Préface     🞄     Livre 1     🞄     Livre 2     🞄     Livre 3     🞄     Livre 4     🞄     Livre 5     🞄     Livre 6     🞄     Livre 7     🞄     Livre 8     🞄     Livre 9     🞄     Livre 10     🞄     Livre 11     🞄     Livre 12     🞄     Livre 13     🞄     Glossaire

1. De la situation, en général, de la partie habitée de la Terre

Nous avons donné, dans le premier livre de notre traité, les notions préliminaires sur la situation du cosmos qui devaient être expliquées, et les théorèmes concernant la sphaera recta qui pourraient être utiles pour la suite du traité. Dans les prochaines parties, nous tenterons aussi bien que possible de développer les théorèmes les plus important sur la sphaera obliqua aussi.

Des remarques générales sur le sujet s’imposent d’abord. Si l’on considère la Terre comme partagée en quatre parties par l’équateur et l’un des cercles qui passent par les pôles de l’équateur, notre partie du monde habité est approximativement ceinte par l’un des deux quartiers nordiques. La preuve en est par la latitude, c’est-à-dire, du midi [sud] vers les [constellations des] ourses : les ombres des gnomons, à midi aux équinoxes, sont toujours dirigées vers les ourses, et jamais vers le midi. Pour ce qui est de la longitude, soit d’est en ouest, on peut en être sûr parce que les observations d’une même éclipse, surtout les lunaires, par les gens situés à l’extrême ouest et à l’extrême ouest n’avancent et ne retardent jamais, ni pour les uns, ni pour les autres, de plus de douze heures équinoxiales, et qu’un quart de la Terre, dans le sens de la longitude, contient douze heures, puisqu’il est borné par un des demi-cercles perpendiculaires à l’équateur.

Les caractéristiques qu’il importe de connaître par rapport à ce sujet [de la sphaera obliqua] sont les plus importants phénomènes spécifiques à chacun des cercles parallèles à l’équateur du côté nord ainsi qu’aux régions habitées situées sous ces parallèles, soit : la distance des pôles du cercle du premier mouvement [l’équateur] à l’horizon — autrement dit, la distance entre le point vertical [zénith] et l’équateur, le long du méridien — ; les endroits pour lesquels le Soleil peut se trouver à la verticale, de même que quand et à quelle fréquence cela se produit ; le rapport des ombres équinoxiales et tropiques des gnomons à midi ; la longueur des plus longs et plus courts jours comparés aux jours des équinoxes ; l’accroissement et la diminution de la durée du jour et de la nuit ainsi que leurs circonstances ; les levers et couchers simultanés [d’arcs] de l’équateur et [d’arcs] de l’écliptique ; ainsi que les propriétés et grandeurs des angles formés par les principaux grands cercles.

2. La durée du plus long jour donnée, comment trouver les arcs de l’horizon entre l’équateur et l’écliptique

Prenons pour exemple général le cercle parallèle à l’équateur passant par Rhodes, où la hauteur du pôle est de 36° et où le jour le plus long dure 14⁠1⁄2 heures équinoxiales. Traçons ABGD comme étant le méridien, BED la moitié orientale de l’horizon, AEG celle de l’équateur, avec son pôle sud en Z. Supposons que le point H représente le solstice d’hiver qui se lève, et ZHΘ est un quadrant du grand cercle passant par Z et H. Si nous connaissons la longueur du plus long jour, voyons comment trouver l’arc EH de l’horizon.

Puisque la sphère céleste pivote autour des pôles de l’équateur, il est évident que H et Θ seront au méridien ABGD en même temps. Le temps entre le lever de H et sa culmination supérieure est le même que celui de l’arc équatorial ΘA, et de sa culmination inférieure à son lever est donné par GΘ. La longueur du jour est donc deux fois le temps correspondant à l’arc GΘ ; celle de la nuit, de deux fois le temps déterminé par l’arc ΘG — puisque les arcs de tous les cercles parallèles à l’équateur, qu’ils soient au-dessus de la Terre qu’en dessous, sont coupés en deux parties égales par le méridien.

L’arc EΘ est donc de la moitié de la différence entre le jour le plus long ou le plus court et le jour de l’équinoxe, soit 1¼ heure au parallèle de Rhodes, ou 18;45 degrés de temps ; son complément, l’arc ΘA, est donc de 71;15 degrés de temps. En accord avec les théorèmes précédents, les deux arcs de grands cercles EB et ZΘ sont tracés pour toucher aux arcs de grands cercles AE et AZ, se croisant en H. Nous avons donc :

∴ arc HE, son complément, est 30° sur l’horizon de 360°.

3. Les mêmes quantités étant données, comment trouver la hauteur du pôle, et vice versa

Avec les mêmes données, proposons-nous maintenant de trouver la hauteur du pôle, c’est-à-dire l’arc BZ du méridien. Dans le diagramme précédent,

Réciproquement, dans le même diagramme, posons BZ comme l’arc de la hauteur du pôle, soit 36° tel qu’observé. Nous devons trouver la différence entre le jour le plus long ou le plus court et le jour équinoxial, soit l’arc 2EΘ. Suivant les mêmes arguments,

Par les mêmes moyens encore, on peut trouver l’arc EH de l’horizon. Ainsi,

et (Crd arc 2ZA : Crd arc 2AB) est une proportion connue, alors (Crd arc 2ZΘ : Crd arc 2ΘH) l’est aussi. Donc, puisque l’arc EB est connu, l’arc EH l’est aussi.

Même si nous faisions de H, plutôt que l’endroit du solstice d’hiver, n’importe quel autre degré de l’écliptique, les arcs EΘ et EH seront connus par le même raisonnement, puisque nous avons déjà établi, dans le « Tableau des inclinaisons », l’arc de méridien compris entre l’écliptique et l’équateur pour chaque degré de l’écliptique — cet arc correspond à HΘ.

Il s’ensuit bien sûr que les points de l’écliptique croisés par un même cercle parallèle — autrement dit, les points à égale distance du même solstice — coupent des arcs de l’horizon qui sont égaux et de même côté de l’équateur, et qu’elles donnent la durée des jours et des nuits, égales, chacune à chacune de ces deux parties des nycthémères [cycle jour/nuit], qui sont semblables. Nous avons aussi démontré que les points placés sous des parallèles égaux — autrement dit, à égale distance du point équinoxial — coupent sur l’horizon des arcs égaux de chaque côté de l’équateur, et donnent les durées des jours et des nuits, réciproquement égales pour celles de ces mêmes parties, et de dénomination contraire.

Reprenons le même diagramme, et ajoutons-y le point K, où un cercle parallèle au parallèle contenant H croise le demi-cercle BED de l’horizon. Prenons maintenant, sur ces parallèles, les arcs HL et KM, alternes [opposés] et égaux. Traçons, en passant par K et le pôle nord, le quart de grand cercle PKX, l’arc ΘA sera égal à l’arc XG, parce que les deux sont proportionnels, respectivement, à LH et MK. L’arc complémentaire EΘ est donc égal à l’arc complémentaire EX. Maintenant, dans les deux triangles sphériques EHΘ et EKX, nous avons deux paires de côtés égaux correspondants — EΘ à EX, et HΘ à KX —, et les angles à Θ et à X sont droits ; la base EH est donc égale à la base KE.

4. Comment calculer pour quelles régions, quand, et à quelle fréquence le Soleil atteint le zénith

Les données ainsi obtenues nous permettent facilement de connaître pour quels points de la Terre, quand, et à quelle fréquence le Soleil passe à la verticale. De toute évidence, le Soleil ne passe jamais à la verticale des points des parallèles plus éloignés de l’équateur que le tropique estival, qui en est à 23° 51′ 20″ environ. De même, il est à la verticale des points sur ce tropique une fois par année, et deux fois l’an pour ceux qui sont plus près de l’équateur. Le tableau des inclinaisons permet de trouver quand cela se produit : prenons la distance à l’équateur, en degrés, du parallèle concerné — pour autant qu’il soit moindre que le tropique d’été — et cherchons cette valeur dans les secondes colonnes [« du méridien »] ; la première colonne de cette rangée nous indiquera le nombre de degrés, mesurés sur le quart de cercle [de l’écliptique], entre le Soleil et le point équinoxial lorsqu’il est à la verticale du parallèle en question.

5. Comment trouver le ratio des gnomons aux ombres équinoxiales et solsticielles de midi pour les quantités susmentionnées

Démontrons maintenant comment le rapport de la longueur de l’ombre à celle du gnomon peut être trouvé simplement une fois que l’arc entre les solstices et l’arc entre l’horizon et le pôle sont connus. Sur ce cercle méridien ABGC de centre E, prenons A comme la verticale du lieu et traçons le diamètre AEG. À angles droits de celui-⁠ci, dans le plan du méridien, traçons la droite GKZN. La Terre étant comme un point et un centre relative à la sphère [l’orbite apparente] du Soleil, il n’y a donc pas de différence entre le centre E et l’extrémité supérieure du gnomon, posons donc GE comme étant le gnomon, et la ligne GKZN, celle où tombent les ombres à midi. Nous traçons aussi, passant par E, les rayons de midi aux équinoxes (BEDZ) et aux solstices (HEΘK estival et LEMN hivernal). GK sera donc l’ombre au solstice d’été, GZ à l’équinoxe, et GN au solstice d’hiver. Puisque l’arc GD, correspondant à la hauteur du pôle nord [céleste] au-dessus de l’horizon, est de 36° (avec le méridien ABG de 360°) à la latitude de nos exemples, et que l’arc ΘD et l’arc DM sont tous deux de 23;51,20°, l’arc GΘ est donc, par soustraction, de 12;08,40°, et par addition, l’arc GM = 59;51,20°. Nous avons donc :

[NdT : Halma utilise le symbole de degré (°) même lorsque deux angles droits forment 360 unités. Selon moi, cela peut porter à confusion. Toomer double le symbole de degré (°°) ; Unicode permet toutefois d’utiliser le caractère ^ꝏ, qui est une ligature de deux lettres « o », et que je trouve plus esthétique.]

Ainsi, dans les cercles circonscrits aux triangles droits KEG, ZEG, et NEG,

Si on considère que le gnomon GE fait 60 parties, alors dans les mêmes unités, l’ombre estivale GK ≈ 12;55^p, l’ombre équinoxiale GZ ≈ 43;36^p, et l’ombre hivernale GN ≈ 103;20^p.

[Toomer note que la corde de 72° est, selon le tableau des cordes, de 70;32,03^p, mais que tous les manuscrits, incluant ceux de la tradition arabe, ont 70;32,04^p, une erreur qui date probablement de Ptolémée lui-même, selon Toomer. Plus loin, Toomer se questionne sur la possibilité que Ptolémée ait utilisé une ancienne version de son tableau des cordes.]

À l’inverse, il est clair que, si deux de ces rapports du gnomon aux trois ombres sont donnés, alors on connaît la hauteur du pôle de même que l’arc entre les tropiques, puisque si deux angles donnés passent par E, le troisième est aussi donné, puisque DΘ et DM sont égaux. Toutefois, pour obtenir des résultats précis, les quantités précédentes peuvent être déterminées exactement par la méthode que nous avons expliquée, puisque le rapport [de la longueur] des ombres en question au gnomon ne peut pas être déterminée avec une précision égale, le moment des équinoxes n’étant pas bien déterminé, et l’extrémité de l’ombre au solstice d’hiver  est indistincte.

6. Exposé de ce qui est propre à chaque parallèle 

De la même manière, nous pourrons déterminer les propriétés les plus importantes des autres parallèles. Nous procéderons par tranches d’un quart d’heure dans la durée du jour le plus long. Couvrons d’abord quelques généralités avant les particularités.

L’équateur correspond essentiellement à la limite sud du quart comprenant la région que nous habitons. C’est le seul parallèle sous lequel le jour ets toujours égal à la nuit, puisque tous les parallèles sont coupés également par l’horizon, chaque section de ceux-⁠ci étant égale qu’elle soit au-dessus ou au-dessous de l’horizon. L’équateur est le seul parallèle qui est également coupé par tous les horizons ; quand le Soleil le traverse, le jour est donc égal à la nuit où qu’on soit. Cela est dû au fait que l’équateur est un grand cercle de la sphère, tandis que les autres parallèles sont coupés inégalement. Puisque la partie du monde où nous habitons est inclinée, la portion des parallèles au sud de l’équateur est plus petite au-dessus de l’horizon que celle qui est au-dessous de l’horizon, et les jours sont alors plus courts, tandis que, pour les parallèles au nord de l’équateur, la portion au-dessus de l’horizon est plus grande, ce qui cause des jours plus longs.

Ce parallèle est aussi amphiscien [à deux ombres], puisque le Soleil en est à la verticale deux fois l’an, aux intersections de l’écliptique et de l’équateur, et les gnomons ne projettent alors aucune ombre à midi. Or, quand le Soleil est au nord de l’équateur, les ombres des gnomons de l’équateur vont vers le sud, et quand il est au sud, elles vont vers le nord. L’ombre d’un gnomon de 60^p à l’équateur a une ombre de 26⁠1⁄2^p à chacun des solstices. « Les ombres » sont celles de midi, bien que les équinoxes et solstices ne se produisent pas exactement à ce moment, mais l’erreur est minime.

Les astres situés sur l’équateur céleste passeront à la verticale de ces lieux ; tous les astres [où qu’ils soient] se lèveront et se coucheront, puisque les pôles de la sphère céleste sont à l’horizon, et donc qu’aucun parallèle n’est toujours visible ou toujours caché, ou qu’un méridien y soit colure [tronqué].

On dit des régions équatoriales qu’elles peuvent être habitées, la température y étant modérée, puisque le Soleil n’y demeure pas longtemps à la verticale, son mouvement en latitude étant rapide aux équinoxes. L’été en serait tempéré et l’hiver, le Soleil étant tout de même proche de la verticale, ne serait pas rude. Nous ignorons toutefois quelles sortes d’habitations se trouvent là, puisque personne de nos pays n’y est allé, et ce qu’on en raconte semble plutôt tenir de la spéculation que de la réalité.

Cela complète ce qu’on peut dire à propos du parallèle de l’équateur.

À propos des autres parallèles, qui incluent, selon certains, les régions habitées, voici quelques généralités, afin de ne pas nous répéter constamment. Pour chacun, les astres passant à la verticale sont ceux situés à une distance de l’équateur égale à la latitude du lieu, mesurée sur le grand cercle qui passe par les pôles de l’équateur. Le parallèle situé à cette même distance du pôle céleste nord est toujours visible au-dessus de l’horizon, de même que les astres qui se trouvent à l’intérieur de celui-⁠ci. En revanche, on ne voit jamais le parallèle situé à cette distance du pôle céleste sud, ni les astres qu’il renferme.

Le deuxième parallèle, où le jour le plus long est de 12¼ heures équinoxiales, est à 4¼° de l’équateur et passe par l’île de Taprobane [Sri Lanka], et il est aussi amphiscien, puisque le Soleil passe deux fois à sa verticale, à 79⁠1⁄2° de part et d’autre du solstice d’été. Pendant que le Soleil traverse ces 159° [2 × 79⁠1⁄2°], les ombres pointent vers le sud, tandis qu’elles pointent vers le nord pendant que le Soleil traverse les autres 201° [360° − 159°]. Pour un gnomon de 60 parties, l’ombre aux équinoxes est de 4;25^p ; celle [du solstice] d’été, de 21⁠1⁄3^p ; et celle d’hiver, de 32^p.

Le troisième parallèle, où le jour le plus long est de 12⁠1⁄2 heures équinoxiales, est à 8¼° de l’équateur et croise le golfe Avalite . C’est un autre parallèle amphiscien ; le Soleil en est deux fois à la verticale, à 69° de part et d’autre du solstice d’été — quand il est dans ces 138°, les ombres vont vers le sud, tandis qu’elles vont vers le nord pendant que le Soleil est dans les 222° restants. L’ombre d’un gnomon de 60^p en fait 8⁠5⁄6^p quand le Soleil est aux équinoxes, 16⁠5⁄6^p au tropique d’été, et 37⁠9⁄10^p au tropique d’hiver.

Sous le quatrième parallèle, le jour le plus long dure 12⁠3⁄4 heures équinoxiales ; on est alors à 12⁠1⁄2° de l’équateur, à la latitude du golfe Adulitique [golfe de Zula, bien que trop au nord ; voir note au paragraphe précédent]. C’est aussi un parallèle amphiscien ; le Soleil y est à la verticale à 57⁠2⁄3° de part et d’autre du solstice d’été. Tandis qu’il parcourt ces 115⁠1⁄3, les ombres vont vers le sud ; quand il est dans les 244⁠2⁄3° restants, elles vont vers le nord. Pour un gnomon de 60^p toujours, les ombres sont de 13⁠1⁄3^p aux équinoxes, 12^p au solstice d’été, et 44⁠1⁄6^p au solstice d’hiver.

Au cinquième parallèle, maintenant, où le jour le plus long dure 13 h, la latitude est de 16° 27′, soit celle de l’île de Méroé . C’est aussi une région amphiscienne, le Soleil en étant à la verticale lorsqu’il est à 45° du solstice d’été, d’un côté ou l’autre. Tandis qu’il traverse ces 90°, les ombres pointent vers le sud ; quand il est sur les 270° restants, elles pointent vers le nord. Un gnomon de 60 parties jette une ombre de 17⁠3⁄4 parties aux équinoxes, 7⁠3⁄4^p à l’été, et 51^p à l’hiver .

Le sixième est le parallèle au jour le plus long de 13⁠1⁄4 h, à 20° 14′ de l’équateur, où se trouve Napata [Gebel Barkal]. Le Soleil est à la verticale de ce parallèle amphiscien deux fois l’an, lorsqu’il est à 31° du solstice d’été, d’un côté ou de l’autre. Pendant qu’il traverse ces 62°, l’ombre du gnomon pointe vers le sud, tandis qu’elle pointe vers le nord quand le Soleil est dans les autres 298°. L’ombre du gnomon de 60^p fait, sous ce parallèle, 22⁠1⁄6^p aux équinoxes, 3⁠3⁄4^p au solstice d’été, et 58⁠1⁄6^p à celui d’hiver.

Au septième parallèle, le jour le plus long dure 13⁠1⁄2 h. La latitude, de 23° 51′ , est celle de Syène [Assouan] ; c’est le premier parallèle hétéroscien [ἑτεροσϰίων pour Heiberg et Halma, ἑτεροσϰίος pour Toomer ; où les ombres ne vont que d’un seul côté, soit le sud], et le Soleil n’en est à la verticale qu’au solstice d’été. À ce moment, le gnomon n’a pas d’ombre (ἄσϰιός [littéralement, « sans ombre »]), mais à tout autre moment, celle-⁠ci pointe vers le nord — à 26⁠1⁄2^p pour un gnomon de 60^p aux équinoxes, et à 65⁠5⁄6^p au solstice d’hiver. Tous les parallèles au nord de celui-⁠ci sont hétérosciens, et il y a toujours une ombre au gnomon, ne pointant jamais vers le sud mais toujours vers le nord, puisque le Soleil n’est jamais à leur verticale.

Le huitième parallèle a un plus long jour de 13⁠3⁄4 h et se trouve à 27° 12′ de l’équateur, passant par Ptolémaïs Hermias, en Thébaïde [El Mansha, Égypte]. Le gnomon de 60 parties y a une ombre de 3⁠1⁄2 parties au solstice d’été, 30⁠5⁄6 aux équinoxes, et 74⁠1⁄6 au solstice d’hiver.

Au neuvième parallèle, le jour le plus long dure 14 h, la latitude est de 30° 22′ (Basse-Égypte), et l’ombre du gnomon, de 6⁠5⁄6^p à l’été, 35⁠1⁄12 aux solstices, et 83;12^p à l’hiver [Toomer calcule 83;10,39 et corrige ici πγ ιβ en πγ ιβʹ, soit 12′ plutôt que 1⁄12°. Halma, écrivant environ 175 ans plus tôt, a encore 1⁄12°.]

Au dixième parallèle, la durée du jour le plus long est de 14⁠1⁄4 h et la latitude, de 33° 18′, soit celle du milieu de la Phénicie [Liban]. L’ombre d’été est de 10^p, celle des équinoxes de 39⁠1⁄2^p, et celle d’hiver de 93⁠1⁄12^p .

Le onzième parallèle, au jour le plus long de 14⁠1⁄2 h, est à 36° de l’équateur, passant par Rhodes. Le gnomon de 60 parties y a une ombre de 12⁠11⁄12 parties à l’été, 43⁠3⁄5 parties aux équinoxes, et 103⁠1⁄3 parties à l’hiver.

Le douzième parallèle est celui avec un jour le plus long de 14⁠3⁄4 h, à 38° 35′, passant par Smyrne [İzmir, Turquie]. Pour un gnomon de 60^p, l’ombre est de 15⁠2⁄3^p à l’été, 47⁠5⁄6^p aux équinoxes, et 114⁠11⁄12^p à l’hiver.

Le treizième parallèle, avec un jour le plus long de 15 h, est à 40° 56′ de l’équateur, passant par l’Hellespont [Dardanelles, Turquie]. Dans cette région, le gnomon de 60 parties jette une ombre estivale de 18⁠1⁄2 parties, une ombre équinoxiale de 52⁠1⁄6 parties, et une ombre hivernale de 127⁠5⁄6 parties.

[Selon Toomer :
« Il y a ici une étrange divergence. Pour M = 15^h, on trouve φ = 40;52,21°. Toutefois, les longueurs d’ombres ne concordent ni avec M = 15^h ni avec φ = 40;56°, mais avec φ = 41°. Calculs :

« Le parallèle [passant] par l’Hellespont est le Clima V dans les “7 climata” traditionnels […]. Il est possible qu’une valeur arrondie plus ancienne de la latitude soit à l’origine des valeurs de Ptolémée [listées] ici. »]

Au niveau du quatorzième parallèle, le jour le plus long dure 15⁠1⁄4 h, la latitude est de 43° 01′ . Ce parallèle passe par Massalia [Marseille]. Le gnomon de 60^p y porte une ombre estivale de 20⁠5⁄6^p, des ombres équinoxiales de 55⁠11⁄12^p, et une ombre hivernale de 140⁠1⁄4^p .

Le quinzième parallèle a son plus long jour de 15⁠1⁄2 h, à 45° 01′ de l’équateur, soit le milieu du Pont [mer Noire]. L’ombre estivale du gnomon de 60^p est de 23⁠1⁄4^p, celles des équinoxes de 60^p, et celle de l’hiver de 155⁠1⁄12 .

Le seizième est le parallèle avec un plus long jour de 15⁠3⁄4 heures équinoxiales, distant de l’équateur de 46° 51′. Il passe par les sources de l’Ister [Danube]. En ces régions, l’ombre estivale du gnomon est de 25⁠1⁄2^p ; aux équinoxes, de 63⁠11⁄12 ; et à l’hiver, de 171⁠1⁄6^p.

Au dix-septième parallèle, le jour le plus long dure 16 h. Il est à 48° 32′, soit la latitude des bouches du Borysthène [la rivière Dniepr en Russie, Bélarus, et Ukraine]. Sous celui-⁠ci, le gnomon de 60^p a une ombre de 27⁠1⁄2^p à l’été, 67⁠5⁄6^p aux équinoxes, et 188⁠7⁄12^p à l’hiver.

Le dix-huitième parallèle est celui dont le jour le plus long dure 16⁠1⁄4 heures équinoxiales. Il se trouve à 50° 04′ de l’équateur et passe par le Palus Méotide [mer d’Azov ; toutefois, Marioupol, située sur ses rives, est à 47° 06′ de latitude]. Le gnomon mesurant 60 parties, son ombre à l’été fera 29⁠7⁄12^p, 71⁠2⁄3^p aux équinoxes, et à l’hiver, 208⁠1⁄3^p .

Au dix-neuvième parallèle, dont le jour le plus long est de 16⁠1⁄2 heures équinoxiales, la latitude est de 51⁠1⁄2° , soit celle du sud de la [Grande-]Bretagne. Son gnomon ayant 60^p, l’ombre d’été en a 31⁠5⁄12^p, celles des équinoxes ont 75⁠5⁄12^p, et celles d’hiver 229⁠1⁄3^p.

Au vingtième parallèle, le jour le plus long dure 16⁠3⁄4 h, et la latitude est de 52° 50′, soit celle des bouches du Rhin. À cette latitude, le gnomon de 60^p a une ombre estivale de 33⁠1⁄3^p, des ombres équinoxiales de 79⁠1⁄12^p, et une ombre hivernale de 253⁠1⁄6^p.

Le vingt-et-unième parallèle a un jour le plus long d’une durée de 17 h et une latitude de 54° 30′, passant par les bouches du Tanaïs [le Don, en Russie]. Un gnomon de 60 parties y a une ombre de 34⁠11⁄12 parties à l’été, de 82⁠7⁄12 parties aux équinoxes, et de 278⁠3⁄4 parties à l’hiver.

Sous le vingt-deuxième parallèle, le jour le plus long dure 17⁠1⁄4 h. Dans ces régions, incluant Brigantium [erreur pour la tribu des Brigantes ; auj. Aldborough, dans le nord de l’Angleterre] et qui sont à 55° de l’équateur, le gnomon a une ombre estivale de 36⁠1⁄4^p, des ombres équinoxiales de 85⁠2⁄3^p, et une ombre hivernale de 304⁠1⁄2.

Le vingt-troisième parallèle, dont le plus long jour dure 17⁠1⁄2 h, est à 56° de l’équateur et passe par le milieu de la [Grande-]Bretagne. Pour un gnomon de 60^p, on observe une ombre de 37⁠2⁄3^p à l’été, 88⁠5⁄6^p aux équinoxes, et 335⁠1⁄4^p à l’hiver.

Au vingt-quatrième parallèle, le jour le plus long dure 17⁠3⁄4 heures équinoxiales, et la distance à l’équateur est de 57°. Cela correspond notamment à la latitude de Caturactonium en [Grande-]Bretagne [Catterick, Yorkshire]. À l’été, le gnomon de 60^p porte une ombre de 39⁠1⁄6^p, puis de 92⁠5⁄12^p aux équinoxes et 372⁠2⁄3 à l’hiver.

Sous le vingt-cinquième parallèle, le jour le plus long dure 18 h et on se trouve à 58°, latitude de la partie sud de la Petite-Bretagne [l’Irlande]. Un gnomon de 60 parties y jette une ombre de 40⁠2⁄3 parties à l’été, 96 parties aux équinoxes, et 419⁠1⁄12 parties à l’hiver.

Au vingt-sixième parallèle, le jour le plus long dure 18⁠1⁄2 h. Cela est à 59⁠1⁄2° de l’équateur, passant par le milieu de la Petite-Bretagne. À partir d’ici, nous ne procéderons plus par incréments de 1⁄4 d’heure, puisque les parallèles seraient trop rapprochés, et la différence de hauteur du pôle de moins d’un degré entier. En outre, il n’y a plus de raison de fournir autant de détails ; nous considérons notamment superflu d’indiquer les longueurs d’ombre du gnomon pour des régions si reculées.

Le vingt-septième parallèle a un jour le plus long de 19 h, à 61° de l’équateur, et passe par le nord de la Petite-Bretagne.

Le vingt-huitième parallèle a un jour le plus long de 19⁠1⁄2 h, à 62° de l’équateur, passant par les îles appelées Ébudes [Ἐβούδων ; les Hébrides].

29. Le jour le plus long dure 20 h, à 63° de l’équateur en passant par l’île de Thulé .

30. Le jour le plus long dure 21 h, à 64⁠1⁄2° de l’équateur, où vivent des peuples Scythes inconnus.

31. Le parallèle dont le jour le plus long dure 22 h est à 65⁠1⁄2° de l’équateur.

32. Le jour le plus long dure 23 h à ce parallèle situé à 66° de l’équateur.

33. Le parallèle dont le jour le plus long dure 24 h est à 66° 08′ 40″ de l’équateur. C’est le premier des périsciens (ϖερισϰίων, περίσκιος ; litt. « à ombre tournante ») ; au solstice d’été seulement, le Soleil ne se couche pas, et l’ombre d’un gnomon se dirige vers chacun des points de l’horizon en succession. Le parallèle tropique d’été y est toujours visible, mais celui d’hiver est toujours invisible, les deux étant tangents à l’horizon, l’un au-dessus, l’autre au-dessous. L’écliptique y coïncide avec l’horizon lorsque le point vernal se lève.

À des fins didactiques, proposons-nous de continuer encore plus au nord. Là où le pôle est à 67° de hauteur, les 15 degrés de chaque côté du solstice d’été ne se couchent jamais, et le « jour » le plus long y dure presqu’un mois — pendant ce temps, l’ombre couvre successivement toutes les directions à répétition. Cela peut être démontré à partir du Tableau des inclinaisons, dans lequel n’importe quel degré de distance à l’équateur — par exemple, celui qui intercepte 15° de part et d’autre du tropique — est soit toujours visible, soit toujours invisible. La distance à l’équateur de ce segment de l’écliptique donnera manifestement la quantité par laquelle la hauteur du pôle nord diffère de 90° d’un quadrant.

Où la hauteur du pôle est de 69⁠1⁄2°, ce sont 30° de part et d’autre du solstice qui ne se couchent pas, et le Soleil sera visible pendant environ deux mois d’affilée, période pendant laquelle les gnomons sont périsciens.

À 73⁠1⁄3° de latitude, un arc de 45° de part et d’autre du solstice d’été ne se couche jamais. La durée du « jour » le plus long et des ombres périsciennes y est d’environ trois mois.

À 78⁠1⁄3° de latitude, un arc de 60° de part et d’autre du solstice d’été ne se couche jamais. La durée du « jour » le plus long et des ombres périsciennes y est d’environ quatre mois.

À 84° de latitude, un arc de 75° de part et d’autre du solstice d’été ne se couche jamais. La durée du « jour » le plus long et des ombres périsciennes y est d’environ cinq mois.

Enfin, au pôle, soit à 90° de l’équateur, la moitié nord de l’écliptique est toujours au-dessus de l’horizon et la moitié sud, toujours au-dessous de celui-⁠ci. Ainsi, chaque année ne contient qu’un jour et une nuit, d’une durée de six mois chacun. Quand le Soleil est visible, l’ombre du gnomon est toujours périscienne. Le pôle céleste nord y est à la verticale, et l’équateur est à la limite du toujours visible et du toujours invisible : l’hémisphère [céleste] nord est toujours visible ; le sud, toujours invisible.

7. Des levers simultanés des arcs de l’écliptique et de l’équateur dans la sphère oblique

Maintenant que nous avons exposé les caractéristiques générales théoriquement déduites des latitudes, voyons maintenant comment calculer, pour chaque latitude, l’arc de l’équateur, mesuré en degré de temps, qui se lève avec un arc de l’écliptique, et dérivons de ce calcul des méthodes pour déterminer les autres caractéristiques.

Pour ce faire, nous continuerons l’usage, bien qu’abusif, de nommer les 12 signes du zodiaque comme s’ils commençaient aux points tropiques et équinoxiaux. Le premier signe à partir du point vernal est le Bélier, puis le Taureau, et ainsi de suite, selon l’ordre traditionnel des douze signes.

Première affirmation à démontrer : que des arcs égaux de l’écliptique, à distance égale de l’équinoxe, se lèvent en autant de temps que les arcs égaux de l’équateur correspondants. Traçons donc d’abord le cercle ABGD, correspondant au méridien, avec un point E tel que BED corresponde à la moitié de l’horizon et AEG, à la moitié de l’équateur. Ajoutons maintenant deux arcs égaux, ZH et ΘK, comme deux arcs [possibles] de l’écliptique, Z et Θ représentant [tour à tour] l’équinoxe de printemps, et H et K les points des arcs ZH et ΘK qui se lèvent. Je dis que les arcs de l’équateur qui se lèvent avec eux, soit ZE et ΘE, respectivement, sont aussi égaux.

Soit les points L et M représentant les pôles de l’équateur et, passant par eux, les arcs de grands cercles LEM, LΘ, LK, ZM, et MH. Nous avons donc

puisque les parallèles passant par K et par H sont équidistants de l’équateur, de part et autre,

Démontrons maintenant que les arcs de l’équateur, qui se lèvent sur l’horizon avec les arcs égaux de l’écliptique et équidistants du même solstice, sont égaux au total au lever total [des arcs de l’écliptique] dans la sphaera recta. Soit donc le cercle ABGD, représentant le méridien, et encore BED, une moitié de l’horizon, et AEG, une moitié de l’équateur. Nous traçons maintenant deux arcs égaux de l’écliptique et équidistants du solstice d’hiver, disons ZH avec Z à l’équinoxe d’automne, et ΘH avec Θ à celui de printemps, H étant dans les deux cas le point de l’horizon qui se lève pour chacun de ces arcs — puisque ZH et ΘH sont sur le même parallèle, ΘE se levant avec ΘH, et EZ avec ZH. Il est évident, donc, que l’arc ΘEZ est égal au lever de ZH plus celui de ΘH dans la sphaera recta.

À preuve, considérons K comme le pôle sud de l’équateur et, passant par celui-⁠ci et H le quadrant de grand cercle KHL, qui représente l’horizon à la sphaera recta, alors ΘL est l’arc qui se lève avec l’arc ΘH à la sphaera recta ; de même LZ est l’arc qui se lève avec l’arc ZH. La somme des deux arcs ΘLZ égale la somme des arcs ΘEZ, tous deux compris dans l’arc ΘZ. Partant de cela, il est clair que, si nous calculons pour un seul quadrant, et pour chaque latitude, les temps de levers, nous connaîtrons aussi les temps de lever de chaque partie des trois autres quadrants.

Prenons donc encore une fois le parallèle passant par Rhodes, où le jour le plus long dure 14⁠1⁄2 heures équinoxiales, et où le pôle nord céleste est à 36° au-dessus de l’horizon. Soit maintenant le cercle ABGD, représentant le méridien, ainsi qu’une moitié d’horizon BED et une moitié d’équateur AEG, et enfin ZHΘ une moitié de l’écliptique dont H est l’équinoxe de printemps. Soit K le pôle nord de l’équateur céleste, en partant duquel nous partons le quadrant KLM, passant par L, intersection de l’écliptique et de l’horizon. Nous connaissons l’arc HL et cherchons l’arc de l’équateur qui se lève avec, soit l’arc EH. Disons que l’arc HL inclut le signe [ou, plus proprement, la δωδεκατημόριον « dodécatémorie » — littéralement « douzième partie », soit 360 ÷ 12 = 30° — qui est d’ailleurs le terme que Ptolémée utilise] du Bélier.

Puisque nous avons deux arcs de grands cercles, ED et KM, qui rejoignent deux autres arcs de grands cercles, EG et CK, en se croisant en L,

[NdT : Heiberg et Toomer ont ici 70;32,04 plutôt que 70;32,03, valeur donnée par Halma suivant la traduction latine de Gérard de Crémone de 1515. Toomer indique que les manuscrits grecs et arabes ont 70;32,04, mais puisque la valeur de Crd 72 ≈ 70;32,03,13,44… parties pour un cercle de 120 parties de diamètre, j’ai préféré conserver 70;32,03, qui est aussi la valeur trouvée dans le tableau des cordes.]

Puisque l’arc HM se lève avec HL dans la sphaera recta, il est égal à 27° 50′, tel que démontré ci-⁠dessus. L’arc EH restant mesure donc 19° 12′.

Ceci démontre donc que le signe des Poissons se lève avec les même temps de 19° 12′, tandis que la Vierge et la Balance se lèvent en 36° 28′, soit le reste [après soustraction de 19° 12′] du double du temps de lever dans la sphaera recta.

Supposons maintenant que HL contienne les 60° des deux signes du Bélier et du Taureau, tout le reste demeurant identique. Alors, nous avons

Le Bélier et le Taureau ensemble se lèvent donc en 41;58 degrés de temps, mais 19;48 degrés de temps sont nécessaires au Bélier pour se lever, ce qui laisse au Taureau 22;46 degrés de temps, qui est son temps de lever. Le même raisonnement nous indique que le Verseau se lèvera aussi en 22;46 degrés de temps ; le Lion et le Scorpion, en 37;02 degrés de temps chacun, qui est le reste du double du temps de lever dans la sphaera recta. Puisque le jour le plus long dure 14 h 30 min equinoxiales, et le plus court, 9 h 30 min, il est évident que le demi-cercle du Cancer au Sagittaire se lèvera en 217;30 degrés de temps de l’équateur, et le demi-cercle du Capricorne aux Gémeaux se lèvera en 142;30 degrés de temps. Chacun des quadrants situés de part et d’autre de l’équinoxe de printemps se lèvera donc en 71;15 degrés de temps, et ceux situés de part et d’autre de l’équinoxe d’automne se lèveront en 108;45 degrés de temps. Donc, les Gémeaux et le Capricorne se lèveront chacun en 29;17 degrés de temps, complément des 71;15 degrés de temps requis pour que le quadrant se lève [moins 19;12 + 22;46], et le Cancer et le Sagittaire se lèveront chacun en 35;15 degrés de temps, soit le restant [après soustraction de 36;28 + 37;02] des 108;45 degrés de temps requis pour le lever du quadrant.

Nous pouvons bien sûr calculer les temps de lever de plus petits arcs de l’écliptique de la même manière, mais il en existe une autre, plus facile et plus méthodique. Soit le méridien ABGD, avec BED représentant une moité de l’horizon, AEG une moitié de l’équateur, et ZEH une moitié de l’écliptique, E représentant l’équinoxe de printemps. Soit maintenant EΘ, un arc quelconque sur ZEH ; ΘK un arc d’un parallèle ; L, le pôle de l’équateur ; et LΘM, LKN, et LE, des quadrants de grands cercles. Nous voyons donc clairement que la portion E de l’écliptique se lève dans la sphaera recta avec l’arc EM de l’équateur, et dans la sphaera obliqua avec MN, puisque l’arc KΘ du parallèle, avec lequel se lève le segment EΘ, est semblable à l’arc NM de l’équateur — nous avons déjà vu que des arcs semblables de parallèles se lèvent toujours en des temps égaux. Le lever de ET dans la sphaera obliqua est donc plus court de EN que dans la sphaera recta. Cela démontre que dans tous les cas, si nous décrivons des arcs de grands cercles — comme LΘM ou LKN — l’arc EN sera la différence des temps de levers entre la sphaera recta et la sphaera obliqua.

Maintenant que cela est établi, dessinons maintenant seulement la moitié de l’horizon, celle de l’équateur, et celle du méridien, et traçons deux quadrants de grands cercles ZHΘ et ZKL, passant par le pôle sud de l’équateur. Faisons de H l’intersection de l’horizon avec le parallèle passant par le solstice d’hiver, et K l’intersection avec le parallèle du début des Poissons — ou de n’importe quel autre point du quadrant. Nous avons aussi ZKL sur l’arc ZT, et EKH sur l’arc EΘ, qui se croisent en K. Nous avons donc

Crd arc 2ΘH : Crd arc 2ZH = (Crd arc 2ΘE : Crd arc 2EL) · (Crd arc 2KL : Crd arc 2KZ)

Mais puisque 2ΘH est donné et est le même à toute latitude, puisque c’est l’arc entre les solstices, alors l’arc 2HZ, son supplément, est aussi connu. De même, pour le même arc de l’écliptique, l’arc 2LK est le même à toutes les latitudes — et nous le trouvons dans le Tableau des inclinaisons — donc son supplément, l’arc 2KZ, est connu. Par division, nous avons donc (Crd arc 2ΘE : Crd arc 2EL) identiques à toutes les latitudes pour un même arc du quadrant.

Partant de cela, si nous prenons les valeurs successives de KL pour toutes les divisions du quadrant, par tranches de 10°, de l’équinoxe de printemps au solstice d’hiver, ce qui sera suffisant pour nos besoins, nous aurons toujours

arc 2ΘH = 47° 42′ 40″, d’où Crd arc 2ΘH = 48;31,55^p
arc 2HZ = 132° 17′ 20″, d’où Crd arc 2HZ = 109;44,53^p

Puis, pour les 10° à partir de l’équinoxe vers le solstice,

arc 2KL = 8° 03′ 16″, d’où Crd arc 2KL = 8;25,39^p
arc 2KZ = 171° 56′ 44″, d’où Crd arc 2KZ = 119;42,14^p.

À 20° de l’équinoxe, nous aurons

arc 2KL = 15° 54′ 06″, d’où Crd arc 2KL = 16;35,56^p
arc 2KZ = 164° 05′ 54″, d’où Crd arc 2KZ = 118;50,47^p.

À 30° de l’équinoxe,

arc 2LK = 23° 19′ 58″, d’où Crd arc 2LK = 24;15,56^p
arc 2KZ = 156° 40′ 02″, d’où Crd arc 2KZ = 117;31,15^p.

À 40° de l’équinoxe,

arc 2LK = 30° 08′ 08″, d’où Crd arc 2LK = 31;11,43^p
arc 2KZ = 149° 51′ 52″, d’où Crd arc 2KZ = 115;52,19^p.

À 50° de l’équinoxe,

arc 2LK = 36° 05′ 46″, d’où Crd arc 2LK = 37;10,39^p
arc 2KZ = 143° 54′ 14″, d’où Crd arc 2KZ = 114;05,4^p.

À 60° de l’équinoxe,

arc 2LK = 41° 00′ 18″, d’où Crd arc 2LK = 42;01,48^p
arc 2KZ = 138° 59′ 42″, d’où Crd arc 2KZ = 112;23,57^p.

À 70° de l’équinoxe,

arc 2LK = 44° 40′ 22″, d’où Crd arc 2LK = 45;36,18^p
arc 2KZ = 135° 19′ 38″, d’où Crd arc 2KZ = 110;59,47^p.

À 80° de l’équinoxe,

arc 2LK = 46° 56′ 32″, d’où Crd arc 2LK = 47;47,40^p
arc 2KZ = 133° 03′ 28″, d’où Crd arc 2KZ = 110;04,16^p.

De ces informations, nous pouvons déterminer que le ratio (Crd arc 2ΘH : Crd arc 2HZ), soit (48;31,55 : 109;44,53), divisé par le ratio (Crd arc 2LK : Crd arc 2KZ), dont les valeurs sont indiquées ci-⁠dessus, à chaque 10°, donnera la proportion (Crd arc 2ΘE : Crd arc 2EL), qui est la même pour toutes les latitudes :

pour l’arc de 10°, elle est de 60 : 9;33 ;
pour l’arc de 20°, elle est de 60 : 18;57 ;
pour l’arc de 30°, elle est de 60 : 28;01 ;
pour l’arc de 40°, elle est de 60 : 36;33 ;
pour l’arc de 50°, elle est de 60 : 44;12 ;
pour l’arc de 60°, elle est de 60 : 50;44 ;
pour l’arc de 70°, elle est de 60 : 55;45 ; et
pour l’arc de 80°, elle est de 60 : 58;55.

Il est donc évident que pour chaque latitude, nous connaissons l’arc 2ΘE, puisqu’il est la différence, en degrés, entre le nombre de degrés de temps du jour de l’équinoxe et le jour le plus court. À partir donc de Crd arc 2ΘE et de la proportion (Crd arc 2ΘE : Crd arc 2EL), cette dernière sera connue, de même que l’arc 2EL. Nous soustrairons sa moitié, soit l’arc EL, qui est la différence entre le lever de l’arc de l’écliptique dans la sphaera recta [et celui dans la sphaera obliqua], du temps de lever du même arc de l’écliptique à la sphaera recta, et nous obtiendrons ainsi le temps de lever de cet arc à la latitude désirée.

Prenons donc comme exemple la latitude du parallèle passant par Rhodes. Nous avons donc

et puisque Crd arc 2EL équivaut aux valeurs données ci-⁠dessus à chacun des intervalles de 10° précédemment mentionnés, la moitié de l’arc qu’elle sous-tend, soit l’arc EL, aura les valeurs suivantes :

Les temps de levers correspondants à sphaera recta étant de

il est clair qu’en soustrayant la différence, donnée par l’arc EL, du temps de lever correspondant à la sphaera recta, nous aurons les temps de lever des mêmes arcs à la latitude donnée, soit

Les segments de 10° se lèveront en les degrés de temps suivants :

Maintenant que cela est démontré, il s’ensuit que les temps de lever pour les autres quadrants seront démontrés de même. Nous avons calculé les temps de lever à 10° d’intervalles pour tous les autres parallèles, ce qui devrait être suffisant pour la pratique. Nous dressons donc un tableau de ces valeurs, en partant de l’équateur jusqu’au parallèle où le jour le plus long dure 17 h, par tranches de 30 min, puisque la différence avec l’interpolation linéaire est négligeable. La première colonne contient les 36 dizaines de degrés du cercle ; la seconde contient les degrés de temps du lever de cet arc de 10° à la latitude en question ; et le troisième, la somme de ces temps.

[NdT : Pour simplifier, la procédure peut être décrite comme suit. On prend la différence, en heures, entre le jour le plus long et la durée du jour à l’équinoxe (12 h), et on la multiplie par 15, obtenant des degrés de temps. Le rapport de 60 à la corde de cet angle est toujours le même, ce qui nous donne Crd arc 2EL pour la latitude. De là, on trouve EL, que l’on soustrait du temps requis à sphaera recta, ce qui nous donne le temps à sphaera obliqua.]

8. Tableau des levers par parallèles

[NdT : Contrairement à ce que j’ai fait pour d’autres tableaux, je ne donne pas de version corrigée ni de graphique d’erreurs pour ce tableau, puisque son information est moins intéressante pour les astronomes de nos jours.]

9. Des effets particuliers qui résultent des levers

Cette liste des temps de lever facilitera la compréhension du reste de cette théorie, et nous n’aurons besoin ni de schémas particuliers, ni d’autres tableaux spécifiques, comme nous le verrons par ce qui vient.

On peut trouver la longueur d’une journée ou d’une nuit donnée comme suit. On prend le total des temps de levers obliques, du degré du Soleil au degré diamétralement opposé — pour la nuit, on prend du point opposé au Soleil jusqu’à ce dernier. Le quinzième du total des temps est le nombre d’heures équinoxiales de la durée du jour, tandis que la douzième partie du total des temps est la durée de l’heure saisonnière de cette même longueur du jour.

Nous pouvons trouver plus facilement la durée de l’heure [saisonnière] grâce au tableau des levers qui précède, dans lequel nous prenons la différence entre l’ascension droite [lever à sphaera recta] et l’ascension oblique [lever à sphaera obliqua] du Soleil pour la date (ou entre l’ascension droite et l’ascension oblique de l’opposé de la position [du Soleil] pour la nuit). Cette différence est divisée par 6. Puis, si le Soleil est au nord de l’équateur, on ajoute le quotient à 15 ; sinon, on le retranche de 15, ce qui nous donne enfin le nombre de degrés de temps de l’heure saisonnière en question.

Nous pouvons aussi convertir les heures saisonnières en heures équinoxiales pour une certaine date en les multipliant par le nombre de degrés de temps de l’heure du jour (ou de la nuit, selon le cas) donné pour la latitude donnée. Nous divisons ensuite par 15 pour obtenir le total d’heures équinoxiales. À l’inverse, nous pouvons multiplier l’heure équinoxiale par 15 et diviser par la longueur de l’heure du jour [ou de la nuit] correspondante à la date et à la latitude.

Nous pouvons aussi déterminer, pour une date et une heure données, exprimées en temps saisonnier, le degré de l’écliptique qui se lève à ce moment. Cela est fait en multipliant le nombre d’heures depuis le lever du Soleil (ou son coucher, si nous avons un moment nocturne) par la durée de l’heure correspondante en degrés de temps. Nous ajoutons cela au temps de lever, à la latitude visée, de la longitude solaire (ou du point opposé, la nuit), et le degré avec le temps de lever correspondant à ce total se lèvera à ce moment .

Pour savoir quel point [de l’écliptique] culmine au méridien, nous multiplions les heures saisonnières depuis midi jusqu’à l’heure donnée, par la durée de l’heure concernée en degrés de temps, et nous ajoutons le produit au temps de lever du degré du Soleil dans la sphaera recta. Le degré de l’écliptique dont le temps de lever à la sphaera recta est égal au total sera au méridien culminant à ce moment-⁠là.

De même, nous pouvons aussi connaître la longitude du point culminant en prenant, dans le tableau des ascensions obliques, le nombre correspondant au point de l’écliptique qui se lève. Nous soustrayons ensuite les 90° du quadrant et consultons la ligne correspondant au résultat dans le tableau des ascensions droites, ce qui nous donne le point passant au méridien. Inversement, nous pouvons prendre la longitude du point culminant et en y ajoutant 90°, somme que nous rechercherons dans le tableau des ascensions obliques pour savoir quel degré se lève à ce moment-⁠là.

Enfin, il est évident que tous les gens vivant sous un même méridien voient le Soleil à la même distance du midi ou du minuit, comptée en heures équinoxiales ; pour les gens des autres méridiens, toutefois, la distance du Soleil au midi ou au minuit est différente de la précédente d’un nombre de degrés de temps égal à la distance entre les deux méridiens en degrés.

10. Des angles entre l’écliptique et le méridien

Il nous reste à discuter des angles entre l’écliptique et le méridien. Définissons d’abord l’angle entre deux grands cercles comme suit : ils forment un angle droit lorsqu’un cercle ayant comme pôle l’intersection des grands cercles et n’importe quel rayon intercepte 90° entre les segments des grands cercles formant l’angle, et, en général, que quelconque portion de l’arc de cercle intercepté ainsi décrit est en rapport au cercle entier comme le rapport des angles des plans à quatre angles droits. Donc, dans un cercle dont la circonférence est de 360°, l’angle sous-tendant l’arc intercepté contiendra le même nombre de degrés que l’arc, dans un système ou un angle droit contient 90°.

De tous les angles formés par l’écliptique, les plus utiles pour nous sont ceux formés par son intersection avec le méridien ou avec l’horizon, dans chaque position que l’écliptique peut prendre par rapport à ceux-⁠ci, de même que ceux formés avec un grand cercle passant par les pôles de l’horizon, qui nous permettront de connaître l’arc de ce cercle compris entre son intersection avec l’écliptique et le zénith. En plus d’avoir une valeur didactique, ces démonstrations serviront beaucoup dans la détermination de la parallaxe lunaire, un sujet impossible à comprendre sans avoir d’abord compris comment calculer ces angles.

Il y a toujours quatre angles à l’intersection de deux cercles, soit l’écliptique et un autre, mais nous ne parlerons que d’un seul, à savoir celui qui se trouve derrière l’intersection des deux cercles et au nord de l’écliptique.

Le calcul des angles formés par l’écliptique et le méridien étant le plus simple, commençons donc par ceux-⁠ci, en démontrant d’abord que les points de l’écliptique à distance égale du même équinoxe forment tous des angles égaux entre eux. Soit un arc de l’équateur, ABG, et un arc de l’écliptique, DBE, avec Z étant le pôle de l’équateur. Traçons deux arcs égaux, BH et BΘ, de part et d’autre de l’équinoxe B, et passons parle pôle Z et les points H et Θ les arcs méridiens ZKH et ZΘL. Je dis que l’angle KHB est égal à l’angle ZΘE. Ceci est évident, puisque le triangle sphérique BHK est équiangle au triangle sphérique BΘL, puisque les trois côtés correspondants dans chaque triangle sont égaux, soit HB à BΘ, HK à ΘL, et BK à BL, tel que démontré précédemment. Nous avons donc

∠ KHB = ∠ BΘL = ∠ ZΘE

Aussi, nous devons démontrer que la somme des angles formés avec le méridien par des points de l’écliptique équidistants d’un même solstice est égale à deux angles droits [soit 180°]. Cela est évident, puisque les points D et E sont à égale distance du solstice, et donc que l’arc DZ est égal à l’arc ZE. Ainsi, l’angle ZDB est égal à l’angle ZEB. Comme ∠ ZEB + ∠ ZEG = 180°, ∠ ZDB + ∠ ZEG = 180°.

Ceci démontré, traçons maintenant le méridien ABGD et la courbe AEG comme étant une moitié de l’écliptique. Le solstice d’hiver étant supposé être en A, nous traçons la demi-⁠circonférence BED centrée sur lui et ayant pour rayon le côté du carré inscrit . Vu que le méridien ABGD passe par les pôles respectifs de AEG et de BED, l’arc ED est un quadrant [90°] ; l’angle DAE est donc droit. De même, les théorèmes exposés précédemment nous indiquent que l’angle au solstice d’été est également droit.

Prenons maintenant le méridien ABGD, la courbe AEG comme une moitié de l’équateur, et AZG une moitié de l’écliptique, avec A comme étant l’équinoxe d’automne. De celui-⁠ci comme pôle, traçons la demi-circonférence BZED, au rayon égal au côté du carré inscrit . Puisque ABGD passe par les pôles respectifs de AEG et de BED, AZ et ED sont donc des quadrants [90°] ; Z sera le solstice d’hiver, et l’arc ZE mesure environ 23° 51′. L’arc entier ZED mesure donc 113° 51′, et l’angle DAZ est aussi égal à 113° 51′, où un angle droit vaut 90°. Suivant le théorème précédent, l’angle à l’équinoxe de printemps est son supplément, soit 66° 09′.

Prenons encore un méridien ABGD, la courbe AEG comme étant une moitié de l’équateur, et BZD une moitié de l’écliptique, avec Z comme étant l’équinoxe d’automne. L’arc BZ correspond ici à un signe, soit celui de la Vierge, avec B au début de celui-⁠ci. De là, avec un rayon égal au côté du carré inscrit , nous traçons le demi-cercle HΘEK. Nous cherchons l’angle KBΘ. Puisque le méridien ABGD passe par les pôles respectifs de AEG et de HEK, l’arc BH, l’arc BΘ, et l’arc EH sont tous des quadrants [90°]. De là, nous avons

En tout, l’arc ΘEK entier et l’angle opposé KBΘ sont chacun de 111° ; les théorèmes précédents nous permettent d’affirmer que l’angle au point où débute le Scorpion sera aussi de 111°, et les angles au début du Taureau et au début des Poissons, puisqu’ils sont le supplément des précédents, sont chacun de 69°.

Dans ce même diagramme, si l’arc ZB est supposé compter deux signes, avec B étant le début du Lion, le reste demeurant le même,

L’angle au début du Sagittaire est donc aussi de 102° 30′, et les angles aux débuts des Gémeaux et du Verseau seront donc leur supplément, soit 77° 30′. Ceci complète donc notre démonstration. La même méthode peut être utilisée pour des portions plus petites de l’écliptique, mais en pratique, il suffit de les connaître pour chacun des signes.

11. Des angles entre l’écliptique et l’horizon

Nous allons maintenant démontrer comment trouver l’angle que fait l’écliptique avec l’horizon pour une latitude et un moment donnés — une procédure plus simple que les suivantes. Pour la sphaera recta, il est évident que les angles qu’il fait avec le méridien sont les mêmes que ceux qu’il fait avec l’horizon. Mais pour les connaître dans la sphaera obliqua, il faut d’abord démontrer que les angles faits au points de l’écliptique qui sont équidistants d’un équinoxe sur un même horizon sont égaux entre eux.

Prenons donc le méridien ABGD, avec une moitié de l’équateur représentée par AEG et une moitié de l’horizon, par BED. Traçons deux segments de l’écliptique, soit ZHΘ et MLK, les points Z et K représentant tous les deux l’équinoxe d’automne [à deux moments différents]. Je dis que ∠ EHΘ = ∠ DLK. Ceci est immédiatement évident, puisque △ EZH ≚ △ EKL. Les théorèmes précédents nous disent en effet que

J’affirme de même que, si deux points sont diamétralement opposés, l’angle au point de lever de l’un et l’angle au point de coucher de l’autre totalisent 180°. Traçons donc ABGD comme le cercle de l’horizon et AEGZ comme l’écliptique, intercroisés en A et en G. L’angle ZAD et l’angle DAE totalisent 180°. Mais ∠ ZAD = ∠ ZGD, donc ∠ ZGD + ∠ DAE = 180°.

Ceci étant démontré, et puisque nous avons aussi démontrés que les angles formés sur l’horizon par des points équidistants d’un même équinoxe sont égaux, si deux points sont équidistants des solstices, un à l’est [temps de lever] et l’autre à l’ouest [temps de coucher], ils totaliseront aussi 180°. Si donc nous trouvons les angles orientaux [temps de lever] du Bélier jusqu’à la Balance, nous connaîtrons les angles orientaux de l’autre moitié [de l’écliptique], ainsi que les angles occidentaux [temps de coucher] des deux moitiés [de l’écliptique].

Prenons donc encore comme exemple le parallèle où la hauteur du pôle nord est de 36° au-dessus de l’horizon. Les angles formés sur l’horizon aux équinoxes par l’écliptique se trouvent facilement. Traçons donc le méridien ABGD ; la moitié est de l’horizon, soit AED ; le quadrant EZ de l’équateur ; et les deux quadrants, EB et EG, de l’écliptique — avec E représentant l’équinoxe d’automne pour EB et celui de printemps pour EG, avec B étant le solstice d’hiver et G celui d’été. L’arc DZ mesurant 54°  et BZ et ZG chacun 23° 51′, l’arc GD est égal à la différence, soit 30° 09′, et l’arc BD est égal à la somme, soit 77° 51′. Puisque E est le pôle du méridien ABG, ∠ DEG = 30° 09′ (début du Bélier), et ∠ DEB = 77° 51′ (début de la Balance).

Pour mieux comprendre ce qui suit, c’est-à-dire comment trouver les angles pour les autres points [de l’écliptique], cherchons à déterminer l’angle de lever entre le début du Taureau et l’horizon. Traçons donc le méridien ABGD et la moitié est de l’horizon, BED. AEG représentera une moitié de l’écliptique, avec E étant le début du Taureau. À cette latitude [de 36° toujours], quand le début du Taureau se lève, le point à la culmination inférieure est 17° 41′ du Cancer — nous avons déjà expliqué comment trouver ce point grâce au tableau des levers. Cela signifie que l’arc EG mesure moins de 90°. Traçons, avec comme centre E et rayon la longueur du côté d’un carré inscrit, l’arc de grand cercle ΘHZ, et complétons les deux quadrants EGH et EDΘ. DGZ et ZHΘ mesureront donc chacun 90°, puisque l’horizon BEΘ passe par les pôles respectifs du méridien ZGD et du grand cercle ZHΘ. De plus, puisque 17° 41′ du Cancer est au nord de l’équateur, d’un écart égal à 22° 40′, tel que précédemment déterminé, et que l’équateur est à 36° du pôle Z de l’horizon sur le même arc ZGD, nous pouvons conclure que l’arc ZG mesure 58° 40′. Partant de cela, dans le diagramme nous avons

Pour ne pas alourdir inutilement ce traité par des répétitions inutiles, contentons-nous de dire que cette méthode s’applique aussi aux autres signes et aux autres latitudes.

12. Des angles et arcs formés avec l’écliptique par un cercle passant par les pôles et l’horizon

Nous devons maintenant démontrer comment trouver les angles que forment l’écliptique et l’horizon à toutes les latitudes et pour toutes les positions [de l’écliptique] ; et comment déterminer de même les arcs compris entre le zénith et l’intersection de l’écliptique avec l’horizon. Commençons par quelques théorèmes préparatoires ; d’abord, si deux points de l’écliptique sont équidistants d’un même solstice, avec des temps égaux de part et d’autre (est et ouest) du méridien, alors les arcs de grands cercles inclus entre chacun de ces points et le zénith sont égaux entre eux. Aussi, que la somme des angles à ces points est toujours de 180°, lorsque considérés dans le sens que nous avons défini.

Soit ABG, un segment du méridien, avec les points B au zénith et G au pôle de l’équateur. Traçons deux portions de l’écliptique, ADE et AZH, de sorte que D et Z soient équidistants du même solstice et fassent des arcs égaux sur le parallèle qui passe par eux, de chaque côté du méridien ABG. Traçons aussi, par les points D et Z, des arcs de grands cercles GD et GZ, depuis le pôle de l’équateur, et les arcs BD et BZ à partir du zénith B. J’affirme que l’arc BD est égal à l’arc BZ, et que l’angle BDE et l’angle BZA totalisent ensemble deux angles droits [180°]. Puisque les points D et Z coupent des arcs égaux du parallèle passant par eux de chaque côté du méridien ABG, ∠ BGD = ∠ BGZ. Dans les deux triangles sphériques BGD et BGZ, donc, les côtés GD et GZ sont de même longueur, BG est identique car commun, et ∠ BGD = ∠ BGZ. Ils ont donc deux côtés et l’angle inclus égal, donc BD = BZ (les bases) et ∠ BZG = ∠ BDG.

Mais nous avons démontré que la somme des angles formés de part et d’autre sur des points du cercle passant par les pôles de l’équateur, qui sont équidistants d’un même solstice, est égale à deux angles droits [180°], donc ∠ GDE + ∠ GZA = 180°, et nous avons démontré que ∠ BDG = ∠ BZG, alors nous concluons que ∠ BDE + ∠ BZA = 180°.

Démontrons maintenant que, si deux points de l’écliptique sont équidistants du méridien (mesurés en degrés de temps), et de part et d’autre (est et ouest) de celui-⁠ci, les arcs de grands cercles du zénith à ces points sont égaux, et que la somme des deux angles correspondants à l’est et à l’ouest est égale à eux fois l’angle formé par le même point au méridien, pourvu que, pour chacune des deux positions, les points culminent soient au nord ou au sud du zénith.

Supposons d’abord qu’ils soient tous deux au sud. Traçons un segment ABGD du méridien, avec G au zénith et D au pôle de l’équateur. Traçons aussi deux segments de l’écliptique, AEZ et BHΘ, de sorte que E et H représentent le même point [à deux moments différents] de part et d’autre du méridien ABGD, à une distance du méridien égale pour l’un et l’autre. Traçons enfin les deux arcs de grands cercles GE et GH en partant par G, et DE et DH en partant de D. Nous avons déjà vu que, puisque E et H, qui sont sur le même parallèle, font des arcs égaux de celui-⁠ci de part et d’autre du méridien, le triangle sphérique GDE est égal et équiangle au triangle sphérique GDH, donc arc GE = arc GH. J’affirme donc que ∠ GEZ + ∠ GHB = 2 ∠ DEZ = 2 ∠ DHB.

Reprenons les mêmes grands cercles, mais supposons maintenant que A et B soient au nord du point G. Je dis que la même chose se produira, c’est-à-dire que les deux angles KEZ et LHB sont égaux aux angles DEZ et DHB [∠ KEZ + ∠ LHB = 2 ∠ DEZ = 2 ∠ DHB]. Vu que ∠ DEZ = ∠ DHB et que ∠ DEK = ∠ DHL, alors ∠ LHB = ∠ DEZ + DEK, et donc ∠ LHB + ∠ KEZ = 2 ∠ DEZ = 2 ∠ DHB.

Traçons maintenant un diagramme similaire, mais avec le point A, au méridien, plus au sud que le point G, lui-même plus au sud que le point B. J’affirme que les deux angles GEZ et LHB totalisent deux angles droits [180°] de plus que les angles DEZ et DHB [donc ∠ GEZ + ∠ LHB = 2 ∠ DEZ + 180°]. Ceci peut être démontré ainsi : Puisque ∠ DHG = ∠ DEG et que ∠ DHG + ∠ DHL = 180°, alors ∠ DEG + ∠ DHL = 180°. Mais ∠ DEZ = ∠ DHB, alors ∠ GEZ + ∠ LHB = (∠ DEZ + ∠ DHB) + (∠ DEG + ∠ DHL) = (∠ DEZ + ∠ DHB) + 180° = 2 ∠ DEZ + 180°.

Supposons maintenant, dans un diagramme semblable, le point A plus au nord que G, lui-même plus au nord que B. J’affirme que ∠ KEZ + ∠ GHB = 2 ∠ DEZ − 180°. Les mêmes théorèmes prouvent que ∠ KEZ et ∠ GHB ensemble sont plus petits que 2 ∠ DEZ − (∠ DEK + ∠ DHG). Mais ∠ DEK + ∠ DHG = deux angles droits [180°], puisque ∠ DEK + ∠ DEG = deux angles droits et que ∠ DEG = ∠ DHG.

Il est possible et même facile de connaître la taille des angles et des arcs formés par l’écliptique et un grand cercle qui passe par le zénith ; ceux au méridien et à l’horizon peuvent être déterminés de la manière suivante. Traçons donc le méridien ABGD, une moitié de l’horizon BED, et une moitié de l’écliptique dans une position aléatoire, ZEH. Imaginons maintenant un grand cercle d’altitude passant par le zénith A et le point de l’écliptique qui culmine Z ; il coïncide avec le méridien ABGD. Dès lors, ∠ DZE sera immédiatement connu, puisque le point Z et l’angle avec le méridien au point Z sont connus. L’arc AZ sera aussi déterminé, puisque la distance en degrés sur le méridien du point Z à l’équateur ainsi que la distance de l’équateur au zénith A nous sont toutes les deux connues . Imaginons maintenant le grand cercle AEG passant par le zénith A et par l’horizon est E ; il est évident que l’arc AE sera toujours le quart de la circonférence [90°], puisque le point A est le pôle de l’horizon BED. Pour cela, donc, l’angle AED est toujours droit, et vu que nous connaissons l’angle DEH de l’écliptique sur l’horizon, alors l’angle entier AEH [= ∠ AED + ∠ DEH] est aussi déterminé.

Ainsi donc, avec les théorèmes que nous venons de démontrer, si nous calculons seulement les angles qui précèdent le méridien [qui sont à l’est de celui-⁠ci], et seulement pour les signes du début du Cancer au début du Capricorne, nous connaîtrons en même temps les angles et les arcs qui sont après le méridien [à l’ouest], de même que les angles et les arcs des autres signes, d’un côté du méridien comme de l’autre. Mais, pour rendre le processus plus clair pour toutes les situations possibles, nous allons exposer le cas général par un exemple .

À la latitude habituelle, soit celle où le pôle nord céleste est à 36° au-dessus de l’horizon, supposons que le début du Cancer est à une heure équinoxiale du méridien, vers l’est. Le point au méridien, pour cette latitude, est alors 16° 12′ des Gémeaux, et le point 17° 37′ de la Vierge se lève à l’horizon est. Traçons donc ABGD le méridien, avec la moitié de l’horizon BED, et la moitié de l’écliptique ZHΘ, de sorte que H est le début du Cancer, Z est le point 16° 12′ des Gémeaux, et Θ est le point 17° 37′ de la Vierge. Traçons aussi l’arc de grand cercle AHEG passant par le zénith A et le début du Cancer H. Nous cherchons à déterminer l’arc AH.

Il est évident que l’arc ZΘ mesure 91° 25′  et que l’arc HΘ mesure 77° 37′ . Aussi, puisque 16° 12′ des Gémeaux croise le méridien à 23° 07′ au nord de l’équateur, et que l’équateur est à 36° du zénith [sur le méridien], l’arc AZ mesurera 12° 53′  et l’arc ZB, son complément, mesurera 77° 07′. Partant de ces valeurs, et en suivant le diagramme,

Voici maintenant comment trouver l’angle AHΘ. Prenons le même diagramme et, du pôle H et du rayon égal au côté du carré inscrit , traçons l’arc de grand cercle KLM. Puisque le cercle AHE passe par les pôles de EΘM et de KLM, EM et KM sont tous les deux des quadrants. Encore selon le diagramme, nous avons donc

La méthode par laquelle nous avons trouvé ces valeurs doit être utilisée pour trouver les autres, mais pour toujours avoir sous la main ces angles et ces arcs en cas de besoin, nous les avons calculées à partir du parallèle de Méroé, où le jour le plus long dure 13 heures équinoxiales, jusqu’au parallèle des Bouches du Borysthène dans la mer Pontique [la mer Noire], où le jour le plus long dure 16 heures équinoxiales. Nous avons utilisé des intervalles d’une demi-heure, d’un climat [latitude] à l’autre, comme pour les ascensions [temps de lever]. Pour les sections de l’écliptique, nous procéderons de signe en signe. Pour les positions [à partir] du méridien, tant à l’est qu’à l’ouest, nous procéderons d’heure en heure équinoxiale. Le tableau que nous avons dressé à partir de ces valeurs donne, dans la première colonne, par climat [latitude] et par dodécatémorie [signe], le nombre d’heures équinoxiales de distance de chaque côté du méridien ; la seconde colonne donnera les valeurs des arcs compris entre le zénith et le début du signe en question ; enfin, dans les troisième et quatrième colonnes, nous donnerons les valeurs des angles formés par les intersections mentionnées [entre l’écliptique et le grand cercle vertical passant par le zénith et perpendiculaire à l’horizon], à l’est dans la troisième colonne, et à l’ouest dans la quatrième colonne. Rappelons que, selon notre définition originale, nous avons toujours pris l’angle qui est derrière [à l’est de] l’intersection des cercles et au nord de l’écliptique, en exprimant la valeur de chacun d’entre eux par le nombre de degrés dont 90 font un angle droit. Voici ces tableaux.

13. Tableaux des angles et arcs, par parallèles

[NdT : J’ai choisi d’afficher par défaut seulement l’en-tête de chaque tableau. Cliquer sur celui-⁠ci affichera/cachera le tableau correspondant. La colonne « Arc » de chaque tableau désigne la distance zénithale, terme pour lequel il n’existait aucun équivalent grec à l’époque. La colonne « Angle à l’est » indique l’angle entre l’écliptique et le grand cercle perpendiculaire à l’horizon et le zénith, lorsque le point est à un angle horaire correspondant à l’heure spécifiée vers l’est ; la colonne « Angle à l’ouest » donne la même information, mais lorsque la constellation est à l’ouest du méridien du même angle. Dans tous les cas (sauf pour « Midi »), la somme de la colonne « Angle à l’est » et de la colonne « Angle à l’ouest » est égale à deux fois la valeur de la colonne « Angle à l’est » pour midi pour un signe donné. Pour Méroé, qui est le seul lieu subtropical, un « N » après un angle (à l’est ou à l’ouest) signifie que le point donné est au nord du zénith. Dans tous les autres cas pour cette ville, ainsi que pour toutes les autres villes, le point est au sud de l’écliptique.

À nouveau, j’ai choisi de ne pas donner de graphique d’erreurs ou de version corrigée de ce tableau, son information étant moins intéressante pour les astronomes modernes.]