43;53 rayons terrestres ;
• [Quatrième limite :] La distance au périgée de l’épicycle, que nous calculons comme étant [38;43 − 5;10 =] 33;33 rayons terrestres.

Alors, puisque l’arc GD = 30°, par hypothèse, ∠ GKD = 30° où quatre angles droits font 360°, 60^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AKL, arc AL = 60°, et le reste, arc KL = 120° [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes AL = 60^p et KL = 103;55^p où le diamètre AK = 120^p. Donc, où AK = 1^p, AL = 0;30^p et KL = 0;52^p. Et, dans les mêmes unités :

Et, par soustraction, LD [= KLD − KL], qui est le même que AD, puisque la différence est imperceptible :

Par conséquent, où hypoténuse AD = 120^p, alors — en supposant le même ordre, pour éviter les répétitions :

Donc dans le cercle autour du triangle rectangle DLA :

Conséquemment,

Donc, le point A se confond donc avec le centre K, et l’arc ZHΘ n’est presque pas différent de l’arc HΘ — parce que la Terre entière a le rapport d’un point au cercle EZHΘ —, dans le cercle EZHΘ de 360°, l’arc de parallaxe :

Nous avons de cette manière calculé les parallaxes pour les autres distances zénithales (à intervalles de 6° jusqu’aux 90° du quadrant), et construit un tableau des diverses parallaxes, en 45 lignes et 9 colonnes. Dans la première [colonne], nous mettons les 90 degrés du quadrant, à intervalles de deux degrés ; dans la deuxième, les soixantièmes [minutes] de parallaxe solaire correspondant à chaque argument ; dans la troisième, la parallaxe lunaire à la première limite ; dans la quatrième, la différence de parallaxe entre la deuxième limite lunaire et la première limite ; dans la cinquième, la parallaxe à la troisième limite lunaire ; et dans la sixième, la différence entre la parallaxe à la quatrième limite lunaire et la troisième limite. Par exemple, pour un argument de 30°, on trouve 0;01,25° pour le Soleil ; 0;27,09° pour la première limite de la Lune ; 0;05,18° de différence entre la deuxième limite et la première ; 0;40° pour la troisième limite ; et enfin 0;12,30°, qui est la différence entre la quatrième limite et la troisième.

Afin de pouvoir calculer aisément les parallaxes intermédiaires pour les distances [de la Lune] intermédiaires entre l’apogée et le périgée [de l’excentrique et de l’épicycle] à partir des parallaxes tabulées aux quatre limites ci-⁠dessus, en utilisant les minutes [d’interpolation], nous avons ajouté les trois colonnes restantes pour tenir compte de ces différences. Voici comment nous avons calculé ces colonnes.

Soit ABGD l’épicycle de la Lune, avec pour centre E, et soit Z le centre de l’écliptique et de la Terre. Joignons [ZE avec la ligne] AEDZ, traçons ZGB, joignons BE et GE, et traçons les droites perpendiculaires à AD, BH à partir de B, et GΘ à partir de G. Supposons d’abord que l’arc AB, qui représente la distance de la Lune à l’apogée vrai A [de l’épicycle] mesurée depuis le centre Z, est, par exemple, de 60°. Ainsi, ∠ BEH = 60° où quatre angles droits font 360°, ou 120^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEH, arc BH = 120° et arc EH = 60° qui restent [son supplément].

Par conséquent, les cordes correspondantes BH = 103;55^p et EH = 60^p, où le diamètre EB = 120^p. Mais quand le centre E de l’épicycle est à l’apogée de l’excentrique, ZE : EB = 60 : 5;15. Par conséquent, si nous prenons EB = 5;15^p, nous avons alors BH = 4;33^p, EH = 2;38^p, et la droite entière [par addition de EH à EZ], HEZ = 62;38^p. Aussi, puisque ZB² = ZH² + HB², alors ZB = 62;48^p, où la distance de la première limite, ZA = 65;15^p, la distance de la deuxième limite, ZD = 54;45^p, et la différence entre les deux limites, AD = 10;30^p.

Par conséquent, la différence en B par rapport à la première limite est de [65;15 − 62;48 =] 2;27^p où la différence totale est de 10;30^p. Par conséquent, où la différence totale est de 60^p, la différence en B sera de 14;00^p. Ceci [14;00] est donc le montant que nous inscrirons dans la septième colonne sur la ligne [correspondant à l’argument] de la moitié du nombre 60, soit 30, puisque les 90 degrés de la première colonne du tableau contiennent la moitié des 180 degrés de A à D.

Suivant le même raisonnement, si nous supposons que l’arc GD a la même taille [que l’arc AB ci-⁠dessus], soit 60°, nous montrerons que GΘ = 4;33^p et EΘ = 2;38^p, où le rayon EG = 5;15^p. De même, par soustraction [de EΘ de ZE], ZΘ = 57;22^p. Donc l’hypoténuse ZG = [√(51;22² + 4;33²) =] 57;33^p. Nous soustrayons à nouveau ceci des 65;15^p de la première limite, et trouvons que le résultat, 7;42^p, équivaut à 44;00 soixantièmes de la différence totale. C’est ce que nous inscrirons dans la même [septième] colonne en face de l’argument 60, puisque l’arc ABG = 120°.

Avec les mêmes arcs [AB et GD] comme base, supposons maintenant que le centre E soit au périgée de l’excentrique, qui est la position définissant les troisième et quatrième limites. Dans cette position, ZE : EB = 60 : 8 ; par conséquent, où BE = 8^p, et en supposant que l’arc AB et l’arc GD mesurent 60°, BH = GΘ = 6;56^p et EH = EΘ = 4;0^p où ZE = 60^p. Ainsi, ZH = [ZE + EH =] 64^p et ZΘ = [ZE − EH =] 56^p ; donc l’hypoténuse ZB = [√(ZH² + BH² =] 64;23^p et l’hypoténuse ZG = [ √(ZΘ² + GΘ² =] 56;26^p, où la [distance de] la troisième limite, ZA = 68^p, et la différence entre les troisième et quatrième limites, AD = 16^p.

Maintenant, 68^p − 64;23^p = 3;37^p, soit 13;33 soixantièmes de la différence totale, 16^p. On inscrit ce montant [13;33] dans la huitième colonne en face de l’argument 30, de la même manière que précédemment.

Aussi, 68^p − 56;26^p = 11;34^p, soit 43;24 soixantièmes de la différence totale, 16^p. Ce montant, nous l’inscrivons, de même, dans la huitième colonne en face de l’argument 60.

C’est donc ainsi que nous trouverons les corrections calculées pour le mouvement de la Lune sur l’épicycle. Les corrections pour le mouvement de l’épicycle sur l’excentrique [quant à elles] seront dérivées comme suit.

Soit ABGD, l’excentrique de la Lune, avec pour centre E et diamètre AEG, sur lequel Z représente le centre de l’écliptique. Traçons BZD et supposons encore les angles AZB et GZD être de 60° (où quatre angles droits font 360°) — ces situations se produisent à des élongations de 30° (lorsque le centre de l’épicycle est en B) et de 120° (lorsque le centre de l’épicycle est en D). Joignons BE et ED, et traçons, à partir de E, la droite EH perpendiculaire à BZD.

Alors, puisque ∠ BZA = 120^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EZH, l’arc EH = 120° et l’arc ZH = 60° restant [son supplément]. Donc les cordes correspondantes EH = 103;55^p et HZ = 60^p où l’hypoténuse EZ = 120^p. Ainsi, vu que la distance entre les centres [l’excentricité] EZ = 10;19^p et que le rayon de l’excentrique est de 49;41^p, EH = 8;56^p et ZH = 5;10^p. Et puisque BH² = BE² − EH², BH = DH = 48;53^p dans les mêmes unités. Donc, la droite entière [par addition de ZH à BH] ZB = 54;03^p, et, par soustraction [de ZH de DH], ZD = 43;43^p où [la distance pour] les [deux] premières limites, ZA = 60^p, [la distance pour] les [deux] dernières limites, ZG = 39;22^p, et la différence entre elles est de 20;38^p.

Maintenant 60^p − 54;3^p = 5;57^p, soit 17;18 soixantièmes de la différence totale de 20;38^p ; et 60^p − 43;43^p = 16;17^p, soit 47;21 soixantièmes de la différence totale de 20;38^p. Nous inscrirons donc 17;18 dans la neuvième colonne en face de l’argument 30° d’élongation, et 47;21 en face de 120°, c’est-à-dire encore en face de 60° ; car, puisque le périgée [de l’excentrique] est à 90° [d’élongation], une élongation de 60° équivaut en distance à une élongation de 120°.

De la même manière, nous avons calculé les soixantièmes [les minutes] des écarts sur les trois intervalles en question pour les autres arcs. Nous avons effectué le calcul à des intervalles de 12°, ce qui correspond à 6° dans les arguments du tableau, puisque les 180° de l’apogée [de l’épicycle ou de l’excentrique] au périgée correspondent aux 90° de [la colonne de l’argument dans] le tableau. Nous avons inscrit ces minutes, calculées géométriquement, en face de l’argument approprié. Nous avons dérivé les entrées pour les arguments intermédiaires par interpolation linéaire sur les intervalles de 6°, car la différence entre les résultats ainsi dérivés et le calcul géométrique [précis] est négligeable sur un intervalle aussi court, tant pour les minutes que pour les parallaxes réelles.

Le tableau est le suivant.

18. Tableau des parallaxes

[NdT : Une version corrigée de ce tableau est disponible (nouvel onglet).]

19. De la détermination des parallaxes

Lorsque nous cherchons à déterminer la valeur de la parallaxe de la Lune à une position donnée de son orbite, nous cherchons d’abord celle par rapport au grand cercle vertical [celui passant par la Lune et le zénith]. Nous déterminons d’abord sa distance (en heures équinoxiales) au méridien pour la latitude en question, puis nous entrons cette valeur dans le tableau des angles [II 13] pour la latitude et le signe zodiacal appropriés, et nous prenons la quantité (en degrés) de la deuxième colonne correspondant à l’heure, en interpolant entre les heures entières si nécessaire. Nous entrons cette quantité [qui est la distance de la Lune au zénith] comme argument dans le tableau des parallaxes [V 18], déterminons sur quelle ligne de la première colonne l’argument doit être trouvé, et prenons les nombres correspondants à celle-⁠ci dans les quatre colonnes suivant celle des parallaxes solaires, soit les troisième, quatrième, cinquième, et sixième colonnes, et nous notons chacun séparément. Nous prenons ensuite l’anomalie corrigée (c’est-à-dire par rapport à l’apogée vraie [de l’épicycle]) à ce moment, si elle est inférieure à 180°, mais si elle est supérieure à 180°, nous prenons (360° moins l’anomalie). Nous divisons toujours par deux le montant ainsi obtenu, et, entrant avec cela dans la première colonne [des arguments], nous déterminons séparément le nombre de minutes qui lui correspondent dans les septième et huitième colonnes. Nous prenons les minutes trouvées dans la septième colonne, les multiplions par la différence trouvée dans la quatrième colonne et ajoutons toujours le résultat à la parallaxe de la troisième colonne. De même, nous prenons les minutes trouvées dans la huitième colonne, les multiplions par la différence trouvée dans la sixième colonne, et ajoutons toujours le résultat à la parallaxe de la cinquième colonne. Nous avons ainsi obtenu deux parallaxes, et nous notons la différence entre elles. Ensuite, nous prenons l’élongation moyenne de la Lune par rapport au Soleil [moyen], ou par rapport au point opposé, celle de ces deux distances étant la plus petite, entrons ce nombre dans les arguments de la première colonne, et prenons les minutes correspondantes dans la neuvième colonne. Nous les multiplions par la différence entre les deux parallaxes que nous avons notées, et ajoutons toujours le résultat au plus petit de ceux dérivés des troisième et quatrième colonnes. Cette somme nous donnera la parallaxe de la Lune telle que mesurée le long du grand cercle vertical [celui passant par la Lune et le zénith].

La parallaxe du Soleil dans une situation similaire [tel que mesurée le long d’un cercle vertical] est immédiatement déterminée, de manière simple, pour les éclipses solaires, à partir du nombre de la deuxième colonne correspondant à la taille de l’arc [entre le Soleil et] le zénith.

Pour déterminer la parallaxe par rapport à l’écliptique, en longitude et en latitude, nous entrons de nouveau, avec la même distance de la Lune au méridien en heures équinoxiales, dans le tableau des angles, et nous prenons le nombre de degrés correspondant à cette heure, dans la troisième colonne si la Lune est avant [à l’est] du méridien, ou dans la quatrième colonne si elle est après [à l’ouest]. Si le résultat est inférieur à 90°, nous notons le nombre lui-⁠même ; mais s’il est supérieur à 90°, nous notons son supplément [c’est-⁠à-⁠dire 180 moins le résultat], puisque ce sera la grandeur en degrés du plus petit des deux angles formés à l’intersection [de l’écliptique et du cercle vertical] en question, où 90° forme un angle droit. Nous doublons le nombre noté, et nous entrons avec ce nombre [doublé] de même que son supplément dans le tableau des cordes. Le rapport de la corde du nombre doublé à la corde du supplément donnera le rapport de la parallaxe latitudinale à la parallaxe longitudinale (car les arcs de cercle d’une si petite taille ne sont pas sensiblement différents de leurs cordes). Nous multiplions donc les quantités des cordes en question par la parallaxe déterminée par rapport au cercle vertical [ci-⁠dessus], et nous divisons les produits, chacun séparément, par 120 ; les résultats des divisions nous donnent les composantes séparées de la parallaxe.

En général, pour la parallaxe en latitude, lorsque le zénith est au nord du point de l’écliptique qui culmine au méridien, [l’effet de] la parallaxe sera vers le sud de celui-⁠ci [l’écliptique] ; mais si le zénith est au sud du point culminant, [l’effet de] la parallaxe en latitude sera vers le nord. Pour la parallaxe en longitude, le tableau des angles donne toujours les deux angles coupés du côté nord et à l’arrière [vers l’est, soit du côté des longitudes croissantes] de l’intersection de l’écliptique [et du cercle vertical] ; par conséquent, lorsque la parallaxe latitudinale est vers le nord, si l’angle en question est supérieur à un angle droit, l’effet de la parallaxe longitudinale sera en avance [dans l’ordre inverse / vers l’ouest] des signes, mais si l’angle est inférieur à un angle droit, l’effet sera vers l’arrière [l’ordre des signes / vers l’est]. Au contraire, lorsque la parallaxe latitudinale est vers sud, l’inverse sera vrai : si l’angle en question est supérieur à un angle droit, la parallaxe longitudinale sera vers l’arrière [dans l’ordre / vers l’est] des signes, mais s’il est inférieur à un angle droit, la parallaxe longitudinale sera en avance [dans l’ordre inverse des signes / vers l’est].

Nous avons jusqu’ici procédé comme si le Soleil n’avait pas de parallaxe perceptible, mais nous sommes bien conscients que la parallaxe, comme nous l’avons démontré depuis, affecte aussi le Soleil, faisant donc une certaine différence. Cependant, nous pensons que l’erreur est suffisamment faible pour ne pas avoir à la considérer dans nos théorèmes. De même, pour les parallaxes lunaires, nous avons jugé suffisant d’utiliser les arcs et les angles formés par le grand cercle passant par les pôles de l’horizon [vertical] et l’écliptique, au lieu de ceux de l’orbite inclinée de la Lune, parce que nous avons noté que la différence résultante aux syzygies où se produisent les éclipses est imperceptible. Ainsi, exposer cette différence aurait été compliqué à démontrer et difficile à calculer ; car la distance de la Lune au nœud n’est pas fixe pour une position donnée de la Lune dans le zodiaque, mais varie à la fois en quantité et en position relative.

Pour clarifier ce que je dis, soit ABG un segment de l’écliptique et AD un segment de l’orbite inclinée de la Lune, avec le nœud au point A et le centre de la Lune au point D. Traçons DB perpendiculaire à l’écliptique. Soit E le pôle de l’horizon, et traçons par E l’arc de grand cercle EDZ passant par le centre de la Lune, et l’arc EB passant par B. Soit l’arc DH représentant la parallaxe de la Lune, et traçons par le point H la droite HΘ, perpendiculaire à BD, et la droite HK, perpendiculaire à BZ. Ainsi, AB représente la vraie distance [de la Lune] en longitude depuis le nœud, et AK la distance apparente, tandis que BD représente la vraie distance en latitude de l’écliptique, et KH l’apparente. De plus, l’arc égal ΘH représente la parallaxe en longitude [par rapport à l’écliptique] dérivée de DH, et un arc égal à DΘ représente la composante de la parallaxe en latitude.

Nous avons démontré que la parallaxe DH peut être trouvée si l’arc ED est donné, et que les deux [composantes de la] parallaxe, DΘ et ΘH, si ∠ GZE est donné. Nous avons aussi déterminé les angles et les arcs de cercles passant par l’écliptique et par le cercle vertical ; mais le seul point de l’écliptique qui est donné ici est B. Il est donc clair que nous utilisons l’arc EB au lieu de l’arc ED, et ∠ GBE au lieu de ∠ GZE.

Hipparque a tenté de corriger cette erreur — mais d’une manière négligente et irrationnelle ; premièrement, il a utilisé une seule valeur pour la distance AD, au lieu de quelques-unes ou même toutes [les valeurs possibles], comme il aurait dû le faire pour atteindre son objectif de précision et de justesse, même dans les petits détails. De plus, sans s’en rendre compte, il a connu un certain nombre d’embûches ; après avoir démontré les arcs et les angles par rapport [aux intersections des cercles verticaux avec] l’écliptique et que, si ED est donné, DH peut être trouvé (voir le Livre 1 de son œuvre « Sur les parallaxes » ), il suppose, pour obtenir ED [comme point de départ], que l’arc EZ et ∠ EZG sont donnés. Ainsi, dans son Livre 2, il calcule ZD et prend ED comme reste [de EZ − ZD]. Il a toutefois été victime de son incapacité à remarquer que le point donné de l’écliptique n’est pas Z mais B, et donc que l’arc donné n’est pas EZ mais EB, et que l’angle donné n’est pas EZG mais EBG. Mais l’[arc EZ et ∠ EZG] sont les points de départ [nécessaires] pour effectuer une correction même partielle ; en effet, dans de nombreuses situations, il y a une différence assez notable entre l’arc ED et l’arc EZ , alors que la différence entre BE (qui est réellement donnée) et ED est, tout au plus, la valeur de l’arc BD pour une distance donnée [de la Lune] au nœud.

Je décrirai ici la procédure logique pour effectuer la correction par une méthode valable [mathématiquement].

Soit le zodiaque ABG, et le cercle DBE qui lui est perpendiculaire. Posons la Lune en D ou en E, à une distance en latitude, depuis l’écliptique ABG, qui est un arc donné — par exemple BD ou BE. Ainsi, les arcs zénithaux et les angles au point B du zodiaque sont donnés, et ceux en D ou en E doivent être trouvés. Si la position du zodiaque est telle qu’elle est perpendiculaire au grand cercle passant par le point Z (qui représente le pôle de l’horizon) et le point B, c’est-⁠à-⁠dire ZB, ce cercle coïncidera avec l’arc DE. Les angles en D et E ne différeront donc pas de celui donné en B ; car [ces arcs] sont aussi à angle droit avec l’écliptique. De plus, ZD = ZB − BD et ZE = ZB + BE, où BD et BE sont donnés.

Supposons maintenant que l’écliptique ABG coïncide avec le grand cercle passant par le zénith, et supposons que A soit le pôle de l’horizon. Joignons AD et AE ; ces arcs seront différents de l’arc AB, et les angles BAD et BAE seront différents de [l’angle correspondant] dans le cas précédent, qui n’existait pas [était nul] .

Maintenant, AD et AE sont donnés à partir des quantités AB, BD, et BE (qui sont des droites, mais la différence [avec des arcs] est négligeable), puisque AB² + BD² = AD² et AB² + BE² = AE², donc les angles BAD et BAE peuvent en être dérivés.

Si maintenant l’écliptique est incliné [vers le cercle vertical], si nous prenons Z comme pôle de l’horizon et dessinons ZB, ZHD, et ZEΘ, l’arc ZB et ∠ ABZ seront donnés, de même que BD et BE. Les arcs ZD et ZE ainsi que les angles AHZ et AΘZ devant être donnés, nous les trouvons en traçant les droites DK et EL perpendiculaires à ZB, car puisque ∠ ABZ est donné, et que ∠ ABE est toujours un angle droit, les triangles rectangles BKD et BLE sont donnés, ainsi que le rapport de ZB aux côtés adjacents à l’angle droit, puisque [le rapport de ZB] aux hypoténuses DB et BE est donné. Ainsi, nous aurons donc ZD, l’hypoténuse [du triangle rectangle ZDK, dont les côtés ZK et KD sont donnés], et ZE, l’hypoténuse [du triangle rectangle ZLE, dont les côtés ZL et LE sont donnés], de même que les angles DZK et EZL, qui sont les différences par rapport aux angles recherchés. Cela, parce que ∠ AHZ = ∠ ABZ + ∠ DZB et ∠ AΘZ = ∠ ABZ − ∠ EZL. Il est évident que, pour une même distance en latitude, la plus grande différence [avec par rapport aux arcs et angles en B] se produira :

• pour les angles, lorsque le point B lui-⁠même est le zénith — car l’angle [formé par le cercle vertical passant par la Lune] en B étant nul, les [arcs] passant par D et E depuis le zénith forment des angles droits avec l’écliptique ;
• pour les arcs :
  • dans la même situation [c’est-⁠à-⁠dire lorsque le point B est au zénith] — car lorsque l’arc [du zénith] en B est nul, les arcs en D et en E seront de taille égale à la latitude de la Lune ; et
  • lorsque le cercle passant par le zénith est perpendiculaire à l’écliptique — car la différence entre les arcs ZB et (ZD ou ZE) sera encore égale à la somme entière de la latitude [lunaire].

Mais dans d’autres situations, DE étant incliné sur ZB, les différences résultantes entre les arcs et les angles seront moindres, de sorte que, la distance en latitude de la Lune à l’écliptique étant de 5°, la plus grande différence dans les parallaxes [telle que calculée à l’écliptique et à l’orbite de la Lune] sera d’environ 10 soixantièmes [de degré] — car les 5° de la plus grande différence entre les arcs font ce nombre de minutes à la plus petite distance et à la plus grande différence. Mais lorsque la Lune est à la latitude maximale qu’elle peut atteindre lors d’une éclipse solaire, qui est d’environ 1⁠1⁄2°, la différence entre les parallaxes sera du même nombre, [c’est-⁠à-⁠dire] 1⁠1⁄2, de soixantièmes [de degrés], mais cela arrive rarement.

La méthode à suivre pour effectuer la correction des angles et des arcs [ci-⁠dessus], lorsque nous voudrons faire le calcul pour de si petites quantités [différences], est la suivante. En doublant la valeur de l’angle [entre le cercle vertical et l’écliptique], et en entrant avec cela comme argument dans le tableau des cordes, nous prenons la corde qui lui correspond de même que celle correspondant à son supplément. Nous multiplions ces deux valeurs séparément par la latitude [de la Lune] en degrés, divisons chacun des produits par 120, puis nous soustrayons le premier résultat de l’arc [du cercle vertical] du zénith [à l’écliptique] lorsque la Lune est du même côté [de l’écliptique] que le zénith, mais nous l’ajoutons lorsqu’elle est sur le côté opposé [de l’écliptique par rapport au zénith]. Nous élevons le résultat au carré, nous l’ajoute au résultat dérivé de l’angle supplémentaire, également élevé au carré, et nous prenons la racine carrée de la somme : cela nous donnera l’arc correspondant [ZE ou ZD] qui est recherché. Ensuite, nous prenons le résultat que nous avons enregistré à partir du [second] angle supplémentaire, le multiplions par 120, et divisons le résultat par [le premier] arc que nous avons trouvé [soit ZE ou ZD]. Nous cherchons ensuite le résultat [qui est une corde] dans le [corps du] tableau des cordes, prenons l’arc correspondant [dans la colonne des arguments], et le divisons par 2. Si l’arc corrigé [ZE ou ZD] est plus grand que l’original [ZB], nous ajoutons le résultat à la valeur de celui-⁠ci, mais s’il est plus petit, nous le soustrayons : nous aurons ainsi l’angle corrigé.

Pour donner un exemple, dans le diagramme précédent, supposons que l’arc ZB soit de 45°, ∠ ABZ 30°, et chacun des arcs DB et BE, de 5° de latitude. Puisque Crd (2 × 30)° = Crd 60° = 60^p et que Crd (180 − 60) = Crd 120° ≈ 104^p, alors BL : LE = BK : DK = 60 : 104, où l’hypoténuse [BE ou BD] = 120^p. Donc, nous multiplions chaque nombre par les 5° de l’hypoténuse et divisons par 120 ; nous aurons ainsi les droites KB = BL = 2° 30° et DK = EL = 4° 20′.

Supposons d’abord que la Lune est en E : nous soustrayons donc les 2° 30′ des 45° de l’arc ZB, puisque la distance de la Lune en latitude est dans la même direction que le zénith (c’est-⁠à-⁠dire qu’elles sont soit toutes les deux au sud, soit les deux au nord de l’écliptique) ; nous aurons ainsi arc ZL = 42° 30′.

Deuxièmement, supposons que la Lune est au point D : en ajoutant [2° 30′] aux 45°, [puisque les positions relatives sont inversées], nous aurons donc ZK = 47;30°. Nous prenons maintenant soit ZL² + EL² = 42;30² + 4;20², soit ZK² + DK² = 47;30² + 4;20², et nous obtenons soit ZE ≈ 42° 46′, soit ZD ≈ 47° 44′. Nous multiplions 4° 20′ par 120 et divisons par 42° 46′ et par 47° 44′ séparément, ce qui nous donne EL ≈ 12;08^p où l’hypoténuse ZE = 120^p et DK ≈ 10⁠5⁄6^p où l’hypoténuse ZD = 120^p. L’arc correspondant à la corde 12;08^p est d’environ 11⁠3⁄5°, et l’arc correspondant à la corde 10⁠5⁄6^p est d’environ 10⁠1⁄3°. En prenant la moitié de ces valeurs, nous soustrayons ∠ EZL, soit 5⁠4⁄5°, de ∠ ABZ, soit 30°, puisque l’arc ZE est inférieur à l’arc ZB, et nous avons ainsi ∠ AΘZ = 24⁠1⁄5° ; nous ajoutons aussi ∠ DZK, soit 5⁠1⁄6°, au même [∠ ABZ, soit] 30°, puisque l’arc ZD est plus grand que l’arc ZB ; nous obtenons ainsi ∠ AHZ = 35⁠1⁄6°.

Telle est la procédure qui s’imposait.

Fin du cinquième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC