Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

Nous avons donné, dans les livres précédents, les principes mathématiques généraux du ciel et de la Terre, de l’obliquité de l’écliptique et des phénomènes particuliers en résultant, tant dans la sphaera recta que dans la sphaera obliqua, et ce, pour chaque latitude. Nous allons maintenant discuter de tout ce qui concerne le Soleil et la Lune ainsi que les circonstances et conséquences de leurs mouvements, puisqu’on ne peut expliquer les phénomènes associés aux autres astres sans d’abord traiter de ceux-⁠ci. Par cela, nous pourrons déterminer la théorie du mouvement solaire, indispensable à connaître avant de déterminer celle de la Lune.

1. De la durée de l’année

La première chose à déterminer dans la théorie solaire est la durée de l’année. Les ouvrages des anciens expriment différentes opinions et questions à cet égard, spécialement ceux d’Hipparque, très rigoureux dans son travail acharné sur ce sujet. Le plus étonnant est que, si nous comparons les retours du Soleil aux solstices et équinoxes, l’année semble durer un peu moins de 365⁠1⁄4 jours, mais si nous comparons plutôt les retours aux mêmes étoiles fixes, elle semble plus longue. Hipparque suppose donc que la sphère des étoiles fixes est animée d’un lent mouvement qui, comme celui des planètes, se fait en sens contraire du premier mouvement par lequel la sphère céleste entière est entraînée perpendiculairement au cercle qui passe par les pôles de l’équateur et de l’écliptique. Nous démontrerons que ce second mouvement a effectivement lieu, et nous expliquerons comment il s’opère, dans la section sur les étoiles fixes, qui viendra après celles sur le Soleil et la Lune, que l’on doit comprendre d’abord.

Pour nos fins, nous considérons que la durée de l’année solaire, sur le cercle de l’écliptique qui définit son mouvement, ne doit être définie que par rapport au retour du Soleil à un même point fixe de l’écliptique — soit un solstice ou un équinoxe, les seuls points que nous considérons appropriés. Mathématiquement, nous ne saurions considérer de façon plus idoine de définir une « révolution » que par le retour du Soleil à une même position, que ce soit par rapport à la durée du jour et de la nuit, ou à l’horizon et au méridien. D’autres points du zodiaque sont hors de question, étant moins bien définis. De plus, d’un point de vue physique, cette période est des plus raisonnables, vu qu’elle ramène le Soleil à la même saison ; il n’y a pas de point plus commode à utiliser que ceux marquant le début des saisons. Le retour aux mêmes étoiles n’offre aucun de ces avantages, surtout parce que la sphère des étoiles bouge elle-même, tel que nous l’observons ; ce serait la même chose que de définir l’année comme étant le temps pris par le Soleil à rejoindre Saturne ou une autre planète, ce qui donnerait des années de longueurs différentes. Nous croyons donc approprié de donner le nom d’année solaire au retour du Soleil, soit à un même équinoxe, soit à un même solstice, observés aux plus grands intervalles possibles.

Puisque les observations rapprochées qu’a faites Hipparque des retours du Soleil lui ont causé du souci, nous allons démontrer qu’il n’y a aucune raison pour cela. Nous avons été convaincus, par des observations des solstices et équinoxes que nous avons faites avec nos instruments, que ces intervalles ne sont pas variables, puisque nous n’avons pas trouvé de différence significative du quart de jour, outre l’erreur attribuable à la construction ou à la position de ces instruments. Les calculs d’Hipparque nous permettent de conclure que ces variations sont dues à des erreurs dans les observations qu’il a utilisées ; il avoue lui-même, dans son traité sur la métaptose [précession] des solstices et équinoxes, après avoir énoncé des observations des solstices et équinoxes qu’il considère précises, qu’il n’y a pas là de différence notable permettant de conclure à l’existence d’une irrégularité. Il indique d’ailleurs que « ces observations prouvent clairement que les variations dans la durée de l’année sont plutôt faibles ; quant aux solstices, j’admets qu’Archimède et moi avons tous deux pu commettre des erreurs allant jusqu’à un quart de jour, tant dans l’observation que dans le calcul. Mais l’inégalité de la durée de l’année, si elle existe, peut se voir dans les observations faites à Alexandrie avec le cercle de cuivre [ou bronze ?] placé dans ce que l’on appelle le “portique carré.” Ce cercle est censé indiquer le moment de l’équinoxe le jour où sa surface concave commence à être éclairée de l’autre côté. »

Il donne ensuite les temps des équinoxes d’automne qu’il considère comme ayant été observés très précisément, soit :

• la dix-septième année de la troisième période callippique, le trentième jour du mois de mésori, vers le coucher du soleil ;
• trois ans plus tard, la vingtième année, dans la néoménie [nouvelle lune] au matin du premier jour épagomène — cela aurait dû être à midi, et il y a donc erreur d’un quart de jour ;
• l’année suivante, la vingt-et-unième année, à six heures, en accord avec l’observation précédente ;
• onze ans plus tard, dans la trente-deuxième année, le troisième jour des épagomènes, à minuit vers le quatrième — au lieu de quatre heures du matin, encore une différence d’un quart de jour ;
• un an plus tard, dans la trente-troisième année, le matin du quatrième jour épagomène, en accord avec l’observation précédente ; et
• trois ans plus tard, dans la trente-sixième année, le soir du quatrième jour des épagomènes — ce qui aurait dû être à minuit, soit encore un quart de jour d’erreur seulement.

[NdT : Les dates calculées par Toomer sont les 27 septembre −161, 27 septembre −158, 27 septembre −157, 26/27 septembre −146, 27 septembre −145, et 26 septembre −142.]

Il énumère ensuite les équinoxes de printemps observés avec la même précision :

• dans la trente-deuxième année de la troisième période callippique, au matin du 27^e jour du mois de méchir et, ajoute-t-il, « la circonférence du cercle d’Alexandrie était éclairée également sur ses deux faces vers la cinquième heure — mes deux observations ne s’accordent donc qu’à cinq heures près ;
• « mais les équinoxes suivants, jusqu’à la trente-septième année, s’accordaient touts avec l’excès d’un quart de jour ;
• « onze ans après, dans la quarante-troisième année, l’équinoxe de printemps a eu lieu à minuit dans la nuit du 29^e au 30^e jour de méchir, ce qui s’accorde avec l’observation de la trente-deuxième année et celles faites dans les années suivantes, jusqu’à la cinquantième ;
• « [la cinquantième, l’équinoxe] arriva le premier jour du mois de phaminoth, vers le coucher du soleil, ce qui est environ un jour et trois quarts plus tard que dans la quarante-troisième année, en accord avec les sept années intermédiaires. »

[NdT : Les dates calculées par Toomer sont le 24 mars −145, les années −144 à −140, le 23/24 mars −134, les années −133 à −128, et le 23 mars −127.]

Il n’y a donc pas de différence notable dans ces observations, bien qu’il soit possible qu’une erreur allant jusqu’à un quart de jour se soit produite, tant dans les observations des équinoxes que dans celles des solstices. En effet, supposons que l’instrument est décalé de ¹⁄_3 600 du cercle qui passe par les pôles de l’équateur [donc de 6′] ; le Soleil, à l’intersection avec l’équateur, devra avancer d’un quart de degré en longitude sur l’écliptique — l’erreur peut donc aller jusqu’à un quart de jour.

L’erreur serait encore plus considérable si, au lieu d’instruments installés spécifiquement pour chaque occasion et alignés précisément au moment de l’observation, nous nous servions d’instruments installés en permanence sur un socle destiné à les garder longtemps dans la même position : l’instrument serait alors affecté d’un léger déplacement graduel qui nous est imperceptible dû à sa lenteur. Cela peut être noté sur les instruments de cuivre [ou bronze ?] installés dans la palestre, qui sont censés demeurer dans le plan de l’équateur ; j’ai noté, en observant avec eux, ce décalage, surtout dans le plus grand et le plus ancien des deux instruments, au point que l’éclairage de la surface concave change parfois deux fois dans la même journée équinoxiale.

Hipparque admet qu’il ne voit rien là-⁠dedans qui puisse faire croire à une variation de la durée de l’année. C’est plutôt sur la base de calculs liés à certains éclipses lunaires qu’il a noté que l’irrégularité dans la durée de l’année, par rapport à la moyenne, n’excède pas trois quarts de jour. Cela mériterait considération, si c’était vrai, mais même les affirmations d’Hipparque l’infirment. En fait, il se base sur l’observation de quelques éclipses de lune près de certaines étoiles fixes, et mesurant la distance de l’étoile Spica au point équinoxial. Il croit ainsi d’abord mesurer un écart de 6⁠1⁄2°, le maximum de son temps, mais une autre fois 5⁠1⁄4°, le minimum. Il en conclut que, Spica ne pouvant s’être déplacée d’autant en si peu de temps, le Soleil, qu’il utilise pour mesurer la position des étoiles fixes, ne retourne pas au même point dans un temps égal. Mais il est inapproprié de faire ce calcul sans utiliser la position du Soleil au moment de l’éclipse ; il ne s’en rend pas compte, mais d’utiliser ses observations des solstices et des équinoxes ne fait que démontrer qu’il n’y a pas de différence par rapport au quart de jour [de plus de 365].

Ainsi, prenons comme exemple l’observation de l’éclipse de la trente-deuxième année de la troisième période callippique, au cours de laquelle il affirme avoir mesuré Spica à 6⁠1⁄2° à l’ouest de l’équinoxe d’automne, tandis qu’il l’a mesurée à 5⁠1⁄4° à l’ouest lors de la quarante-troisième année de cette même période. Il cite les équinoxes de printemps observés avec précision dans ces années, en vue de déterminer la position du Soleil au milieu de chaque éclipse ; de là, calculer celle de la Lune ; et enfin de celle-⁠ci, calculer celles des étoiles : il dit que l’équinoxe de la trente-deuxième année est arrivé le matin du vingt-septième jour de méchir [24 mars −145 selon Toomer], et celle de la quarante-troisième année après minuit du vingt-neuvième au trentième jour [de méchir], plus tard dans l’année [égyptienne] de deux jours et trois quarts que celle de la trente-deuxième année, soit un quart de jour par année pendant chacune des 11 années intermédiaires. Si le Soleil retourne donc aux équinoxes après ni plus ni moins qu’un quart de jour [de plus que 365], et que Spica ne peut s’être déplacée de 1⁠1⁄4° en aussi peu d’années, il est insensé d’utiliser des calculs basés sur ce qui précède pour en contester les résultats, et il est insensé d’attribuer le mouvement de Spica aux seuls équinoxes en question — qui seraient à la fois bien observés mais mal observés aussi — quand il peut y avoir d’autres causes d’erreur. Il serait plus logique que la distance [angulaire] de la Lune aux étoiles ait été mal estimée, ou que l’effet de la parallaxe sur la position apparente de la Lune a été mal évalué, ou encore que le mouvement du Soleil des équinoxes aux éclipses [a été mal calculé].

Je crois qu’Hipparque savait que tout cela n’était pas assez pour attribuer une seconde inégalité [ou anomalie] au soleil, mais que son amour de la vérité l’a amené à divulguer tout ce qui pouvait susciter le doute. Il s’est aussi servi, pour ses théories solaire et lunaire, d’une seule anomalie, dont la période est d’une année telle que définie par les solstices et les équinoxes. Si nous supposons que la révolution du Soleil prend toujours le même temps, nous constatons qu’il n’y a aucune différence significative entre les phénomènes des éclipses observés et ceux qui sont calculés suivant ces mêmes modèles. Si une telle différence existait, nous la noterions aisément, puisque nous aurions à faire une correction pour la variation de l’année — soit-elle d’aussi peu qu’un degré, ce serait environ deux heures équinoxiales [d’erreur].

Suite à cela, et suite à nos propres observations du mouvement du Soleil, nous concluons que la durée de l’année est constante et qu’il n’y a pas d’inégalité, pour autant qu’elle soit toujours définie par rapport à un seul et même point, et non tantôt par rapport aux solstices et équinoxes, tantôt par rapport aux étoiles fixes. Nous considérons aussi que la définition la plus naturelle de cette révolution est le retour du Soleil à un même solstice ou équinoxe, ou à un autre point de l’écliptique. Nous considérons aussi qu’il convient de démontrer les phénomènes par les hypothèses les plus simples possibles, tant que rien dans les observations ne vienne les contredire.

Il était évident même pour Hipparque que la durée de l’année par rapport aux solstices et équinoxes est de moins de 1⁄4 jour de plus que 365, mais nous ne pouvons déterminer avec certitude de combien, puisque la différence est si faible que même pendant plusieurs années, elle semble toujours d’un quart de jour. En comparant sur une longue période, il est donc possible que l’excédent du nombre de jours [sur un multiple de 365], lorsque distribué sur plusieurs années d’intervalle, soit le même que l’on prenne un petit ou un grand intervalle, mais on obtiendra un résultat d’autant plus précis que l’intervalle entre les observations [la première et la dernière] est grand, ce qui est vrai pour tout phénomène périodique. L’imprécision des observations, même les plus précises, est suffisamment petite et sensiblement la même à chaque observation, qu’elles soient rapprochées ou distantes ; si on la distribue sur un petit nombre d’années, l’erreur annuelle sera plus grande et s’accumulera avec le temps, tandis que si on la distribue sur un plus grand nombre d’années, elle sera moindre pour chacune d’entre elles.

Nous devons donc considérer comme suffisant de compiler les intervalles depuis les observations les plus anciennes (mais exactes) jusqu’à nos jours — mais il s’agira de les examiner correctement ! Quant à assurer la validité des déterminations sur un temps infini ou simplement très long, nous considérons cela étranger à l’amour de la vérité. Les observations de solstices d’été réalisés par Méton et Euctémon , puis celles d’Aristarque [de Samos], devraient, à cause de leur ancienneté, être comparées à ceux observés de notre temps. Cependant, les observations des solstices ne peuvent pas être très précises, et celles qui nous ont été transmises paraissent bâclées à Hipparque, nous les avons omises, et nous avons préféré comparer les observations des équinoxes ; leur précision nous a fait choisir celles d’Hipparque, qu’il assure avoir réalisées lui-même avec la plus grande précision. Nous les avons comparées à celles réalisées avec les instruments décrits au début de ce traité ; ainsi, nous notons qu’en 300 ans, les solstices et les équinoxes sont arrivés un jour plus tôt qu’ils ne seraient arrivés s’ils étaient un quart de jour en excès sur 365 jours. Dans la 32^e année de la troisième période callippique, Hipparque a noté l’équinoxe d’automne comme ayant été observé avec une extrême minutie ; selon ses calculs, il est arrivé à minuit du 3^e au 4^e jours épagomènes [26/27 septembre −146], cela dans la 178^e année suivant la mort d’Alexandre [le Grand ; r. −335 à −322]. Deux-cent-quatre-vingt-cinq ans après, dans la 3^e année d’Antonin [le Pieux ; r. 138 à 161], soit 463 ans après la mort d’Alexandre, nous avons observé minutieusement l’équinoxe d’automne, le 9^e jour du mois d’athyr [26 septembre 139], environ une heure après le lever du soleil. La période entre les deux est de 285 années égyptiennes (de 365 jours), 70⁠1⁄4 jours plus environ 1⁄20^e de jour, plutôt que les 70⁠1⁄4 jours qui correspondraient à un quart de jour d’excès [sur 365]. Cela est donc un jour moins 1⁄20^e environ plutôt que si c’était 1⁄4 jour d’excès par année.

Hipparque mentionne également l’observation minutieuse de l’équinoxe de printemps dans la 32^e année de la troisième période callippique, au matin du 27^e jour du mois de méchir [24 mars −145] ; cela était la 178^e depuis la mort d’Alexandre. Deux-cent-quatre-vingt-cinq ans plus tard, dans la 463^e année depuis cette époque, nous avons observé l’équinoxe de printemps le 7^e jour du mois de pachon [22 mars 140], vers une heure après midi. Cela correspond aussi à 70⁠1⁄4 + 1⁄20 environ, plutôt que les 71⁠1⁄4 jours correspondant à l’excès d’un quart de jour sur 285 ans. Ici donc encore, le retour de l’équinoxe de printemps a eu lieu un jour moins un vingtième plus tôt qu’il n’aurait eu lieu si l’année était excédentaire d’un quart de jour. Puisque 1 jour : 19⁄20 jour = 300 : 285, nous concluons qu’en 300 ans, le retour du Soleil à l’équinoxe se fait un jour plus tôt que si l’année était excédentaire d’un quart de jour.

Même si nous comparions, pour son ancienneté, l’observation du solstice d’été faite par Méton et par Euctémon, « bâclée » qu’elle soit, à notre propre observation méticuleuse, nous trouverions la même chose : cette observation a été faite sous l’archontat d’Apseude à Athènes, le matin du 21^e jour du mois de phaminoth [27 juin −431]. Nous avons méticuleusement calculé celui de la 463^e année suivant la mort d’Alexandre comme ayant lieu dans la nuit du 11^e au 12^e jours du mois de mésori [24/25 juin 140] à deux heures après minuit. Selon Hipparque, il y a 152 ans entre le solstice d’été observé sous l’archonte Apseude jusqu’à celui observé par Aristarque dans la 50^e année de la première période callippique [−279], et de cette 50^e année, qui était la 44^e depuis la mort d’Alexandre, jusqu’à la 463^e (de notre observation), il s’est écoulé 419 ans. Donc, si le solstice d’été observé par Euctémon a eu lieu au début du 21^e jour de phaminoth, au bout de 571 années, il y a eu 140⁠5⁄6 jours d’excès sur les années égyptiennes, au lieu de 142⁠3⁄4 jours qui correspondraient à l’excès d’un quart de jour pan an pendant 571 ans. Le retour [au solstice] s’est donc fait deux jours moins un douzième de jour plus tôt qu’il n’aurait été si l’année était excédentaire d’un quart de jour. Au bout de 600 années pleines, la fin de l’année est donc arrivée environ deux jours plus tôt que si l’excédent sur 365 jours était d’exactement 1⁄4 de jour.

Nous trouvons le même résultat par d’autres observations, et les écrits d’Hipparque corroborent cette conclusion. Dans son Traité de la durée de l’année, il compare le solstice d’été observé par Aristarque à la fin de la 50^e année de la première période callippique avec celui qu’il a observé méticuleusement à la fin de la 43^e année de la troisième période callippique : « Il est évident qu’en plus de 145 ans le solstice s’est produit la moitié de la durée d’un jour et une nuit plus tôt qu’il se serait produit si l’année était d’exactement 365⁠1⁄4 jours ». Ailleurs, dans son Livre sur les mois et les jours intercalaires, il dit que Méton et Euctémon comptent 365⁠1⁄4 + 1⁄70 jours, mais que Callippe [de Cyzique] n’en compte que 365⁠1⁄4 [exactement], puis il ajoute : « Nous avons trouvé le nombre de mois entiers compris dans 19 ans indentique à leur nombre, mais nous avons trouvé que l’année contient ¹⁄₃₀₀ jour de moins que le quart ; en 300 ans, donc, il manque cinq jours comparativement à [la valeur de] Méton, mais un jour seulement de moins que [la valeur de] Callippe. Dans sa liste de ses [propres] œuvres, il ajoute : « Dans mon livre sur la durée de l’année, je démontre que l’année solaire — qui est le temps que le Soleil prend pour revenir d’un solstice au même solstice ou d’un équinoxe à un même équinoxe — dure 365⁠1⁄4 moins environ ¹⁄₃₀₀^e de [la durée de] un jour et une nuit consécutifs, et non pas, comme les mathématiciens  le suggèrent, ajouter un quart entier au nombre de 365 jours de l’année ».

Il est clair, je crois, que les observations faites jusqu’à maintenant sur la longueur de l’année s’accordent toutes, anciennes et nouvelles, pour dire que le Soleil prend ce temps [365⁠1⁄4 − ¹⁄₃₀₀ j] pour revenir aux mêmes solstices ou équinoxes. Si nous divisons donc un jour en 300 ans, cela donne 12 secondes par année ; si nous les soustrayons des 365 jours et 15 minutes de jour [365;15 j]  de l’excès de 1⁄4, cela donne 365;14,48 [365 j 5 h 55 min 12 s]  pour la durée de l’année. Telle est donc la valeur approximative, pour le nombre de jours et de fractions de jour, que nous dérivons des observations.

Afin de connaître la position du Soleil et des autres astres dans chaque point de leur orbite, l’utilité d’un tableau précomposé ne fait aucun doute. Les mathématiciens, à ce niveau, se doivent de démontrer que tous les phénomènes célestes résultent de mouvements uniformes et circulaires . Ce tableau doit donc, conformément à cette idée, être dressé de sorte à ce que les mouvements égaux et uniformes soient séparés de l’anomalie, qui est une conséquence des modèles circulaires ; la position des astres sera ainsi obtenue en combinant les effets de ces deux mouvements. Afin de pouvoir dresser ce tableau pratique et complet, nous allons décrire les mouvements individuels du Soleil de la manière suivante.

Nous avons démontré que le Soleil retourne au même point tous les 365;14,48 jours ; si nous divisons les 360 degrés du cercle par ce nombre, nous trouverons le mouvement diurne du Soleil, soit 0° 59′ 08″ 17″′ 13″″ 12″″′ 31″″″ — ce nombre de positions devrait suffire. Pronons maintenant la vingt-quatrième partie de ce mouvement diurne : cela nous donne environ 0° 02′ 27″ 50″′ 43″″ 03″″′ 01″″″ par heure. En multipliant le mouvement diurne par les 30 jours d’un mois, nous obtenons 29° 34′ 08″ 36″′ 36″″ 15″″′ 30″″″ par mois. Pour l’année égyptienne, nous aurons 359° 45′ 24″ 45″′ 21″″ 08″″′ 35″″″. Si nous multiplions ce nombre par 18, pour rendre le tableau plus pratique et mieux composé , nous obtenons un excès [du nombre de révolutions entières] en dix-huit ans de 355° 237′ 25″ 36″′ 20″″ 34″″′ 30″″″.

Nous avons donc trois tableaux pour représenter les mouvements du Soleil, chacun en deux parties, et chacun de 45 lignes. Le premier contient les mouvements moyens par tranches de 18 ans ; le second, les mouvements pour les années simples, suivies des heures ; le troisième enfin, pour les mois, suivis des jours. La première colonne indique les temps ; la seconde, les degrés obtenus. Voici donc les tableaux.

2. Tableau des mouvements moyens du Soleil

[NdT : Je ne donne pas de graphique d’erreurs ni de version corrigée de ces tableaux, puisque le modèle de Ptolémée est aujourd’hui désuet.]

3. Des hypothèses qui expliquent le mouvement circulaire uniforme

Avant de pouvoir expliquer ce qu’on entend par « anomalie apparente du Soleil », il faut préciser qu’en général, les mouvements des planètes, qui suivent l’ordre des signes ou constallations du zodiaque, ainsi que le mouvement de l’univers en sens contraire, sont tous essentiellement uniformes et circulaires. C’est-à-dire que si nous imaginons que les astres ou leurs cercles sont portés par des lignes, celles-⁠ci couvrent toujours des angles égaux dans des temps égaux par rapport au centre de la circonférence décrite. Les anomalies apparentes résultent de la position et de l’arrangement des cercles où ces mouvement s’accomplissent, et il n’y a, dans le « désordre » que l’on croit remarquer dans les phénomènes, rien d’étranger à leur nature immutable. La vraie cause de cette apparente irrégularité peut s’expliquer par deux hypothèses premières et simples. Si nous supposons que le mouvement se fait le long d’un cercle centré sur la Terre et dans le plan de l’écliptique — donc le point d’où nous regardons n’est pas différent de ce centre —, alors soit le mouvement uniforme se fait sur un cercle non concentrique au monde, ou ces cercles sont concentriques, mais que le mouvement se fait plutôt sur d’autres cercles, les épicycles, portés par le [cercle] concentrique. Dans l’une et l’autre de ces hypothèses, nous pouvons démontrer qu’ils [les astres] parcourent, de notre point de vue et en des temps égaux, des arcs inégaux de l’écliptique dont le centre est celui du monde.

Prenons d’abord l’hypothèse de l’excentricité. Traçons-le comme le cercle ABGD, centré sur E, et plaçons notre point de vue en Z le long d’un diamètre AED ; A devient ainsi l’apogée [le point le plus éloigné de la Terre], et D le périgée [le point le plus proche]. Prenons maintenant des arcs égaux, soit AB et GD, et joignons B à E et à Z, ainsi que G aussi à E et à Z. Il est ainsi évident que l’astre, ayant parcouru en temps égal chacun des arcs AB et GD, semblera avoir parcouru des arcs inégaux d’un cercle [non illustré] autour du point Z, parce que l’angle BEA est égal à l’angle GED, mais l’angle BZA est plus petit que chacun d’entre eux, tandis que GZD est plus grand.

Prenons maintenant l’hypothèse de l’épicycle [ci-⁠dessous]. Soit le cercle ABGD l’écliptique, centré sur E et avec le diamètre AEB, et l’épicycle ZHΘK, l’astre [en rouge] se déplaçant autour du centre A. Il est donc évident qu’en parcourant uniformément le cercle ABGD, par exemple de A à B, quand l’astre est en Z ou en Θ, il paraîtra toujours comme s’il était au centre A de l’épicycle ; s’il est en d’autres points, toutefois, cela ne sera pas le cas. Supposons par exemple qu’il soit alors parvenu en H ; il semblera donc avoir avancé davantage que par le mouvement uniforme, de l’arc AH. À l’inverse, s’il est en K, il semblera avoir moins avancé, de l’arc AK.

Dans l’hypothèse du cercle excentrique, le mouvement plus lent se fait toujours à la plus grande distance de la Terre, et le plus rapide, à la moins grande distance, puisque l’angle AZB est toujours plus petit que l’angle DZG. Dans l’hypothèse de l’épicycle, toutefois, les deux possibilités existent. Pendant que l’épicycle se déplace dans le sens des signes, par exemple de A à B, si l’astre se déplace sur celui-⁠ci dans le même sens, comme de Z à H, son mouvement semblera plus rapide à l’apogée, puisque l’épicycle et l’astre iront dans le même sens. Au contraire, si le mouvement de l’astre sur l’épicycle se fait contre l’ordre des signes, c’est-à-dire de K à Z, son mouvement semblera plus lent à l’apogée, parce que l’astre se déplacera alors dans le sens contraire de celui de l’épicycle.

Selon ce principe, nous devons présupposer que pour certains astres — ceux qui ont une double anomalie — les deux hypothèses sont combinées ; nous y reviendrons. Pour ceux qui n’ont qu’une seule anomalie, toutefois, et toujours la même, une seule hypothèse suffira, parce que les mêmes phénomènes se reproduiront, sans différence, peu importe l’hypothèse, tant que les proportions sont conservées ; par cela, je veux dire que le rapport entre le rayon de l’excentrique et la droite qui joint le centre de l’excentrique au centre du monde (où nous nous trouvons) est le même que celui entre le rayon du grand cercle « porteur » et le rayon de l’épicycle, et que le temps pris par l’astre pour parcourir tout le cercle excentrique (qui est fixe) doit être le même temps que celui pris par l’épicycle pour parcourir tout son grand cercle centré sur l’observateur, tandis que l’astre parcourt l’épicycle à la même vitesse [angulaire], dans le sens inverse des signes .

Ces suppositions établies, nous allons brièvement démontrer, par le raisonnement d’abord, puis par les calculs de l’anomalie du Soleil, que les mêmes phénomènes se produisent peu importe l’hypothèse. J’affirme donc d’abord que, dans l’une comme dans l’autre, la plus grande différence entre le mouvement uniforme et celui qui semble irrégulier (différence qui nous renseigne sur la position où la planète est à sa vitesse moyenne [voir encadré à droite]) a lieu lorsque la distance apparente entre l’astre et l’apogée est d’un quadrant, et que l’astre prend plus de temps pour aller de l’apogée à cette « position de vitesse moyenne » que pour aller de celle-⁠ci au périgée. Donc, dans tous les cas pour l’hypothèse excentrique, et quand le mouvement à l’apogée est en avance [contre l’ordre des signes, ou vers l’ouest] pour l’hypothèse épicyclique, le temps écoulé entre la moindre vitesse et la vitesse moyenne est plus grand que le temps écoulé entre la vitesse moyenne et la plus grande vitesse, puisque dans les deux cas, le mouvement le plus lent est à l’apogée. Toutefois, avec des épicycles dont le mouvement suit l’ordre des signes depuis l’apogée [vers l’est], le temps écoulé entre le mouvement le plus rapide et le mouvement moyen est, au contraire, plus grand que celui entre le mouvement moyen et le plus lent, puisque la plus grande vitesse a lieu à l’apogée.

Traçons le cercle excentrique de l’astre, ABGD, autour du centre E et avec le diamètre AEG, et ajoutons en Z le centre du zodiaque (où se trouve l’observateur), puis traçons, passant par Z, la perpendiculaire BZD à la droite AEG. Si nous supposons l’astre aux points B ou D, à distance angulaire de l’apogée A égale à un quart de cercle [90°], nous devons ici démontrer que la plus grande différence entre le mouvement uniforme et le mouvement anormal se trouve aux points B et D. À preuve : Joignons EB et ED. Il est alors facile de voir que le rapport de l’angle EBZ à quatre angles droits [360°] est le même que celui de l’arc de l’anomalie à toute la circonférence [c’est ce que nous appelons l’équation de l’anomalie], puisque l’angle AEB mesure l’arc du mouvement uniforme, mais l’angle AZB mesure celui parcouru par le mouvement irrégulier ; la différence entre les deux est l’angle EBZ.

J’affirme que, sur la droite EZ, aucun autre angle de la circonférence ABGD ne sera plus grand que chacun de ceux-⁠là [∠ EBZ et ∠ EDZ]. Créons donc les angles EΘZ et EKZ aux points Θ et K, et les droites ΘD et KD. Dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle, et

Conséquemment, il est impossible de construire un angle plus grand que ceux qui ont leur sommet en B et D. Par la même occasion, il est démontré que l’arc AB, qui correspond au temps de la moindre vitesse à la [vitesse] moyenne, est plus grand que l’arc BG, qui correspond au temps de la vitessee moyenne à la plus grande [vitesse] ; [la différence correspond à la taille] des deux arcs comprenant l’équation de l’anomalie. En effet, l’angle AEB est plus grand qu’un angle droit, l’angle EZB, par [la taille de] l’angle EBZ, tandis que l’angle BEG est plus petit [qu’un angle droit] du même angle.

Pour démontrer que la même chose se produit dans l’hypothèse de l’épicycle, traçons le cercle ABG autour du centre D, qui correspond au monde, avec pour diamètre AB. Dans son plan, l’épicycle EZH est porté autour du centre A. Supposons que l’astre soit en H, où sa distance apparente à l’apogée est d’un quadrant [90°]. Joignons enfin AH et DHG. J’affirme que la droite DHG est tangente à l’épicycle [en H], où se trouve la plus grande différence entre le mouvement uniforme et le mouvement inégal.

Le mouvement uniforme/moyen depuis l’apogée est représenté par l’angle EAH, puisque l’astre parcourt l’épicycle, qui parcourt le cercle ABG, les deux à la même vitesse. La différence entre le mouvement uniforme et le mouvement apparent est représentée par l’angle ADH. Il est donc évident que l’excès de l’angle EAH sur l’angle ADH, soit l’angle AHD, représente la distance apparente de l’astre à l’apogée. Nous avons vu qu’on la suppose être égale à un quadrant [90°] ; il s’ensuit donc que cet angle AHD est droit, et que la droite DHG est tangente à l’épicycle EZH. L’arc AG entre le centre A et cette tangente est donc la plus grande différence produite par l’anomalie.

Pour les mêmes raisons, l’arc EH, qui représente — suivant le sens du mouvement supposé sur l’épicycle — le temps écoulé entre la vitesse minimale à la vitesse moyenne, est plus grand que l’arc HZ, qui représente le temps écoulé entre la vitesse moyenne et la plus grande, par deux fois l’arc AG. Si nous étirons la droite DH jusqu’au point Θ et traçons AKΘ perpendiculaire à EZ, ∠ KAH = ∠ ADG, et arc KH ‖ arc AG. L’arc EKH est donc plus grand qu’un quadrant par cet arc [KH], tandis que l’arc ZH est plus petit qu’un quadrant d’autant [que l’arc KH]. CQFD.

Nous comprendrons aussi aisément que, dans une hypothèse ou l’autre, les mouvements partiels, tant moyens qu’apparents, et leur excédent ou différence, est la différence causée par [ou équation de] l’anomalie, sont égaux en temps égaux. Traçons donc le cercle ABG, concentrique à l’écliptique, autour du centre D, et un cercle EZH excentrique, mais [de taille] égal[e] à [celle du] concentrique ABG, et ayant pour centre Θ. Soit EAΘD leur diamètre commun passant par les centres, Θ et D, et par l’apogée, E. Choisissons un arc AB au hasard sur le [cercle] concentrique, puis, avec le centre B et le rayon DΘ, traçons l’épicycle KZ, et joignons enfin KBD. Je dis que, par le mouvement d’une hypothèse comme de l’autre, l’astre arrivera au point Z d’intersection de l’excentrique et de l’épicycle, dans le même temps dans tous les cas. Autrement dit, les arcs EZ de l’excentrique, AB du concentrique, et KZ de l’épicycle sont semblables entre eux. De plus, la différence du mouvement uniforme au mouvement inégal, ainsi que la position apparente de l’astre, seront semblable et identique dans les deux hypothèses.

Joignons donc ZΘ et BZ, de même que DZ. Puisque les côtés opposés du quadrilatère BDΘZ sont égaux deux par deux (soit ZD = BD et BZ = DΘ), ce quadrilatère est un parallélogramme BDΘZ, dont les trois angles EΘZ, ADB, et ZBK sont égaux entre eux. Puisqu’ils sont des angles au centre [du cercle], ils ont aussi les côtés qui les sous-tendent seront égaux entre eux, à savoir :

L’astre arrivera donc à Z en même temps, peu importe l’hypothèse, et il semblera avoir parcouru l’arc AL de l’écliptique depuis l’apogée. L’équation de l’anomalie sera donc la même dans les deux hypothèses, puisque nous avons démontré que, dans l’hypothèse excentrique, elle correspond à l’angle DZΘ, tandis que dans l’hypothèse épicyclique, elle correspond à l’angle BDZ, et que ces deux angles sont alternes et égaux, puisque, comme démontré, les côtés opposés ΘZ et BD sont parallèles entre eux. Il est évident que telles seront les choses peu importe la distance [de l’astre à l’apogée ; il est d’ailleurs possible de le vérifier en cliquant sur le dé en haut à droite du diagramme], puisque le quadrilatère ΘDBZ sera toujours un parallélogramme, et [parce que] le mouvement de l’astre sur l’épicycle décrira toujours le cercle excentrique, du moment que les rapports  soient égaux et semblables dans chaque hypothèse.

En fait, du moment qu’ils sont semblables, et pas nécessairement égaux en grandeur, les mêmes phénomènes se produiront toujours. Voici pourquoi. Soit encore le cercle ABG concentrique au monde, autour du centre D et avec le diamètre ADG, sur lequel l’astre atteint alternativement l’apogée et le périgée. Traçons un épicycle autour du point B, distant d’un arc quelconque, AB, de l’apogée A. Disons que l’astre a parcouru l’arc EZ semblable à l’arc AB — vu que les révolutions sur les [deux] cercles se font en temps égaux. Connectons DBE, BZ, et DZ.

L’évidence est que, dans cette hypothèse (épicyclique), l’angle ADE est égal à l’angle ZBE, et que l’astre semblera être dans la droite DZ. J’affirme donc que, dans le cas de l’excentrique, qu’il soit plus grand ou plus petit que le cercle concentrique ABG, pourvu que les rapports des arcs et des périodes soient similaires, l’astre paraîtra toujours dans la droite DZ.

Traçons donc l’excentrique HT, plus grand, autour du centre K pris sur AG, et l’excentrique LM, plus petit, autour du centre N pris sur la même droite . Traçons aussi les droites DMZΘ et DLAH, et joignons les points TK et MN. Puisque DB:BZ = ΘK:KD = MN:ND et ∠ BZD = ∠ MDN (vu que DA et BZ sont parallèles), les trois triangles sont équiangles, et leurs angles sous-tendus par les côtés correspondants sont aussi égaux : ∠ BDZ = ∠ DΘK = ∠ DMN. Les droites BD, ΘK, et MN sont donc parallèles. Conséquemment, ∠ ADB = ∠ AKΘ = ∠ ANM. Ces angles étant au centre des cercles, les arcs qui leur sont opposés — AB, HΘ, et LM — sont donc semblables. Dans le même temps, donc, non seulement l’épicycle a parcouru AB et l’astre, EZ, mais de plus, l’astre aura parcouru les arcs HΘ et LM sur les excentriques en le même temps. Pour cette raison, il sera donc toujours vu sur la droite DMZΘ : au point Z de l’épicycle, au point Θ du grand excentrique, et au point M du petit excentrique. Cela sera vrai à toutes les positions.

🛑  NdT : La position des points K et N semble ici aléatoire ; ni Ptolémée (via Heiberg), ni les traducteurs Halma, Manitius, et Toomer, n’indiquent comment déterminer la position de K ou de N. Toutefois, les diagrammes présents dans trois des quatre éditions sont incorrects : le diagramme d’Halma a des portions d’excentriques centrées sur D, et dans ceux de Heiberg et de Manitius, ∠ ADB = ∠ AKΘ ≠ ∠ ANM. Le diagramme de Toomer est correct, mais il n’explique pas comment il a déterminé la position relative de N et de K. Ni Neugebauer ni Pedersen n’abordent la question. La clé est une note de bas de page de Toomer : « Les rapports sont e:R et r:R ». Il s’agit donc de choisir le rayon de chaque excentrique et la position de son centre de sorte que DN:NL = DK:KH.

Une autre conséquence de cela est que, quand l’astre paraît être à une distance angulaire égale de l’apogée et du périgée, l’équation de l’anomalie sera la même dans chaque position. Voyons d’abord la preuve avec l’hypothèse excentrique. Traçons le cercle ABGD autour du centre E avec le diamètre AEG ; le point A représente l’apogée. Supposons l’œil situé au point Z sur ce diamètre. Ajoutons une droite quelconque BZD, et joignons EB et ED. Les positions apparentes [de l’objet aux points B et D] seront donc égales et opposées ; autrement dit, l’angle AZB du mouvement depuis l’apogée égalera l’angle GZD du mouvement depuis le périgée, et l’équation de l’anomalie sera la même, parce que BE = ED et ∠ EBZ = ∠ EDZ. L’arc du mouvement moyen depuis l’apogée A est donc plus quand que l’arc du mouvement apparent (qui est l’angle AZB) par la même équation [∠ EBZ] que ∠ GZD est plus grand que l’arc du mouvement moyen depuis le périgée A, vu que ∠ AEB > ∠ AZB [par ∠ EBZ] et ∠ GED < ∠GZD [aussi par ∠ EBZ].

Pour l’hypothèse épicyclique, maintenant, traçons le cercle concentrique [au monde] ABG autour du centre D et avec le diamètre ADG, et l’épicycle EZH dont le centre est A. Traçons une ligne arbitraire DHBZ, et joignons AZ et AH. L’arc AB représente donc l’équation de l’anomalie et sera le même aux deux positions — que l’astre soit en Z ou en H. De plus, la distance de l’astre au point de l’écliptique correspondant à l’apogée lorsqu’il est en Z sera égale à la distance du point correspondant au périgée lorsqu’il [l’astre] est en H, puisque l’arc apparent depuis l’apogée est représenté par ∠ DZA, que nous avons démontré être la différence entre le mouvement uniforme et l’équation de l’anomalie [∠ DZA = ∠ EAZ − ∠ ADZ]. De même, l’arc apparent depuis le périgée est représenté par ∠ ZHA, puisque cela est égal au mouvement moyen depuis le périgée plus l’équation de l’anomalie. Mais ∠ DZA = ∠ ZHA, puisque AZ = AH, alors nous pouvons conclure que le mouvement moyen dans l’apogée est plus grand que le mouvement apparent (∠ EAZ > ∠ AZD), de la même différence (∠ ADH) que le mouvement moyen est plus petit que ce même mouvement apparent (∠ HAD < ∠ AHZ). CQFD.

4. De l’anomalie apparente du Soleil

Ces démonstrations faites, voyons ce qu’il en est de l’anomalie du Soleil. Il n’y en a qu’une, et elle fait en sorte que le temps écoulé depuis le mouvement le plus lent jusqu’au mouvement moyen plus long que le temps entre le moyen et le plus grand — selon les observations. Chacune des deux hypothèses peut expliquer cet effet, bien que, dans l’hypothèse épicyclique, le mouvement du Soleil sur l’épicycle à l’apogée devrait être contre l’ordre des signes. Toutefois, l’hypothèse excentrique est à privilégier, car elle est plus simple et ne suppose qu’un seul mouvement, et non deux.

Nous devons d’abord trouver le rapport d’excentricité du cercle solaire — c’est-à-dire le rapport entre la droite reliant le centre de l’excentrique et le centre de l’écliptique (où se trouve l’œil) et le rayon de l’excentrique — et, surtout, dans quelle direction de l’écliptique se trouve l’apogée de l’excentrique. Ces deux questions ont été résolues avec grand soin par Hipparque : après avoir noté que la durée entre l’équinoxe de printemps et le solstice d’été est de 94⁠1⁄2 jours, et entre le solstice d’été et l’équinoxe d’automne de 92⁠1⁄2 jours, il démontre, avec ces seules données, que la droite entre les centres susmentionnés est à peu près la vingt-quatrième partie du rayon de l’excentrique, et que l’apogée est environ à 24⁠1⁄2° (dont l’écliptique compte 360°) en avance [à l’ouest] du solstice d’été. Nous trouvons de nos jours encore que ces temps et ce rapport est toujours environ les mêmes, prouvant que le cercle excentrique du Soleil garde toujours la même position relativement aux solstices et aux équinoxes . Afin de ne pas couvrir ce sujet que légèrement, nous allons en refaire les calculs, dans l’hypothèse excentrique, en nous servant des mêmes données, soit que le temps entre l’équinoxe de printemps et le solstice d’été est de 94⁠1⁄2 jours et celui entre ce solstice et l’équinoxe d’automne, de 92⁠1⁄2 jours. Nos propres observations des équinoxes et du solstice d’été, effectuées la 463^e année après la mort d’Alexandre, confirment ces intervalles : nous avons vu que l’équinoxe d’automne eut lieu après le lever du soleil le 9 d’athyr [26 septembre 139] ; l’équinoxe de printemps, le 7 de pachon [22 mars 140] après midi (donc un intervalle [entre eux] de 178⁠1⁄4 jours) ; et le solstice d’été, le 11/12 de mésori [24/25 juin 140], après minuit. L’intervalle de l’équinoxe de printemps au solstice d’été est donc de 94⁠1⁄2 jours, ce qui laisse environ 92⁠1⁄2 jours entre le solstice d’été et l’équinoxe d’automne pour compléter l’année.

Soit le cercle ABGD représentant l’écliptique, autour du centre E. Nous y traçons deux diamètres perpendiculaires, AG et BD, par les solstices et les équinoxes ; le point A représente l’équinoxe de printemps, et B, le solstice d’été, etc. Évidemment, le centre de l’excentrique sera situé quelque part entre les lignes EA et EB : le demi-cercle ABG [correspondant à l’intervalle entre les équinoxes] occupe plus de la moitié de l’année et coupe donc un arc de l’excentrique plus grand que le demi-cercle ; de plus, le quart de cercle AB [entre l’équinoxe de printemps et le solstice d’été] occupe aussi plus de temps et intercepte un plus grand arc de l’excentrique que le quart de cercle BG [entre le solstice d’été et l’équinoxe d’automne].

Choisissons un point au hasard, Z, comme centre de l’excentrique, et traçons le diamètre EZH, passant par les deux centres [Z et E] et par l’apogée [H]. Traçons maintenant un cercle (ΘKLM) de diamètre arbitraire autour de Z, et traçons les droites NJO, parallèle à AG, et PRS, parallèle à BD, passant toutes deux par Z. Du point Θ, traçons ΘTU perpendiculaire à NZO, et du point K, KFX perpendiculaire à PRS.

Puisque le Soleil, dans sa révolution uniforme sur le cercle ΘKLM, traverse l’arc ΘK en 94⁠1⁄2 jours et l’arc KL en 92⁠1⁄2 jours, il fait uniformément, en 94⁠1⁄2 jours, environ 93° 09′ des degrés dont le cercle en contient 360, et en 92⁠1⁄2 jours, 91° 11′ de ces mêmes degrés. L’arc ΘKL est donc de 184° 20′ ; les arcs NΘ et LO, qui « dépassent » du demi-cercle NPO, valent 4° 20′, soit 2° 10′ chacun ; et l’arc ΘNU, double de ΘN, sera de 4° 20′. Sa corde [UTΘ] sera donc d’environ 4;32^p des parties dont le diamètre de l’excentrique en compte 120, et la moitié ΘT, égale à EJ, en contient donc 2;16^p.

Puisque l’arc entier ΘNPK mesure 93° 09′, que l’arc ΘN mesure 2° 10′, et que le quart de cercle NP mesure 90°, l’arc restant PK mesure donc 0° 59′ ; son double, l’arc KPX, mesure donc 1° 58′. La corde KFX mesure donc 2;04^p des parties dont le diamètre de l’excentrique en contient 120 — KF et FX, ses moitiés, mesureront donc 1;02^p de ces mêmes parties. Nous avons démontré que EJ = 2;16^p des mêmes unités. Puisque EZ² = ZJ² + EJ², EZ mesure donc environ 2;29⁠1⁄2^p des parties dont le rayon de l’excentrique en contient 60. L’espace entre le centre de l’excentrique et celui du zodiaque est donc d’environ la vingt-quatrième partie du rayon de l’excentrique [puisque 2;29⁠1⁄2:60 ≈ 1:24].

Maintenant, compte tenu que la droite EZ mesure 2;29⁠1⁄2^p, la droite ZJ mesure 1;02^p, donc ZJ mesure 49;46^p des 120 parties de l’hypoténuse EZ. Donc, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle EZJ, l’arc ZJ ≈ 49°, donc ∠ ZEJ = 49^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et 24° 30′ où quatre angles droits font 360°. Puisque cet angle est au centre de l’écliptique, l’arc BH qui est la quantité par laquelle l’apogée précède le solstice d’été B, est de 24° 30′.

Enfin, puisque les quadrants OS et SN mesurent chacun 90° et que arc OL = arc ΘN = 2° 10′ et que l’arc MS = 0° 59′, l’arc LM mesure donc 86° 51′ et l’arc MΘ mesure 88° 49′. Le Soleil parcourt uniformément 86° 51′ en 88;08 jours, et 88° 49′ en 90;08 jours environ ; le Soleil semblera donc parcourir l’arc GD (de l’équinoxe d’automne au solstice d’hiver) en 88;08 jours, et l’arc DA (entre le solstice d’hiver et l’équinoxe de printemps) en 90;08 jours environ ; ces résultants sont donc conformes aux affirmations d’Hipparque.

Avec ces quantités, cherchons d’abord quelle est la plus grande différence entre le mouvement moyen et le mouvement anomalistique, et à quel point [de l’écliptique] celle-⁠ci se produit. Traçons d’abord le cercle excentrique ABG, avec pour centre D et diamètre ADG passant par l’apogée A, et sur ce diamètre le centre de l’écliptique E. Traçons EB perpendiculaire à AG, et joignons DB. Vu que le rayon BD mesure 60 parties, l’excentricité DE mesure 2;30^p (à raison de 1:24) ; donnant à celle-⁠ci une longueur de 5^p et à l’hypoténuse BD 120^p, et imaginant un cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle BDE, l’arc sous-tendu par cette droite [DE] vaudra 4° 46′. Donc, ∠ DBE, qui représente la plus grande équation de l’anomalie, sera égal à 4;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et 2° 23′ où quatre angles droits font 360°. Dans ces mêmes unités, ∠ BED = 90° et ∠ BDA = ∠ DBE + ∠ BED = 92° 23′. Puisque ∠ BDA a son sommet [D] au centre de l’excentrique, et ∠ BED l’a [E] au centre de l’écliptique, la plus grande équation de l’anomalie sera donc de 2° 23′. L’arc moyen de l’excentrique depuis l’apogée [jusqu’au point où se produit la plus grande équation de l’anomalie] est donc de 92° 23′, ce qui équivaut à 90° [de l’apogée] mesuré le long de l’écliptique en mouvement anomalistique. Il est aussi évident, à la lumière de nos résultats précédents, que dans le demi-cercle opposé, la vitesse moyenne et la plus grande équation de l’anomalie seront à 270° de mouvement apparent, et à 267° 37′ de mouvement moyen sur l’excentrique.

Utilisons maintenant des calculs numériques pour démontrer, comme nous l’avons dit, que nous obtenons les mêmes valeurs dans l’hypothèse épicyclique aussi, tant que les rapports demeurent les mêmes, comme nous l’avons expliqué. Traçons donc le cercle ABG concentrique à l’écliptique, autour du centre D, et ayant comme diamètre ADG. L’épicycle EZH a pour centre A. Traçons la droite DZB, tangente à l’épicycle, et joignons AZ. Dans le triangle rectangle ADZ, l’hypoténuse AD est 24 fois plus longue que AZ, de sorte que si AD mesure 120 parties, la droite AZ en mesure 5, et l’arc sous-tendu par cette droite mesure 4;46^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, donc 2° 23′ où quatre angles droits font 360°. La plus grande équation de l’anomalie, AB, se trouve donc ici aussi à mesurer 2° 23′ ; l’arc de mouvement anomalistique est donc de 90°, soit l’angle droit AZD, et l’arc moyen (l’angle EAZ) est de 92° 23′.

5. Construction du tableau de l’anomalie solaire

Afin de pouvoir déterminer le mouvement anomalistique pour n’importe quel point par le calcul, nous montrerons, encore selon chaque hypothèse, comment nous pouvons trouver les deux autres si l'un des arcs est donné. Traçons donc le cercle ABG, concentrique à l’écliptique, autour du centre D ; l’excentrique EZH autour du centre Θ, et le diamètre EAΘDH passant par les deux centres et l’apogée. Prenons un arc EZ et joignons ZD et ZΘ. Supposons d’abord que l’arc EZ mesure 30°. Prolongeons la droite ZΘ jusqu’en K, où la rejoint la perpendiculaire DK. Puisque EZ (par supposition) est de 30°, ∠ EΘZ = ∠ DΘK = 30° où quatre angles droits font 360°, et 60^ꝏ où deux angles droits font 360°. Dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DΘK, arc DK = 60° et arc KΘ = 120° (son supplément). Quant aux cordes correspondantes, DK mesure donc 60^p et KΘ, 103;55^p, où l’hypoténuse DΘ mesure 120^p. Nous avons donc, où DT = 2;30^p et ZΘ = 60^p, DK = 1;15^p et ΘK = 2;10^p ; aussi, KΘZ en entier [mesure] 62;10^p. Puisque DK² + KΘZ² = ZD², l’hypoténuse ZD ≈ 62;11^p. Donc, pour ZD = 120^p, la droite DK = 2;25^p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle ZDK [en rose pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] et qui vaut 360°, l’arc DK = 2° 18′. En conclusion, l’angle DZK mesure 2;18^ꝏ où deux angles droits font 360°, donc 1° 09′ où quatre angles droits font 360°, ce qui est l’équation de l’anomalie à cet endroit ; et l’angle EΘK = 30°, alors l’angle restant ADB (correspondant à l’arc AB de l’écliptique) mesure 28° 51′.

Si nous connaissons plutôt un autre des angles [pertinents, autres que ∠ EΘZ], il permettra aussi de trouver ceux que nous cherchons. Reprenons le même diagramme, et traçons la droite LΘ, passant par Θ et perpendiculaire à ZD. Supposons que nous connaissons l’arc AB de l’écliptique (donc, ∠ ΘDL), alors la proportion DΘ:ΘL sera aussi connue et, puisque DΘ:ΘZ est aussi connu, ΘZ:ΘL sera aussi connu. Donc ∠ ΘZL, soit l’équation de l’anomalie, sera connu, de même que ∠ EΘZ, correspondant à l’arc EZ de l’excentrique. Si nous avons plutôt l’équation de l’anomalie, soit l’angle ΘZD, ce sera la même chose : vu que ΘZ:TL est donné ainsi [par la valeur de ∠ ΘZD], et que ΘZ:ΘD est déjà connu, DΘ:ΘL sera ainsi trouvé, et nous connaîtrons ainsi la mesure de l’angle ΘDL, correspondant à l’arc AB de l’écliptique, ainsi que l’angle EΘZ, c’est-à-dire l’arc EZ de l’excentrique.

[Pour l’hypothèse épicycle,] Posons maintenant le cercle ABG concentrique à l’écliptique, autour du centre D et avec le diamètre ADG. Gardons le même rapport [au cercle ABG comme l’excentricité de l’excentrique] pour tracer l’épicycle EZHΘ autour du centre A. Prenons un arc EZ, encore de 30°, et joignons ZBD et ZA, puis traçons ZK, perpendiculaire à AE. Puisque EZ = 30°, ∠ EAZ = 30° où quatre angles droits font 360°, et 60^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, l’arc sous-tendu par ZK est de 60° dans le cercle circonscrit au triangle AZK [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], qui en vaut 360°, et l’arc sous-tendu par AK = 120°, son supplément. Les cordes correspondantes mesurent donc, pour ZK, 60^p, et pour KA, 103;55^p, où le diamètre AZ = 120^p. Donc, puisque l’hypoténuse AZ = 2;30^p et le yaron AD = 30^p, la droite ZK = 1;15^p, la droite KA = 2;10^p, et la droite entière KA = 62;10^p. Aussi, puisque ZK² + KD² = ZBD², ZD = 62;11^p où ZK = 1;15^p. Alors, avec l’hypoténuse DZ = 120^p, ZK = 2;25^p ; dans le cercle circonscrit au triangle rectangle DZK [en rose pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], l’arc qu’elle sous-tend [ZK =] 2;18^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et 1° 09′ où quatre angles droits font 360°. Telle est donc l’équation de l’anomalie, correspondant à l’angle AB. Puisque ∠ EAZ = 30°, ∠ AZD, qui est l’arc du mouvement apparent sur l’écliptique, est égal à [par différence] 28° 51′. Nous obtenons donc les mêmes valeurs que celles démontrées dans l’hypothèse excentrique.

Ici, si un autre angle [que ∠ EAZ] est donné, les autres seront donnés [de la même manière], en traçant AL perpendiculaire à DZ. Si nous avons par exemple ∠ AZD, qui est l’arc apparent sur l’écliptique, alors nous aurons le rapport ZA:AL. Puisque nous connaissons déjà le rapport ZA:AD, nous connaîtrons ainsi DA:AL et, de là, ∠ ADB correspondant à l’arc de l’équation de l’anomalie, ainsi que ∠ EAZ, correspondant à l’arc EZ de l’épicycle. Si nous avons plutôt l’équation de l’anomalie, soit ∠ ADB, nous aurons aussi le rapport AD:AL. Puisque le rapport DA:AZ est déjà connu, nous aurons ZA:AL et, de là, ∠ AZD, l’arc apparent sur l’écliptique, ainsi que ∠ EAZ, l’arc EZ de l’épicycle.

Reprenons maintenant le diagramme de l’[hypothèse] excentrique, et prenons-y l’arc HZ, encore une fois de 30°, mais à partir du périgée H. Joignons DZB et ZΘ, puis traçons DZ perpendiculaire à ΘZ. Alors, puisque ZH = 30°, ∠ ZΘH = 30° où quatre angles droits font 360° et 60^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit de 360° [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DΘK, arc DK = 60° et arc KΘ = 120°, son supplément. Les cordes seront donc DK = 60^p où DT = 120^p, et KT = 103;55^p. Alors avec l’hypoténuse DΘ de 2;30^p et la droite menée du centre [rayon] ΘZ de 60^p, il s’ensuit que la droite DK = 1;15^p et la droite KZ = 57;50^p, qui est le reste [des 60^p]. Et puisque DZ² = DK² + KZ², alors DZ ≈ 57;51^p où DK = 1;15^p, donc DK = 2;34^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Maintenant, dans le cercle circonscrit [en rose pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, au triangle rectangle DZK, l’arc DK = 2° 27′, donc l’angle DZK = 2;27^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, donc 1° 14′ où quatre angles droits font 360° ; telle est l’équation de l’anomalie. Enfin, puisque nous avons dit que l’angle ZΘH = 30°, l’angle entier BDG — donc l’arc GB — sera de 31° 14′ [l’addition des deux valeurs].

De même, si nous prolongeons BD et que nous traçons ΘL perpendiculaire [à BD], si nous connaissons l’arc GB, c’est-à-dire l’angle ΘDL, le rapport DΘ:ΘL sera aussi donné ; aussi, vu que nous connaissons le rapport ΘD:ΘZ, le ΘZ:ΘL sera aussi donné. Nous connaîtrons donc ainsi l’angle ΘZD, c’est-à-dire l’équation de l’anomalie, et l’angle ZΘD, c’est-à-dire l’arc HZ du cercle excentrique. Si nous avons plutôt l’équation de l’anomalie, c’est-à-dire l’angle ΘZD, cela nous donne aussi le rapport ZΘ:ΘD et, de là, DΘ:ΘL, et donc l’angle ΘDL, c’est-à-dire l’arc GB de l’écliptique, et l’angle ZΘH, c’est-à-dire l’arc HZ de l’excentrique .

Reprenons maintenant le diagramme du concentrique et de l’épicycle ; prenons d’abord l’arc ΘH à partir du périgée, encore de 30°. Joignons AH et DHB, et traçons HK perpendiculaire à AD. Alors, puisque ΘH = 30°, l’angle ΘAH fera 30° où quatre angles droits font 360°, et 60^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, sur le triangle rectangle HKA, l’arc HK = 60° et l’arc AK = 120°, son supplément. Les cordes correspondantes mesureront donc, pour HK, 60^p, et pour AK, 103;55^p où l’hypoténuse AH = 120^p. Donc, pour AH = 2;30^p et le rayon AD = 60^p, nous avons HK = 1;15^p, AK = 2;10^p, et KD = 57;50^p, le reste [des 60^p]. Aussi, vu que HK² + KD² = DH², DH ≈ 57;51^p où KH = 1;15^p, nous avons HK = 2;34^p où DH = 120^p et, dans le cercle circonscrit [en rose pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs], de 360°, autour du triangle rectangle DHK, l’arc HK = 2° 27′, donc ∠ HDK = 2;27^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et environ 1° 14′ où quatre angles droits font 360° ; telle est donc l’équation de l’anomalie, c’est-à-dire l’arc AB. Et puisque nous avons décidé que ∠ KAH = 30°, ∠ BHA — qui comprend l’arc apparent de l’écliptique [depuis le périgée] sera de 31° 14′, conformément aux valeurs obtenues dans l’[hypothèse] excentrique.

Enfin, de la même manière, traçons AL perpendiculaire à DB. Si nous connaissons l’arc du zodiaque, c’est-à-dire l’angle AHL, nous connaissons le rapport HA:AL et — à partir de HA:AD — le rapport DA:AL. Cela nous donnera l’angle ADB, c’est-à-dire l’arc AB de l’équation de l’anomalie, et l’angle ΘAH, c’est-à-dire l’arc ΘH de l’épicycle. Si nous connaissons plutôt l’arc AB de l’équation du centre, soit l’angle ADB, nous connaîtrons aussi le rapport DA:AL. Si enfin nous connaissons le rapport DA:AH, HA:AL sera aussi connu, et nous trouverons ainsi l’angle AHL, c’est-à-dire l’arc de l’écliptique, et l’angle ΘAH, c’est-à-dire l’arc ΘH de l’épicycle. CQFD.

Nous désirons avoir un tableau permettant le calcul de la position apparente à partir de l’anomalie ; plusieurs formes en sont possibles, mais nous préférons celle qui présente l’équation de l’anomalie à partir du mouvement moyen. En effet, cette présentation est dans la suite de nos hypothèses, facile d’utilisation, et permet le calcul de chaque cas possible. Nous avons donc calculé, à partir de la première hypothèse [excentrique] utilisée dans nos exemples précédents, l’équation de l’anomalie correspondant à chaque arc du mouvement moyen. Tant pour le Soleil que pour [la Lune et] les planètes, nous avons divisé chaque quadrant avoisinant l’apogée en 15 portions, l’équation s’y trouvant listée par tranches de 6°, et les quadrants près du périgée en 30 divisions, soit par tranches de 3° — cela parce que la différence entre les équations de l’anomalie [successives], pour de mêmes subdivisions, est plus grande dans les périgées que dans les apogées.

Notre tableau sera donc sur 45 lignes et trois colonnes, les deux premières contenant les nombres des 360° du mouvement moyen — les 15 premières, pour les quadrants voisins de l’apogée, et les 30 autres, ceux du périgée. La troisième colonne contiendra les degrés de l’équation de l’anomalie à ajouter ou à soustraire [prostaphérèses] correspondant au mouvement moyen. Ce tableau apparaît ici.

6. Tableau de l’anomalie solaire

[NdT : Ce tableau est habituellement donné en une seule colonne plutôt que trois ; seul Manitius a aussi trois colonnes. Les valeurs données par Ptolémée sont très proches de celles obtenues par la formule q = arctan[(e sin a) ÷ (60 + e cos a)], où e = 2;29⁠1⁄2^p est l’excentricité, et a ∈ {6°, 12°, …, 90°, 93°, …, 180°}, tel que déterminé par Van Brummelen [1993]. J’ai refait les calculs avec cette formule, et j’obtiens les mêmes résultats que Van Brummelen, à savoir : 0;29 plutôt que 0;28 pour 12° ; 1;33 plutôt que 1;32 pour 42° ; 2;19, 2;17, et 2;15, respectivement, pour 105°, 108°, et 111° ; et 0;38, 0;31, et 0;23, respectivement, pour 165°, 168°, et 171°.]

7. De l’époque du mouvement moyen du Soleil

Il nous reste à déterminer l’époque du mouvement moyen du Soleil, qui nous servira à trouver la position de celui-⁠ci pour tout moment. Pour ce faire, nous utiliserons encore une fois les positions que nous avons observées le plus exactement possible (comme nous le faisons aussi pour les planètes), rapportées à la première année de Nabonassar, date des plus anciennes observations qui ont été conservées jusqu’à notre époque.

Traçons donc le cercle ABG concentrique à l’écliptique, autour du centre D ; le cercle EZH excentrique du Soleil, autour du centre θ ; et le diamètre EAHG passant par ces deux centres et par l’apogée E. Nous supposons que le point B représente l’équinoxe d’automne. Joignons BZD et θT, puis traçons TK perpendiculaire à ZD. Puisque le point B est au début de la Balance et que le point G (périgée) est à Sagittaire 5⁠1⁄2°, l’arc BG mesure donc 65° 30′. Ainsi, ∠ BDG = ∠ ΘDK = 65° 30′ où quatre angles droits font 360°, et 131^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Conséquemment, dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DTK, de 360°, l’arc sous-tendu par ΘK mesure 131°. Mais puisque [la corde] ΘK mesure 109;12^p où le diamètre DΘ = 120^p, si nous ramenons DT à 5^p et ZΘ à 120^p, nous avons ΘK = 4;33^p, et l’arc sous-tendu par cette droite [ΘK] est de 4° 20′ dans le cercle circonscrit [en rose pâle ; pas tracé par Ptolémée, ni par ses autres traducteurs] au rectangle ΘZK, de 360°. Donc, ∠ ΘZK = 4^ꝏ où deux angles droits font 360°, et 2° 10′ où quatre angles droits font 360°. Mais ∠ BDG = 65° 30′, donc [par soustraction] l’autre angle ZΘH, c’est-à-dire l’arc ZH de l’excentrique, mesure 63° 20′. Quand le Soleil est à l’équinoxe d’automne, il est donc à 63° 20′ de mouvement moyen en avance [précédant / à l’ouest] du périgée (à Sagittaire 5⁠1⁄2°), soit à 116° 40′ de mouvement moyen en retard [suivant / à l’est] de l’apogée (à Gémeaux 5⁠1⁄2°).

Maintenant que cela est établi, un des premiers équinoxes que nous avons observés minutieusement était celui d’automne dans la dix-septième année d’Hadrien, le 7 d’athyr du calendrier égyptien [25 septembre 132], environ deux heures équinoxiales après midi. La distance du Soleil à son apogée sur le cercle excentrique était donc [d’après les calculs précédents] de 116° 40′ suivant l’ordre des signes [« derrière » / suivant / à l’est]. Depuis l’ère de Nabonassar [26 février −746] à la mort d’Alexandre [12 novembre −323 selon Toomer, mais 10/11 juin −322 selon les historiens modernes], il s’est écoulé 424 ans, et de la mort d’Alexandre à l’ère d’Auguste [31 août −29 selon Toomer, mais le 10 selon les historiens modernes] 294 ans, et depuis l’ère d’Auguste (1 thout du calendrier égyptien à midi, puisque les ères sont établies pour midi) au septième jour de la dix-septième année d’Hadrien, à deux heures équinoxiales après midi, il s’est écoulé 161 ans, 66 jours, et 2 heures équinoxiales. Le total depuis midi, le 1 thout du calendrier égyptien de la première année de Nabonassar, jusqu’au moment de l’équinoxe d’automne [mentionné] ci-⁠dessus est donc de 879 années égyptiennes, 66 jours, et 2 heures équinoxiales. Pendant ce temps, le Soleil a parcouru — en plus des révolutions entières — environ 211° 25′ de mouvement moyen. Si donc, aux 116° 40′ de distance [du Soleil] à l’apogée de l’excentrique à l’équinoxe d’automne, nous ajoutons les 360° d’une circonférence, puis soustrayons 211° 25′ de mouvement de l’intervalle de temps, nous trouvons comme époque du mouvement moyen, dans la première année de Nabonassar, à midi le premier jour du mois égyptien de thout, que le Soleil était à 265° 15′ de l’apogée suivant l’ordre des signes, soit à Poissons 0° 45′ [NdT : SkySafari 6 Pro donne 0° 14′, tandis que Stellarium 0.21.0 donne 0° 18′].

8. Calcul de la position du Soleil

Pour n’importe quel moment pour lequel nous voudrions déterminer la position du Soleil, nous entrerons dans le tableau le temps écoulé depuis cette époque [de Nabonassar] jusqu’au moment en question à [l’heure d’]Alexandrie, puis prendrons les degrés et fractions de degré indiqués à côté de leurs nombres respectifs [périodes de 18 ans, années, mois, etc.] et les ajouterons aux 265° 15′ de la distance [à l’apogée à l’époque] trouvée ci-⁠dessus, et soustrairons le nombre de révolutions complètes du total, puis compterons le reste depuis le point Gémeaux 5° 30′ selon l’ordre des signes. Le point obtenu sera la position moyenne du Soleil.

Nous prendrons ensuite ce nombre, soit la distance à l’apogée de la position moyenne du Soleil, et l’entrerons dans le tableau de l’anomalie, puis trouverons la valeur correspondante dans la troisième colonne. Si ce nombre [la distance à l’apogée] est compris dans la première colonne — qu’il est inférieur à 180° — nous soustrayons le résultat du lieu moyen trouvé ; à l’inverse, s’il est dans la seconde colonne — qu’il est supérieur à 180° — nous l’ajouterons à la position moyenne. La réponse sera le lieu vrai et apparent du Soleil.

9. De l’inégalité des nycthémères

Ceci conclut la théorie du Soleil, mais il convient d’ajouter quelques mots sur l’inégalité des nycthémères  — sujet qu’il faut connaître, puisque le mouvement moyen que nous indiquons pour chaque corps sont listés par tranches simples et égales, comme si les nycthémères avaient tous la même durée. Nous pouvons toutefois démontrer que tel n’est pas le cas. La révolution du monde se faisant uniformément autour des pôles de l’équateur [ἰσημερινοῦ], que nous mesurons par le retour à l’horizon ou au méridien ; il est donc clair qu’une révolution du monde consiste en un seul retour d’un même point de l’équateur d’un point de l’horizon ou du méridien jusqu’à ce même point. Mais un nycthémère, dans sa plus simple définition, est le retour du Soleil d’un point de l’horizon ou du méridien jusqu’à ce même point. Selon cette définition, donc, un nycthémère [moyen] est la période requise pour que les 360 degrés de temps d’une révolution de l’équateur plus environ 0;59 degré de temps, soit le mouvement moyen du Soleil pendant cette période. [Il existe aussi] le nycthémère inégal [ou anomalistique], qui comprend le passage de ces 360 degrés de temps d’une révolution de l’équateur plus cette partie de l’équateur qui se lève — ou croise le méridien — avec le mouvement anomalistique du Soleil [pendant ce temps].

Cette partie de l’équateur, qui passe en plus de 360 degrés de temps, est forcément inégale, du fait de l’anomalie apparente du Soleil [elle-même variable], et parce que des portions égales de l’écliptique ne croisent pas l’horizon ou le méridien en des temps égaux. La différence engendrée par chaque effet, entre le nycthémère moyen et le nycthémère inégal, est imperceptible, mais elle s’accumule au fil des jours et des nuits pour atteindre des niveaux perceptibles.

La plus grande différence [accumulée] causée par l’anomalie du Soleil a lieu entre les deux positions auxquelles [la vitesse apparente du] Soleil est à sa vitesse moyenne. La somme des nycthémères [anomalistiques] [sur ces intervalles] différera de la somme des nycthémères moyens [sur le même intervalle] par environ 4⁠3⁄4 degrés de temps, et de a somme des nycthémères [anomalistiques] sur l’autre intervalle par le double de cette quantité, soit environ 9⁠1⁄2 degrés de temps, parce que le mouvement apparent du Soleil, par rapport à son mouvement moyen, est moindre de 4⁠1⁄2 degrés dans le demi-cercle supérieur, comprenant l’apogée, mais qu’il est plus grand d’autant dans le demi-cercle inférieur, comprenant le périgée.

Quant à l’effet de la variation du temps des levers et couchers correspondants, la plus grande différence a lieu dans les demi-cercles qui sont entre les solstices, puisque les temps de lever de chacun de ces demi-cercles seront différents des 180 degrés de temps moyen par la quantité correspondant à la différence entre le jour le plus long ou le plus court et le jour équinoxial, et ils seront différent les uns des autres par la quantité par laquelle le plus long jour (ou la plus longue nuit) diffère du plus court (ou de la plus courte).

L’effet de la variation du temps pris pour croiser l’équateur, quant à lui, sera le plus grand entre les deux points limites des deux signes situés de part et d’autre d’un solstice ou d’un équinoxe : la somme [des temps de lever à la sphaera recta] pour les deux signes autour d’un solstice sera de 4⁠1⁄2 degrés de temps, tandis que celle des deux signes voisins d’un équinoxe sera de 9 degrés de temps, puisque ces derniers sont plus courts, et les premiers plus longs, que le temps moyen par la même quantité. C’est pourquoi nous plaçons le début des nycthémères aux passages du Soleil au méridien, et non à ses levers ou couchers, puisque la différence par rapport à l’horizon peut atteindre plusieurs heures et n’est pas la même partout, variant en effet avec l’excès des jours les plus longs sur les plus courts, selon que la sphère est plus ou moins oblique [c’est-à-dire à différentes latitudes]. La différence [de temps] au méridien est quant à elle la même pour chaque endroit de la Terre, et ne dépasse jamais la somme [des temps de la différence causée par l’anomalie solaire.

La plus grande différence [accumulée] [entre le nycthémère moyen et le nycthémère anomalistique] résulte du mélange de ces deux [effets], soit celle [la différence] produite par l’anomalie solaire et celle des passages au méridien dans les espaces additifs ou soustractifs [c’est-à-dire où les deux effets s’additionnent ou se soustraient] ; le [maximum] soustractif étant entre le milieu du Verseau et la [fin de la] Balance, tandis que le [maximum] additif est sur l’intervalle entre [le début du] Scorpion et le milieu du Verseau. Le résultat maximum additif ou soustractif est une combinaison d’environ 3⁠2⁄3° dus à l’effet de l’anomalie solaire et d’environ 4⁠2⁄3° dus à [la différence du] passage au méridien. La plus grande différence des nycthémères résultant de ce mélange, comparée au temps moyen, est de 8⁠1⁄3 degrés de temps, soit environ 5⁄9 heure [∠″ ιη″, soit 1⁄2 + 1⁄18 ; étrangement, Halma utilise partout ϛ plutôt que ∠, mais cela serait 1⁄6]. D’un extrême à l’autre, les nycthémères diffèrent donc de 16⁠2⁄3 degrés de temps, soit 1⁠1⁄9 h. De négliger une telle différence pour le SOleil ou les autres astres [planètes] ne nuirait pas sensiblement aux observations [ou aux calculs], mais si nous la négligeons dans le cas de la Lune, dont le mouvement est très rapide, elle deviendrait vite considérable, soit de 3⁄5°.

Pour réduire, donc, les nycthémères moyens en nycthémères vrais, pour un intervalle de temps donné — c’est à dire ceux qui commencent à midi ou à minuit — nous cherchons d’abord la position, tant moyenne qu’anomalistique, du Soleil sur l’écliptique au début et à la fin dudit intervalle, puis nous prenons la différence entre la première position anomalistique et la seconde position [apparente]. Celle-⁠ci [la différence] est reportée dans le tableau des ascensions dans la sphaera recta pour trouver le temps pris par le nombre de degrés de temps de cette différence pour croiser le méridien, en degrés de l’équateur. Nous prenons ensuite cette différence entre le nombre de degrés de temps et la distance moyenne [du Soleil pour la première et la seconde positions], mesurés en degrés, et convertissons cette différence, en degrés de temps, en fraction d’heure équinoxiale. Nous ajoutons ensuite cette fraction au nombre donné de nycthémères [vrais] si nous avons trouvé des temps moyens plus longs que le mouvement moyen — sinon, nous les soustrayons. La réponse est la conversion des nycthémères inégaux en nycthémères égaux. Cela sera utile spécialement lorsque nous calculerons la position de la Lune à partir des tableaux. Nous voyons ainsi que les nycthémères moyens se réduisent facilement en nycthémères temporaires [ou « civils »] considérés simplement, par la prostaphérèse [ajout ou soustraction] des degrés de temps à l’inverse de ce que nous venons de décrire.

À notre ère , c’est-à-dire le 1 thout du calendrier égyptien de la première année de Nabonassar, à midi, le Soleil était, par son mouvement moyen et tel que démontré ci-⁠dessus, à 0° 45′ des Poissons, et son mouvement anomalistique était environ de 3° 08′ des Poissons.

Fin du troisième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

© 2024 EcliptiQc / Pierre Paquette
Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC