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Οἶδ’ ὅτι θνατὸς ἐγὼ καὶ ἐφάµερος· ἀλλ’ ὅταν ἄστρων
ἰχνεύω πυκινὰς ἀµφιδρόµους ἕλικας,
οὐκέτ’ ἐπιψαύω γαίης ποσίν, ἀλλὰ παρ’ αὐτῷ
Ζηνὶ διοτρεφέος πίµπλαµαι ἀµβροσίης.

Je sais que je suis mortel par nature, et éphémère ; mais quand je trace à mon gré le va-et-vient des corps célestes, je ne touche plus la terre avec mes pieds : je me tiens en présence de Zeus lui-même et je fais le plein d’ambroisie, nourriture des dieux.

(Citation attribuée à Ptolémée)

1. Introduction

Mon cher Syrus, les philosophes avaient raison, je crois, de distinguer la partie théorique et la partie physique de la philosophie. Bien que la philosophie pratique, avant même d’être pratique, soit théorique, on peut tout de même voir une grande différence entre les deux : d’abord, il est possible pour plusieurs d’avoir des vertus morales sans les avoir apprises, tandis qu’il est impossible d’avoir une compréhension théorique du monde sans apprentissage ; de plus, on obtient davantage de bénéfice dans la pratique continue des affaires dans le premier cas, mais de faire du progrès théorique dans l’autre. Nous avons donc cru bon de guider nos actions, considérant nos idées personnelles, de façon à ne jamais oublier, même dans les choses ordinaires, de toujours viser un point de vue noble et discipliné, mais de dévouer le plus clair de notre temps aux choses intellectuelles, de façon à enseigner des théories — belles et multiples — et surtout celles auxquelles le terme « mathématique » peut s’appliquer. Aristote divise d’ailleurs la philosophie théorique en trois catégories principales : physique, mathématique, et théologie. Tout ce qui existe est composé de matière, de forme, et de mouvement, qui ne peuvent être observés en isolation, mais simplement imaginés. La première raison du premier mouvement du monde, si on le considère simplement, peut être imaginé comme une divinité invisible et immobile ; l’étudier relève du domaine de la théologie, puisque l’on ne peut qu’imaginer cette action complètement séparée de la réalité perceptible. La physique, quant à elle, s’intéresse à la nature matérielle et mobile, qu’elle décrit par des termes comme « blanc », « chaud », « sucré », « doux », et autres — des caractéristiques des corps corruptibles situés sous la sphère lunaire. Enfin, les mathématiques traitent des formes et des mouvements d’un lieu à l’autre ainsi que de leurs caractéristiques comme la forme, le nombre, la taille, l’endroit, le temps, et autres. Leur sujet se situe entre ceux des deux autres puisqu’on peut d’abord la considérer comme un mélange des deux avec ou sans l’aide des sens et, de plus, elles caractérisent tout ce qui est sans exception, mortel et immortel, puisqu’elles changent avec les choses qui sont en perpétuel changement dans leur forme inséparable, et conservent la nature des choses éthérées et éternelles.

Ceci nous amène à conclure que les deux premiers types de philosophie naturelle sont plus apparentées aux conjectures qu’au savoir : la théologie, de par sa nature invisible et intangible ; la physique, de par sa nature instable et incertaine. Les philosophes n’arriveront donc jamais à s’entendre sur elles. Seules les mathématiques peuvent apporter un savoir certain et inébranlable à qui les pratiquent, pourvu que ce soit avec rigueur. Ses preuves découlent de méthodes indisputables, soit l’arithmétique et la géométrie. Nous avons donc été attirés par l’étude de cette branche de la philosophie théorique en général, mais aussi en particulier par la théorie des choses divines et célestes ; la seule qui soit dévouée à l’étude de ce qui est éternel et inchangé. Pour cette raison, elle aussi peut être considérée comme éternelle et fixe, ce qui est propre au savoir, dans son propre domaine, qui est ni imprécis ni en désordre. De plus, elle peut opérer dans les domaines des deux autres aussi bien qu’elles, puisqu’elle est la meilleure science pour aider la théologie, étant la seule à pouvoir conjecturer sur l’activité de ce qui est immobile et séparé : elle est familière avec les attributs de ces choses qui sont perceptibles, mobiles, et mues, mais aussi celles qui sont éternelles et constantes, ayant à faire avec les mouvements et leurs arrangements. Les mathématiques peuvent aussi contribuer à la physique de manière significative, puisque chaque aspect de la nature matérielle devient apparent à partir des particularités de son mouvement d’un lieu à l’autre. Le corruptible et l’incorruptible se distinguent donc par le mouvement rectiligne du circulaire, le lourd du léger, le passif de l’actif, et l’approche du centre de son éloignement. Au vu de la virtueuse conduite des actions et caractères, cette science, plus que toute autre, donne une vision claire aux humains ; de la constance, de l’ordre, de la symétrie, et du calme associés au divin, elle fait en sorte que ses adeptes aiment la beauté divine, les habituant et changeant leur nature vers un état spirituel semblable.

C’est cet amour de la contemplation de l’éternel et constant que nous cherchons constamment à accroître, en étudiant les branches de ces sciences qui ont été maîtrisées par ceux qui les ont abordées avec un réel souci d’approfondissement, et par nous qui cherchons à contribuer autant qu’il ait été rendu possible par l’espace de temps écoulé entre ces gens et nous-mêmes. Nous ambitionnons donc de noter tout ce que nous croyons avoir découvert jusqu’à maintenant, de façon aussi concise que possible et qui puisse être suivie par toute personne ayant déjà acquis certaines connaissances dans ce domaine. Par souci de complétude, nous présenterons toutes ces choses dans l’ordre, mais nous nous contenterons, par souci d’économie d’espace, de relater ce qui a été établi proprement par nos prédécesseurs ; toutefois, des choses qu’ils n’ont pas ou pas suffisamment discutées, nous discuterons en détail du mieux possible.

2. De l’ordre des théorèmes

Nous proposons donc d’abord de définir la relation de la Terre dans son entier par rapport au ciel dans son entier. Pour ce faire, nous devons premièrement discuter de la position de l’écliptique et des régions de notre partie du monde habité, de même que des caractéristiques de chacune dues à la latitude de chaque horizon dans l’ordre. Ceci est dans le but de rendre le reste de la discussion plus facile à comprendre. Ensuite, nous aborderons les mouvements du Soleil et de la Lune de même que les phénomènes qui les accompagnent — il serait difficile d’examiner la théorie des astres sans d’abord comprendre ces choses. Enfin, nous aborderons la théorie des étoiles — de la sphère des « étoiles fixes » d’abord, puis de celle des cinq « planètes », comme on les appelle. Nous tenterons de fournir des preuves sur tous ces sujets à partir de points de départ et de fondations pour notre recherche des phénomènes évidents, et des observations des anciens et contemporaines qui sont fiables. Nous ajouterons par la suite de la structure à ces idées par des preuves aux méthodes géométriques.

La discussion préliminaire générale couvre les sujets suivants : le ciel est sphérique et se déplace comme une sphère ; la Terre aussi est essentiellement sphérique, lorsque prise dans son ensemble ; elle se trouve au milieu du firmament très près de son centre ; sa taille est comme un point par rapport à sa distance à la sphère des étoiles fixes ; elle ne se déplace pas. Nous discuterons de chacun de ces points pour mieux nous en souvenir.

3. Que le ciel se meut sphériquement

Il est plausible que les anciens aient obtenu leurs premières notions de ces sujets d’après les sortes d’observations suivantes. Ils ont vu que le Soleil, la Lune, et les autres étoiles se déplacent d’est en ouest sur des cercles qui sont toujours parallèles entre eux ; qu’ils se lèvent de sous la Terre, montent dans le ciel, puis redescendent vers la Terre pour devenir invisibles pendant un certain temps avant de se lever à nouveau, frais et dispos ; et que les périodes et les endroits de ces levers et couchers sont fixes.

Ce qui les a principalement menés au concept de la sphère est la révolution des étoiles toujours visibles, qui a été observée être circulaire et prenant place autour d’un centre unique. Par nécessité, ce point est devenu le pôle de la sphère céleste : les étoiles qui en sont plus près tournent sur de plus petits cercles ; celles plus distantes décrivent des cercles d’autant plus grands qu’elles en sont lointaines ; jusqu’à atteindre la distance des étoiles qui deviennent invisibles. Dans le cas de ces dernières, ils ont noté que celles situées plus près de celles qui sont toujours visibles demeurent cachées pour un court intervalle de temps, tandis que celles plus lointaines demeurent cachées pendant plus longtemps, toujours en proportion. Le résultat initial est qu’ils ont obtenu ce savoir simplement à partir de telles considérations ; mais de là, leurs études subséquentes ont révélé que tout est en accord avec celles-ci, puisque tous les phénomènes sont en contradiction des autres notions qui ont été proposées.

Si on suppose, par exemple, que le mouvement des étoiles est rectiligne vers l’infini, comme certains l’ont proposé, comment donc expliquer qu’elles débutent leur mouvement à partir du même point chaque jour ? Comment reviendraient-elles si leur mouvement était vers l’infini ? Et, si elles devaient revenir, comment cela ne serait-il pas apparent ? Elles deviendrait graduellement plus petites jusqu’à disparaître, tandis qu’elles semblent au contraire plus grandes au moment de disparaître, auquel moment elles sont cachées par la surface terrestre.

D’un autre côté, de supposer qu’elles sont allumées à leur lever et éteintes à leur coucher est une hypothèse absurde. Car même si on pouvait admettre que leur ordre strict, en taille et en nombre, leurs intervalles, leurs positions, et leur période puissent être répétés par un tel procédé aléatoire, qu’une partie de la Terre les allume et qu’une autre les éteigne — en fait, que la même partie les allume pour certains observateurs mais les éteigne pour d’autres, et que certaines étoiles soient allumées pour certains observateurs mais éteintes pour d’autres — même si on pouvait ainsi admettre toutes ces choses ridicules, que pourrait-on dire des étoiles toujours visibles, qui ne se lèvent ni ne se couchent ? Les étoiles qui sont allumées et éteintes devraient se lever pour les observateurs de partout, tandis que celles qui ne le sont pas devraient être visibles de partout. Comment pourrions-nous expliquer que ça n’est pas le cas ? Nous ne pourrions certes pas dire que les étoiles qui sont allumées et éteintes pour certains observateurs ne subissent pas cette action pour d’autres observateurs ; mais il est plus qu’évident que les mêmes étoiles montent et descendent dans certaines régions et ne font rien de cela dans d’autres.

Bref, si on suppose pour les corps célestes quelque mouvement que ce soit sauf le mouvement sphérique, leurs distances, telles que mesurées depuis la Terre, varieraient nécessairement, peu importe où la Terre serait située. Les tailles et distances mutuelles des étoiles varieraient donc pour les mêmes observateurs pendant chaque révolution, puisqu’à un moment donné, elles seraient à une plus grande distance, et à une moindre distance à un autre moment. Or, aucune telle variation n’est observée ; leur gonflement apparent près de l’horizon  est dû non pas à une moindre distance, mais aux gaz émanant de la Terre qui sont interposés entre notre emplacement et celui des astres, tout comme les objets placés dans l’eau apparaissent plus gros qu’ils le sont, et plus ils calent creux, plus ils semblent gros.

Les considérations suivantes nous amènent aussi à conclure à la sphéricité du ciel. Aucune autre hypothèse ne peut expliquer comment les cadrans solaires produisent des résultats corrects ; de plus, le mouvement des corps célestes est le plus libre et sans entrave qui soit, et le mouvement le plus libre appartient au cercle parmi les figures planes et à la sphère parmi les solides ; de même, de toutes les formes ayant une limite égale ceux avec le plus d’angles sont plus grands, le cercle est plus grand que les autres surfaces et la sphère plus que les autres solides ; les cieux sont plus grands que les autres corps.

On peut de plus déduire cette notion de certaines considérations physiques. Par exemple, l’éther est, de tous les corps, celui dont les composantes sont les plus fines et les plus semblables entre elles ; les corps dont les parties sont semblables entre elles ont des surfaces qui sont semblables entre elles ; mais les seules surfaces dont les parties sont semblables entre elles sont circulaires, parmi les plans, et sphériques, parmi les solides. Puisque l’éther n’est pas plat, mais tridimensionnel, il s’ensuit qu’il est sphérique. De même, la nature a formé les corps terrestres et corruptibles de formes qui sont rondes mais pas semblables, mais tous les corps éthérés et divins de formes qui sont semblables et sphériques. Si ces derniers devaient être plats ou de la forme d’un disque, ils ne montreraient pas toujours une forme circulaire à toutes les personnes qui les observent simultanément de divers endroits sur la Terre. Il est donc, pour cela, plausible que l’éther qui les entoure soit aussi de même nature, sphérique, et parce que ses parties semblables se meuvent de façon circulaire et uniforme.

4. Que la Terre est, sans son ensemble, sensiblement de forme sphérique

Que la Terre aussi, dans sa totalité, soit essentiellement sphérique peut être déduit des points suivants. On peut voir, encore, que le Soleil, la Lune, et les autres astres ne se lèvent et ne se couchent pas en même temps pour tous les endroits, mais le font plus tôt à l’est, plus tard à l’ouest. Aussi, les phénomènes des éclipses, surtout les éclipses lunaires, qui se produisent au même moment sont toutefois observés à des heures variées par tous les observateurs ; l’heure notée par les observateurs orientaux est toujours plus tardive que celle des occidentaux, et les différences sont proportionnelles aux distances entre les lieux. On peut donc en conclure que la Terre est sphérique, parce que sa surface de courbe constante cache les astres pour chaque observateur de façon ordonnée et régulière.

Si la Terre avait toute autre forme, cela ne se produirait pas, comme on peut le prouver ainsi. Si elle était concave, les astres se lèveraient d’abord pour les occidentaux ; si elle était plate, ils se lèveraient en même temps partout sur la Terre ; si elle était triangulaire, carrée, ou polygonale, de même, ils se lèveraient et se coucheraient simultanément pour tous ceux vivant sur la même face plate. Mais il est évident que cela ne se passe pas ainsi. Elle ne peut non plus être cylindrique, la face courbe dans la direction est–ouest et les côtés plats vers les pôles du monde, ce que certains considèrent plus probable. Cela est clair : pour les gens vivant sur la surface courbe aucune étoile ne serait toujours visible, mais soit toutes les étoiles se lèveraient et se coucheraient pour tous les observateurs, ou toutes les étoiles à une certaine distance des pôles seraient toujours invisibles pour tous les observateurs. En fait, plus on voyage vers le nord, plus les étoiles de l’hémisphère sud disparaissent et plus les étoiles boréales apparaissent. Il est donc clair que la courbure de la Terre cache de la même façon dans la direction nord–sud, prouvant ainsi la sphéricité dans toutes les directions.

Enfin, quand on navigue vers des montagnes ou des endroits élevés vers n’importe quelle direction, on les observe aussi graduellement croître en hauteur comme s’ils s’élevaient de la mer dans laquelle ils étaient submergés ; cela est dû à la courbure de la surface de l’eau.

5. Que la Terre est au centre du ciel

Une fois que l’on a compris cela, si on considère maintenant la position de la Terre, on notera que les phénomènes qui lui sont associés ne peuvent se produire que si la Terre est au milieu du firmament, comme le centre d’une sphère. Si tel n’était pas le cas, la Terre devrait être soit pas dans l’axe mais équidistante de chaque pôle ; soit dans l’axe mais plus près d’un des pôles ; ou ni dans l’axe ni à distance égale des deux pôles.

La première des trois suppositions n’est pas vraie parce que si la Terre était plus près du zénith ou du nadir d’un observateur, si celui-ci était à sphaera recta , il n’observerait jamais d’équinoxes, puisque l’horizon diviserait toujours les cieux en deux parties inégales, l’une au-dessus de la Terre et l’autre au-⁠dessous ; s’il était à sphaera obliqua , soit les équinoxes ne se produiraient pas, soit ils ne seraient pas à mi-chemin entre les solstices d’été et d’hiver, puisque ces intervalles seraient nécessairement inégaux, parce que l’équateur, qui est le plus grand cercle parallèle autour des pôles du mouvement, ne serait pas divisé également en deux par l’horizon, qui diviserait plutôt un des cercles parallèles à l’équateur, soit au nord, soit au sud de celui-ci. Or, tous s’entendent pour dire que ces intervalles sont les mêmes partout sur la Terre, puisque l’accroissement des jours par rapport à l’équinoxe vers le solstice d’été est égal à la diminution des jours de l’équinoxe au solstice d’hiver. Si la Terre était plutôt décentrée vers l’est ou vers l’ouest, on constaterait que les tailles et distances des étoiles ne demeureraient pas fixes aux horizons est et ouest, et que le temps entre leur lever et leur culmination ne serait pas le même qu’entre celle-ci et leur coucher, ce qui ne concorde pas du tout avec les observations.

Si la Terre était plus proche d’un des pôles, le plan de l’horizon diviserait les cieux entre une partie au-dessus de la Terre et une partie sous la Terre qui seraient inégales et toujours différentes pour des latitudes différentes, que l’on considère la même partie à deux latitudes différentes ou deux parties à la même latitude. L’horizon couperait la sphère en deux parties égales seulement à sphaera recta, tandis qu’à sphaera obliqua, où le pôle le plus rapproché serait toujours visible, l’horizon rendrait toujours la partie au-dessus de la Terre plus petite que la partie sous la Terre, et l’écliptique serait divisés inégalement par le plan de l’horizon. Il est toutefois évident que cela n’est pas le cas : six signes du zodiaque sont visibles au-dessus de la Terre en tout temps et en tout lieu, tandis que les six autres sont invisibles, et plus tard, ces dernières sont visibles et les autres ne le sont pas. Il est donc évident que l’horizon divise le zodiaque en deux parties égales, puisque les mêmes demi-cercles sont divisés de sorte à être au-dessus de la Terre en un moment, mais sous celle-ci en un autre moment.

En général, si la Terre n’était pas située exactement sous l’équateur, mais qu’elle était déplacée vers le nord ou le sud dans la direction d’un des pôles, l’ombre d’un gnomon au lever du soleil à l’équinoxe ne serait pas en ligne avec l’ombre au coucher du soleil dans un plan parallèle à l’horizon, ni même proche ; c’est toutefois un phénomène facilement observé partout.

Il est donc clair que la troisième supposition est de même impossible, puisque les mêmes types d’objections faites aux premiers se produiraient aussi dans un tel cas.

En bref, si la Terre n’était pas au centre, l’ordre des choses observées dans l’accroissement et la diminution de la longueur du jour serait fondamentalement différent. De plus, les éclipses de Lune ne seraient pas restreintes aux situations où la Lune est diamétralement opposée au Soleil, peu importe dans quelle partie du ciel, puisque la Terre viendrait entre les deux lorsqu’ils ne sont pas diamétralement opposés, mais à intervalles de moins d’un demi-cercle.

6. Que la Terre est comme un point par rapport au ciel

La Terre a, à toutes fins pratiques, la taille d’un point par rapport à la distance de la sphère des étoiles dites fixes. À preuve : la taille et la distance des étoiles sont, en tout moment, égales et les mêmes pour toutes les parties de la Terre, et les observations des mêmes objets depuis différentes latitudes n’ont aucune différence entre elles. En outre, les gnomons installés en n’importe quel endroit du monde, de même que les sphères armillaires, agissent comme s’ils étaient au centre de la Terre ; les lignes de visées et le parcours des ombres qu’ils génèrent sont en accord aussi parfait que possible avec les hypothèses expliquant les phénomènes que s’ils passaient par le point central de la Terre.

Une autre indication de cela est que les plans tracés par les lignes de visées d’un point quelconque, qu’on appelle « horizon », divisent toujours la sphère céleste en deux parties égales. Cela ne se produirait pas si la Terre avaint une taille perceptible par rapport à la distance des astres ; seul le plan passant par le centre de la Terre diviserait la sphère en deux parties égales, tandis qu’un plan passant par n’importe quel point de la surface de la Terre causerait la section sous la Terre d’être plus grande que la section au-dessus d’elle.

7. Que la Terre ne fait aucun mouvement dans l’espace

On peut démontrer, à partir des mêmes arguments, que la Terre ne peut se mouvoir dans ces directions, ni même vers aucun autre endroit que sa position centrale, puisque les mêmes phénomènes se produiraient si elle en venait à occuper une position non centrale. Je pense donc qu’il est futile de se demander pourquoi les objets tombent vers le centre, maintenant qu’il est établi si clairement, à partir des phénomènes réels, que la Terre occupe la place centrale dans le monde, et que les objets lourds sont emmenés vers la Terre. Le fait suivant, même pris seul, démontre cela : dans tous les endroits de la Terre qui, comme on l’a dit, est sphérique et au centre du monde, la direction et la trajectoire des mouvements propres de tous les corps ayant du poids est toujours et partout à angles droits par rapport au plan rigide tangent au point d’impact. Il est donc clair que, s’ils n’étaient pas arrêtés par la surface terrestre, ils atteindraient certainement le centre de la Terre elle-même, puisqu’une ligne droite vers le centre est toujours à angles droits du plan tangent à la sphère au point d’intersection avec la tangente.

Ceux qui croient paradoxal que la Terre, ayant elle-même un poids considérable, ne soit supportée par rien tout en étant immobile, me semblent faire l’erreur de juger d’après leur propre expérience plutôt qu’en considérant la nature particulière du monde. Ils ne trouveraient pas, je crois, une telle chose échange s’ils réalisaient que cette grande masse de la Terre, lorsque comparée à toute la masse environnante, a la proportion d’un point avec elle. Prenant ceci en considération, il semble donc bien possible que ce qui est relativement petit soit dominé et écrasé dans toutes les directions vers une position d’équilibre par ce qui est plus grand que tout et de nature uniforme. Il n’y pas ni haut ni bas dans le cosmos par rapport à lui-même, de même qu’on ne saurait en imaginer un dans une sphère. Le mouvement propre et naturel des corps composés est donc le suivant : les corps légers et raréfiés ont tendance à dériver vers la circonférence, mais semblent se mouvoir dans une direction qui est le « haut » pour chaque observateur, puisque cette direction que l’on appelle tous le « haut » pointe vers la surface environnante. Les corps lourds et denses, d’un autre côté, sont amenés vers le centre, mais semblent tomber vers le bas, parce que la direction de nos pieds, que nous appelons tous le « bas », pointe aussi vers le centre de la Terre. Ces corps lourds, comme on s’y attendrait, tendent vers le centre à cause de leur pression et de leur résistance mutuelles, qui est égale et uniforme depuis toutes les directions. On peut donc voir qu’il est plausible que la Terre, sa masse étant si grande comparativement à celle des corps qui tombent vers elle, puisse demeurer fixe sous l’impact de ces très faibles poids, puisqu’ils la frappent de tous les côtés, et qu’elle reçoive les objets qui tombent vers elle. Si la Terre avait un seul mouvement en commun avec les autres objets lourds, il est évident qu’elle tomberait plus rapidement qu’eux à cause de sa taille bien plus grande ; les êtres vivants et les objets lourds seraient laissés derrière, et la Terre aurait bientôt complètement tombé du ciel. Mais de telles choses sont ridicules rien qu’à y penser.

Certaines personnes, toutefois, considèrent un autre modèle ; ils sont d’accord avec ce qui précèe, puisqu’ils n’ont aucun argument contre, mais ils pensent qu’on ne pourrait les contredire si, par exemple, ils supposaient que le ciel soit immobile, et que la Terre tourne d’ouest en est sur le même axe, faisant environ une rotation par jour — ou s’ils affirmaient que le ciel et la Terre bougent tous les deux, en autant, comme on l’a dit, que ce soit sur le même axe et de telle façon à préserver le décalage de l’une par rapport à l’autre. Cependant, ils ne réalisent pas que, bien qu’il n’y ait peut-être aucun phénomène céleste pour contredire leur hypothèse, du moins à partir de considérations plus simples, mais de ce qui se passerait ici sur Terre et dans les airs, on peut voir qu’une telle idée est ridicule. Disons qu’une chose aussi naturelle puisse se produire qu’une forme aussi rare et légère de la matière ne se déplace pas ou se déplace d’une façon semblable à la matière qui est de nature opposée — bien que les objets aériens, qui sont moins raréfiés, se déplacent manifestement plus rapidement que les objets terrestres — que les objets plus denses et plus lourds aient un mouvement propre rapide et uniforme comme ils l’imaginent — bien que parfois, les objets terrestres ne sont pas facilement mus par une force extérieure. Il n’en demeure pas moins que le mouvement de rotation de la Terre serait le plus violent de tous, puisqu’il se compléterait si rapidement ; le résultat serait que tous les objets qui ne se trouvent pas au sol sembleraient avoir le même mouvement opposé à celui de la Terre — les nuages et les objets lancés se déplaceraient toujours vers l’est, puisque le mouvement de la Terre vers l’est les rattraperait toujours, de sorte que tous les autres objets se déplaceraient vers l’ouest et l’arrière. Mais s’ils disent que l’air est porté dans la même direction et a la même vitesse que la Terre, les objets composés dans l’air seraient tout de même laissés en arrière par le mouvement des deux ; ou, s’ils étaient emportés, soudés à l’air, ils ne sembleraient jamais être en mouvement dans un sens ou dans l’autre et sembleraient fixes, ne bougeant pas, qu’ils soient volants ou lancés. Or, on voit très clairement qu’ils subissent toutes sortes de mouvements, de sorte qu’ils ne sont ni ralentis ni accélérés par un quelconque mouvement de la Terre.

8. Qu’il y a deux mouvements primaires différents dans le ciel

De discuter des hypothèses précédentes était nécessaire en guise d’introduction pour les sujets particuliers qui s’ensuivent. Le sommaire précédent suffira, puisqu’ils seront confirmés et prouvés par la conformité des phénomènes aux théoriques que nous allons démontrer dans les sections suivantes. Il convient aussi de présenter la notion générale qu’il y a deux mouvements primaires différents dans le ciel. L’un deux amène tout d’est en ouest et les fait tourner avec un mouvement constant et uniforme le long de cercles parallèles entre eux autour des pôles de cette sphère qui tourne tout uniformément. Le plus grand de ces cercles est appelé ἰσημερινός  « équateur » parce que c’est le seul qui est toujours divisé en deux parties égales par l’horizon, et parce que la révolution du Soleil lorsqu’il se situe dessus produit l’équinoxe partout. L’autre mouvement est celui qui fait en sorte que la sphère des étoiles se déplace dans le sens opposé au premier, sur un autre axe. On le conçoit pour les raisons suivantes. Si on observe pendant une seule journée, tous les objets célestes semblent se lever, culminer, et se coucher en des endroits analogues et se trouvent sur des cercles parallèles à l’équateur, en accord avec le premier mouvement. Mais si on continue d’observer pendant longtemps, on remarquera que, bien que les distances et autres caractéristiques de étoiles fixes soient constantes, cela n’est pas le cas pour le Soleil, la Lune, et les planètes ; ces astres ont des mouvements divers et inégaux entre eux, mais tous contraires au mouvement du ciel, et toujours vers l’est et les étoiles fixes qui arrivent plus tard au méridien, qui conservent toujours leurs distances réciproques et tournent comme entraînées par la même sphère.

Si ce mouvement des planètes se faisait sur des cercles parallèles à l’équateur, il serait suffisant de leur attribuer un seul mouvement de révolution, analogue au premier ; après tout, il serait alors plausible que leur mouvement soit dû à des retards, et non à un mouvement en direction opposée. Mais en plus de leur mouvement vers l’est, on les voit aussi dévier vers le nord ou vers le sud — qui plus est, cette déviation ne peut résulter d’une force uniforme les poussant vers le côté, parce qu’elle est irrégulière de ce point de vue, mais régulière si on la considère comme résultant d’un cercle incliné sur l’équateur. On conçoit donc un tel cercle, le même pour toutes les planètes, et qui leur est particulier. Il est précisément défini et tracé par le mouvement du Soleil, mais il est aussi parcouru par la Lune et les planètes, qui se déplacent toujours en son voisinage et ne dépassent pas d’une bande de chaque côté qui est déterminée pour chaque astre. Ceci est aussi un grand cercle, puisque le Soleil va au nord et au sud de l’équateur en égales parties, et parce que le mouvement vers l’est de toutes les planètes les place sur ce même cercle. On doit donc supposer que ce second mouvement se fait autour des pôles du cercle incliné que nous venons de définir, dans le sens opposé au premier mouvement.

Imaginons donc un grand cercle passant par les pôles des deux cercles décrits ci-⁠dessus — il divisera donc chacun des deux en deux parties égales, l’équateur et le cercle incliné, à angles droits. Nous avons donc maintenant quatre points sur [le cercle incliné qui est] l’écliptique : deux à l’équateur, diamétralement opposés l’un à l’autre, que l’on nommera points « équinoxiaux » ; l’un, où le mouvement va du sud au nord, est l’équinoxe de « printemps », l’autre celui d’« automne ». Les deux [autres] seront produits par [l’intersection du] cercle passant par les pôles ; ceux-ci seront évidemment aussi diamétralement opposés l’un à l’autre. On les appelle points « tropicaux » : celui du sud est l’« hiver », celui du nord, l’« été ».

On peut imaginer le premier mouvement primaire, qui englobe tous les autres mouvements, comme décrit et défini par le grand cercle passant par les pôles tournant et transportant tout le reste avec lui, d’est en ouest autour des pôles de l’équateur. Ces pôles sont fixes sur le cercle « méridien », qui diffère du cercle précédent en ce sens qu’il ne passe pas par les pôles de l’écliptique pour toutes ses positions. De plus, on l’appelle « méridien » parce qu’il est toujours orthogonal à l’horizon. Un tel cercle divise les deux hémisphères, celui au-dessus de la Terre et celui sous elle, en deux parties égales et définit le milieu du jour et de celui de la nuit.

Le second mouvement est intégré au premier et englobe les sphères de toutes les planètes. Il est mû par le précédent, mais va lui-même dans l’autre direction autour des pôles de l’écliptique, qui sont aussi fixes sur le cercle qui produit le premier mouvement, soit celui passant par les pôles. Ceux [de l’écliptique] sont entraînés par [le cercle passant par les pôles] et ils conservent toujours le grand cercle de l’écliptique, décrit par ce mouvement, dans la même position par rapport à l’équateur.

9. Des concepts individuels

Tels sont les concepts préliminaires qu’on doit maîtriser en ouverture. Nous allons bientôt débuter les démonstrations individuelles, premièrement — je crois que cela va de soi — en déterminant la taille de l’arc entre les pôles susmentionnés le long d’un grand cercle qui les croise. Mais nous devons au préalable expliquer comment déterminer les cordes.

10. De la taille des cordes

Pour le bénéfice du lecteur, nous allons dresser un tableau de leurs quantités, en divisant le cercle en 360 parties égales, et en indiquant la corde sous-tendue par des arcs à intervalle d’un-demi degré, en les exprimant comme le nombre de parties d’un système où le diamètre est divisé en 120 parties égales, cela pour des raisons de facilité arithmétique, qui deviendront apparentes à partir des calculs. Mais voyons d’abord comment on peut calculer toutes ces quantités par une méthode simple et rapide, en utilisant le moins de théorèmes possibles ; cela est pour s’assurer que les quantités ne soient pas simplement listées sans fondement, mais pour nous permettre de les vérifier par le calcul d’un point de vue strictement géométrique. Nous utiliserons en général la notation sexagésimale  plutôt qu’avec les systèmes de fractions inappropriés. Puisque nous visons une bonne approximation, nous n’utiliserons de multiplications et de divisions que pour atteindre un résultat le plus précis possible.

Posons d’abord un demi-cercle ABG dont le centre est D et le diamètre, ADG. Traçons DB perpendiculaire à AG en D. Plaçons le point E à égale distance de D et de G, et joignons-le à B, et traçons EZ de même longueur que EB, pour tracer ZB.

Je dis que ZD est le côté d’un décagone [régulier], et BZ celui d’un pentagone [régulier].

Puisque le point E est bissecteur de la ligne droite DG et que la ligne DZ est adjacente à cette dernière,

ZG a donc été divisé en proportions extrême et moyenne en D.

Puisque le côté d’un hexagone et celui d’un décagone, lorsqu’ils sont inscrits dans le même cercle, forment les proportions extrême et moyenne d’une même ligne droite, et puisque GD, étant un rayon, représente le côté de l’hexagone, DZ est égal au côté du décagone.

De même, puisque le carré du côté d’un pentagone est égal à la somme des carrés sur les côtés de l’hexagone et du décagone lorsqu’ils sont inscrits sur le même cercle, et, dans le triangle droit BDZ, le carré de BZ est égal à la somme des carrés de BD, qui est le côté de l’hexagone, et de DZ, qui est le côté du décagone, il s’ensuit que BZ est égal au côté du pentagone.

Ayant défini le diamètre du cercle comme étant 120 parties, nous avons donc

Le côté du décagone, qui sous-tend 36°, a donc 37;04,55^p où le diamètre a 120^p. Donc, puisque

Le côté du pentagone, qui sous-tend 72°, contient donc 70;32,03^p où le diamètre a 120^p.

Il est immédiatement évident que le côté de l’hexagone, qui sous-tend 60° et est égal au rayon, contient 60^p.

De même, puisque le carré du côté du carré, qui sous-tend 90°, est égal à deux sois le carré du rayon, et puisque le carré du côté du triangle, qui sous-tend 120°, est égal à trois fois le carré du rayon, et que le carré du rayon est 3600^p, nous calculons que le carré du côté du carré est 7200^p et que le carré du côté du triangle est 10 800^p.

Nous pouvons donc considérer les cordes ci-⁠dessus comme étant définies individuellement par les procédures simples ci-⁠dessus. Il est évident que si n’importe quelle corde est donnée, la corde de l’arc supplémentaire est donnée de façon simple, puisque la somme des carrés égale le carré du diamètre. Par exemple, puisque la corde de 36° est établie à 37;04,55^p, dont le carré est 1375;04,15^p, et que le carré du diamètre est 14 400^p, le carré de la corde de l’arc supplémentaire, 144°, sera la différence, soit 13 024;55,45^p, donc

De même pour les autres cordes.

Voyons maintenant comment les autres cordes individuelles peuvent être dérivés des précédentes, avec d’abord un théorème qui sera très utile pour ce faire.

Posons donc un quadrilatère arbitraire ABGD inscrit dans un cercle. Traçons AG et BD.

Nous devons prouver que

Créons donc ∠ ABE = ∠ DBG.

Si nous ajoutons ∠ EBD commun,

Mais ∠ BDA = ∠ BGE aussi, puisqu’ils sous-tendent le même segment.

Maintenant que ceci est établi, traçons le demi-cercle ABGD sur le diamètre AD, et deux cordes à partir de A, soit AB et AG, chacune étant donnée en termes d’un diamètre de 120°. Traçons BG. Je dis que BG aussi est donné.

Traçons d’abord BD et GD. Alors BD et GD aussi seront donnés, puisqu’ils sont des cordes [d’arcs] supplémentaires [aux arcs des cordes données AB et AG]. Puisque ABGD est un quadrilatère inscriptible, AB.GD + AD.BG = AG.BD. Mais AG.BD et AB.GD sont donnés. ∴ AD.BG est donné par soustraction. Aussi, AD est un diamètre, ∴ Crd BG est donnée.

Nous avons vu que la corde d’une différence entre deux arcs est donnée si les deux arcs et leurs cordes sont donnés. Il est donc évident, par ce théorème, que nous pourrons trouver plusieurs cordes dérivées des différences entre des cordes calculées individuellement, et notamment la corde de 12°, puisque nous avons celles de 60° et de 72°.

Considérons maintenant le problème de trouver la corde d’un arc qui est la moitié d’une autre corde donnée.

Soit ABG sur un demi-cercle de diamètre AG. Posons GB comme une corde connue. Posons AD comme bissectrice de l’angle GAB, puis traçons AB, AD, BD, et DG. De là, on descend DZ perpendiculaire à AG. Je dis que

Définissons premièrement le point E de sorte que AE = AB, et traçons DE. Alors [dans les triangles ABD et ADE], AB = AE, et AD est commun, et les deux paires de côtés AB, AD et AE, AD sont égaux. De plus,

Puisque la perpendiculaire DZ du triangle isocèle DEG a été tracée du sommet à la base,

Puisque la corde de l’arc BG est donnée, la corde supplémentaire AB est immédiatement donnée, et ZG, égal à 1⁄2(AG − AB), est aussi donné. Maintenant, dans le triangle droit AGD, la perpendiculaire DZ a été tracée, donc

AG.GZ est déjà donné, donc GD² est aussi donné, de même que la corde GD, qui sous-tend un arc de la moitié de BG.

Grâce à ce théorème, de nombreuses cordes peuvent être dérivées en divisant en deux les cordes préalablement déterminées, dont notamment, à partir de la corde de 12°, les cordes de 6°, 3°, 1⁠1⁄2°, et 3⁄4°. Le calcul nous démontrera que la corde de 1⁠1⁄2° est d’environ 1;34,15^p où le diamètre est 120^p, et la corde de 3⁄4° d’environ 0;47,08^p dans les mêmes unités.

Maintenant, traçons un cercle ABGD de diamètre AD et de centre Z. À partir de A, prenons au hasard deux arcs successifs AB et BG, et traçons les cordes AB et BG ; celles-ci aussi seront données. Je dis que si l’on joint A à G, cette corde aussi sera donnée.

Traçons le diamètre BZE et les droites BD, DG, GE, et DE. Il est clair que l’on peut dériver GE de BG, et BD et DE de AB. De même que dans la précédente démonstration, puisque BGDE est un quadrilatère inscriptible, dans lequel BD et GE sont des diagonales, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés [BD.GE = BG.DE + BE.GD]. Puisque BD.GE et BG.DE sont donnés, BE.GD est aussi donné. Et BE est un diamètre, donc la partie restante, GD, est aussi donnée, et GA est [la corde du] supplément. Donc, si deux arcs et leurs cordes sont donnés, la corde correspondant à la somme des deux arcs sera trouvée grâce à ce théorème.

En combinant ainsi la corde de 1⁠1⁄2° à toutes les cordes déjà trouvées, et en calculant des cordes successives, on pourra trouver toutes les cordes qui, doublées, sont divisibles par trois. Il ne restera donc plus qu’à déterminer celles entre les intervalles de 1⁠1⁄2°, deux dans chaque, puisque notre tableau est fait à intervalles de 1⁄2°. Si on peut donc trouver la corde de 1⁄2°, cela nous permettra de compléter les autres cordes, en trouvant la somme ou la différence des autres cordes à l’un ou l’autre des intervalles. Si une corde, par exemple celle de 1⁠1⁄2°, est donnée, la corde correspondant à un arc du tiers du précédent ne peut pas être trouvée par des méthodes géométriques — si tel était le cas, on trouverait aussitôt la corde de 1⁄2°. On doit donc dériver la corde de 1° de celles de 1⁠1⁄2° et de 3⁄4°, en établissant un lemme qui, bien qu’il ne permette pas de déterminer les tailles exactes, sera suffisant pour des très petites quantités avec une marge d’erreur négligeable.

Je dis donc que si deux cordes inégales sont données, la proportion de la plus grande à la plus petite est moindre que la proportion de l’arc de la grande à l’arc de la petite. Posons donc le cercle ABGD, dans lequel on trace deux cordes inégales, AB plus petite que BG. Je dis que

Traçons BD comme bissectrice de ∠ ABG, puis AEG, AD, et GD. Puisque la corde BED est bissectrice de ∠ ABG, GD = AD et GE > EA.

Traçons maintenant DZ perpendiculaire à AEG. Puisque AD > ED et ED > DZ, un cercle de centre D et de rayon DE croise AD et dépasse de DZ. Traçons-le ici comme HEΘ, et prolongeons DZ à Θ. Puisque le secteur DEΘ est plus grand que le triangle DEZ, et que le triangle DEA est plus grand que le secteur DEH,

Ceci étant démontré, traçons maintenant le cercle ABG, et les cordes AB et AG dans celui-ci. Supposons d’abord que AB est la corde de 3⁄4° et que AG est la corde de 1°. Donc, puisque AG : BA < arc AG : arc AB et que arc AG = , alors GA < . Si le diamètre vaut 120 unités, nous avons démontré que AB = 0;47,08^p, ∴ GA < 1;02,50^p, parce que 1;02,50 ≈ 1⁠1⁄3 · 0;47,08. Dans le même schéma, imaginons maintenant que AB est la corde de 1° et que AG est la corde de 1⁠1⁄2°. Puisque arc AG = , il s’ensuit que GA < . Nous avons démontré que AG = 1;34,15^p, alors AB > 1;02,50^p, parce que 1;34,15 = 1⁠1⁄2 · 1;02,50. Puisque nous avons démontré que la corde de 1° est à la fois plus grande et plus petite que cela, nous la prendrons comme valant environ 1;02,50^p où le diamètre est de 120^p. Les propositions précédentes nous amènent aussi à établir la corde de 1⁄2° comme valant environ 0;31,25^p. On peut donc remplir le tableau. Par exemple, dans le premier intervalle, on peut calculer la corde de 2° en utilisant la formule d’addition pour la corde de 1⁄2° et la corde de 1⁠1⁄2°, et la corde de 2⁠1⁄2° sera obtenue par la formule de la différence sur la corde de 3°, etc.

Telle est, selon moi, la meilleure façon d’entreprendre le calcul des cordes. Mais j’ai promis un tableau des valeurs des cordes, ci-⁠dessous. Il est arrangé en sections de 45 lignes par souci de symétrie. La première colonne énumère les arcs par intervalles de 1⁄2° ; la seconde, les cordes en unités dont le diamètre en contient 120 ; et la troisième, la trentième partie de l’augmentation de la corde pour chaque intervalle — ce qui correspond essentiellement à une minute — afin de pouvoir calculer la corde des arcs intermédiaires aux demi-degrés.

Grâce aux théorèmes que nous venons d’énumérer, il sera possible de calculer n’importe quelle corde en prenant le double de celle de l’arc en question, ou en faisant la différence de n’importe quelle corde, ou avec la corde du supplément, ce qui permettra de garantir qu’il n’y ait pas d’erreur de copie .

11. Tableau des cordes

[NdT : Un tableau corrigé est disponible (dans un nouvel onglet).]

Cliquer ici pour un modèle interactif, ou sur l’image pour la voir en plus grand.

12. De l’arc entre les tropiques

Comme nous l’avons dit, une fois que le tableau des cordes a été dressé, notre première tâche est de déterminer l’inclinaison de l’écliptique sur l’équateur — autrement dit, la fraction du grand cercle à travers les pôles des deux par rapport à l’arc intercepté entre les pôles. Ceci est évidemment égal à la distance de l’équateur à l’un ou l’autres des solstices. On peut déterminer directement cette quantité grâce à l’instrument simple illustré ci-⁠contre.

Nous fabriquons un anneau de bronze de taille adéquate et de section rectangulaire. Nous l’utilisons comme cercle méridien, en le divisant en 360° d’un grand cercle, et en subdivisant chaque degré en autant de parties que possible. Nous fabriquons ensuite un deuxième anneau, qui puisse entrer dans le premier de sorte que les faces latérales des deux soient dans le même plan, le petit anneau tournant librement dans le grand d’un mouvement nord-sud, dans le même plan. En deux points diamétralement opposés sur la face latérale du petit disque, nous apposons des petites plaques, de taille égale, pointant l’une vers l’autre et vers le centre des anneaux, au centre exactement desquelles nous installons de petits pointeurs, qui rasent la surface du grand anneau gradué. Nous devons, à des fins pratiques, arrimer ce disque fermement dans un pilier de taille appropriée, et l’installer à l’extérieur, de sorte que la base du pilier soit sur une fondation parallèle au plan de l’horizon. Le plan des anneaux doit être perpendiculaire au plan de l’horizon et parallèle au plan du méridien. On peut faire cela, premièrement, en suspendant une ligne à plomb d’un point choisi comme zénith, et en ajustant les éléments de soutien jusqu’à ce que la ligne à plomb pointe du côté diamétralement opposé. Puis, on marque clairement une ligne méridienne ^🌐 sur le plan sous le pilier et on déplace les anneaux latéralement jusqu’à ce que l’on voit que leur plan y est parallèle.

L’instrument ainsi installé, on observera le mouvement du Soleil vers le nord ou vers le sud en tournant l’anneau intérieur à midi [solaire] jusqu’à ce que la plaque inférieure soit complètement dans l’ombre de la plaque supérieure. Lorsque tel est le cas, les pointes des plaques nous indiquent la distance du Soleil au zénith en degrés, sur le méridien.

Un instrument encore plus simple pour réaliser cette observation peut être fabriqué avec une plaque de pierre ou de bois, carrée et rigide, avec une de ses faces lisse et bien nivelée. Sur cette face nous dessinons un quadrant, en utilisant pour centre un point près d’un coin, et en dessinant du centre à l’arc inscrit les lignes directrices d’un angle droit formant le quadrant. Nous le divisons, comme avant, en 90 degrés et leurs subdivisions. Ensuite, sur la ligne qui est destinée à être perpendiculaire au plan de l’horizon et vers le sud, nous installons deux petites chevilles cylindriques, leurs côtés à angles droits de leur base et exactement circulaires, taillées du même format ; l’une sera située au point central, le centre de la cheville bien centré sur celui-ci, et l’autre à l’extrémité inférieure de la ligne. Nous plaçons ensuite cette face gravée de la plaque sur la ligne méridienne que nous avons tracée sur le plan du support, de sorte qu’elle soit parallèle au plan du méridien et, avec un fil à plomb suspendu entre les chevilles, on s’assure que la ligne entre elles soit à angles droits par rapport au plan de l’horizon, corrigeant encore toute erreur d’alignement en ajustant de minces éléments de soutien en dessous. Comme dans l’autre méthode, nous avons observé l’ombre portée à midi par la cheville centrale ; pour mieux voir celle-ci, nous avons placé un objet sur l’arc inscrit et marqué le point central de l’ombre, prenant cette division du quadrant comme indicatrice de la position du Soleil sur le méridien dans la direction nord-sud.

À partir d’observations de la sorte, et spécialement en comparant des observations menées près des solstices réels — qui ont révélé, après quelques retours, que la distance au zénith était en général le même nombre de degrés du cercle méridien au solstice, qu’il soit d’été ou d’hiver — nous avons trouvé que l’arc entre les points extrêmes nord et sud, qui est l’arc entre les points des solstices, et toujours de plus de 47⁠2⁄3° et moins de 47⁠3⁄4°. De cela, nous dérivons essentiellement le même rapport qu’Ératosthène, aussi utilisé par Hipparque ; l’arc entre les solstices est donc d’environ 11 parties d’un méridien de 83 parties .

Des observations de ce type, il est facile d’immédiatement dériver la latitude de la région dans laquelle est faite l’observation, qu’importe où : on prend le point entre les deux extrêmes. Celui-ci se trouve sur l’équateur, et sa distance au zénith est évidemment la même que celles des pôles à l’horizon.

13. Préliminaires pour les démonstrations sphériques

Notre prochaine tâche est de démontrer la taille des arcs individuels délimités entre l’équateur et l’écliptique le long d’un grand cercle qui passe par les pôles de l’équateur. Mais nous devons auparavant énoncer quelques courts théorèmes utiles qui nous permettront de faire la plupart des démonstrations impliquant des théorèmes sphériques de la façon la plus simple et méthodique possible.

Soient deux lignes droites, BE et GD, qui rejoignent les droites AB et AG et se croisent au point Z. Je dis que

Passons donc EH à partir du point E et parallèle à GD. Puisque GD et EH sont parallèles,

En aparté, prenons ZD,

On peut aussi prouver, de la même manière et par division, que

Traçons une ligne parallèle à EB et passant par A de sorte que GD la croise en H. Et, puisque AH est parallèle à EZ,

Mais, si on intègre en aparté ZD,

Mais DZ : ZH = DB : BA (BA et ZH tracés pour croiser les lignes parallèles AH et ZB).

Prenons maintenant le cercle ABG, au centre D, et trois points au hasard, A, B, G, sur sa circonférence, de sorte que les arcs AB et BG soient chacun moins d’un demi-cercle — tout comme les prochains arcs que nous tracerons. Joignons A à G et traçons DEB. Je dis que Crd arc 2AB : Crd arc 2BG = AE : EG.

Traçons AZ et GH, perpendiculaires à DB, passant par A et par G, respectivement. Puisque AZ est parallèle à GH, et qu’ils rencontrent la droite AEG,

Il s’ensuit immédiatement que si nous avons l’arc entier AG et la proportion (Crd arc 2AB : Crd arc 2BG), l’arc AB de même que l’arc BG seront connus. Reprenons le même diagramme, mais joignons maintenant A à D et traçons une perpendiculaire à la ligne AEG à partir de Z. Il est évident que, si l’arc AG est donné, ∠ ADZ, qui sous-tend la moitié de l’arc AG, sera donné, et donc le triangle entier ADZ. Puisque la corde entière AG est connue, de même que (AE : EG) — égal à (Crd arc 2AB : Crd arc 2BG) —, AE est donné, de même que ZE, par soustraction. Puisque DZ aussi est donné, dans le triangle rectangle EDZ, ∠ EDZ sera donc aussi donné, et donc l’angle ADB en entier. Ainsi, l’arc AB sera donné et, par soustraction, l’arc BG. CQFD.

Prenons maintenant un cercle ABG dont le centre est D, et les points A, B, et G choisis au hasard. Traçons DA et GB, et prolongeons-les pour qu’ils se rencontrent en E. Je dis que Crd arc 2GA : Crd arc 2AB = GE : BE. D’une manière semblable au théorème précédent, si nous traçons des perpendiculaires à DA et B (BZ) et en G (GH), puisque ces lignes sont parallèles,

Dans ce cas, il s’ensuit immédiatement que, si nous avons seulement l’arc GB et la proportion (Crd arc 2GA : Crd arc 2AB), l’arc AB sera aussi connu. Prenons d’ailleurs le même diagramme, joignons D à B, et descendons DZ perpendiculaire à BG, puis ∠ BDZ, qui sous-tend la moitié de l’arc BG, sera connu. Ainsi, tout le triangle rectangle BDZ est connu. Puisque la proportion (GE : EB) et la ligne GB sont connus, EB aussi sera connu, et donc, par addition, la ligne EBZ. Puisque DZ est connu, dans le triangle rectangle EDZ, ∠ EDZ est connu et, par soustraction, ∠ EDB est connu, donc l’arc AB aussi.

Ces théorèmes préliminaires établis, traçons maintenant les arcs suivants sur les grands cercles d’une sphère. BE et GD sont tracés de manière à rencontrer AB et AG, se croisant en Z, et étant moins d’un demi-cercle chacun (de même pour tous les prochains diagrammes). Je dis que Crd arc 2GE : Crd arc 2EA = (Crd arc 2GZ : Crd arc 2ZD) · (Crd arc 2DB : Crd arc 2BA).

Prenons donc la sphère de centre H, et traçons les lignes HB, HZ, et HE vers les points où les grands cercles se croisent, soit B, Z, et E. Prenons maintenant AD et prolongeons-la pour qu’elle rencontre HB, aussi prolongé, en Θ. De même, traçons DG et AG et faisons-les croiser HZ et HE aux points K et L. Alors, Θ, K, et L sont sur une ligne droite, puisqu’ils sont tous simultanément dans deux plans, soit celui du triangle AGD et celui du cercle BZE. Traçons cette ligne ; nous obtenons alors deux lignes droites, ΘL et GD, qui rencontrent deux autres lignes droites, ΘA et GA, et qui se croisent en K.

De même que dans le diagramme avec les lignes droites, on peut démontrer que

14. Des arc compris entre l’équateur et l’écliptique

Maintenant que ce théorème est établi, nous devons d’abord démontrer les quantités des arcs que nous cherchons à déterminer, comme suit. Soit ABGD, le cercle passant par les pôles de l’équateur et ceux de l’écliptique, l’équateur étant AEG, l’écliptique BED, avec le point E étant le croisement des deux, soit l’équinoxe de printemps, B le solstice d’hiver, et D le solstice d’été. Sur l’arc ABG, le point Z représente le pôle de l’équateur AEG. Prenons un arc EH sur l’écliptique — supposons qu’il soit de 30° — et passons par Z et H un arc de grand cercle ZHΘ. Notre problème est bien sûr de déterminer HΘ. Prenons pour acquis — tant ici qu’en général pour de telles démonstrations, afin d’éviter la répétition — que, lorsque l’on mentionne la taille des arcs ou cordes en termes de « degrés » ou de « parties », nous voulons dire, pour les arcs, les degrés dont la circonférence du cercle en contient 360, et, pour les cordes, les parties dont le diamètre du cercle en contient 120.

Puisque, dans le diagramme, les deux arcs de grands cercles ZΘ et EB rencontrent tous deux les arcs de deux grands cercles AZ et AE, et se croisent en H,

Prenons maintenant l’arc EH comme étant 60°. Les autres grandeurs demeureront inchangées, mais

Nous calculerons la taille des arcs individuels de la même manière, et fournissons un tableau indiquant pour chaque degré du quadrant l’arc correspondant à ceux calculés ci-⁠dessus. Le tableau est le suivant.

15. Tableau des inclinaisons

16. Des levers dans la sphère droite

Nous devons maintenant démontrer comment calculer la taille d’un arc de l’équateur déterminé par un cercle passant par les pôles de l’équateur et un point déterminé de l’écliptique [jusqu’au point vernal]. Ainsi nous pourrons trouver combien de temps est requis, en degrés de temps équinoxial, pour qu’une section de l’écliptique croise le méridien à n’importe quel point de la Terre et de l’horizon à sphaera recta [à l’équateur] — puisque ce n’est que dans cette situation que l’horizon croise les pôles de l’équateur.

Dans le diagramme précédent, nous connaissions l’arc EH, de 30°. Nous devons maintenant trouver l’arc EΘ de l’équateur. Selon les mêmes arguments que précédemment,

Prenons maintenant l’arc EH comme valant 60° ; les autres grandeurs demeurant inchangées, nous aurons

Nous avons donc démontré que le premier signe de l’écliptique depuis l’équinoxe se lève de la manière précédemment décrite en le même temps que 27;50° de l’équateur, et que le second signe se lève avec 29;54°, la somme des deux arcs étant de 57;44°. Le troisième arc se lèvera donc à sphaera recta en le même temps que 32;16°, qui est le complément [de 57;44°], puisque chaque quadrant de l’écliptique se lève en le même temps que le quadrant correspondant de l’équateur tel que défini par des cercles passant par les pôles de l’équateur.

Nous avons calculé, selon cette méthode, les arcs de l’équateur qui passent au méridien avec les arcs de l’écliptique, par sections de 10° — les durées des arcs plus petits peuvent être intrapolées. Nous donnons la liste de ces valeurs, donc, afin de pouvoir connaître rapidement le temps requis à chaque arc, comme nous l’avons dit, pour croiser le méridien de n’importe quel lieu de la Terre et l’horizon à sphaera recta. Nous commençons par l’arc de 10° débutant au point de l’équinoxe. Il va de soi que les choses iront de même pour les autres quadrants, par symétrie, partout sur la sphaera recta, c’-est-à-dire où l’équateur n’est pas incliné sur l’horizon.

Fin du premier livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC