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1. Des observations nécessaires pour établir la théorie lunaire

Après avoir traité, dans le livre précédent, des phénomènes liés au mouvement du Soleil, l’étape suivante de notre cheminement sera la Lune. Nous considérons qu’il est primordial de ne pas utiliser arbitrairement n’importe quelle observation ; nous devrions plutôt, pour bien fonder nos notions générales sur cet astre, nous baser sur les observations qui sont non seulement les plus anciennes, mais surtout sur celles réalisées lors d’éclipses lunaires : ce sont les seules qui permettent de déterminer avec précision la position lunaire. Toutes les autres observations, qu'elles soient tirées de passages de la lune près d’étoiles fixes, qu’elles soient réalisées avec des instruments, ou qu’elles soient d’éclipses solaires, peuvent entraîner une erreur considérable due à la parallaxe lunaire. Ce n’est que pour les cas particuliers [de la théorie] que nous pourrons utiliser ces autres observations pour nos recherches. Parce que la distance entre la sphère de la Lune et le centre de la Terre, par rapport à la distance de l’écliptique [considérée comme infinie, ou du moins très grande], n’est pas assez grande pour que la Terre ait la taille d’un point par rapport à elle, il s’ensuit nécessairement que la ligne droite tirée du centre de la Terre (donc de l’écliptique) et passant par le centre de la Lune jusqu’à un point de l’écliptique, qui détermine la vraie position, ne coïncide pas toujours — et, dans ce cas, de beaucoup — avec la ligne tirée d’un point quelconque de la surface terrestre, c’est-à-dire du point de vue de l’observateur, au centre de la Lune [puis à l’écliptique], et qui détermine sa position apparente. Ce n’est que lorsque la Lune est à la verticale de l’observateur que les lignes reliant le centre de la Terre et celle reliant l’œil de l’observateur, au centre de la Lune puis à l’écliptique, coïncident. Mais lorsque la lune est ailleurs qu’à la verticale, pour peu que ce soit, les droites ci-⁠dessus divergent l’une de l’autre, et la position apparente ne peut donc pas être la même que la vraie, puisque l’œil de l’observateur change continuellement de place par rapport à la ligne tracée depuis le centre de la terre, proportionnellement à l’angle d’inclinaison [entre les deux droites].

C’est la raison pour laquelle, dans le cas des éclipses solaires — qui sont causées par l’interposition de la Lune sous le Soleil (la Lune tombant alors dans le cône visuel formé de notre œil jusqu’au Soleil, elle produit pendant son passage un obscurcissement qui n’est pas toujours le même ni en grandeur ni en temps ) — la même éclipse n’apparaît pas identique en tous lieux. Dans le cas des éclipses lunaires, toutefois, il n’y a pas de variation due à la parallaxe, puisque la position de l’observateur ne change pas l’obscurcissement de la Lune ; en effet, la lumière de la Lune est seulement la réflexion de celle qu’elle reçoit du Soleil. Ainsi, lorsqu’elle est en opposition avec le Soleil [à 180° de celui-⁠ci], elle nous paraît complètement éclairée, puisque son hémisphère éclairé est alors tourné vers nous. Cependant, lorsque sa position en opposition est telle qu’elle est immergée dans le cône d’ombre terrestre (qui tourne à la même vitesse que le Soleil et lui est opposé), alors la Lune est alors privée de lumière, en proportion de la quantité de son immersion, puisque la Terre obstrue alors les rayons du Soleil. Par conséquent, elle semble être éclipsée pour toutes les parties de la Terre de la même manière, tant pour les portions sombres que pour la longueur [des différentes phases] de l’éclipse.

Conséquemment, pour établir notre théorie générale, nous devons utiliser des positions vraies, et non apparentes, de la Lune, puisque l’égal et régulier prédomine sur ce qui est inégal et irrégulier. Nous affirmons donc que nous ne devons pas utiliser les observations de la Lune aux autres points [de son orbite], mais seulement des observations d’éclipses lunaires, vu que c’est [seulement] lors de celles-⁠ci que la position de l’observateur n’a aucun effet sur la détermination de la position de la Lune — car si nous savons sur quel point de l’écliptique le Soleil se trouve au moment du milieu de l’éclipse (qui est précisément le moment auquel le centre de la Lune est diamétralement opposé à celui du Soleil en longitude), alors au même moment, la position précise du centre de la Lune sera le point diamétralement opposé [à celui du Soleil].

2. Des périodes lunaires

Ce qui précède est un résumé du genre d’observations qui doivent être examinées pour déterminer la théorie générale de la Lune. Nous allons maintenant décrire comment les anciens procédaient dans leurs démonstrations, et comment nous pourrons décider quelles hypothèses s’accordent avec les phénomènes et rendre leur calcul plus facile.

Puisque le mouvement de la Lune semble anomalistique tant en longitude qu’en latitude, que le temps qu’elle prend pour revenir à un même point de l’écliptique est inégal, et que le temps qu’il lui faut pour revenir à la même latitude l’est aussi, il faut absolument connaître l’ampleur de son anomalie et la période de son retour, si nous voulons pouvoir déterminer la période de ses autres mouvements [en longitude et latitude]. Des observations individuelles suivies prouvent toutefois que la vitesse la plus grande de la Lune — tout comme la plus faible — peut se produire à n’importe quel point de l’écliptique, tout comme sa plus grande latitude nord ou sud, ou encore ses croisements de l’écliptique. C’est pourquoi les anciens astronomes ont naturellement essayé de trouver une période pendant laquelle le mouvement de la Lune en longitude serait toujours le même, puisque seule cette période peut donner le temps de retour en anomalie. En comparant des éclipses lunaires, ils ont essayé de voir s’il y avait un intervalle, composé d’un même nombre [entier] de mois [lunaires synodiques] et une même quantité de mouvement en longitude, que ce soient des révolutions entières ou fractionnaires. Les [encore] plus anciens ont estimé grossièrement ce temps à 6 585⁠1⁄3 jours ; cet intervalle correspond à 223 lunaisons, 239 retours en anomalie, 242 retours en latitude, et 241 retours en longitude — plus les 10⁠2⁄3° que le Soleil a parcourus en plus de ses 18 révolutions, dans le même temps, et en référant le mouvement du Soleil et celui de la Lune par rapport aux étoiles.

Ils ont appelé ce temps « période » [περιοδικὸν], puisque c’est [la plus courte] qui contient [approximativement] un nombre entier de retours des divers mouvements . Pour avoir un nombre entier [de jours], ils triplèrent les 6 585⁠1⁄3 jours pour obtenir 19 756, qu’ils appelèrent « évolution » [ἐξελιγμόν]. Et en triplant de même les autres quantités, ils ont trouvé 669 mois [synodiques], 717 retours d’anomalie, 726 retours en latitude, 723 retours en longitude, et 32° de plus que les 54 révolutions complètes du Soleil .

Hipparque a toutefois déjà prouvé, d’après des calculs basés sur les observations des Chaldéens [Babyloniens] et les siennes, que ces nombres ne sont pas exacts . Il démontre en effet, par les observations qu’il a nous transmises, que le plus petit nombre de jours définissant une période d’éclipses dans lequel le nombre de mois et le mouvement [lunaire] sont les mêmes, est de 126 007 jours et une heure équinoxiale. Cet intervalle, dit-il, est composé de 4 267 mois complets, 4 573 retours en anomalie, 4 612 retours [au même point de] l’écliptique, moins 7⁠1⁄2° environ, qui est l’angle que le Soleil parcourt en moins que les 345 révolutions entières sur l’écliptique — encore par rapport aux étoiles fixes. Il [Hipparque] conclut donc que la durée moyenne d’un mois, en divisant le nombre des jours sur les 4 267 mois, est de 29;31,50,08,20 jours environ . Il [Hipparque] prouve que dans cet espace de temps, les intervalles d’une éclipse lunaire à la suivante sont égaux. Il est donc évident qu’il s’agit d’un période de retour en anomalie, vu que l’intervalle de temps contient toujours le même nombres de mois [4 267] ainsi que 4 611 révolutions en longitude plus 352⁠1⁄2°, déterminées par les syzygies solaires.

Si on cherche plutôt le nombre de mois, non pas entre deux éclipses lunaires, mais depuis une conjonction [nouvelle lune] ou depuis une pleine lune jusqu’à la syzygie suivante, on trouvera un plus petit nombre entier de mois contenant un retour en anomalie ; en divisant ces deux noms [susmentionnés] par 17, leur [seul] diviseur commun, on aura 251 mois synodiques et 269 retours en anomalie. Mais ce temps [les 126 007 jours + 1 h] ne donne pas le retour parfait à la même latitude, vu que les retours d’éclipses ne conservent que les intervalles de temps et de longitude, mais la quantité et le type [direction] de l’obscurcissement, par lesquels on connaît la latitude, ne sont pas les mêmes.

Après avoir déterminé le temps du retour en anomalie, Hipparque a comparé les intervalles de mois entre deux éclipses extrêmes absolument semblables en grandeurs et en durées d’obscurcissement, dans lesquelles il n’y avait aucune différence d’anomalie — prouvant ainsi un retour à la même latitude — et a trouvé que cette période dure 5 458 mois [synodiques] ou 5 923 retours en latitude .

Telle est donc la méthode que nos prédécesseurs ont suivie dans leurs recherches. Elle n’est ni simple ni facile, mais elle demande beaucoup de minutie. Car, supposons que les temps des périodes entières soient exactement égaux entre eux, cela ne nous servirait à rien, à moins que le Soleil ne présente aucune anomalie, ou qu’il présente la même sur les deux intervalles — faute de quoi, s’il a, comme je l’ai dit, une équation de l’anomalie, ni le Soleil ni la Lune n’auront parcouru de révolutions égales dans des temps égaux. Supposons en effet que chacun des deux intervalles comparés comprenne, outre les années complètes, une demi-année, et que, pendant ce temps, le mouvement moyen du Soleil ait été, dans le premier intervalle, des Poissons à la Vierge et, dans le second, de la Vierge aux Poissons, dans le premier intervalle, le Soleil aura parcouru environ 4⁠3⁄4° de moins qu’un demi-cercle [en plus des révolutions complètes] mais, dans le deuxième [intervalle], environ 4⁠3⁄4° de plus qu’un demi-cercle. Ainsi, la Lune aussi aura parcouru dans des temps égaux, dans le premier intervalle et en plus des révolutions complètes, 175⁠1⁄4° et, dans le second [intervalle], 184⁠3⁄4°. Je considère donc primordial que les intervalles, par rapport au Soleil, doivent :

• contenir des révolutions entières ; ou
• contenir une demi-révolution depuis l’apogée dans un intervalle et, dans l’autre, depuis le périgée ; ou
• commencer au même point [même longitude écliptique] dans chaque intervalle ; ou
• être à la même distance de l’apogée ou du périgée dans la première éclipse d’un intervalle et dans la seconde éclipse de l’autre intervalle [mais de l’autre côté].

C’est seulement ainsi, qu’il n’y aura aucune différence due à l’anomalie dans le mouvement, ou qu’elle [l’anomalie] sera la même dans l’un et l’autre des intervalles, et qu’alors les arcs [parcourus] en plus des révolutions entières seront égaux entre eux, ou entre eux et à des arcs de mouvement uniforme [du Soleil] [pendant ces intervalles].

Deuxièmement, nous considérons qu’il faut être tout aussi minutieux par rapport à la vitesse [δρόμους] [variable] de la Lune, sans quoi il serait possible que la Lune paraisse avoir parcouru, en longitude, des arcs égaux en des temps égaux, sans qu’elle effectue un retour en anomalie. Tel sera le cas si :

• elle commence du même demi-cercle d’« accélération » ou de « décélération » sans y terminer sa révolution [ne revient pas à la même vitesse] ;
• elle commence, dans un intervalle, à sa plus grande vitesse et termine à sa plus petite vitesse, tandis que dans l’autre intervalle, elle commence à sa plus faible vitesse et termine à sa plus grande vitesse ; ou
• la distance [position] de sa vitesse au début d’un intervalle est la même distance que celle entre la [position de la] plus grande ou plus faible vitesse et [la position de] sa vitesse à la fin de l’autre intervalle, [mais] de l’autre côté.

Dans chacune de ces situations, il n’y aura aucune différence causée par l’anomalie, ou il y aura la même différence, et la Lune parcourra alors des arcs égaux en longitude, mais sans retour à l’anomalie. Les intervalles considérées doivent donc éviter les situations précédentes si nous désirons obtenir directement une période du retour en anomalie ; au contraire, nous devons choisir [les intervalles] les plus propres à démontrer [si l’intervalle est ou non une période de l’anomalie] l’effet de l’anomalie [entre les deux intervalles] s’ils ne contiennent pas un nombre entier de retours en anomalie. Soit donc les intervalles doivent débuter à des vitesses qui ne sont pas seulement différentes, mais plutôt grandement différentes en taille ou en effet : en « taille » comme quand, dans un intervalle, [la Lune] commence avec la vitesse minimale [à l’apogée] et ne finit pas avec la vitesse maximale [au périgée], mais que dans l’autre, elle commence à sa plus grande vitesse et ne termine pas à sa plus faible vitesse. La différence en longitude sera ainsi plus grande, à moins d’un nombre entier de retours en anomalie — surtout s’il y a un quart ou trois quarts de révolution d’anomalie, puisque les intervalles ou arcs de longitude différeront entre eux de deux équations [maximales] d’anomalie. En « effet », comme quand dans les deux intervalles, [la Lune] commencera au point de moyen mouvement, mais accélérera ensuite dans un intervalle, tandis qu’elle ralentira dans l’autre : il y aura alors une différence en longitude ; encore une fois, le double de l’équation d’anomalie s’il y a un ou trois quadrants d’anomalie de parcourus, mais jusqu’au quadruple de l’anomalie s’il y a une demi-révolution d’anomalie de complétée.

Nous voyons aussi qu’Hipparque, toujours méticuleux, a choisi des intervalles qu’il considérait ainsi appropriés, soit un dans lequel la Lune commençait à sa plus grande vitesse [au périgée] et ne terminait pas à sa plus faible vitesse, et un autre dans lequel la Lune commençait à sa plus faible vitesse [à l’apogée] et ne terminait pas à sa plus grande vitesse. Il a aussi corrigé — bien que légèrement — pour considérer l’équation de l’anomalie du Soleil, puisque celui-ci n’avait pas fait des révolutions complètes et manquait environ un quart de signe [et pas le même signe], produisant une équation de l’anomalie différente dans chacun des deux intervalles.

Nous n’avons pas ici l’intention de blâmer la méthode par laquelle on parvient à déterminer les mouvements périodiques, qui peut réussir si appliquée méticuleusement, mais simplement à mettre en garde que si on omet quelque condition particulière que ce soit parmi celles mentionnées ci-⁠dessus, la méthode faillira ; de plus, il peut être difficile de trouver des observations [de paires d’éclipses] qui remplissent tous les critères nécessaires.

Nous avons vu que la méthode et les calculs d’Hipparque au sujet des retours périodiques ont donné de bons résultats pour la période des mois [synodiques], mais il y a erreur dans les périodes de l’anomalie et de la latitude — facilement mise en évidence par une méthode simple et facile [d’application], que nous démontrerons bientôt, avec notre démonstration de la taille de l’anomalie lunaire. Avant de ce faire, toutefois, et afin de faciliter [les calculs] dans la suite, nous allons donner les mouvements moyens [de la Lune] en longitude, anomalie, et latitude, selon les périodes de leurs retours mentionnées ci-dessus, ainsi que [les mouvements moyens] calculés selon la méthode que nous allons démontrer.

3. Des mouvements moyens de la Lune

Si nous multiplions le mouvement moyen du Soleil, qui est, comme nous l’avons dérivé, d’environ 0° 59′ 08″ 17″′ 13″″ 12″″′ 31″″″ par le nombre de jours dans un mois [synodique moyen], soit 29;31,50,08,20, et que nous ajoutons au produit les 360° d’une révolution, nous aurons 389° 06′ 23″ 01″′ 24″″ 02″″′ 30″″″ 57′″″″, qui est le mouvement moyen de la Lune en longitude pendant un mois synodique. Si nous divisons ce nombre par le nombre de jours dans un mois synodique, nous obtenons le mouvement moyen quotidien de la Lune en longitude, soit 13° 10′ 34″ 58″′ 33″″ 30″″′ 30″″″.

Si nous prenons maintenant les 269 révolutions en anomalie et multiplions par les 360° d’une révolution, nous obtenons 96 840°. En divisant ce produit par les 7 412;10,44,51,40 jours des 251 mois, nous obtenons le mouvement moyen quotidien en anomalie, soit 13° 03′ 53″ 56″′ 29″″ 38″″′ 38″″″.

De même, si nous multiplions les 5 923 révolutions en latitude par les 360° d’une révolution, le produit est 2 132 280°. Divisé par le nombre de jours en 5 458 mois, soit 161 177;58,58,03,20, nous obtenons le mouvement moyen quotidien en latitude, soit 13° 13′ 45″ 39″′ 40″″ 17″″′ 19″″″.

Si nous soustrayons, maintenant, le mouvement moyen quotidien du Soleil du mouvement moyen quotidien en longitude de la Lune, nous obtenons le mouvement moyen quotidien en élongation, soit 12° 11′ 26″ 41″′ 20″″ 17″″′ 59″″″.

Les méthodes que nous démontrerons et utiliserons bientôt nous donnent à peu près les mêmes résultats pour le mouvement moyen quotidien en longitude, mais le mouvement moyen quotidien en anomalie est de 0° 00′ 00″ 00″′ 11″″ 46″″′ 39″″″  moindre, soit 13° 03′ 53″ 56″′ 17″″ 51″″′ 59″″″, et le mouvement moyen quotidien en latitude est de 0° 00′ 00″ 00″′ 08″″ 39″″′ 18″″″ de plus, soit 13° 13′ 45″ 39″′ 48″″ 56″″′ 37″″″ .

Si nous prenons la vingt-quatrième partie de chacun de ces mouvements diurnes, nous obtenons le mouvement horaire moyen :

En multipliant les mouvements quotidiens par 30, et en soustrayant les révolutions complètes, nous obtenons les surplus suivants pour le mouvement annuel moyen :

Ensuite, en multipliant les mouvements quotidiens par les 365 jours de l’année égyptienne, et en soustrayant les révolutions complètes, nous obtenons les surplus annuels moyens suivants :

Enfin, en multipliant les mouvements annuels par 18 (ce nombre étant choisi, comme nous l’avons dit, pour la commodité des tables), et en soustrayant les révolutions complètes, nous obtenons les surplus moyens suivants pour des tranches de 18 ans :

Nous produirons donc, comme pour le Soleil, trois tableaux de 45 lignes chacun, disposées en cinq colonnes : la première contient les temps propres à chaque tableau — dans le premier tableau, les octodécaétérides [ὀκτωκαιδεκαετηρίδας ; périodes de dix-huit ans] ; dans le second, les années simples, encore suivis des heures ; dans le troisième les mois, encore suivis des jours — et les quatre autres colonnes contiennent les degrés — ceux de longitude dans la seconde, ceux de l’anomalie dans la troisième, ceux de la latitude dans la quatrième, et ceux de l’élongation dans la cinquième. Voici donc ces tableaux .

4. Tableaux des mouvements moyens de la Lune

[NdT : Je ne donne pas de graphique d’erreurs ni de version corrigée de ce tableau, puisque le modèle de Ptolémée est aujourd’hui désuet.]

5. Les phénomènes lunaires sont les mêmes dans l’hypothèse simple soit d’un excentrique, soit d’un épicycle

Notre prochaine tâche est de démontrer le type et la taille de l’anomalie lunaire. Nous la traiterons d’abord comme si elle était unique. C’est la seule qui a été détectée par à peu près tous nos prédécesseurs, et nous avons déjà mentionné la période de son retour. Nous montrerons ensuite que la Lune a aussi une seconde anomalie, liée à sa distance au Soleil ; celle-ci atteint un maximum autour des deux quadrature, mais qu’elle disparaît deux fois par mois, précisément aux conjonctions [σινόδους, « synode », c.-⁠à-⁠d. « réunion »] et à la pleine lune [πανσελήνους pansélēnous, « toute la Lune »].

Nous suivrons cet ordre dans notre démonstration des phénomènes, parce qu’il est impossible de déterminer la seconde [anomalie] en dehors de la première, qui est toujours combinée avec elle, alors que la première peut être trouvée en dehors de la seconde, puisqu’elle est déterminée à partir des éclipses lunaires, dans lesquelles la seconde anomalie ne produit pas d’effet perceptible de l’anomalie liée à [la distance du] Soleil.

Dans cette première démonstration, nous utiliserons les méthodes dont Hipparque s’est servi : à l’aide de trois éclipses lunaires, comme il l’a fait, nous dériverons la différence maximale du mouvement moyen et de l’époque de la [position de la lune] à l’apogée, en supposant que seule cette [première] anomalie est prise en compte, et qu’elle est produite par l’hypothèse épicyclique. Les mêmes phénomènes résulteraient de l’hypothèse excentrique, mais nous trouverons celle-⁠ci plus propre à représenter la seconde anomalie, qui se rattache au Soleil, lorsqu’on arrivera à combiner les deux anomalies. Cependant, les mêmes phénomènes résulteront dans tous les cas des deux hypothèses que nous avons décrites, que ce soit, comme dans la situation décrite pour le Soleil, la période de retour dans l’anomalie et la période de retour dans l’écliptique [i.e. en longitude] sont tous deux égaux, ou si, comme dans le cas de la Lune, ils sont inégaux, à condition seulement que les rapports [de l’épicycle au déférent et de l’excentricité à l’excentricité] soient pris comme identiques — ce que nous constaterons à partir de ce qui suit, où nous utilisons la simple anomalie de la Lune mentionnée ci-dessus.

Puisque la lune achève son retour par rapport à l’écliptique plus tôt que son retour par rapport à cette anomalie, il est clair que, dans l’hypothèse épicyclique, sur une période de temps donnée, l’épicycle parcourra toujours un plus grand arc de cercle concentrique à l’écliptique que l’arc de l’épicycle parcouru par la Lune dans le même temps ; dans l’hypothèse excentrique, l’arc parcouru par la lune sur l’excentre sera semblable à l’arc parcouru par celle-ci sur l’épicycle [dans l’hypothèse épicyclique], tandis que l’excentre se déplacera autour du centre de l’écliptique dans le même sens que la Lune d’une quantité égale à l’excès du mouvement en longitude sur celui en anomalie [dans le même temps] — autrement dit, l’arc du déférent sera plus grand de cette quantité que celui de l’épicycle [dans l’hypothèse épicyclique]). Ainsi, non seulement il y aura égalité dans les rapports, mais l’égalité des périodes des deux mouvements [en longitude et anomalie] sera sauvée, et ce, dans les deux hypothèses.

Avec ce qui précède comme base nécessaire, soit ABG le cercle concentrique à l’écliptique, avec comme centre D et diamètre [passant par] AD, et soit l’épicycle EZ avec pour centre G. Supposons que, lorsque l’épicycle est en A, la lune est en E, soit à l’apogée de l’épicycle, et qu’en même temps que l’épicycle a parcouru l’arc AG, la Lune a parcouru l’arc EZ. Joignons ED et GZ. Alors, puisque arc AG est trop grand pour être semblable à l’arc EZ [arc AG < arc EZ], prenons l’arc BG semblable à l’arc EZ, et joignons BD.

Il est évident que, dans le même temps, l’excentrique s’est déplacé de l’angle ADB, qui représente la différence entre les deux mouvements, et que son centre et son apogée sont revenus dans la droite BD.

Soit DH = GZ. Joignons ZH et, avec pour centre H et rayon HZ, traçons l’excentrique ZΘ. Je dis que ZH : HD = DG : GZ et que, dans cette hypothèse, la Lune est au point Z, c’est-à-dire que l’arc ZΘ est semblable à l’arc EZ. Puisque

La Lune a donc atteint le point Z dans le même temps selon l’une ou l’autre hypothèse, puisque la Lune elle-même a parcouru l’arc EZ sur l’épicycle et l’arc ΘZ sur l’excentrique, que nous avons démontré être similaires, tandis que le centre de l’épicycle s’est déplacé sur l’arc AG, et le centre de l’excentrique [a tourné] de l’arc AB, qui est l’excès de l’arc AG sur l’arc EZ.

Il est aussi évident que les mêmes phénomènes se produiront même si les rapport ne sont que semblables, et non égaux ni identiques. Voici comment je le prouve, en traitant les deux hypothèses séparément. Soit ABG le cercle concentrique à l’écliptique [à gauche], avec pour centre D et diamètre [passant par] AD, ainsi que l’épicycle EZ avec pour centre G, la Lune étant supposée en Z. Prenons aussi le cercle excentrique HΘK [à droite] avec centre L et diamètre [passant par] ΘLM, où M est le centre de l’écliptique, et plaçons la Lune en K. Dans le premier diagramme, joignons DGE, GZ, et DZ ; dans le second, joignons HM, KM, et KL.

[Attention : Les deux diagrammes ci-⁠contre sont liés ; en animer un animera l’autre.]

Posons DG : GE = ΘL : KM. Supposons que, dans le même temps que l’épicycle a pris pour parcourir l’angle ADG, la Lune [dans l’hypothèse épicyclique] s’est déplacée de l’angle EGZ, l’excentrique par l’angle HMΘ, et la Lune [dans l’hypothèse excentrique] de l’angle ΘLK. Puisque nous présumons d’une relation entre les mouvements, nous avons donc

Je dis donc, considérant cela, que la Lune semblera encore avoir traversé un arc égal dans le même temps dans chaque hypothèse, c’est-à-dire

(puisqu’au début de l’intervalle, la Lune était à l’apogée suivant les lignes DA et MH, tandis qu’à la fin, elle était aux points Z et K suivant les lignes ZD et MK). Posons donc l’arc BG semblable à chacun des arcs ΘK et EZ, puis joignons BD. Puisque

△ GDZ ≚ △ KLM ([vu que] les côtés des angles égaux [en G et en L] sont proportionnels), et les angles opposés aux côtés correspondants sont égaux.

Mais, par hypothèse, ∠ ADB, la différence entre les mouvements [en longitude et en anomalie], est égal à ∠ HMΘ, le mouvement [du centre] de l’excentrique, alors, par addition,

6. Démonstration de la première et simple anomalie de la Lune

Après ces propositions générales, nous allons maintenant démontrer l’anomalie lunaire, dans l’hypothèse épicyclique, pour la raison mentionnée. Nous choisirons d’abord trois anciennes éclipses qui semblent avoir été observées méticuleusement, puis, parmi les éclipses contemporaines, trois que nous avons observées nous-mêmes très précisément. Ainsi, en choisissant les plus longs intervalles possibles, nous verrons que l’équation de l’anomalie [maximale] est la même pour chaque hypothèse, et que la somme des mouvements moyens [entre deux ensembles d’éclipses] s’accorde avec la correction que nous avons calculée pour les périodes précédemment mentionnées. Pour la démonstration de la première anomalie, considérée en isolation, voici donc comment j’établis l’hypothèse épicyclique que j’ai choisie de préférence.

Imaginons, dans la sphère de la Lune, un cercle concentrique à l’écliptique et dans le même plan que celui-⁠ci, et un autre cercle incliné, par rapport au premier, d’un angle égal à la déviation [maximale] de la Lune en latitude, et qui se déplace uniformément en longitude en avance / contre l’ordre des signes [d’est en ouest], à une vitesse égale à la différence entre le mouvement en latitude et le mouvement en longitude. Supposons que l’épicycle est porté par ce cercle incliné, et qu’il se déplace lui aussi uniformément, mais suivant l’ordre des signes / vers l’arrière [d’ouest en est], à une vitesse correspondant au mouvement en latitude — représentant ainsi le mouvement [moyen] en longitude par rapport à l’écliptique. Supposons enfin, sur cet épicycle, la Lune, se déplaçant de sorte que, près de l’apogée, son mouvement est en avance / contre l’ordre des signes [d’est en ouest], à une vitesse correspondant à la période du retour en anomalie. Nul n’est besoin, ici, de considérer le mouvement en latitude ou l’inclinaison de l’orbite lunaire, la différence étant assez faible pour être ignorée .

Les trois éclipses anciennes que nous avons choisies ont été observées à Babylone. La première eut lieu dans la première année de Mardokempad , du 29^e au 30^e jours du mois égyptien thout [19/20 mars −720]. L’éclipse débuta plus d’une heure après le lever de la Lune et fut totale. Le Soleil était alors à la fin des Poissons, et la nuit durait donc environ douze heures équinoxiales ; ainsi, l’éclipse commença 4⁠1⁄2 heures équinoxiales avant minuit, et le milieu de l’éclipse, vu qu’elle était totale, eut lieu 2⁠1⁄2 heures avant minuit . Puisque nous rapportons les temps à ceux du méridien d’Alexandrie, et que celui-ci est environ 5⁄6 heure équinoxiale en avance sur celui de Babylone, ce milieu correspond à 3⁠1⁄3 heures équinoxiales avant minuit, heure à laquelle, suivant nos calculs, la position vraie du Soleil était d’environ 24⁠1⁄2° des Poissons.

La seconde éclipse eut lieu dans la seconde année du même Mardokempad, dans la nuit du 18^e au 19^e jours du mois égyptien thout [8/9 mars −719]. Il est dit que son obscuration [maximale] était de trois doigts [15′]  du côté sud, à minuit exactement. Puisque le milieu fut observé à minuit à Babylone, il devait être 5⁄6 heure [équinoxiale] à Alexandrie ; le Soleil était alors précisément sur 13⁠3⁄4° des Poissons.

La troisième éclipse fut observée dans la même seconde année de Mardokempad, dans la nuit du 15^e au 16^e jours du mois égyptien phaminoth [1/2 septembre −719]. Il est dit qu’elle a commencé après le lever [de la Lune], et qu’elle fut de plus de la moitié [du disque lunaire] du côté nord. Le Soleil étant alors au début de la Vierge, la nuit à Babylone durait donc environ onze heures équinoxiales, et la moitié de la nuit était de 5⁠1⁄2 heures [équinoxiales] ; l’éclipse a donc débuté un maximum de 5 heures [équinoxiales] avant minuit, puisqu’elle a commencé après le lever [de la Lune], et son milieu était à 3⁠1⁄2 heures [équinoxiales] avant minuit — le temps total d’obscurcissement, pour une éclipse de cette grandeur, devant être de trois heures environ . Pour Alexandrie, donc, le milieu de l’éclipse a eu lieu 4⁠1⁄3 heures avant minuit, et le Soleil se trouvait alors (position vraie) à 3⁠1⁄4° de la Vierge.

Il est donc clair que, du milieu de la première éclipse à celui de la seconde, le Soleil — et la Lune — ont parcouru, en plus des révolutions complètes, 349° 15′, et, du milieu de la seconde éclipse au milieu de la troisième, 169° 30′. Les intervalles de temps sont les suivants :

Sur des espaces de temps si courts, il ne fera pas de différence d’utiliser des périodes approximatives . Le mouvement moyen de la Lune, en plus des révolutions complètes, est donc environ :

Il est donc évident que les 306° 25′ de mouvement sur l’épicycle, pendant le premier intervalle, on ajouté au mouvement moyen de la Lune [349° 15′ − 345° 51′ =] 3° 24′, et les 150° 26′ du second en ont ôté [169° 30′ − 170° 07′ =] 0° 37′.

Ces données en main, traçons ABG, l’épicycle de la Lune, où le point A est l’endroit où se trouvait la Lune au milieu de la première éclipse ; le point B, où elle était au milieu de la seconde ; et le point G, où elle était au milieu de la troisième. Supposons que la Lune va de B à A et de A à G, de sorte que l’arc AGB qu’elle a parcouru depuis la première éclipse jusqu’à la seconde, est de 306° 25′ et ajoute 3° 24′ au mouvement moyen, et que l’arc BAG parcouru de la seconde à la troisième éclipse, est de 150° 26′ et en ôte 0° 37′. Le mouvement de B en A est ainsi de 53° 35′et enlève 3° 24′ au mouvement moyen, tandis que de A en G, il est de 96° 51′ et ajoute 2° 47′ au mouvement moyen.

Il est clair que le périgée de l’épicycle ne peut pas être situé le long de l’arc ABG, parce que cet arc a un effet soustractif et qu’il est plus petit qu’une demi-circonférence, tandis que le mouvement le plus rapide se produit au périgée.

Le périgée doit donc absolument se trouver le long de l’arc BEG. Prenons donc le point D, centre de l’écliptique et du déférent, et joignons les droites DA, DEB, et DG, allant vers les éclipses des trois points. Pour faciliter l’application générale de ce théorème à tous les calculs de cette sorte, que l’on utilise l’hypothèse épicyclique, comme ici, ou l’excentrique, auquel cas le centre D est pris dans le cercle [à droite], nous prolongeons l’une des trois droites [DA, DB, et DG] jusqu’à l’arc opposé — ici, nous avons déjà DEB passant par le point E opposé au point B de la seconde éclipse. Joignons aussi les points des autres éclipses entre eux par une droite (ici, AG), ainsi qu’au point E (donc avec EA et EG). Traçons aussi des perpendiculaires à ces lignes entre les deux autres points et le centre de l’écliptique — ici EZ perpendiculaire à AD et EH à GD — et d’un de ces points (ici G), traçons une perpendiculaire à la droite menée de l’autre point (ici A) à l’autre intersection (ici E) du prolongement, comme ici GΘ à AE. Peu importe de quel point nous débutons le tracé du diagramme, nous trouverons toujours les mêmes nombres ; le choix [du point de départ] est simplement une affaire de commodité.

Puisque nous avons déterminé que l’arc BA sous-tend 3° 24′ de l’écliptique, l’angle au centre,

Nous avons trouvé que la droite entière EA mesure 17;55,32^p, donc sa portion ΘA mesure 17;02,11^p où GΘ mesure 1;00,08^p. Le carré de AT étant de 290;14,19^p et celui de GΘ étant de 1;00,17^p, leur somme donne le carré de l’hypoténuse AG, soit 291;14,36^p, donc AG = 17;03,57^p où DE = 120^p et GE = 1;20,23^p.

Aussi, la droite AG mesure 89;46,14^p où le diamètre de l’épicycle est de 120^p, puisqu’elle sous-tend l’arc AG de 96° 51′, et le diamètre de l’épicycle étant de 120^p, la droite DE = 631;13,48^p et GE = 7;02,50^p, donc l’arc GE qu’elle sous-tend est de 6° 44′ 01″ où l’épicycle est de 360°.

Mais, par hypothèse, l’arc BAG mesure 150° 26′, donc l’arc entier BGE mesure 157° 10′ 01‴ et son arc BE contient 117;37,32^p où le diamètre de l’épicycle vaut 120^p, et la droite ED mesure 631;13,48^p.

Si la droite BE était égale au diamètre de l’épicycle, son centre serait sur celle-⁠ci, et nous obtiendrions ainsi le rapport des diamètres [de l’épicycle et du déférent]. Mais puisqu’elle est plus petite que le diamètre, l’arc BGE est plus petit qu’un demi-cercle, et le centre de l’épicycle est donc en dehors du segment BAGE.

Supposons que le centre est en K. Traçons la droite DMKL à partir de D, de sorte que le point L soit l’apogée de l’épicycle, et le point M son périgée. Puisque le rectangle fait sur BD et DE est égal à celui de LD par DM, et que nous avons prouvé que le diamètre de l’épicycle — la droite LKM — est de 120^p, que la droite BE mesure 117;37,32^p, que ED mesure 631;13,48^p, et que la droite BD entière, 748;51,20^p, donc le rectangle de BD par DE, donc celui de LD par DM, contient 472 700;05,32^p [BD · DE = LD · DM = 472 700;05,32^p].

De plus, puisque le rectangle LD par DM additionné au carré de KM égalent le carré de DK, et que le rayon de l’épicycle, KM, vaut 60^p, si nous ajoutons son carré, 3 600, aux 472 700;05,32^p, nous obtenons pour carré de DK 476 300;05,32^p. La droite DK, rayon du cercle concentrique à l’écliptique, et qui porte l’épicycle, mesure donc 690;08,42^p où KM mesure 60^p ; et le rayon du cercle concentrique à l’œil [le déférent], et qui porte l’épicycle, mesurant 60^p, le rayon de l’épicycle sera donc d’environ 5;13^p.

Reprenons le même diagramme, et traçons KNX perpendiculaire à BE, et joignons BK. Puisque où DK = 690;08,42, nous avons trouvé DE = 631;13,48^p et que NE = 1⁄2 BE = 58;48,46^p, donc, par addition, DEN = 690;02,34^p. Donc DN = 119;58,57^p où l’hypoténuse DK = 120^p, et arc DN ≈ 178° 02′. Donc, dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DNK, ∠ DKN = 178;02^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et 89° 01′ où quatre angles droits font 360°. L’arc XM de l’épicycle mesure donc 89° 01′, et l’arc LBX restant [complémentaire] du demi-cercle mesure 90° 59′. L’arc BX, moitié de l’arc BXE, mesure donc 78° 35′, puisque nous avons démontré que l’arc entier BE mesure environ 157° 10′. Donc, l’arc restant LB de l’épicycle, qui est la distance de la Lune à l’apogée [de l’épicycle] au milieu de la seconde éclipse, est de 12° 24′. De même, puisque nous avons prouvé que l’angle DKN = 89° 01′ où quatre angles droits font 360°, l’angle restant KDN, qui représente l’équation de l’anomalie (l’angle soustrait au mouvement moyen en longitude) correspondant à l’arc AB de l’épicycle, mesure 0° 59′, complément de l’angle droit. La longitude moyenne de la Lune au milieu de la seconde éclipse était donc de 14° 44′ de la Vierge, puisque sa position vraie était 13° 45′, correspondant à la position du Soleil [à l’opposé] dans les Poissons.

Passons maintenant aux trois éclipses que nous avons observées très méticuleusement à Alexandrie. La première a eu lieu pendant la dix-septième année d’Hadrien, dans la nuit du 20^e au 21^e jours du mois égyptien de payni [6/7 mai 133]. Un calcul précis nous indique que le milieu de cette éclipse a eu lieu trois quarts d’heure [équinoxiale] avant minuit. Elle était totale. La position vraie du Soleil était alors d’environ 13⁠1⁄4° du Taureau.

La seconde a eu lieu la dix-neuvième année d’Hadrien, dans la nuit du 2 au 3 du mois égyptien khoiak [20/21 octobre 134]. Par un calcul exact, nous avons déterminé que son milieu a eu lieu une heure équinoxiale avant minuit. L’obscurité n’a couvert que 5⁄6 du diamètre du côté nord. La position vraie du Soleil était alors de 25⁠1⁄6° de la Balance, environ.

La troisième enfin a eu lieu la vingtième année d’Hadrien, dans la nuit du 19 au 20 du mois égyptien pharmouti [5/6 mars 136]. Nous avons calculé que le milieu de cette éclipse a eu lieu quatre heures équinoxiales après minuit. L’obscurité a couvert la moitié du diamètre du côté nord. Le Soleil était alors à environ 14⁠1⁄12° des Poissons .

Le mouvement moyen de la Lune est, évidemment, le même que celui du Soleil, outre les révolutions complètes. Du milieu de la première au milieu de la seconde, il était de 161° 55′ ; du milieu de la seconde au milieu de la troisième, de 138° 55′. Le premier intervalle est de 1 année égyptienne plus 166 jours et 23⁠3⁄4 heures équinoxiales [de temps solaire vrai], ou 23⁠5⁄8 heures équinoxiales [de temps solaire moyen]. Le second intervalle est de 1 année égyptienne plus 137 jours et 5 heures équinoxiales [de temps solaire vrai], et 1 année égyptienne plus 137 jours 5⁠1⁄2 heures équinoxiales [de temps solaire moyen]. Pendant ces temps, le mouvement moyen approximatif de la Lune, outre les révolutions complètes, était de

Il est donc clair que, pour le premier intervalle, les 110° 21′ de l’épicycle ont ôté [161° 55′ − 169° 37′ =] 7° 42′ au mouvement moyen, tandis que pour le second intervalle, les 81° 36′ ont ajouté [138° 55′ − 137° 34′ =] 1° 21′ au mouvement moyen.

Avec ces données, traçons [le cercle] ABG représentant l’épicycle de la Lune. Soit A le point où la Lune était au milieu de la première éclipse, B sa position au milieu de la seconde éclipse, et G au milieu de la troisième. Nous devons maintenant imaginer que la Lune va de A à B, puis à G, de sorte que l’arc AB, de 110° 21′, enlève 7° 42′ au mouvement moyen en longitude, comme nous l’avons vu ; et que l’arc BG, de 81° 36′, ajoute 1° 21′ ; et enfin que l’arc GA, de [360° − (110° 21′ + 81° 36′) =] 168° 03′, ajoute 6° 21′ au mouvement propre, soit la différence [entre 7° 42′ et 1° 21′].

L’apogée est forcément situé dans l’arc AB, parce qu’il ne peut pas être dans BG ni dans GA, ces deux arcs étant additifs et plus petits [chacun] qu’un demi-cercle. Prenons donc le centre de l’écliptique et du cercle [déférent] porteur de l’épicycle en D, et traçons depuis lui, vers les points représentant les trois éclipses, les droites DEA, DB, et DG. Joignons aussi BG, et traçons à partir de E les droites EB et EG ainsi que EZ perpendiculaire à BD et EH à DG, puis de G la droite GΘ perpendiculaire à BE. Puisque l’arc AB sous-tend 7° 42′ sur l’écliptique, l’angle au centre de l’écliptique,

De plus, puisque nous avons prouvé que l’arc EA est plus petit qu’un demi-cercle, le centre de l’épicycle sera forcément en dehors du segment EA. Si nous prenons le point K comme centre, joignons DMKL, de sorte que L soit l’apogée et M, le périgée. Puisque AD · DE = LD · DM et que nous avons démontré que la droite AE = 88;40,17^p où le diamètre LKM de l’épicycle est de 120^p et que ED = 643;36,39^p, il est évident que la droite entière AD = 732;16,56^p, donc que AD · DE = LD · DM = 471 304;46,17^p. Aussi, puisque LD · DM + KM² = DK², et que le rayon de l’épicycle, KM = 60^p, si nous y ajoutons les 3600^p (de KM²), nous obtenons DK² = 474 904;46,17^p, donc le rayon du cercle concentrique à l’écliptique [le déférent], qui porte l’épicycle, DK = 689;08^p où le rayon de l’épicycle KM = 60^p. Donc enfin, où l’espace entre le centre de l’écliptique et celui de l’épicycle vaut 60^p, le rayon de l’épicycle vaut 5;14^p, ce qui est essentiellement le même rapport que celui que nous avons trouvé précédemment par les anciennes éclipses [soit 5;13^p].

Reprenons le même diagramme, et traçons KNX à partir de K et perpendiculaire à DEA, et joignons AK. Comme nous avons démontré, où DK = 689;08^p, DE = 643;36,39^p, et NE = 1⁄2 AE = 44;20,08^p des mêmes unités. Donc, la droite entière DEN = 687;56,47^p. Donc, où l’hypoténuse DK = 120^p, DN = 119;47,36^p, et dans le cercle circonscrit [en jaune pâle ; pas tracé par Ptolémée ni ses autres traducteurs] au triangle rectangle DKN, l’arc DN ≈ 173° 17′. Donc, ∠ DKN = 173;17^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et 86° 38′ 30″ où quatre angles droits font 360°. Donc l’arc MEX de l’épicycle = 86° 38′ 30″, l’arc restant LAX = 93° 21′ 30″ [son supplément], et l’arc AX = 1⁄2 arc AE ≈ 47° 38′ 30″. Donc l’arc AL = 45° 43′ [= 93° 21′ 30″ − 47° 38′ 30″]. Mais nous avons postulé que l’arc entier AB = 110° 21′, donc l’arc restant LB = 64° 38′ [= 110° 21′ − 45° 43′], qui est la distance de la Lune à l’apogée au milieu de la seconde éclipse.

De même, nous avons démontré que l’angle DKN = 86° 38′ environ, où quatre angles droits font 360°, donc l’angle KDN = 3° 22′, son complément ; nous avons aussi postulé que l’arc ADB = 7° 42′. Donc, l’arc restant LDB = 4° 20′, sous-tendant l’arc de l’écliptique retranché du mouvement moyen en longitude à cause de l’anomalie LB.

La position moyenne de la Lune au milieu de la seconde éclipse était donc de 29° 30′ du Bélier, puisque sa position vraie était de 25° 10′, à l’opposé de la position du Soleil dans la Balance.

7. De la correction des mouvements moyens de la longitude et de l’anomalie lunaires

Nous avons démontré que la position de la Lune, au milieu de la seconde des [trois] anciennes éclipses, était de 14° 44′ de la Vierge en mouvement moyen, et de 12° 24′ d’anomalie depuis l’apogée ; et qu’à la seconde des trois éclipses que nous avons observées, nous avons trouvé que sa position moyenne était de 29° 30′ du Bélier, et à 64° 38′ de l’apogée en anomalie. Il est donc évident que, dans l’intervalle de temps entre ces deux éclipses, la Lune a parcouru 224° 46′ en mouvement moyen et 52° 14′ en anomalie, outre les révolutions complètes. Le temps écoulé [entre ces deux éclipses] de la deuxième année de Mardokempad, à 5⁄6 d’heure équinoxiale avant minuit dans la nuit du 18 au 19 thout, à la 19^e année d’Hadrien, à 1 heure équinoxiale avant minuit dans la nuit du 2 au 3 khoiak, est de 854 années égyptiennes plus 73 jours et 23⁠5⁄6 heures équinoxiales [de temps solaire vrai], ou 23⁠1⁄3 h [de temps solaire moyen], soit en tout 311 783 jours et 23⁠1⁄3 heures équinoxiales.

Pour cet intervalle, nous trouvons, en utilisant les hypothèses établies avant corrections, que la Lune s’est déplacée, outre les révolutions complètes, de 224° 46′ en longitude et de 52° 31′ . Le mouvement en longitude est conforme à celui dérivé de nos observations, mais celui de l’anomalie est trop grande de 17′ ; donc, avant de dresser les tableaux, nous avons corrigé le mouvement quotidien en anomalie en distribuant ces 17′ par le nombre de jours mentionné ci-⁠dessus, et en soustrayant la correction résultante, soit 0° 00′ 00″ 00″′ 11″″ 46″″′ 39″″″, du mouvement quotidien en anomalie non corrigé. La valeur après correction est donc de 13° 03′ 53″ 56″′ 17″″ 51″″′ 59″″″, qui est la valeur de base utilisée pour dresser les tableaux.

8. De l’époque des mouvements moyens de longitude et d’anomalie de la Lune

Pour ramener l’époque [de ces mouvements moyens] à midi du même premier jour du mois égyptien de thout de la première année de Nabonassar, nous avons pris l’intervalle de temps entre ce jour et le milieu de la seconde éclipse des trois premières et plus proches [de cette date] éclipses, soit, comme nous l’avons dit, à 5⁄6 heure équinoxiale avant minuit dans la nuit du 18 au 19 du mois égyptien de thout ; cela donne un intervalle de 27 années égyptiennes plus 17 jours et 11⁠1⁄6 heures équinoxiales environ, tant [en temps solaire moyen qu’en temps solaire vrai] . Outre les révolutions complètes, cela correspond à 123° 22′ en longitude et 103° 35′ en anomalie. Si nous retranchons ces valeurs de celles correspondant au milieu de la seconde éclipse, nous obtenons, pour midi le premier jour du mois égyptien de thout de la première année de Nabonassar, la position moyenne de la Lune comme étant 11° 22′ du Taureau en longitude, et 268° 49′ d’anomalie depuis l’apogée de l’écliptique, c’est-⁠à-⁠dire 70° 37′ d’élongation au Soleil qui, comme il a été démontré, était alors à 0° 45′ des Poissons.

9. De la correction des mouvements moyens de la Lune en latitude, et leur époque

Nous avons établi, par les méthodes présentées ci-⁠dessus, les mouvements et époques périodiques [de la Lune] en longitude et en anomalie ; pour celles de sa latitude, toutefois, nous étions autrefois dans l’erreur, car nous avons également adopté les hypothèses d’Hipparque selon lesquelles [le diamètre de] la lune entre environ 650 fois dans sa propre orbite et 2⁠1⁄2 fois dans [le diamètre de] l’ombre de la Terre, quand elle est à distance moyenne lors des syzygies : une fois que ces quantités et la taille de l’inclinaison de l’orbite de la Lune sont données, les limites des éclipses lunaires individuelles sont données. Nous avons donc pris [des paires d’éclipses] séparées par un intervalle connu et calculé, par la taille de l’obscurcissement au milieu de l’éclipse, la vraie distance [de la Lune] auquel de ses deux nœuds [l’éclipse était proche] le long de son orbite inclinée en [argument de] latitude, et déterminé la position moyenne [en latitude] à partir de la vraie en appliquant l’équation de l’anomalie telle que nous l’avons déterminée, et nous avons donc trouvé la position moyenne en latitude au milieu de chaque éclipse, et donc le mouvement en latitude (en plus des révolutions complètes) pendant cet intervalle.

Mais aujourd’hui, en utilisant des méthodes plus faciles qui n’ont pas besoin des hypothèses précédentes pour solutionner le problème, nous avons constaté que le mouvement de latitude calculé par la méthode ci-⁠dessus est erroné. De plus, à partir du mouvement en latitude que nous avons calculé sans ces hypothèses, nous avons prouvé que ces hypothèses concernant les tailles et la distance sont fausses et les avons corrigées. Nous avons fait la même chose pour Saturne et Mercure, en changeant nos hypothèses antérieures incorrectes suite à nos observations plus précises. C’est que ceux qui abordent cette science avec un véritable amour de la vérité et un esprit inquisitif, devraient utiliser de nouvelles méthodes qu’ils découvrent et qui donnent des résultats plus précis, pour corriger non seulement les théories anciennes, mais aussi — et ils ne devraient pas avoir honte de cela — leurs propres [théories], si besoin est, et accepter que leurs théories soient corrigées et rendues plus précises par d’autres. Nous donnerons, en bonne et due place plus loin dans ce traité, les moyens par lesquels nous procédons pour [Saturne et Mercure] . Pour le moment, pour suivre l’ordre que nous nous sommes prescrit, nous allons démontrer [le calcul de] la position en latitude.

D’abord, pour corriger le mouvement moyen, nous avons recherché des [paires d’]éclipses lunaires observées avec le plus de minutie, et depuis aussi longtemps que possible, et où :

• la taille de l’obscurcissement était égale ;
• [les éclipses ont eu lieu] près du même nœud ;
• [l’obscurcissement] était [pour] les deux depuis nord ou [les deux] depuis le sud) ; et
• la Lune était à distance égale [de la Terre].

Ces conditions remplies, le centre de la Lune dans les deux éclipses sera à distance égale et du même côté du même nœud, et la Lune aura fait [un nombre entier de] révolutions complètes en latitude dans l’intervalle de temps entre les deux observations.

Nous avons choisi, pour première éclipse, celle observée à Babylone dans la 31^e année de Darius I^er, au milieu de la sixième heure de la nuit du 3 au 4 du mois égyptien de tybi [25/26 avril −490]. La Lune est alors décrite comme étant obscurcie de deux doigts du côté sud.

La seconde éclipse est celle observée à Alexandrie dans la neuvième année d’Hadrien, 3⁠3⁄5 heures équinoxiales avant minuit dans la nuit du 17 au 18 du mois égyptien de pachon [5/6 avril 125]. La lune était alors, encore une fois, masquée au sixième de son diamètre depuis le sud.

La Lune était, pour les deux éclipses, proche du nœud descendant en latitude, chose facile à déterminer par des hypothèses générales. Sa distance [à la Terre] était à peu près la même dans les deux [éclipses], soit un peu plus près du périgée que la distance moyenne — ce qui est évident selon les démonstrations précédentes sur l’anomalie. Aussi, lorsque la Lune est éclipsée du sud, son centre est au nord de l’écliptique ; il est donc clair qu’aux deux éclipses, le centre de la lune était à égale distance en avance [précédant / à l’ouest] du nœud descendant. Lors de la première éclipse, la lune sur son épicycle était à 100° 19′ de l’apogée ; car le milieu de l’éclipse était une demi-heure avant minuit à Babylone, et [donc] 1⁠1⁄3 heure équinoxiale avant minuit à Alexandrie. Depuis l’ère de Nabonassar, l’intervalle est donc de 256 ans, 122 jours et 10⁠2⁄3 heures [de temps solaire vrai] ou 10⁠1⁄4 heures comptées en nycthémères moyens [temps solaire moyen]. Sa position vraie était donc inférieure de 5° à sa position moyenne.

Lors de la deuxième éclipse, la Lune était à 251° 53′ de l’apogée de l’épicycle. L’intervalle de temps, depuis l’époque jusqu’au milieu de l’éclipse, était de 871 ans, 256 jours, et 8⁠2⁄5 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai] ou 8⁠1⁄12 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen]. La position vraie [de la Lune] était donc de 4° 53′ supérieure à sa [position] moyenne.

Donc, dans l’intervalle de temps entre les deux éclipses, qui était de 615 années égyptiennes, 133 jours, et 21⁠5⁄6 heures équinoxiales, le mouvement vrai de la Lune en latitude compte des révolutions complètes, tandis que son mouvement moyen est de 9° 53′ qu’un [nombre entier de] révolutions complète, ce qui est la somme des deux anomalies. Mais il y a environ 10° 02′ de moins que des révolutions complètes, pour cet intervalle de temps, selon les tableaux des mouvements moyens dérivés des hypothèses d’Hipparque. Le mouvement moyen en latitude est donc plus grand de 9 minutes que celui qu’Hipparque aurait calculé pour un retour à la même latitude.

Nous avons divisé ces 9 minutes par le nombre total de jours dans l’intervalle ci-⁠dessus, soit 224 609, et nous avons ajouté le quotient, soit 0° 00′ 00″ 00″′ 08″″ 39″″′ 18″″″, au mouvement quotidien moyen [en latitude] dérivé des hypothèses [d’Hipparque], ce qui donne un mouvement moyen corrigé de 13° 13′ 45″ 39″′ 48″″ 56″″′ 37″″″, valeur que nous avons utilisée comme base pour dresser les tableaux, par additions successives.

Ayant ainsi, de cette manière, déterminé le mouvement moyen en latitude, nous avons ensuite cherché, pour établir la position à l’époque, une autre paire d’éclipses d’intervalle connu, dans laquelle toutes les mêmes conditions étaient remplies que dans la paire précédente (soit : distances égales de la Lune et obscurcissements égaux ainsi que du même côté, nord ou sud), sauf que cette fois, les éclipses étaient près de nœuds opposés plutôt qu’au même.

La première de ces éclipses est celle que nous avons déjà utilisée pour démontrer l’anomalie : elle a eu lieu dans la seconde année du même Mardokempad, dans la nuit du 18^e au 19^e jours du mois égyptien thout [8/9 mars −719], à minuit pour Babylone, mais à 5⁄6 heure équinoxiale avant minuit pour Alexandrie. La Lune était alors éclipsée de trois doigts du côté sud.

La seconde éclipse, aussi utilisée par Hipparque, a eu lieu dans la vingtième année de Darius successeur de Cambyse [II], à 6⁠1⁄3 heures équinoxiales dans la nuit du 28 au 29 du mois égyptien d’epiphi [19/20 novembre −719]. La Lune était également éclipsée du quart de son diamètre [3 doigts] du côté du sud. Le milieu de cette éclipse était à 2⁄5 heure [équinoxiale] avant minuit à Babylone, puisque la moitié de la nuit durait alors 6⁠3⁄4 heures équinoxiales, mais pour Alexandrie, il était une heure [équinoxiale] et un quart avant minuit.

Chacune de ces éclipses est donc arrivée lorsque la Lune était à sa plus grande distance, mais près du nœud ascendant pour la première, et près du nœud descendant pour la seconde, mais le centre de la Lune était alors plus au nord que l’écliptique dans les deux éclipses.

Soit donc ABG, l’orbite inclinée de la Lune, avec pour diamètre AG, où A est le nœud ascendant et G le nœud descendant. Posons B comme étant le point le plus boréal. Prenons des arcs égaux, AD et GE, depuis chacun des nœuds vers le point boréal B ; D représentera le centre de la Lune lors de la première éclipse, et E, lors de la seconde. Pour la première, le temps depuis l’époque était de 27 années égyptiennes, 17 jours, et 11⁠1⁄6 heures équinoxiales, tant absolument [temps solaire vrai] qu’exactement [temps solaire moyen] : la Lune était donc à 12° 24′ de l’apogée sur l’épicycle, et sa position moyenne était de 59′ plus grande que sa position vraie. De même, il s’est écoulé, de la même époque à la deuxième éclipse, 245 années égyptiennes, 327 jours, et 10⁠3⁄4 heures équinoxiales de temps approximatif [solaire vrai], mais exactement 10⁠1⁄4 heures [de temps solaire moyen]. La Lune était donc à 2° 44′ de l’apogée sur l’épicycle, et sa position moyenne était de 13′ de plus que sa position vraie. De plus, l’intervalle entre ces deux observations est de 218 années égyptiennes, 309 jours, et 23⁠1⁄12 heures équinoxiales, ce qui correspond à 160° 04′ de mouvement moyen en latitude, comme nous l’avons démontré, en plus des révolutions complètes.

Posons donc, pour cela, le lieu moyen du centre de la Lune en Z pour la première éclipse, et en H pour la seconde. Puisque arc ZBH = 160° 04′, l’arc DZ = 59′, et l’arc EH = 13′, l’arc DE = [arc DZ + arc ZBH − arc EH =] 160° 50′. Les deux arcs AD et EG contiennent donc les 19° 10′ restants du demi-cercle [supplément] ; puisqu’ils sont égaux, chacun vaut donc 9° 35′, soit l’angle par lequel la Lune, pour la première éclipse, était en surplus [à l’est] de la longitude moyenne, par rapport au nœud ascendant, et en moindre [à l’ouest] de celle-⁠ci pour la seconde éclipse. Donc, l’arc entier AZ = [arc AD + arc DZ =] 10° 34′, et l’autre, HG = [arc EG − arc EH =] 9° 22′. Ainsi, la Lune était, par son mouvement moyen, 10° 34′ en plus [à l’est] de son nœud ascendant dans la première éclipse, et était [donc] à 280° 34′ du point B, la limite nord ; et dans la seconde, elle était à 9° 22′ de moins [à l’ouest] du nœud descendant, et à 80° 38′ du point B boréal.

Enfin, puisque le temps entre l’époque et le milieu de la première éclipse produit contient [en plus des révolutions complètes] 286° 19′ de surplus [de mouvement moyen] en latitude, nous soustrayons ce montant des 280° 34′ de la position de la première éclipse et, après avoir ajouté une circonférence [360°], nous avons trouvé, pour midi, le premier jour du mois égyptien de thout, à midi, la première année de Nabonassar 354° 15′ de position moyenne en latitude depuis la limite nord [B].

Comme, pour les calculs des conjonctions et des pleines lunes [oppositions], nous n’aurons pas besoin de la deuxième anomalie (que nous démontrerons plus tard), nous dressons ici un tableau pour de [l’équations d’]anomalie, de la même manière que nous l’avons déjà fait pour le Soleil, mais en utilisant le rapport 60:5⁠1⁄4 [comme base], à intervalles de 6° pour les quadrants [ceinturant] l’apogée, et de 3° pour ceux [ceinturant le] périgée. Ainsi la disposition du tableau est identique à celle du Soleil : il se compose de 45 lignes et 3 colonnes ; les deux premières colonnes contiennent l’argument, en degrés d’anomalie, tandis que la troisième [contient] les prostaphérèses [équations] à ajouter ou soustraire à chaque argument. Dans le cette équation doit être soustraite lorsque l’anomalie, comptée à partir de l’apogée de l’épicycle, est inférieure à 180°, et ajoutée lorsque l’anomalie est supérieure à 180°. Voici le tableau [qui a été reformaté pour le médium informatique].

10. Tableau de la première et simple anomalie lunaire

[NdT : Je ne donne pas de graphique d’erreurs ni de version corrigée de ce tableau, puisque le modèle de Ptolémée est aujourd’hui désuet.]

11. Que la différence dans l’anomalie lunaire selon Hipparque est due non pas aux hypothèses employées, mais à ses calculs

Après ces démonstrations, on peut probablement se demander pourquoi les éclipses [lunaires] utilisées par Hipparque ne donne pas le même résultat [pour l’excentricité] que celui que nous avons trouvé, et pourquoi le rapport obtenu en utilisant l’hypothèse excentrique diffère du second, qui a été calculé à partir de l’hypothèse épicyclique. En effet, dans sa première démonstration, il calcule que le rapport entre le rayon de l’excentrique et la distance entre les centres de l’excentrique et de l’écliptique est d’environ 3144:327⁠2⁄3 (ce qui est le même que 60:06;15), tandis que, dans la seconde, il trouve que le rapport entre la ligne joignant le centre de l’écliptique au centre de l’épicycle [d’une part], et le rayon de l’épicycle [d’autre part], comme 3122⁠1⁄2:247⁠1⁄2 (ce qui est le même que 60:04;46 ). Maintenant, le rapport de 60:6¼ donne une équation de l’anomalie maximale de 5;49°  ; pour un rapport de 60:4;46, il est de 4;34° , tandis que notre rapport de 60:5⁠1⁄4 produit une équation maximale d’environ 5°.

Cette différence ne peut pas, comme certains le pensent, être due à une différence entre les hypothèses [épicycliques et excentriques], puisque nous avons démontré que les mêmes résultats sont obtenus peu importe l’hypothèse suivie, avec les mêmes phénomènes de départ, et non, comme Hipparque l’a fait, à partir de différentes bases. Car il est possible, si différents ensembles d’éclipses sont utilisés, qu’il se soit produit des erreurs dans les observations ou dans les calculs. En effet, nous trouverons que, dans le cas de ces éclipses [utilisées par Hipparque], les syzygies ont été observées correctement et sont en parfait accord avec nos hypothèses démontrées pour les mouvements moyen et de l’anomalie, mais que les calculs des intervalles, desquels dépend la démonstration de la taille du rapport entre les deux rayons, n’ont pas été effectués aussi minutieusement que possible. Nous allons démontrer ces deux affirmations, en commençant par les trois premières éclipses.

Il s’agit de l’une des deux seules éclipses lunaires mentionnées dans l’Almageste mentionnées sur des tablettes cunéiformes qui ont été retrouvées. Malheureusement, pour celle-⁠ci, ladite tablette a été fortement endommagée par le temps — un seul caractère lié directement à cette éclipse est lisible, et seul le contexte (une liste d’éclipses espacées de 18 ans) permet de l’identifier (voir Steele 2005). L’autre éclipse est celle des 16/17 juillet −522, mentionnée sur une tablette assez bien préservée.

Il [Hipparque] dit que ces trois éclipses ont été prises parmi celles rapportées par les Babyloniens, qui les y ont observées. La première a eu lieu l’archontat de Phanostratos à Athènes, au mois de poséidéon ; une petite partie du disque de la Lune a été éclipsée du point de montée d’été [nord-⁠est] alors qu’il restait une demi-⁠heure de nuit. Il dit aussi que « le Lune s’est couchée alors qu’elle était encore éclipsée ». Ce moment est dans la 366^e année depuis Nabonassar, dans la nuit du 26 au 27 du mois égyptien de thout [22/23 décembre −382], comme il le dit lui-⁠même, à 5⁠1⁄2 heures saisonnières après minuit, puisqu’il restait une demi-⁠heure de nuit. Lorsque le Soleil est proche de la fin du Sagittaire, cette heure de la nuit à Babylone correspond à 18 degrés de temps, puisque la nuit dure 14⁠2⁄5 heures équinoxiales. Donc 5⁠1⁄2 heures saisonnières font 6⁠3⁄5 heures équinoxiales. Par conséquent, l’éclipse a commencé 18⁠3⁄5 heures équinoxiales après midi du 26^e jour. Puisqu’une petite partie [de la Lune] a été obscurcie, la durée de toute l’éclipse a dû être d’environ 1⁠1⁄2 heure, donc le milieu de l’éclipse était à 19⁠1⁄3 heures équinoxiales [après midi]. Ceci est l’équivalent, pour Alexandrie, de 18⁠1⁄2 heures équinoxiales après midi le 26. Le temps depuis l’époque de la première année de Nabonassar jusqu’au moment en question est de 365 années égyptiennes, 25 jours, 18⁠1⁄2 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai] et 18⁠1⁄4 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen]. À ce moment, en utilisant nos hypothèses détaillées ci-⁠dessus, nous trouvons que la vraie position du Soleil était 28° 18′ du Sagittaire, la position moyenne de la Lune était 24° 20′ des Gémeaux, et sa vraie position était 28° 17′ des Gémeaux, car sa distance en anomalie à l’apogée de l’épicycle était de 227° 43′.

Il [Hipparque] dit que la seconde éclipse s’est produite dans l’archontat de Phanostratos à Athènes, au mois de scirophorion, dans la nuit du 24 au 25 du mois égyptien de phaminoth, et que [la lune] a été éclipsée du point du levant d’été [nord-⁠est] quand la première heure [de la nuit] était bien avancée . C’était donc vers 5⁠1⁄2 heures saisonnières avant minuit du 24 au 25 phaminoth de la 366^e année de Nabonassar [18/19 juin −381]. Lorsque le Soleil est proche de la fin des Gémeaux, une heure de la nuit à Babylone correspond à 12 degrés de temps ; les 5⁠1⁄2 heures saisonnières équivalent donc à 4⁠2⁄5 heures équinoxiales. L’éclipse a donc commencé 7⁠3⁄5 heures équinoxiales après midi le 24. Et puisque l’éclipse entière a duré trois heures, son milieu s’est produit à 9⁠1⁄10 heures équinoxiales [après midi]. Pour Alexandrie, donc, cela était à environ 8⁠1⁄4 heures équinoxiales après midi le 24. Le temps écoulé depuis l’époque est donc de 365 années égyptiennes 203 jours 8⁠1⁄4 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai] ou 7⁠5⁄6 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen]. Pour cet instant, nous trouvons que la longitude vraie du Soleil était 21° 46′ des Gémeaux ; la longitude moyenne de la lune, de 23° 58′ du Sagittaire ; la longitude vraie de la Lune, de 21° 48′ du Sagittaire ; et sa distance à l’apogée de l’épicycle (anomalie), de 27° 37′. Les intervalles entre la première et la seconde éclipse sont donc de 177 jours 13⁠3⁄5 heures équinoxiales, et en mouvement du Soleil en longitude, de 173° 28′, alors qu’Hipparque a effectué sa démonstration comme si les intervalles avaient été 177 jours 13⁠3⁄4 heures équinoxiales et 173° − 1⁄8 °.

Il [Hipparque] dit enfin que la troisième éclipse a eu lieu pendant l’archontat d’Évandre à Athènes, au mois de poséideon I , du 16 au 17 du mois égyptien de thout. L’éclipse a commencé du point de lever d’été [nord-est], après que 4 heures [de nuit] se soient écoulées. Ce moment est dans la 367^e année de Nabonassar, les 16/17 thout [12/13 décembre −381], environ 2⁠1⁄2 heures avant minuit. Maintenant, lorsque le Soleil est aux deux tiers environ du Sagittaire, une heure de nuit à Babylone correspond à environ 18 degrés de temps. Donc, 2⁠1⁄2 heures saisonnières équivalent à 3 heures équinoxiales, de sorte que l’éclipse a commencé à 9 heures équinoxiales après midi le 16. Puisque l’éclipse était totale, sa durée était d’environ 4 heures équinoxiales ; donc son milieu a eu lieu environ 11 heures après midi. Par conséquent, à Alexandrie, le milieu de l’éclipse a dû se produire à 10⁠1⁄6 heures équinoxiales après midi le 16. Le temps écoulé depuis l’époque était donc de 365 années égyptiennes, 15 jours, 10⁠1⁄6 heures équinoxiales comptées simplement [temps solaire vrai] ou 9⁠5⁄6 heures équinoxiales comptées avec précision [temps solaire moyen]. Pour cet instant, nous trouvons que la longitude vraie du Soleil était de 17° 30′ du Sagittaire ; la longitude moyenne de la Lune, 17° 21′ des Gémeaux ; la longitude vraie de la Lune, de 17° 28′ des Gémeaux ; et la distance à l’apogée de l’épicycle [anomalie], de 181° 12′. Les intervalles entre la deuxième et la troisième éclipse étaient de 177 jours et 2 heures équinoxiales et 175° 44′, tandis qu’Hipparque a supposé des intervalles de 177 jours et 1⁠2⁄3 heures et 175⁠1⁄8°. Il semble donc qu’il a commis des erreurs dans ses calculs des intervalles, de 1⁄6  [de trop, dans le premier intervalle] et 1⁄3 [de moins, dans le deuxième intervalle] d’heure équinoxiale dans le temps, et environ 3⁄5° [en longitude] ; ces erreurs si grandes peuvent produire un écart considérable dans la taille du rapport [calculé].

Passons donc aux trois dernières éclipses qu’il a mentionnées et qui, dit-il, ont été observées depuis Alexandrie. Il dit que la première a eu lieu dans la 54^e année du deuxième cycle callipique, le 16 du mois égyptien de mésori [22 septembre −200]. La lune a commencé à s’obscurcir une demi-heure avant son lever, et sa pleine lumière est revenue au milieu de la troisième heure [de la nuit]. Le milieu de l’éclipse s’est donc produit au début de la deuxième heure, soit 5 heures saisonnières tant bien qu’équinoxiales avant minuit, puisque le Soleil était proche de la fin de la Vierge. Ainsi, le milieu de l’éclipse s’est produite pour Alexandrie à 7 heures équinoxiales après midi le 16. Le temps écoulé depuis l’époque de la première année de Nabonassar est de 546 années égyptiennes, 345 jours, et 7 heures équinoxiales comptées simplement, ou 6⁠1⁄2 heures équinoxiales comptées avec précision. Nous trouvons pour cet instant que la longitude vraie du Soleil était de 26° 06′ de la Vierge ; la longitude moyenne de la Lune, de 22° des Poissons ; la longitude vraie de la Lune, de 26° 07′ des Poissons ; et sa distance à l’apogée de l’épicycle [anomalie], de 300° 13′.

Il dit que l’éclipse suivante a eu lieu dans la 55^e année du même cycle, le 9 du mois égyptien de méchir [19 mars −199]. Elle a commencé quand 5⁠1⁄3 heures de nuit s’étaient écoulées et était totale. Ainsi, le début de l’éclipse était à 11⁠1⁄3 heures équinoxiales après midi le 9, puisque le Soleil était proche de la fin des Poissons, et le milieu de l’éclipse était à 13⁠1⁄3 heures équinoxiales [après midi], puisque la Lune a été entièrement éclipsée. Le temps écoulé depuis l’époque était alors de 547 années égyptiennes, 158 jours, 13⁠1⁄3 heures équinoxiales de mouvement moyen tant bien que vrai. Pour cet instant, nous trouvons donc que la longitude vraie du Soleil était de 26° 17′ des Poissons ; la longitude moyenne de la Lune, de 1° 07′ de la Balance ; la longitude vraie de la Lune, de 26° 16′ de la Vierge ; et sa distance à l’apogée (anomalie), de 109° 28′. Les intervalles de la première à la seconde éclipse étaient donc de 178 jours et 6⁠5⁄6 heures équinoxiales et 180° 11′, tandis qu’Hipparque a effectué sa démonstration avec des intervalles présumés de 178 jours et 6 heures équinoxiales et 180° 20′.

Il dit enfin que la troisième éclipse s’est produite dans la 55^e année de la seconde période callipique, le cinquième jour du mois égyptien de mésori [11 septembre −199], et qu’elle a commencé lorsque 6⁠1⁄3 heures de la nuit s’étaient écoulées ; elle était totale. Il ajoute que le milieu de l’éclipse s’est produit à environ 8⁠1⁄3 heures de nuit, c’est-à-dire 2⁠1⁄3 heures saisonnières après minuit. Lorsque le Soleil est au milieu de la Vierge, une heure de la nuit à Alexandrie correspond à 14⁠2⁄5 degrés de temps. Ainsi, 2⁠1⁄3 heures saisonnières produisent environ 2⁠1⁄4 heures équinoxiales. Le milieu de l’éclipse était donc à 14⁠1⁄4 heures équinoxiales après midi le 5 de ce mois. Le temps écoulé depuis l’époque était alors de 547 années égyptiennes, 334 jours, 14⁠1⁄4 heures équinoxiales comptées simplement, ou 13⁠3⁄4 heures équinoxiales comptées avec précision. Nou trouvons donc que la position vraie du Soleil était de 15° 12′ de la Vierge ; la position moyenne de la Lune, de 10° 24′ des Poissons ; la position vraie de la Lune, de 15° 13′ des Poissons ; et sa distance à l’apogée de l’épicycle [anomalie], de 249° 09′. L’intervalle entre la deuxième et la troisième éclipse était de 176 jours et 2⁄5 d’heure équinoxiale et de 168° 55′, tandis qu’Hipparque a supposé des intervalles de 176 jours et 1⁠1⁄3 heure équinoxiale et 168° 33′.

Ici aussi, il semble donc qu’il se soit trompé d’environ 1⁄6° et 1⁄3°, et d’environ 5⁄6 et (5⁄6 + 1⁄10 ) heure équinoxiale. Ces erreurs peuvent faire une différence considérable dans le rapport calculé selon [le choix de] l’hypothèse.

Nous avons donc clairement démontré la cause de la différence mentionnée et, par cela, nous pouvons donc choisir la valeur de l’anomalie que démontrée, pour les [calculs des] syzygies lunaires, surtout que ces éclipses concordent parfaitement avec nos hypothèses.

Fin du quatrième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC