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1. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Jupiter

Maintenant que nous avons établi les mouvements périodiques, les anomalies, et les époques de la planète Mars, nous allons procéder de la même manière pour ceux de Jupiter ; nous prendrons d’abord, pour déterminer [la position de] l’apogée et [le rapport de] l’excentricité, trois oppositions directement opposées au soleil moyen [où Jupiter est à 180° du soleil moyen]. Nous avons observé, au moyen de l’astrolabe :

• la première dans la 17^e année d’Hadrien, une heure avant minuit du 1 au 2 epiphi égyptien [17/18 mai 133], à 23° 11′ du Scorpion ;
• la deuxième dans la 21^e année [d’Hadrien], deux heures avant minuit du 13 au 14 phaophi [31 août/1^er septembre 136], à 7° 54′ des Poissons ; et
• la troisième dans la première année d’Antonin, cinq heures après minuit du 20 au 21 athyr [7/8 octobre 137], à 14° 23′ du Bélier.

Pour les deux intervalles, celui de la première à la seconde opposition comprend :

• [en temps] 3 années égyptiennes, 106 jours, 23 heures ; et
• en mouvement apparent de la planète, 104° 43′.

Tandis que celui de la deuxième à la troisième opposition comprend :

• [en temps] 1 année égyptienne, 37 jours, 7 heures ; et
• [en longitude vraie] 36° 29′.

Par calcul, on trouve le mouvement moyen en longitude :

D’après ces intervalles, en suivant les méthodes exposées pour Mars, nous avons cherché ce que nous voulions déterminer, en supposant, encore une fois, un seul excentrique, de la manière suivante.

Soit ABG le cercle excentrique, où A est le centre de l’épicycle à la première opposition, B à la deuxième opposition, et G à la troisième. Dans l’excentrique ABG, prenons D comme centre de l’écliptique ; joignons AD, BD, et GD ; prolongeons GD jusqu’à E ; traçons AE, EB, et AB ; et traçons, à partir de E, les droites EZ et EH perpendiculaires à AD et BD, et, à partir de A, la droite AΘ perpendiculaire à EB.

Puisque l’arc BG de l’excentrique est donné comme sous-tendant 36° 29′ de l’écliptique, l’angle au centre de l’écliptique, ∠ BDG (= ∠ EDH) = 36° 29′ où quatre angles droits font 360°, ou 72;58^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Par conséquent. dans le cercle autour du triangle rectangle EDH, l’arc EH = 72° 58′ et EH = 71;21^p où l’hypoténuse DE = 120^p.

De même, puisque l’arc BG = 33° 26′, l’angle [sous-tendu par lui] à la circonférence, ∠ BEG = 33;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle restant [par soustraction de ∠ BEG de ∠ EDH] ∠ EBH = 39;32^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEH, l’arc EH = 39° 32′ et la droite EH = 40;35^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc où, comme nous l’avons montré, EH = 71;21^p et ED = 120^p, BE = 210;58^p. De plus, puisque, par observation, tout l’arc de l’excentrique ABG = 141° 12′ (la somme des deux intervalles [104° 43′ et 36° 29′]), l’angle au centre de l’écliptique, ∠ ADG = 141° 12′ où quatre angles droits font 360° ou 282;24^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, et son supplément ∠ ADE = 77;36^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEZ, l’arc EZ = 77° 36′ et la droite EZ = 75;12^p où l’hypoténuse DE = 120^p. De même, puisque [par addition de 99° 55′ + 33° 26′] l’arc de l’excentrique ABG = 133° 21′, l’angle [qu’il sous-tend] à la circonférence, ∠ AEG = 133;21^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ ADE = 77;36^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle restant [dans le triangle EAD] ∠ EAZ = 149;03^ꝏ des mêmes unités. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEZ, l’arc EZ = 149° 03′ et la droite EZ = 115;39^p où l’hypoténuse EA = 120^p. Par conséquent, où, comme cela a été montré, EZ = 75;12^p et ED = 120^p, EA = 78;02^p.

De plus, puisque l’arc de l’excentrique AB = 99° 55′, l’angle [qu’il sous-tend] à la circonférence ∠ AEB = 99;55^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc AΘ = 99° 55′ et l’arc EΘ = 80° 05′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes AΘ = 91;52^p et EΘ = 77;12^p où l’hypoténuse EA = 120^p. Ainsi où, comme cela a été démontré, AE = 78;02^p et DE = 120^p, AΘ = 59;44^p et EΘ = 50;12^p. Mais nous avons prouvé que la droite entière EB = 210;58^p des mêmes unités, alors la portion restante [par soustraction] ΘB = 160;46^p où AΘ = 59;44^p. Or, ΘB² = 25 845;55 et ΘA² = 3 568;04, donc leur somme [ΘB² + ΘA²] = AB² = 29 413;59. Donc AB = 171;30^p où ED = 120^p et EA = 78;02^p. Mais le diamètre de l’excentrique étant de 120^p, la droite AB = 91;52^p (car elle sous-tend un arc de 99° 55′) ; donc, où AB = 91;52^p et le diamètre de l’excentrique est de 120^p, DE = 64;17^p et EA = 41;47^p. Ainsi, l’arc de l’excentrique EA = 40° 45′, et tout l’arc EABG [= 40° 45′ + 133° 21′] = 174° 06′. Conséquemment, EDG ≈ 119;50^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p.

En outre, puisque GN = 1⁄2GE = 59;55^p où diamètre LM = 120^p, et que nous avons démontré que GD = 55;33^p des mêmes unités, alors le reste [par soustraction] DN = 4;22^p où DK = 5;23^p. Donc où l’hypoténuse [du triangle rectangle DKN] DK = 120^p, DN = 97;20^p  et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DKN, l’arc DN = 108° 24′, donc ∠ DKN = 108;24^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 54° 12′ où quatre angles droits font 360°. Et puisque DKN est au centre de l’excentrique, l’arc MX = 54° 12′. Mais tout l’arc GMX = 1⁄2 arc GXE = 87° 03′, donc [par soustraction] l’arc restant du périgée jusqu’à la troisième opposition MG = 32° 51′. Or, il est clair que l’intervalle BG = 33° 26′ (par hypothèse), l’arc restant [par soustraction] de la seconde opposition au périgée BM = 0° 35′. Et puisque l’intervalle AB = 99° 55′ (par hypothèse), l’arc restant [par soustraction de (arc AB + arc BM) de 180°] de l’apogée jusqu’à la première opposition LA = 79° 30′.

Maintenant, puisque le segment EABG est inférieur à un demi-cercle, et que — pour cette raison — le centre de l’excentrique tombe à l’extérieur, supposons-⁠le en K, et traçons par K et D le diamètre LKDM passant par les deux centres puis, à partir de K, la droite [KN] perpendiculaire à GE et prolongeons-⁠la [pour qu’elle devienne] KNX. Alors, où diamètre LM = 120^p, la ligne entière EG = 119;50^p (tel que démontré), et ED = 64;17^p, donc le reste [par soustraction] GD = 55;33^p des mêmes unités. Donc, puisque ED · DG = LD · DM, nous avons LD · DM = 3 570;56^p où le diamètre LM = 120^p. Mais LD · DM + DK² = LK² (c’est-⁠à-⁠dire le carré de la moitié du diamètre). Donc, si on soustrait (LD · DM), soit 3 570;56^p, du carré de la moitié du diamètre, soit 3 600, le reste sera le carré DK² = 29;04^p. Donc la distance entre les centres DK ≈ 5;23^p où le rayon de l’excentrique KL = 60^p.

Si le centre de l’épicycle était porté sur cet excentrique, les valeurs ci-⁠dessus seraient suffisamment précises pour être utilisées ; mais puisque, selon notre hypothèse, [le centre de l’épicycle] se déplace sur un cercle différent (dont le centre est à mi-⁠chemin entre D et K et dont le rayon est KL), nous devons encore, comme nous l’avons fait pour Mars, calculer d’abord les différences des intervalles apparents [c’est-⁠à-⁠dire les arcs de l’écliptique entre les oppositions], et démontrer ce qu’elles seraient (en prenant le rapport d’excentricité ci-⁠dessus comme approximativement correct) si le centre de l’épicycle était porté, non pas sur le deuxième excentrique, mais sur le premier excentrique [c’est-⁠à-⁠dire l’équant], qui produit l’anomalie écliptique, c’est-⁠à-⁠dire celle tracée autour du centre K.

Soit LM l’excentrique, autour du centre D, qui porte le centre de l’épicycle, et NX l’excentrique du mouvement moyen de la planète, autour du centre Z, [de taille] égale à [celle de] LM. Traçons le diamètre passant par les centres, NLM, et prenons-⁠y le centre de l’écliptique E. Supposons d’abord que le centre de l’épicycle est situé en A pour la première opposition. Joignons DA, EA, ZAX, et EX, et traçons, à partir de D et E, respectivement, les droites DH et EΘ perpendiculaires à AZ prolongé. Puisque l’angle du mouvement moyen en longitude ∠ NZX = 79° 30′ où quatre angles droits font 360°, l’angle qui lui est opposé verticalement, ∠ DZH = 79° 30′ où quatre angles droits font 360° , ou 159^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 159° et l’arc ZH = 21° restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 117;59^p et ZH = 21;52^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ (= 1⁄2EZ) ≈ 2;42^p et le rayon de l’excentrique DA = 60^p, DH = 2;39^p et ZH = 0;30^p. Et puisque DA² − DH² = AH², alors AH = 59;56^p des mêmes unités. De même, puisque ZH = HΘ et EΘ = 2DH, la droite entière [par addition] AΘ = 60;26^p où EΘ = 5;18^p, donc l’hypoténuse [du triangle rectangle AEΘ] AE = 60;40^p des mêmes unités. Donc, où AE = 120^p, EΘ = 10;29^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc EΘ ≈ 10° 01′ ; ainsi, ∠ EAΘ = 10;01^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. De plus, où EΘ = 5;18^p, le rayon de l’excentrique ZX = 60^p et ZΘ [= 2ZH] = 1^p, (donc [par addition] XΘ = 61^p), nous avons donc l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 61;14^p des mêmes unités. Ainsi, où EX = 120^p, EΘ = 10;23^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc EΘ = 9° 55′. Donc ∠ EXΘ = 9;55^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons prouvé que ∠ EAΘ = 10;01^ꝏ des mêmes unités ; donc l’angle de la différence en question [par soustraction] ∠ AEX = 0;06^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 0° 03′ où quatre angles droits font 360°.

Mais à la première opposition, la planète était vue le long de la droite EA, à 23° 11′ du Scorpion. Il est donc clair que si le centre de l’épicycle n’était pas porté sur l’excentrique LM, mais sur [l’excentrique] NX, il aurait été au point X, et la planète aurait été vue le long de la ligne EX, à 0° 03′ [de la position réelle], et aurait donc été à 23° 14′ du Scorpion.

Dessinons une figure similaire pour la deuxième opposition, [avec le centre de l’épicycle] représenté un peu avant le périgée . Puisque nous avons démontré que l’arc de l’excentrique XN = 0° 35′, alors ∠ XZN = 0° 35′ où quatre angles droits font 360°, ou 1;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 1° 10′ et l’arc ZH = 178° 50′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 1;13^p et ZH ≈ 120^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Ainsi, où DZ = 2;42^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DH = 0;02^p et ZH = 2;42^p. De même, HB = 60^p des mêmes unités (puisqu’elle est plus petite que l’hypoténuse HD [du triangle rectangle HBD] par une quantité négligeable). En outre, puisque ΘH = HZ et EΘ = 2DH, alors le reste [par soustraction] ΘB = 57;18^p où EΘ = 0;04^p, donc l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘB] EB = 57;18^p des mêmes unités. Donc, où EB = 120^p, EΘ ≈ 0;08^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEΘ, l’arc EΘ = 0° 08′ aussi. Donc ∠ EBΘ = 0;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ.

De même, puisque nous avons démontré que la droite entière ZΘ [= 2ZH] = 5;24^p où le rayon de l’excentrique ZX = 60^p, alors le reste [par soustraction] ΘX = 54;36^p où EΘ = 0;04^p ; conséquemment, l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 54;36^p des mêmes unités. Donc où EX = 120^p, EΘ ≈ 0;10^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc EΘ = 0° 10′. Ainsi, ∠ EXΘ = 0;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et les restant [par soustraction de ∠ EBΘ] ∠ BEX = 0;02^ꝏ des mêmes unités, ou 0° 01′ où quatre angles droits font 360° . Il est donc clair que quand, dans la seconde opposition, la planète était vue le long de la droite EB à 7° 54′ des Poissons, si elle avait été vue le long de la droite EX, elle aurait été à seulement 7° 53′ des Poissons.

Soit maintenant le diagramme de la troisième opposition, après le périgée . Alors, puisque l’arc de l’excentrique NX = 32° 51′, ∠ NZX = 32° 51′ où quatre angles droits font 360°, ou 65;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 65° 42′ et l’arc ZH = 114° 18′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 65;06^p et ZH = 100;49^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 2;42^p et le rayon de l’excentrique DG = 60^p, DH = 1;28^p et ZH = 2;16^p. Et puisque GD² − DH² = GH², alors GH ≈ 59;59^p. De même, puisque ΘH = HZ et EΘ = 2DH, alors le reste [par soustraction] GΘ = 57;43^p où EΘ = 2;56^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘG] EG = 57;47^p des mêmes unités. Donc, où EG = 120^p, EΘ = 6;05^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEΘ, l’arc EΘ ≈ 5° 48′. Donc ∠ EGΘ = 5;48^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. De même, puisque la droite entière ZΘ [= 2ZH] = 4;32^p où le rayon de l’excentrique ZX = 60^p, alors le reste [par soustraction] XΘ = 55;28^p où EΘ = 2;56^p. Par conséquent, l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 55;33^p des mêmes unités. Ainsi, où EX = 120^p, EΘ = 6;20^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc EΘ = 6° 02′. Donc ∠ EXΘ = 6;02^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle restant [par soustraction de ∠ EGΘ] ∠ GEX = 0;14^ꝏ des mêmes unités, ou 0° 07′ où quatre angles droits font 360° . Ainsi, puisque dans la troisième opposition, la planète était vue le long de la droite EG à 14° 23′ du Bélier, il est clair que, si elle avait été sur la ligne EX, elle aurait été à 14° 30′ du Bélier. Or, nous avons prouvé qu’elle était à 23° 14′ du Scorpion dans la première opposition et à 7° 53′ des Poissons dans la deuxième opposition ; donc, les intervalles apparents [en longitude] de la planète [Jupiter], si nous ne les mesurons pas par rapport à l’excentrique portant le centre de l’épicycle mais par rapport à l’excentrique produisant le mouvement moyen [c’est-⁠à-⁠dire l’équant], sont, de la première à la seconde oppositions, de 104° 39′, et de la deuxième à la troisième oppositions, de 36° 37′.

Avec ces données et par le théorème déjà démontré, nous trouvons que la distance entre les centres de l’écliptique et l’excentrique produisant le mouvement moyen de l’épicycle est d’environ 5;30^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p;et, pour les arcs de l’excentrique, de l’apogée à la première opposition, de 77° 15′ ; de la seconde opposition au périgée, de 2° 50′ ; et du périgée à la troisième opposition, de 30° 36′. Ces valeurs ont été déterminées avec précision par cette méthode, car les différences dans les intervalles [tels que mesurés le long du déférent et de l’équant], lorsqu’elles sont calculées à partir de ces données, sont à peu près les mêmes que l’ensemble précédent [de valeurs]. Cela ressort [également] du fait que les intervalles apparents [en longitude] de la planète dérivés des rapports que nous avons ainsi trouvés sont les mêmes que ceux observés ; nous pouvons le démontrer comme suit.

Dessinons à nouveau le diagramme de la première opposition, mais seulement avec l’excentrique portant le centre de l’épicycle. Puis, puisque ∠ LZA = 77° 15′ où quatre angles droits font 360°, ∠ LZA = ∠ DZH (verticalement opposé) = 154;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 154° 30′ et l’arc ZH = 25° 30′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 117;02^p et ZH = 26;29^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où ZD = 2;45^p et le rayon de l’excentrique DA = 60^p, DH = 2;41^p et ZH = 0;36^p. Et, pour les mêmes raisons que celles exposées précédemment, AH [= √(AD² − DH²)] = 59;56^p des mêmes unités et la droite entière [par addition de HΘ = ZH] AΘ = 60;32^p où EΘ (= 2DH) = 5;22^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle AEΘ] AE = 60;46^p des mêmes unités. Donc, où AE = 120^p, EΘ = 10;36^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc EΘ = 10° 08′. Donc ∠ EAΘ = 10;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et le restant [par soustraction de ∠ EAΘ de ∠ LZA] ∠ LEA = 144;22^ꝏ des mêmes unités, ou 72° 11′ où quatre angles droits font 360°. Cela [72° 11′] était donc la distance [mesurée sur] l’écliptique de la planète à son apogée à la première opposition.

Si nous prenons maintenant le diagramme de la deuxième opposition, puisque (par hypothèse) ∠ BZM = 2° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 5;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 5° 40′ et l’arc ZH = 174° 20′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 5;55^p et ZH = 119;51^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 2;45^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DH = 0;08^p et ZH ≈ 2;45^p. Et, de même [que précédemment], BH ≈ 60^p des mêmes unités et le restant [par soustraction de HΘ = ZH] BΘ = 57;15^p où EΘ = 0;16^p. Ainsi l’hypoténuse [du triangle rectangle EBG] EB = 57;15^p des mêmes unités. Donc, où EB = 120^p, EΘ = 0;33^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEΘ, l’arc EΘ = 0° 32′. Donc ∠ EBΘ = 0;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle entier [par addition de ∠ BZM] ∠ BEM = 6;12^ꝏ des mêmes unités, ou 3° 06′ où quatre angles droits font 360° . Donc la distance de la planète en avant [à l’ouest] du périgée à la seconde opposition était de 3° 06′. Et nous avons démontré qu’à la première opposition, elle était de 72° 11′ à l’arrière [à l’est] de l’apogée. Ainsi, l’intervalle apparent calculé de la première à la seconde opposition est le supplément [de 3° 06′ + 72° 11′], soit 104° 43′, en accord avec l’intervalle dérivé des observations.

Prenons maintenant le diagramme de la troisième opposition. Puisque ∠ MZG = 30° 36′ où quatre angles droits font 360°, ou 61;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 61° 12′ et l’arc ZH = 118° 48′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 61;06^p et ZH = 103;17^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 2;45^p et le rayon de l’excentrique GD = 60^p, DH = 1;24^p et ZH = 2;22^p. Et, de même [que précédemment], GH = 59;59^p et la portion [par soustraction de HΘ = ZH] GΘ = 57;37^p où EΘ = 2;48^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle EGΘ] EG = 57;41^p des mêmes unités et, où EG = 120^p, EΘ = 5;50^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEΘ, l’arc EΘ = 5° 34′. Donc ∠ EGΘ = 5;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle entier [par addition de ∠ MZG] ∠ MEG = 66;46^ꝏ des mêmes unités, ou 33° 23′ où quatre angles droits font 360°. Cela [33° 23′] était donc la distance de la planète à l’arrière [à l’est] du périgée à la troisième opposition. Et nous avons démontré qu’à la seconde opposition, sa distance en avant du même périgée était de 3° 06′. Donc l’intervalle apparent [en longitude] de la deuxième à la troisième opposition est la somme [de ce qui précède], soit 36° 29′, encore une fois en accord avec l’intervalle observé.

Il est donc clair que, puisque la planète à la troisième opposition était à 14° 23′ du Bélier et, comme nous l’avons montré, à 33° 23′ en arrière [à l’est] du périgée, à ce moment le périgée de son excentrique était à 11° des Poissons, tandis que son apogée était diamétralement opposé à 11° de la Vierge.

Si [enfin] nous traçons l’épicycle HΘK autour du centre G, nous aurons immédiatement la position moyenne [en longitude] depuis l’apogée L de l’excentrique, comme étant de 210° 36′ (car nous avons démontré que ∠ MZG = 30° 36′ où quatre angles droits font 360°), et l’arc ΘK de l’épicycle du périgée Θ à la planète K étant de 2° 47′ (car nous avons démontré que ∠ EGZ = 5;34^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 2° 47′ où quatre angles droits font 360°). Ainsi au moment de la troisième opposition, soit dans la première année d’Antonin, du 20 au 21 athyr égyptien, 5 heures après minuit, l’astre Jupiter avait les positions moyennes suivantes :

2. Détermination de la taille de l’épicycle de Jupiter

Ensuite, pour déterminer la taille de l’épicycle, nous avons pris une observation que nous avons réalisée [avec l’astrolabe (διωπτεύσαμεν / διοπτεύσαμεν)] dans la deuxième année d’Antonin, dans le [mois] égyptien de mésori, du 26 au 27 avant le lever du soleil [10/11 juillet 139], c’est-⁠à-⁠dire environ 5 heures équinoxiales après minuit (car le soleil moyen était à 16° 11′ du Cancer et le second degré du Bélier [l’intervalle de 1° à 2° du Bélier] était au méridien [sud] selon l’astrolabe). À ce moment, Jupiter, lorsque comparé à l’étoile brillante des Hyades [Aldebaran ; α Tau], était à 15⁠3⁄4° des Gémeaux, tout comme le centre de la Lune, qui se trouvait plus au sud. Pour ce moment, nous trouvons, au moyen des calculs mentionnés plus tôt, qu’en mouvement moyen, la Lune était à 9° 00′ des Gémeaux et que son anomalie [moyenne] depuis l’apogée de l’épicycle était de 272° 05′ ; sa position réelle était donc de 14° 50′ des Gémeaux et sa position apparente à Alexandrie de 15° 45′ des Gémeaux. Donc, Jupiter était également à 15⁠3⁄4° des Gémeaux. De plus, l’intervalle depuis la troisième opposition jusqu’à cette observation est de 1 année égyptienne et 276 jours, ce qui produit un mouvement moyen de 53° 17′ [en longitude] et de 218° 31′ en anomalie (il ne fera aucune différence sensible que ce calcul soit fait grossièrement). Si nous ajoutons ces quantités aux positions [moyennes] dérivées pour la troisième opposition, nous obtiendrons, pour le moment de la présente observation, environ 263° 53′ [en longitude] depuis l’apogée et 41° 18′ en anomalie depuis l’apogée de l’épicycle.

Partant de cela, reprenons le diagramme de la même démonstration pour Mars, [mais] avec l’épicycle à l’arrière [à l’est] du périgée de l’excentrique, et avec l’astre après l’apogée de l’épicycle, conformément aux mouvements moyens en longitude (μήκους) et en anomalie que nous avons notés. Puisque la position moyenne en longitude depuis l’apogée de l’excentrique est de 263° 53′, ∠ BZG = 83° 53′ où quatre angles droits font 360°, ou 167;46 ^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZM, l’arc DM = 167;46 et l’arc ZM = 12° 14′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DM = 119;19^p et ZM = 12;47^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc, où DZ = 2;45^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DM ≈ 2;44^p et ZM = 0;18^p. Et puisque DB² − DM² = MB², MB = 59;56^p des mêmes unités.

De même, puisque ZM = ML et EL = 2DM, la portion [par soustraction] LB = 59;38^p où EL = 5;28^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle LBE] EB = 59;52^p des mêmes unités. Par conséquent, où EB = 120^p, EL ≈ 10;58^p  et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEL, l’arc EL = 10° 30′. Donc ∠ EBZ = 10;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ BZG = 167;46^ꝏ des mêmes unités. Donc l’angle entier [par addition] ∠ BEG = 178;16^ꝏ des mêmes unités.

De plus, puisque le périgée G était à environ 11° des Poissons et que la planète était vue le long de la droite EK à 15° 45′ des Gémeaux, ∠ KEG = 94° 45′ où quatre angles droits font 360°, ou 189;30^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, donc l’autre angle [par soustraction de ∠ BEG] ∠ BEK = 11;14^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEN, l’arc BN = 11° 14′ et BN = 11;44^p où l’hypoténuse EB = 120^p. Donc où EB = 59;52^p  et le rayon de l’excentrique est de 60^p, BN = 5;50^p.

De même, puisque l’arc HK = 41° 18′, alors ∠ HBK = 41° 18′ où quatre angles droits font 360°,ou 82;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ EBZ (= ∠ HBΘ) = 10;30^ꝏ des mêmes unités, alors l’angle restant [par soustraction] ∠ ΘBK = 72;06^ꝏ. Or, nous avons prouvé que ∠ KEΘ = 11;14^ꝏ des mêmes unités ; par conséquent, l’angle restant [par soustraction] ∠ BKN = 60;52^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BKN, l’arc BN = 60° 52′ et la droite BN = 60;47^p où l’hypoténuse BK = 120^p. Par conséquent, où BN = 5;50^p et le rayon de l’excentrique est de 60^p, le rayon de l’épicycle BK ≈ 11;30^p.

3. De la correction des mouvements périodiques de Jupiter

Ensuite, pour [déterminer] les mouvements périodiques, nous avons de nouveau pris une des observations anciennes enregistrées avec précision. Elle indique que, dans la 45^e année du calendrier de Dionysius, le 10 [du mois de] parthénon, l’astre Jupiter a occulté  la plus méridionale [des 2] Aselli [XXV 5 / δ Cnc] à l’aube . Ce moment était dans la 83^e année depuis la mort d’Alexandre, à l’aube du 17 au 18 épiphi égyptien [3/4 septembre −240]. Nous trouvons que le soleil moyen était à 9° 56′ de la Vierge . Mais l’étoile appelée « Asellus du Sud », parmi celles qui entourent la nébuleuse du Cancer, était, au moment de notre observation [de celle-⁠ci], à 11⁠1⁄3 ° du Cancer, donc à l’observation en question elle était à 7° 33′ du Cancer, puisqu’aux 378 années entre les observations correspond [un mouvement de précession de] 3° 47′. Donc Jupiter à ce moment, puisqu’il couvrait l’étoile, était aussi à 7° 33′ du Cancer. De même, puisque l’apogée était à 11° de la Vierge à notre époque, il devait être à 7 ° 13 ′ de la Vierge au moment de l’observation. Il est donc clair que la distance apparente de la planète à l’apogée de l’excentrique était alors de 300° 20′, tandis que la distance du soleil moyen à ce même apogée était de 2° 43′.

Avec ces données, dessinons à nouveau un diagramme similaire à celui de la démonstration [correspondante] pour Mars, mais adapté aux positions données pour cette observation : l’épicycle en B est donc positionné avant l’apogée A, et le point L, représentant la position moyenne du Soleil, un peu après ce même apogée, et donc le point Θ, représentant l’astre, est après l’apogée H de l’épicycle. Joignons comme d’habitude ZBH, DB, BΘ, et EΘ, et traçons ZK perpendiculaire à DB, DM et BN à EΘ, et DX à NB (prolongé), ce qui forme le parallélogramme rectangle DMNX.

Puisque ∠ AEΘ contient une révolution dans l’écliptique moins 300° 20′, soit 59° 40′ où quatre angles droits font 360°, et que ∠ AEL = 2° 43′, alors l’angle entier [par addition] ∠ LEΘ (= ∠ BΘE) = 62° 23′ où quatre angles droits font 360°, ou 124 ;46°° où deux angles droits font 360°°. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BΘN, l’arc BN = 124° 46′ et BN = 106;20^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc où le rayon de l’épicycle BΘ = 11;30^p, BN = 10;12^p. En outre, puisque ∠ DEM = 59° 40′ (par hypothèse) où quatre angles droits font 360°, ou 119;29°° où deux angles droits font 360°°, et que ∠ MDE = 60;40°° des mêmes unités (son supplément), alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEM, l’arc DM = 119° 20′ et DM = 103;34^p où l’hypoténuse ED = 120^p. Donc où ED = 2;45^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DM = 2;23^p et la droite entière [par addition] BNX = 12;35^p. Donc où l’hypoténuse [du triangle rectangle BDX] BD = 120^p, BX = 25;10^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BDX, l’arc BX = 24° 14′. Donc ∠ BDX = 24;14°° où deux angles droits font 360°° et l’angle restant [par soustraction d’un angle droit] ∠ BDM = 155;46°° des mêmes unités ; l’angle entier [par addition de ∠ MDE] ∠ BDE = 216;26°° des mêmes unités ; et l’angle restant [par soustraction de 2 angles droits] ∠ BDZ = 143;34°° des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle ZDK, l’arc ZK = 143° 34′ et l’arc DK = 36° 26′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes ZK = 113;59^p et DK = 37;31^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où DZ = 2;45^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, KZ = 2;37^p et DK = 0;52^p et le reste [par soustraction de DB] KB = 59;08^p des mêmes unités. Ainsi, l’hypoténuse [du triangle rectangle ZBK] ZB = 59;12^p des mêmes unités. Par conséquent, où ZB = 120^p, ZK = 5;18^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BZK, l’arc ZK = 5° 04′. Par conséquent, ∠ ZBD = 5;04°° où deux angles droits font 360°° et l’angle entier [par addition de ∠ BDZ], qui comprend le mouvement moyen en longitude, ∠ AZB = 148;38°° des mêmes unités, ou 74° 19′ où quatre angles droits font 360°. Et puisque ∠ HBΘ + ∠ BZG + 180° (c’est-à-dire ici ∠ HBΘ − ∠ AZB) = ∠ AEL = 2° 43′, nous trouvons que la position de la planète [en anomalie] depuis l’apogée de l’épicycle est ∠ HBΘ = 77° 02′.

Nous avons donc démontré qu’au moment de l’observation en question, l’astre Jupiter avait les positions moyennes suivantes : en longitude, à partir de l’apogée de l’excentre : 285° 41′ (c’est-⁠à-⁠dire que sa longitude moyenne était de 22° 54′ des Gémeaux), et en anomalie, depuis l’apogée de l’épicycle : 77° 02′.

Et nous avons démontré que, au moment de la troisième opposition, sa distance à l’apogée de l’épicycle était de 182° 47′ ; ainsi, dans l’intervalle entre les deux observations, de 377 années égyptiennes et 128 jours moins 1 heure environ, son mouvement en anomalie était de 105° 45′ en surplus des 345 révolutions complètes. C’est, encore une fois, à peu près le même excédent d’anomalie que celui que nous dérivons [des tableaux] des mouvements moyens que nous avons présentés, puisque c’est à partir de ces données que nous avons déduit le quotidien [mouvement moyen en anomalie], en divisant le nombre de degrés contenus des révolutions complètes plus l’excédent par le nombre de jours contenus dans l’intervalle de temps.

4. De l’époque des mouvements périodiques de Jupiter

Et donc ici, l’intervalle entre la première année de Nabonassar, à midi du 1^er thout égyptien, jusqu’à cette ancienne observation était de 506 années égyptiennes et environ 316⁠3⁄4 jours, ce qui correspond à des incréments de 258° 13′ en longitude et 290° 58′ en anomalie. Si nous soustrayons ces valeurs des positions [moyennes] respectives pour l’observation, nous aurons, pour la même époque que pour les autres [astres], pour Jupiter : longitude moyenne, 4° 41′ de la Balance ; et anomalie moyenne, 146° 04′ depuis l’apogée de l’épicycle. Ainsi, l’apogée de son excentrique sera à 2° 09′ de la Vierge.

5. Détermination de l’excentricité et de l’apogée de Saturne

Il nous reste à démontrer les anomalies et les époques de la théorie de l’astre Saturne. Comme pour les autres planètes, nous avons d’abord pris pour notre recherche de [la position de] l’apogée et l’excentricité, trois positions acronyctes [oppositions] de cet astre, dans lesquelles il était diamétralement opposé à la position moyenne du soleil.

• La première a été observée par nous, à l’aide des instruments astrolabes , dans la 11^e année d’Hadrien, le soir du 7 au 8 pachon égyptien [26/27 mars 127], à 1° 13′ de la Balance ;
• la seconde, dans la 17^e année d’Hadrien, le 18 épiphi égyptien [3 juin 133]. Nous avons calculé, à partir d’observations proches, que l’opposition exacte était à 4 heures après midi le 18 , à 9° 40′ du Sagittaire ;
• enfin, nous avons observé la troisième opposition dans la 20^e année d’Hadrien, le 24 mésori égyptien [8 juillet 136]. De la même manière, nous avons calculé l’opposition exacte comme ayant eu lieu à midi le 24, à 14° 14′ du Capricorne.

De ces deux intervalles, donc, celui de la première à la seconde oppositions comprend 6 années égyptiennes, 70 jours, et 22 heures et, en mouvement apparent de l’astre, 68° 27′ ; l’intervalle de la deuxième à la troisième oppositions comprend 3 années égyptiennes, 35 jours, et 20 heures, et 34° 34′ [de mouvement]. Nous calculons le mouvement moyen en longitude, en utilisant des chiffres approximatifs, 75° 43′ pour le premier intervalle et 37° 52′ pour le second intervalle. Avec ces intervalles, nous démontrons à nouveau [les paramètres] requis au moyen du même théorème [qu’auparavant] (comme s’il n’y avait qu’un seul excentrique), comme suit.

Soit, pour éviter les répétitions, un diagramme comme ceux utilisés [précédemment] pour la même preuve. Puis, puisque l’arc de l’excentrique BG = 34° 34′ sur l’écliptique, l’angle [correspondant] au centre de l’écliptique, ∠ BDG (= ∠ EDH) = 34° 34′ où quatre angles droits font 360°, ou 69;08^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEH, l’arc EH = 69° 08′ et EH = 68;05^p où l’hypoténuse DE = 120^p. De même, puisque l’arc BG = 37° 52′, l’angle à la circonférence ∠ BEG = 37;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle restant [par soustraction de ∠ BDG] ∠ EBH = 31;16^ꝏ des mêmes unités. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EBH, l’arc EH = 31° 16′ et EH = 32;20^p où l’hypoténuse BE = 120^p. Donc où, comme nous l’avons démontré, EH = 68;05^p et ED = 120^p, BE = 252;41^p.

De plus, puisque tout l’arc ABG = 103° 01′ de l’écliptique (la somme des deux intervalles en longitude), l’angle [correspondant] au centre de l’écliptique ∠ ADG = 103° 01′ où quatre angles droits font 360°. Donc, l’angle supplémentaire ∠ ADE = 76° 59′ des mêmes unités, ou 153;58^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DEZ, l’arc EZ = 153° 58′  et EZ = 116;55^p où l’hypoténuse DE = 120^p. De même, puisque l’arc de l’excentrique ABG = 113° 35′ [par addition de 75° 43′ et 37° 52′], l’angle à la circonférence ∠ AEG = 113;35^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons trouvé que ∠ ADE = 153;58^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle restant [dans le triangle ADE] ∠ ZAE = 92;27^ꝏ des mêmes unités. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEZ, l’arc EZ = 92° 27′ et EZ = 86;39^p où l’hypoténuse AE = 120^p. Donc où, comme nous l’avons montré, EZ = 116;55^p et ED = 120^p, EA = 161;55^p. De plus, puisque l’arc de l’excentrique AB = 75° 43′, l’angle à la circonférence ∠ AEB = 75;43^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc AΘ = 75° 43′ et l’arc EΘ = 104° 17′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes AΘ = 73;39^p et EΘ = 94;45^p  où l’hypoténuse EA = 120^p. Donc où, comme nous l’avons démontré, AE = 161;55^p et DE = 120^p, AΘ = 99;23^p  et EΘ = 127;51^p. Mais nous avons démontré que la droite entière EB = 252;41^p des mêmes unités ; par conséquent, le reste [par soustraction] ΘB = 124;50^p où AΘ = 99;23^p. Et ΘB² = 15 583;22 et AΘ² = 9 877;03, donc ΘB² + AΘ² = AB² = 25 460;25. Par conséquent, AB = 159;34^p où ED = 120^p et EA = 161;55^p. D’ailleurs, le diamètre de l’excentrique est de 120^p, AB = 73;39^p (car il sous-tend un arc de 75° 43′) ; par conséquent, où AB = 73;39^p et le diamètre de l’excentrique est de 120^p, ED = 55;23^p et EA = 74;43^p. Donc l’arc de l’excentrique EA = 77° 01′ et [par addition de l’arc ABG] tout l’arc EABG = 190° 36′, donc, l’angle restant [par soustraction] arc GE = 169° 24′. Donc GDE ≈ 119;28^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p.

Prenons donc le centre de l’excentrique dans le segment EAG (puisqu’il est plus grand qu’un demi-cercle), au point K. Traçons par les deux centres K et D le diamètre de l’excentrique LKDM, et traçons à partir de K la droite KN perpendiculaire à GE, et prolongée en KNX. Ensuite, où le diamètre LM = 120^p, nous avons prouvé que la ligne entière EG = 119;28^p et que ED = 55;23^p ; donc le reste [par soustraction] DG = 64;05^p des mêmes unités. Donc, puisque ED · DG = LD · DM, LD · DM = 3 549;09^p où le diamètre LM = 120^p. Mais LD · DM + DK² = LK² (le carré sur la moitié du diamètre) ; par conséquent, si du carré sur la moitié du diamètre, 3 600, nous soustrayons 3 549;9, nous avons DK² = 50;51^p des mêmes unités. Donc la distance entre les centres, DK ≈ 7;08^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p.

De plus, puisque EN (= 1⁄2GE) = 59;44^p où le diamètre LM = 120^p, et nous avons prouvé que ED = 55;23^p des mêmes unités, alors le reste [par soustraction] DN = 4;21^p où, comme nous l’avons démontré, DK = 7;08^p. Donc où l’hypoténuse [du triangle rectangle DKN] DK = 120^p, DN = 73;11^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DKN, l’arc DN = 75° 10′. Donc ∠ DKN = 75;10°° où deux angles droits font 360°°, ou 37° 35′ où quatre angles droits font 360°. Et puisque ∠ DKN est un angle au centre de l’excentrique, l’arc XM = 37° 35′. Mais l’arc GX = 1⁄2 arc GXE = 84° 42 ′ ; par conséquent, l’arc restant [par soustraction de (arc GX + arc XM) de 180 °] de l’apogée à la troisième opposition arc GL = 57° 43′. Mais l’arc BG = 37° 52′, donc l’arc restant [par soustraction] de l’apogée à la seconde opposition, arc LB = 19° 51′. De même, puisque l’arc AB = 75° 43′, alors l’arc restant [par soustraction] de la première opposition à l’apogée arc AL = 55° 52′.

Ainsi, puisque le centre de l’épicycle n’est pas porté sur cet excentrique, mais sur celui tracé autour du centre qui est à mi-⁠chemin entre D et K et de rayon KL, nous calculerons dans l’ordre, comme nous l’avons fait pour les autres astres, les différences des intervalles apparents [en longitude vraie] sur l’écliptique qui résultent des rapports ci-⁠dessus (en les considérant comme approximativement corrects), si nous transférons le chemin de l’épicycle à l’excentrique en question, ce qui produit l’anomalie écliptique [c’est-⁠à-⁠dire l’équant].

Traçons dons à nouveau, pour cette démonstration, le diagramme de la première opposition, mais avec l’astre moins avancé en longitude que l’apogée L . Alors, puisque l’angle de la position moyenne en longitude ∠ NZX (= ∠ DZH) = 55° 52′ où quatre angles droits font 360°, ou 111;44^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 111° 44′ et l’arc ZH = 68° 16′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DH = 99;20^p et ZH = 67;20^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où la distance entre les centres DZ = 3;34^p et le rayon de l’excentrique DA = 60^p, DH = 2;57^p et ZH = 2;00^p. Et puisque DA² − DH² = AH², AH = 59;56^p des mêmes unités. De même, puisque ZH = ΘH, et ΘE = 2DH, alors la droite entière [par addition] AΘ = 61;56^p où EΘ = 5;54^p. Ainsi, l’hypoténuse [du triangle rectangle ΘAE] AE = 62;13^p des mêmes unités. Alors où l’hypoténuse AE = 120^p, EΘ = 11;21^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc EG ≈ 10° 51′. Par conséquent, ∠ EAΘ = 10;51^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ.

En outre, puisque EΘ = 5;54^p, le rayon de l’excentrique ZX = 60^p, et ZΘ = 4^p — donc la droite entière [par addition] ΘX = 64^p —, alors nous trouvons que l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 64;16^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse EX = 120^p, ΘE = 11;02^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc ΘE = 10° 33′. Conséquemment, ∠ EXΘ = 10 ;33^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons démontré que ∠ EAΘ = 10;51^ꝏ des mêmes unités. Par conséquent, l’angle de la différence recherchée ∠ AEX = 0;18^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 0° 09′ où quatre angles droits font 360°. Mais l’astre paraissait, à la première opposition, sur la droite AE, à 1° 13′ de la Balance : il est donc évident que, si le centre de l’épicycle n’était pas porté sur AL, mais plutôt sur NX, il aurait été au point X [à la première opposition] et l’astre aurait été vu le long de la ligne EX, à 9′ en avant [à l’ouest] de sa position [réelle] en A, à 1° 04′ de la Balance.

Dessinons à nouveau le diagramme de la deuxième opposition, [comme] dans la [dernière] démonstration, mais où la planète est à l’arrière de l’apogée . Puisqu’il a été démontré que l’arc de l’excentrique NX = 19° 51′, alors ∠ NZX (= ∠ DZH verticalement opposé) = 19° 51′ où quatre angles droits font 360°, ou 39;42^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 39° 42′ et l’arc ZH = 140° 18′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DH = 40;45^p et ZH = 112;52^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où DZ = 3;34^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DH = 1;13^p et ZH = 3;21^p. Et, puisque DB² − DH² = BH², alors BH ≈ 59;59^p des mêmes unités.

De même, puisque ZH = HΘ et que EΘ = 2DH, alors nous aurons la droite entière [par addition] BΘ = 63;20^p où EΘ = 2;26^p ; conséquemment, l’hypoténuse [du triangle rectangle BEΘ] EB = 63;23^p des mêmes unités. Donc où l’hypoténuse BE = 120^p, la droite EΘ = 4;36^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEΘ, l’arc EΘ = 4° 24′ ; donc, ∠ EBΘ = 4;24^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. De même, où le rayon de l’excentrique XZ = 60^p, nous calculons que ZΘ = 6;42^p ; donc nous aurons la droite entière [par addition] XΘ = 66;42^p où EΘ = 2;26^p. Par conséquent, nous trouvons que l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 66;45^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse EX = 120^p, EΘ = 4;23^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc EΘ = 4° 12′. Donc ∠ EXΘ = 4;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons démontré que ∠ EBΘ = 4;24^ꝏ des mêmes unités ; donc l’angle restant [par soustraction] ∠ BEX = 0;12^ꝏ des mêmes unités, ou 0° 06′ où quatre angles droits font 360° .

Ici aussi, il est donc clair que, puisqu’à la deuxième opposition, l’astre était vu le long de EB à 9° 40′ du Sagittaire, si, au lieu de cela, il était vue le long de EX, il serait à 9° 46′ du Sagittaire. Et nous avons [aussi] montré qu’à la première opposition, il aurait été à 1° 04′ de la Balance. Il est donc clair que l’intervalle en [longitude] apparente de la première à la seconde opposition, s’il était pris par rapport à l’excentrique NX, serait de 68° 42′ de l’écliptique.

Dessinons maintenant, pour la démonstration de la troisième opposition, le même diagramme que pour la seconde. Puisque nous avons démontré que l’arc NX = 57° 43′, alors ∠ NZX (= ∠ DZH) = 57° 43′ où quatre angles droits font 360°, ou 115;26^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 115° 26′ et l’arc ZH = 64° 34′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DH = 101;27^p et ZH = 64;06^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où DZ = 3;34^p et le rayon de l’excentrique DG = 60^p, DH = 3;01^p et ZH = 1;54^p. De plus, puisque DG² − DH² = GH², alors GH = 59;56^p des mêmes unités.

De même, puisque ZH = ΘH et EΘ = 2DH, alors la droite entière [par addition] GΘ = 61;50^p où EΘ = 6;02^p ; par conséquent, l’hypoténuse [du triangle rectangle GEΘ] EG = 62;08^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse GE = 120^p, EΘ = 11;39^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEΘ, l’arc EΘ ≈ 11° 09′. Donc ∠ EGΘ = 11;09^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. De même, puisque le rayon de l’excentrique XZ = 60^p, ZΘ = 3;48^p : nous aurons donc la droite entière [par addition] XΘ = 63;48^p où EΘ = 6;02^p, donc l’hypoténuse [du triangle rectangle EΘX] EX = 64;05^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse EX = 120^p, EΘ = 11;18^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle EΘX, l’arc EΘ = 10° 49′. Donc ∠ EXΘ = 10;49^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons démontré que ∠ EGΘ = 11;09^ꝏ des mêmes unités ; donc l’angle restant [par soustraction] ∠ GEX = 0;20^ꝏ des mêmes unités, ou 0° 10′ où quatre angles droits font 360°. Ainsi, puisqu’à la troisième opposition, l’astre était vu le long de la droite EGà 14° 14′ du Capricorne, il est clair que, s’il avait été sur la droite EX, il aurait été à 14° 24′ du Capricorne, et l’intervalle de la deuxième opposition à la troisième en [longitude] apparente, pris par rapport à l’excentrique NX, aurait été de [14° 24′ du Capricorne − 9° 46′ du Sagittaire =] 34° 38′.

Avec ces données, nous trouvons donc par le même théorème que la distance entre les centres de l’écliptique et de l’excentrique qui produit le mouvement uniforme de l’épicycle (c’est-⁠à-⁠dire la distance égale à EZ ) est d’environ 6;50^p où le diamètre de l’excentrique est de 120^p, et que les arcs de ce même excentrique mesurent, de la première opposition à l’apogée, 57° 05′ ; de l’apogée à la deuxième opposition, 18° 38′ ; et de l’apogée à l’apogée troisième opposition, 56° 30′.

La preuve que les quantités ci-⁠dessus ont été obtenues avec précision est que les différences des arcs de l’écliptique sont à peu près les mêmes que [pour l’opposition] précédente, et que les intervalles apparents [en longitude] de l’astre sont conformes à ceux observés, comme nous le démontrerons par une procédure similaire [à celles utilisées pour Jupiter et pour Mars].

Traçons le schéma de la première opposition, avec seulement l’excentre portant le centre de l’épicycle. Puisque l’angle AZL sous-tend 57° 05′ de l’excentrique [c’est-⁠à-⁠dire l’équant] [∠ AZL = 57° 05′] où quatre angles droits font 360°, et que ∠ AZL = ∠ DZH (verticalement opposé) = 114;10^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 114° 10′ et l’arc ZH = 65° 50′ restants [son supplément]. Donc les cordes correspondantes DH = 100;44^p et ZH = 65;13^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où la distance entre les centres DZ = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DA = 60^p, DH = 2;52^p et ZH = 1;51^p.

Or, puisque AD² − DH² = AH², alors AH = 59;56^p des mêmes unités. De même, puisque ZH = HΘ et EΘ = 2DH, alors la droite entière [par addition] AΘ = 61;47^p où EΘ = 5;44^p ; par conséquent, l’hypoténuse [du triangle rectangle AEΘ] AE = 62;03^p des mêmes unités .

Donc, où l’hypoténuse AE = 120^p, EΘ = 11;05^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle AEΘ, l’arc EΘ = 10° 36′ ; ainsi, ∠ EAZ = 10;36^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais par hypothèse, ∠ AZL = 114;10^ꝏ des mêmes unités ; alors l’angle restant [par soustraction] ∠ AEL = 103;34^ꝏ des mêmes unités, ou 51° 47′ où quatre angles droits font 360°. Cela [51° 47′] était donc l’angle par lequel l’astre était en avance [à l’ouest] sur l’apogée dans la première opposition.

Traçons maintenant le diagramme de la deuxième opposition de la même manière. Puisqu’il a été démontré que ∠ BZL = 18° 38′ où quatre angles droits font 360°, alors ∠ BZL = ∠ DZH (verticalement opposé au sommet) = 37;16^ꝏ où deux angles droits font 360°. Donc, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 37° 16′ et l’arc ZH = 142° 44′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DH = 38;20^p et ZH = 113;43^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc où DZ = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, alors DH = 1;05^p et ZH = 3;14^p. Et puisque DB² − DH² = BH², alors nous avons BH = 59;59^p des mêmes unités. De même, puisque ZH = HΘ et EΘ = 2DH, alors la droite entière [par addition] BΘ = 63;13^p où EΘ = 2;10 ; c’est pourquoi l’hypoténuse [du triangle rectangle BEΘ] EB = 63;15^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse EB = 120^p, ΘE = 4 07^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEΘ, l’arc ΘE = 3° 56′. Ainsi, ∠ EBZ = 3;56^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons vu que ∠ BZL = 37;16^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle restant [par soustraction] ∠ BEL = 33;20^ꝏ des mêmes unités, ou 16° 40′ où quatre angles droits font 360°.

Donc, dans la deuxième opposition, la position apparente de l’astre était de 16° 40′ derrière [à l’est de] l’apogée, et nous avons démontré qu’à la première opposition, il était à 51° 47′ en avant [à l’ouest] de la même apogée : par conséquent, l’intervalle en [longitude] apparente de la première opposition à la seconde est la somme de ces quantités, soit 68° 27′, conformément à la distance trouvée à partir des observations.

Dessinons maintenant le diagramme de la troisième opposition. Puisque ∠ GZL = 56° 30′ où quatre angles droits font 360°, tel que démontré, et que ∠ GZL = ∠ DZH (verticalement opposés par leurs sommets) = 113^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, alors dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZH, l’arc DH = 113° et l’arc ZH = 67° restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DH = 100;04^p et ZH = 66;14^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où DZ = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DG = 60^p, alors DH = 2;51^p et ZH = 1;53^p. En outre, puisque DG² − DH² = GH², nous avons GH = 59;56^p des mêmes unités. De même, puisque ZH = HΘ et EΘ = 2DH, alors la droite entière [par addition] GΘ = 61;49^p où EΘ = 5;42^p ; donc l’hypoténuse [du triangle rectangle GEΘ] EG = 62;05^p des mêmes unités. Donc, où l’hypoténuse GE = 120^p, EΘ = 11;01^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle GEΘ, l’arc EΘ = 10° 32′. Ainsi, ∠ EGΘ = 10;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons vu que ∠ GZL = 113^ꝏ des mêmes unités, donc l’angle restant [par soustraction] ∠ GEL = 102;28^ꝏ  des mêmes unités, ou 51° 14′ où quatre angles droits font 360°. Cela [51° 14′], est donc l’angle par lequel l’astre était à l’arrière (à l’est) de l’apogée dans la troisième opposition. Et nous avons montré que dans la seconde opposition, il se trouvait à 16° 40′ derrière [à l’est de] la même apogée ; ainsi, la distance en [longitude] apparente de la deuxième opposition à la troisième est égale à la différence, soit [51° 14′ − 16° 40′ =] 34° 34′, qui est, encore une fois, conforme à celle dérivée des observations.

Par conséquent, puisque dans la troisième opposition, l’astre était à 14° 14′ du Capricorne, et qu’il a été démontré qu’il était alors à 51° 14′ derrière [à l’est de] l’apogée, alors l’apogée de son excentrique était à ce moment à 23° du Scorpion, tandis que son périgée était diamétralement opposé à 23° du Taureau.

Ainsi, si nous traçons [comme précédemment] l’épicycle HΘ autour du centre G, nous obtenons la position moyenne de l’épicycle en longitude à partir de l’apogée de l’excentrique, soit 56° 30′ (tel que démontré), et l’arc de l’épicycle ΘK = 5° 16′ (puisque nous aovns démontré que ∠ EGZ = 10;32^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ). Donc, par soustraction [de 180°], l’arc de l’apogée de l’épicycle à la planète HΘ = 174° 44′. Ainsi, dans la troisième opposition — à savoir dans la 20^e année d’Hadrien, le 24 du [mois] égyptien de mésori, à midi, l’astre Saturne était à 56° 30′ de l’apogée de l’excentrique ( c’est-⁠à-⁠dire que sa longitude [moyenne] était de 19° 30′) et à 174° 44′ en anomalie depuis l’apogée de l’épicycle.

6. Détermination de la taille de l’épicycle de Saturne

Pour déterminer la taille de l’épicycle, nous avons pris une observation que nous avons faite dans la deuxième année d’Antonin, du 6 au 7 [du mois] égyptien méchir [22/23 décembre 138]. Il était 4 heures équinoxiales avant minuit ; l’astrolabe montrait le dernier degré du Bélier au méridien, et le soleil moyen était à 28° 41′ du Sagittaire. À ce moment, l’astre Saturne, comparé à l’étoile brillante des Hyades, paraissait à 9⁠1⁄15° du Verseau et était à environ 1⁄2° derrière le centre de la Lune (parce qu’il était à cette distance de la corne nord du croissant). Or, à ce moment, la Lune était à 8° 55′ du Verseau en mouvement moyen, et à 174° 15′ de l’apogée de l’épicycle en anomalie. Par conséquent, sa véritable position devait être de 9° 40′ du Verseau et sa longitude apparente à Alexandrie de 8° 34′ du Verseau.

Ainsi, l’astre Saturne devait être à 9⁠1⁄15° du Verseau (puisqu’il était environ 1⁄2° derrière le centre de la Lune), et à 76° 04′ de l’apogée de l’excentrique [qui était à la même position qu’à la troisième opposition], puisque son décalage sur un si court intervalle est négligeable.

Or l’intervalle de la troisième opposition à cette observation est de 2 années égyptiennes, 167 jours, et 8 heures. Les mouvements [moyens] de Saturne sur cet intervalle, calculés grossièrement, sont de 30° 03′ en longitude et de 134° 24′ en anomalie. Si nous ajoutons ces valeurs aux positions de la troisième opposition trouvées ci-⁠dessus, nous obtenons, pour l’instant de l’observation en question une longitude [moyenne] de 86° 33′ depuis l’apogée de l’excentrique, et une anomalie de 309° 08′ depuis l’apogée de l’épicycle.

Partant de cela, traçons à nouveau un diagramme de la même démonstration [que pour Mars et Jupiter], mais avec l’épicycle situé en arrière [suivant / à l’est] de l’apogée de l’excentrique, et la planète en avant [précédant / à l’ouest] de l’apogée de l’épicycle, conformément à leurs positions données.

Puisque, par hypothèse, ∠ AZB (= ∠ DZM) = 86° 33′ où quatre angles droits font 360°, ou 173;06^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZM, l’arc DM = 173° 06′ et l’arc ZM = 6° 54′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes DM = 119;47^p et ZM = 7;13^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Par conséquent, où la distance entre les centres DZ = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, DM ≈ 3;25^p et ZM = 0;12^p. Et puisque DB² − DM² = BM², nous avons BM = 59;54^p des mêmes unités. De même, puisque ZM = ML et que EL = 2DM, alors la droite entière [par addition] BL = 60;06^p où EL = 6;50^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle BEL] EB = 60;29^p des mêmes unités. Alors, où l’hypoténuse EB = 120^p, EL = 13;33^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEL, l’arc EL = 12° 58′. Donc ∠ EBZ = 12;58^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous supposons que ∠ AZB = 173;06^ꝏ des mêmes unités ; alors, l’angle restant [par soustraction] ∠ AEB = 160;08^ꝏ des mêmes unités. Mais l’angle représentant la distance apparente de la planète à l’apogée a été donné : ∠ AEK = 76° 04′ où quatre angles droits font 360°, ou 152;08^ꝏ  où deux angles droits font 360^ꝏ ; donc l’angle restant [par soustraction] ∠ KEB = 8;00^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BEN, l’arc BN = 8° et BN = 8;22^p où l’hypoténuse EB = 120^p. Par conséquent, où EB = 60;29^p  et le rayon de l’excentrique est de 60^p, BN = 4;13^p.

En outre, puisque l’astre était à 309° 08′ de l’apogée H de l’épicycle, alors l’arc restant [par soustraction de 360°] HK = 50° 52′ et ∠ HBK = 50° 52′ où quatre angles droits font 360°, ou 101;44°° où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais nous avons trouvé que ∠ EBZ (= ∠ HBΘ) = 12;58^ꝏ ; donc l’angle restant [par soustraction] ∠ ΘBK = 88;46^ꝏ où ∠ KEB = 8^ꝏ et l’angle restant [par soustraction] ∠ BKN = 80;46^ꝏ des mêmes unités. Par conséquent, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BKN, l’arc BN = 80° 46′ et la droite BN = 77;45^p où l’hypoténuse BK = 120^p. Par conséquent, où il a été démontré que BN = 4;13^p et où le rayon de l’excentrique est 60^p, alors le rayon de l’épicycle BK ≈ 6 1⁄2^p.

Ainsi, nous avons démontré que l’apogée de Saturne, au début du règne d’Antonin, était à 23° du Scorpion et que, où le rayon de l’excentrique portant l’épicycle est de 60^p, la distance entre les centres de l’écliptique et de l’excentrique qui produit le mouvement uniforme est de 6;50^p et le rayon de l’épicycle est de 6;30^p.

7. De la correction des mouvements périodiques de Saturne

Pour la démonstration restante de la correction des mouvements périodiques, nous avons de nouveau choisi l’une des observations anciennes les mieux décrites. Elle nous indique que dans la 82^e année des chaldéens, le 5 du [mois de] xanthikos au soir, l’astre Saturne était à 2 doigts [10′] sous l’épaule sud de la Vierge. Ce moment était dans la 519^e année de Nabonassar, au soir du 14 tybi égyptien [1^er mars −228], alors que le soleil moyen était à 6° 10′ des Poissons. Mais [l’étoile] fixe sur l’épaule sud de la Vierge, au moment de notre observation, était à 13⁠1⁄6° de la Vierge ; ainsi, au moment de l’observation en question, puisqu’aux 366 années écoulées correspond un mouvement des [étoiles] fixes d’environ 3⁠2⁄3°, elle était à 9⁠1⁄2° de la Vierge, où était aussi l’astre [Saturne], puisqu’elle était à 2 doigts au sud de [l’étoile] fixe. De même, puisque nous avons démontré qu’à notre époque, l’apogée [de Saturne] était à 23° du Scorpion, il devait être, au moment de l’ancienne observation, à 19⁠1⁄3° du Scorpion. Nous en concluons donc qu’au moment ci-⁠dessus, l’astre semblait alors éloigné de l’apogée de 290° 10′ sur l’écliptique et que le soleil moyen était à 106° 50′ de la même apogée.

Partant de cela, dessinons un diagramme comme pour la même démonstration [pour Mars et Jupiter], [mais] avec l’épicycle situé en avant [précédant / à l’ouest] de l’apogée de l’excentrique, et le soleil [moyen] en avant du périgée, avec le rayon du centre de l’épicycle à la planète parallèle à [la ligne indiquant] la position du soleil. Puisque Saturne semblait alors précéder l’apogée de 69° 50′ du supplément [de 290° 10′] d’une circonférence, l’angle au centre de l’écliptique ∠ AEΘ = 69° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 139;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais l’angle de la distance du soleil [depuis l’apogée], par supposition, ∠ AEL = 106° 50′ où quatre angles droits font 360°, ou 213;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Donc l’angle entier [par addition] ∠ ΘEL (= ∠ BΘE, puisque BΘ est parallèle à EL) = 353;20^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle restant [par soustraction de ∠ BΘE de deux angles droits] ∠ BΘN = 6;40^ꝏ des mêmes unités. Ainsi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BΘN, l’arc BN = 6° 40′ et la droite BN = 6;58^p où l’hypoténuse BΘ = 120^p. Donc où le rayon de l’épicycle, BΘ = 6;30^p, BN = 0;23^p.

De même, puisque ∠ AEΘ = 139;40^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et que ∠ EDM = 40;20^ꝏ  des mêmes unités [son supplément], dans le cercle autour du triangle rectangle DEM, l’arc DM = 139° 40′ et la droite DM = 112;39^p où l’hypoténuse ED = 120^p. Donc, où la distance entre les centres ED = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, la droite DM (= XN) = 3;12^p et la droite entière [par addition] BNX = 3;35^p  où l’hypoténuse [du triangle rectangle BDX] DB = 60^p. Par conséquent, où DB = 120^p, BX = 7;10^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BDX, l’arc BX = 6° 52′. Donc ∠ BDX = 6;52^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ et l’angle restant [par soustraction d’un angle droit] ∠ BDM = 173;08^ꝏ des mêmes unités [son supplément] ; par conséquent, l’angle entier [addition de ∠ EDM] ∠ BDE = 213;28^ꝏ des mêmes unités et l’angle restant [par soustraction de deux angles droits] ∠ BDA = 146;32^ꝏ des mêmes unités. C’est pourquoi, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle DZK, l’arc ZK = 146° 32′ et l’arc DK = 33° 28′ restants [son supplément]. Par conséquent, les cordes correspondantes ZK = 114;55^p et DK = 34;33^p où l’hypoténuse DZ = 120^p. Donc, où la distance entre les centres DZ = 3;25^p et le rayon de l’excentrique DB = 60^p, ZK = 3;17^p et DK = 0;59^p et le restant [par soustraction de DB] KB = 59;01^p où ZK = 3;17^p. Donc l’hypoténuse [du triangle rectangle BZK] ZB = 59;06^p des mêmes unités. Par conséquent, où l’hypoténuse ZB = 120^p, ZK = 6;40^p et, dans le cercle circonscrit (de 360°) au triangle rectangle BZK, l’arc ZK = 6° 22′. D’où ZBK = 6;22^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ. Mais ∠ ADB = 146;32^ꝏ des mêmes unités ; donc l’angle total représentant la position moyenne en longitude AZB = 152;54^ꝏ des mêmes unités, soit 76° 27′ où quatre angles droits font 360°.

Par conséquent, au moment de l’observation ci-⁠dessus, Saturne était à 283° 33′ de l’apogée en mouvement moyen (c’est-⁠à-⁠dire qu’il était à [19° 20′ du Scorpion + 283° 33′ =] 2° 53′ de la Vierge. Aussi, le soleil moyen étant à 106° 50′, si nous ajoutons à cela les 360° d’une révolution (ce qui donne 466° 50′) et soustrayons les 283° 33′ de longitude [depuis l’apogée], nous obtenons pour ce moment 183° 17′ d’anomalie depuis l’apogée de l’épicycle.

Ainsi, puisque nous avons prouvé qu’au moment de l’observation ci-dessus, qui est dans la 519^e année de Nabonassar, le soir du 14 tybi, l’astre était à 183° 17′ [en anomalie] depuis l’apogée de l’épicycle et que, au moment de la troisième opposition, arrivée en l’an 883 de Nabonassar, à midi le 24 mésori, il en était à 174° 44′, il est évident que dans l’intervalle entre les observations, qui comprend 364 années égyptiennes et 219⁠3⁄4 jours, l’astre Saturne s’est déplacé de 351° 27′ (en plus des révolutions complètes en anomalie ). C’est encore en accord avec le surplus ou excédent que donnent [les tableaux pour] les mouvements moyens que nous avons construits ; le mouvement moyen quotidien se trouvant en divisant le total en degrés des révolutions complètes et de l’excédent par nombre de jours [de l’intervalle] de temps.

8. De l’époque des mouvements périodiques de Saturne

Et depuis la première année de Nabonassar, thout 1, à midi, jusqu’à l’observation ancienne [précédemment mentionnée] est de 518 années égyptiennes et 133⁠1⁄4 jours, et cet intervalle comprend des excédents de 216° 10′ en longitude et 149° 15′ en anomalie ; si nous soustrayons ces valeurs des positions [données par] l’observation, nous trouvons pour cette époque que l’astre Saturne était à 26° 43′ du Capricorne en mouvement moyen, et à 34° 02′ de l’apogée de l’épicycle en anomalie. Par conséquent, nous trouvons que l’apogée de son excentrique était à 14° 10′ du Scorpion.

9. De la détermination géométrique des lieux vrais par les mouvements périodiques

À l’inverse, étant donnés les arcs [des mouvements] périodiques de l’excentrique qui produit le mouvement moyen uniforme [l’équant] et de l’épicycle, les positions apparentes des astres [planètes] sont facilement obtenues géométriquement, comme nous allons le voir.

En effet, dans le diagramme simple de l’excentrique et de l’épicycle, nous joignons les droites ZBΘ et EBH. Puis, la position moyenne en longitude étant donnée, c’est-⁠à-⁠dire ∠ AZB, d’après ce que nous avons prouvé précédemment, selon les deux hypothèses, ∠ AEB ainsi que ∠ EBZ (qui est le même que ∠ HBΘ) seront aussi donnés, ainsi que le rapport du rayon EB [de l’excentrique] au rayon de l’épicycle. Si nous supposons aussi que l’astre est situé sur l’épicycle, disons au point K, et que, une fois EK et BK joints, l’arc ΘK est donné, alors, si au lieu de tracer, depuis le centre l’épicycle B, la perpendiculaire à EK (comme dans la démonstration inverse), nous traçons la perpendiculaire (ici KL) de la planète K à EB, alors ∠ HBK sera donné [par addition des angles donnés ∠ ΘBK et ∠ HBΘ] ainsi que le rapport de KL et LB à BK et à EB ; par conséquent, le rapport de la droite entière EBL à LK sera aussi donné. Ainsi, l’angle ∠ LEK étant donné, nous aurons calculé l’angle ∠ AEK qui comprend la distance apparente entre l’astre et l’apogée.

10. Construction d’un tableau des anomalies

Cependant, pour éviter de toujours calculer géométriquement les positions apparentes — bien que ce soit le meilleur moyen d’obtenir des résultats précis, mais aussi le plus difficile et le plus long —, nous avons dressé pour chacune des cinq planètes un tableau facile à utiliser et très proche d’exactitude. Il contient les anomalies individuelles des 5 planètes, afin de pouvoir trouver n’importe quelle position apparente, selon leurs mouvements périodiques depuis leur apogée respective.

Nous avons disposé symétriquement ces tableaux en 45 lignes et 8 colonnes . Les 2 premières colonnes contiendront les quantités des positions moyennes disposées comme pour le Soleil et la Lune, la première donnant les 180 degrés depuis l’apogée, de haut en bas, et la seconde les autres 180 degrés du demi-cercle restant, de bas en haut, de sorte que le nombre 180 se trouve en bas de chaque colonne et que l’incrément des nombres soit de 6° dans les 15 premières lignes, mais dans les 30 lignes restantes de 3° — puisque les différences entre les valeurs [successives] des anomalies restent faibles près de l’apogée, mais varient plus vite près du périgée. Quant aux deux colonnes suivantes, la troisième contiendra les quantités, calculées pour la plus grande excentricité, à ajouter ou retrancher (appelées prostaphérèses) à la position moyenne en longitude (correspondant à l’argument d’une ligne), mais simplement comme si le centre de l’épicycle était porté sur l’excentrique qui produit le mouvement moyen [c’est-⁠à-⁠dire l’équant]. La quatrième colonne contiendra les prostaphérèses [corrections aux équations] causées par le fait que le centre de l’épicycle est porté, non pas sur le cercle mentionné ci-⁠dessus, mais sur un autre.

La méthode par laquelle ces quantités [l’équation et sa correction], tant combinées que séparées, peuvent être trouvées géométriquement a déjà été rendue claire par les théorèmes précédents. Ici, puisqu’il s’agit d’une compilation, il convenait d’exposer cette façon de séparer l’anomalie zodiacale, et donc de l’énoncer sur deux colonnes, bien qu’en pratique, une seule colonne formée en combinant les deux suffira.

Chacune des trois colonnes suivantes contiendra les prostaphérèses de l’épicycle, aussi calculées simplement — [en supposant] que l’apogée ou le périgée de l’épicycle est vu le long de la ligne allant de l’observateur [au centre de l’épicycle]. La démonstration en est également facile d’après les théorèmes précédents. Celle du milieu de ces trois colonnes (la sixième depuis le début) contiendra les prostaphérèses pour le rapport [du rayon de l’épicycle à la distance du centre de l’épicycle] à la distance moyenne ; la cinquième, la différence entre la prostaphérèse à la plus grande distance [de l’épicycle] et la prostaphérèse à la distance moyenne ; et la septième, les différences entre la prostaphérèse à distance minimale et la prostaphérèse à distance moyenne. Car nous avons démontré que le rayon de l’épicycle est pour Saturne (puisqu’il est préférable de commencer par les plus hautes) de 6;30^p, pour Jupiter de 11;30^p, pour Mars de 39;30^p, pour Vénus 43;10^p, et pour Mercure de 22;30^p — ; la distance moyenne, c’est-⁠à-⁠dire celle du rayon de l’excentrique qui porte l’épicycle, est de 60^p dans tous les cas ; la plus grande distance par rapport au centre de l’écliptique est pour Saturne de 63;25^p, pour Jupiter de 62;45^p, pour Mars de 66^p, pour Vénus de 61;15^p, et pour Mercure de 69^p ; de même, la plus petite distance est pour Saturne de 56;35^p, pour Jupiter de 57;15^p, pour Mars de 54^p, pour Vénus de 58;45^p, et pour Mercure de 55;34^p.

Nous avons inclus la huitième et dernière colonne afin de pouvoir trouver la fraction applicable des différences ci-⁠dessus [colonnes 5 et 7] lorsque l’épicycle de la planète n’est pas exactement à sa distance moyenne, maximale, ou minimale, mais dans une position intermédiaire. Nous avons calculé cette correction [seulement] pour les plus grandes prostaphérèses [corrections] (soit celles formées par la tangente de l’observateur à l’épicycle) à chaque distance intermédiaire, parce que les corrections des autres prostaphérèses, pour d’autres points de l’épicycle, sont sensiblement les mêmes.

Mais pour expliquer plus clairement la méthode réelle de calcul des prostaphérèses à appliquer, traçons la droite ABGD passant par les deux centres (de l’écliptique et de l’excentrique produisant le mouvement uniforme de l’épicycle). Soit G le centre de l’écliptique et B le centre du mouvement uniforme de l’épicycle [le point équant]. Traçons la droite BEZ, décrivons l’épicycle ZH autour du centre E, et traçons sa tangente GH à partir de G. Joignons GE et traçons la perpendiculaire EH. Supposons, par exemple, pour chacune des cinq planètes que le centre de l’épicycle est à 30° de l’apogée de l’excentriquee en mouvement moyen. Puisque, pour éviter d’allonger le texte en répétant la même chose, nous avons longuement démontré dans ce qui précède, dans l’hypothèse de Mercure et [celle] des autres planètes, que si ∠ ABE est donné, le rapport de GE au rayon HE de l’épicycle est également donné — par le calcul fait pour chaque planète, où ∠ ABE = 30° où quatre angles droits font 360°, ce rapport revient à 63;02 : 6;30 pour Saturne, 62;26 : 11;30 pour Jupiter, 65;24 : 39;30 pour Mars, 61;06 : 43;10 pour Vénus , et 66;35 : 22;30 pour Mercure.

Nous obtiendrons ainsi ∠ EGH, qui comprend la prostaphérèse épicyclique maximale, et où quatre angles droits font 360°, de 5° 55⁠1⁄2′ pour Saturne, 10° 36⁠1⁄2′ pour Jupiter, 37° 09′ pour Mars, 44° 56⁠1⁄2′ pour Vénus, et 19° 45′ pour Mercure. Les plus grandes prostaphérèses à la distance moyenne se trouvent, selon les rapports susmentionnés — pour éviter les répétitions, selon l’ordre ordinaire des astres — à être de 6° 13′, 11° 03′, 41° 10′, 46° 00′, et 22° 02′ ; celles aux plus grandes distances de 5° 53′, 10° 34′, 36° 45′, 44° 48′, et 19° 02′ ; et celles aux distances minimales de 6° 36′, 11° 35′, 47° 01′, 47° 17′, et 23° 53′. Ainsi les différences entre les prostaphérères à distance moyenne et celles à distance maximale sont de 0° 20′, 0° 29′, 4° 25′, 1° 12′, et 3° 00′, tandis que les différences [entre celles à distance moyenne et] celles à distances minimales sont de 0° 23′, 0° 32′, 5° 51′, 1° 17′, et 1 51°.

Or, puisque les prostaphérèses [additions ou soustractions] des distances en question [à 30° depuis l’apogée] sont inférieures à celles à distance moyenne — différant de ces dernières de 0° 17⁠1⁄2′, 0° 26⁠1⁄2′, 4° 01′, 1° 03⁠1⁄2′, et 2° 17′, les soixantièmes des différences totales entre [les prostaphérèses] à distance moyenne et maximale sont de 52° 30′ pour Saturne, de 54° 50′ pour Jupiter, de 54° 34′ pour Mars, de 52° 55′ pour Vénus, et de 45° 40′ pour Mercure. Ce sont donc ces soixantièmes que nous mettons dans la 8^e colonne de chaque tableau, sur la ligne contenant le nombre 30 pour le mouvement moyen en longitude.

Pour les distances qui ont des prostaphérèses supérieures à celles des moyennes, nous avons aussi réduit leurs différences à des soixantièmes, mais exprimées en fractions des prostaphérèses à distance minimale et non maximale. De même, nous avons calculé pour les autres positions [de l’épicycle] à intervalles de 6° de longitude moyenne, et placé les résultats, en soixantièmes, vis-⁠à-⁠vis des nombres appropriés [de la première colonne]. La taille des différences est sensiblement la même, comme nous l’avons dit, même si la position de l’astre n’est pas dans la plus grande prostaphérèse de l’épicycle, mais à un autre point de l’épicycle.

La disposition des cinq tableaux est la suivante.

11. Tableaux des équations en longitude des cinq planètes

[NdT : Des versions corrigées de ces tableaux sont disponibles 📈.]

Saturne 📈

Apogée : 14° 10′ du Scorpion

Jupiter 📈

Apogée : 2° 09′ de la Vierge

Mars 📈

Apogée : 16° 40′ du Cancer

Vénus 📈

Apogée : 16° 10′ du Taureau

Mercure 📈

Apogée : 1° 10′ de la Balance

12. Calcul de la longitude des cinq planètes

Quand nous voulons déterminer la position apparente de l’un des astres à partir des mouvements périodiques en longitude et en anomalie [ci-⁠dessus], nous effectuons le calcul numérique (le même pour chacun des cinq astres) de la manière suivante.

À partir des tables de mouvement moyen, nous calculons les positions moyennes en longitude et anomalie pour le moment requis (par addition et en rejetant les révolutions complètes). Puis, prenant comme argument la distance de l’apogée de l’excentrique à ce moment à la position moyenne en longitude, nous entrons dans le tableau des anomalies de l’astre, et nous prenons la valeur de la prostaphérèse dans la troisième colonne, ainsi que celle (en soixantièmes) de la quatrième colonne ; nous soustrayons le résultat de la longitude [moyenne] et l’ajoutons à l’anomalie si l’argument en longitude [le centrum moyen] est dans la première colonne, mais s’il est dans la deuxième colonne, nous ajoutons le résultat à la longitude et le soustrayons de l’anomalie, pour obtenir les deux positions corrigées.

Ensuite, nous entrons avec l’anomalie corrigée depuis l’apogée [de l’épicycle] dans [une des] deux premières colonnes, et notons séparément la prostaphérèse de la sixième colonne (qui est pour la distance moyenne). De même, nous entrons avec la longitude moyenne d’auparavent comme argument ; si elle est dans les lignes supérieures, plus proches de l’apogée que la distance moyenne (ce qui se voit dans les soixantièmes de la huitième colonne), nous prenons le nombre correspondant de soixantièmes dans cette huitième colonne, prenons dans la cinquième colonne (pour la plus grande distance) la valeur sur la même ligne que celle de la prostaphérèse à distance moyenne qui a été notée à part, formons la fraction de cette [inscription pour la] différence correspondant au nombre de soixantièmes ci-⁠dessus, et soustrayons le résultat du montant que nous avons noté séparément.

Mais si l’argument de la longitude ci-⁠dessus [le centrum moyen] est dans les lignes inférieures, plus proches du périgée que la distance moyenne, nous prenons le nombre de soixantièmes dans la huitième colonne, comme précédemment, prenons dans la septième colonne (pour la distance minimale) la valeur correspondant à la prostaphérèse pour la [distance] moyenne qui a été notée séparément, formons la fraction de cette différence correspondant au nombre de soixantièmes ci-⁠dessus, et ajoutons le résultat au nombre que nous avons noté séparément.

Le résultat sera l’équation corrigée [de l’anomalie] ; si elle est dans la première colonne, nous l’ajoutons au montant de la longitude corrigée, mais nous la soustrayons si elle est dans la deuxième colonne. En comptant depuis l’apogée de la planète à ce moment, nous atteignons ainsi sa position apparente.

Fin du onzième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC