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1. Des synodes et des pleines lunes 

Nous devons maintenant traiter des syzygies écliptiques  du Soleil et de la Lune, mais il faut auparavant expliquer la théorie de la détermination des conjonctions et oppositions vraies. Les mouvements périodiques et anomalistes que nous avons établis pour chacun des astres suffisent pour la première détermination de ce qui précède ; car par leur moyen, [les astronomes] qui s’en donneront la peine pourront calculer les lieux et les temps des syzygies résultantes, tant celles prises par rapport aux mouvements moyens qu’en tenant compte de l’anomalie. Toutefois, afin de fournir un moyen plus pratique de les trouver, en ayant établi sous une forme facilement accessible les heures et les lieux des conjonctions et oppositions moyennes, ainsi que la position de la Lune en anomalie et en latitude à ces temps moyens (qui sont à la base de la correction conduisant aux syzygies vraies et de là aux syzygies écliptiques), nous avons construit des tableaux à cet effet. Leur structure est la suivante.

2. Tableaux des syzygies moyennes

Premièrement, nous fixons l’époque des mois [synodiques], comme toutes les autres époques, à la première année de Nabonassar. Nous avons donc divisé l’élongation moyenne [de la Lune] à midi du premier jour du mois égyptien de thout de cette année-là (70° 37′, tel que démontré) par le mouvement moyen quotidien en élongation, et trouvé 5;47,33 j ; la conjonction moyenne a donc eu lieu ce nombre de jours avant midi le 1^er jour de thout, et la suivante s’est produite environ [29;31,50 − 5;47,33 =] 23;44,17 j après ce midi, c’est-à-dire 0;44,17 j après midi le 24 [soit vers 05 h 42 min 48 le matin du 25].

Pendant ces 23;44,17 j,

Et les positions moyennes à midi du 1^er jour de thout étaient :

Par conséquent, au moment mentionné ci-dessus de la conjonction moyenne après le 1^er jour [de thout],

Nous dresserons d’abord un tableau de conjonctions contenant, encore une fois, 45 lignes et 5 colonnes. Sur la première ligne nous mettrons, dans la première colonne, l’an 1 de Nabonassar ; dans la deuxième colonne, les 24;44,17 jours de thout (car les soixantièmes [d’un jour] sont après midi du 24) ; dans la troisième colonne, la distance de l’apogée du Soleil de la position moyenne [du Soleil et de la Lune], 288° 38′ 50″ ; dans la quatrième colonne, la distance de la Lune en anomalie à l’apogée [de l’épicycle], 218° 57′ 15″ ; et dans la cinquième colonne, [l’argument de] latitude [de la Lune] depuis la limite nord, 308° 17′ 21″.

Maintenant, un demi-mois [synodique] moyen comprend approximativement 14;45,55 j, soit 14° 33′ 12″ de mouvement solaire [moyen], 192° 54′ 30″ d’anomalie lunaire, et 195° 20′ 06″ d’[argument de] latitude. Nous soustrayons donc ces montants ci-dessus des [positions correspondantes pour] la conjonction en question, et inscrivons les résultats au début du second tableau, disposés de la même manière que précédemment. Celui-ci [le tableau] a une structure similaire [au premier], mais servira pour les oppositions.

Il reste donc :

Maintenant, 25 ans égyptiens moins 0;02,47,05 j contiennent approximativement un nombre entier de mois [synodiques moyens] ; et [en 25 ans] les mouvements moyens (au-delà des révolutions complètes) sont :

Ainsi nous augmenterons [chaque ligne successivement des] premières colonnes des deux tableaux de 25 ans, et diminuerons [les valeurs des] deuxièmes colonnes de 0;02,47,05, et augmenterons [celles des] colonnes restantes, la troisième par 353° 52′ 34″ 13′″, la quatrième par 57° 21′ 44″ 01′″, et la cinquième par 117° 12′ 49″ 54′″.

Suite à ces tableaux, nous en construisons un d’années, en 24 lignes, puis en dessous un autre tableau, de mois, en 12 lignes, chacun ayant le même nombre de colonnes que les [deux] premiers [tableaux]. Dans le tableau des mois, nous inscrirons sur la première ligne, dans la première colonne, le premier mois ; dans la deuxième colonne, les jours d’un mois [synodique], soit 29;31,50,08,20 ; dans la troisième colonne, le mouvement [moyen] du Soleil pendant cette période, soit 29° 06′ 23″ 01′″ ; dans la quatrième colonne, le mouvement de la Lune en anomalie [en un mois synodique], soit 25° 49′ 00″ 08′″ ; et dans le cinquième, le mouvement en [argument de] latitude, soit 30° 40′ 14″ 09′″. Les incréments [d’une ligne à l’autre] dans ce tableau seront les mêmes que les entrées de la première ligne.

Dans le tableau des années, nous inscrirons sur la première ligne, dans la première colonne, l’année 1 ; dans la deuxième colonne, le nombre de jours [de plus de 365] contenus dans 13 mois synodiques, soit 18;53,51,48 ; dans la troisième colonne, l’augmentation [de la position] du Soleil pendant cette période, soit 18° 22′ 59″ 18′″ ; dans la quatrième colonne, le mouvement de la Lune en anomalie, soit 335° 37′ 01″ 51′″ ; et dans la cinquième colonne, le mouvement en latitude, soit 38° 43′ 03″ 51′″. Les incréments [d’une ligne à l’autre] dans ce tableau seront parfois des incréments de 13 mois ci-⁠dessus, et à d’autres moments, des incréments de 12 mois . Ces derniers équivalent à :

Cette [alternance entre des intervalles de 12 et 13 mois] est pour que ce qui apparaît dans le tableau soit la première syzygie de chaque année égyptienne entière.

Dans les entrées tabulaires réelles, il suffira d’aller seulement jusqu’à la deuxième place sexagésimale [fractionnelle, soit les secondes d’arc]. La disposition des tableaux est la suivante.

3. Tableaux des conjonctions, pleines lunes, et mouvements annuels pour les conjonctions et les oppositions

[NdT : Trois des sources consultées (manuscrit grec 2389 du neuvième siècle, Halma, et Manitius) ont 65° 41′ 57″ pour la dernière valeur de la dernière colonne (valeur conforme à celle obtenue par le calcul), mais Toomer donne étrangement 64° 41′ 57″. J’ai du mal à m’expliquer cette erreur de sa part.]

LIMITES DU SOLEIL EN MOUVEMENT MOYEN [en latitude, pour les éclipses] :
de 69° 19′ à 101° 22′ et de 258° 38′ à 290° 41′

LIMITES DE LA LUNE EN MOUVEMENT MOYEN [en latitude, pour les éclipses] :
de 74° 48′ à 105° 12′ et de 254° 48′ à 285° 12′

4. Comment déterminer les syzygies moyennes et vraies

Si nous voulons trouver les syzygies moyennes pour une année donnée, nous calculons d’abord le nombre d’années écoulées depuis l’ère de Nabonassar, puis nous cherchons ce nombre d’années dans la colonne des périodes de 25 ans (la première du premier ou du deuxième tableau [selon que c’est une conjonction ou une opposition] et [dans la colonne des] années simples (troisième tableau). Nous prenons les quantités correspondant à ces lignes [dans les tableaux], et nous ajoutons les entrées : celles des premier et troisième tableaux pour les conjonctions, et celles des deuxième et troisièmes tableaux pour les oppositions. La somme des valeurs de la deuxième colonne nous donnera le moment de la syzygie depuis le début de cette année ; p. ex., si la somme est 24;44 j, elle [la syzygie] sera 44 soixantièmes de jour après midi du 24 thout ; ou encore, si elle est de 34;44 j, ce sera 44 soixantièmes de jour après midi le 4 phaophi. La somme des valeurs de la troisième colonne nous donnera la position [moyenne] du Soleil en degrés depuis son apogée ; la quatrième colonne, l’anomalie de la Lune depuis l’apogée [de son épicycle] ; la cinquième colonne, l’[argument de] latitude depuis la limite nord. Nous pouvons ainsi calculer facilement les [syzygies] suivantes [de l’année en question], que ce soit toutes ou seulement certaines, en ajoutant les valeurs appropriées dans la quatrième table mensuelle. Pour des raisons pratiques, nous convertirons toujours les soixantièmes de jour en heures équinoxiales ; le résultat sera en temps solaires moyens, puisque le temps exprimé en heures saisonnières n’est pas toujours égal, mais est basé sur les jours solaires vrais. Nous corrigerons donc cela aussi, en calculant la différence due à cet effet, par la méthode indiquée ci-dessus : si le nombre de degrés de temps correspondant au [temps de lever du] mouvement apparent est supérieur [à l’intervalle en mouvement moyen], nous soustrayons la différence du total [d’heures] dérivé sur la base des jours solaires moyens, mais si elle est inférieure, nous l’ajoutons à ce total.

Une fois que nous avons ainsi dérivé le temps moyen de conjonction ou d’opposition ainsi que la position en anomalie de chaque luminaire [pour ce moment], il sera facile de déterminer le temps et le lieu de la vraie syzygie, ainsi que la position de la Lune en latitude, en comparant les deux anomalies ; car après avoir trouvé le mouvement vrai du Soleil et de la Lune ainsi qu’en latitude, en appliquant les prostaphérèses [corrections] trouvées, à l’instant défini par la syzygie moyenne en question, au moyen de l’équation ainsi trouvée, et que nous avons examiné ces positions, si nous constatons que les corps sont encore en conjonction, ou exactement opposés [en opposition], alors le temps de la vraie syzygie sera le même [que celui de la syzygie moyenne] ; sinon, nous prenons la différence de longitude entre les corps, exprimée en degrés, et nous l’augmentons d’un douzième d’elle-même, pour rendre compte approximativement du mouvement supplémentaire du Soleil [entre syzygie moyenne et vraie], puis nous déterminons combien de temps, en heures équinoxiales, la Lune dans son mouvement anomaliste [c.-à-d. vrai] prend pour couvrir cet intervalle. Si la longitude de la Lune [à la syzygie moyenne] est inférieure à la vraie longitude du Soleil, nous ajoutons le résultat au temps de la syzygie moyenne, mais si elle [la longitude de la Lune] est supérieure, nous soustrayons le résultat du temps de la syzygie moyenne. De même, si la vraie longitude de la Lune à la syzygie moyenne est inférieure à la [longitude vraie] du Soleil, nous ajoutons l’intervalle en degrés (augmenté, encore une fois, d’un douzième) à la fois à la longitude et à l’argument de la latitude [à la syzygie moyenne], mais s’il est supérieur, nous le soustrayons [des deux]. Ainsi nous obtenons le temps de la vraie syzygie, et la position vraie approximative de la Lune sur son orbite inclinée.

Voici comment pour trouver le véritable mouvement horaire de la Lune à la syzygie pour une position donnée. Nous entrons dans le tableau de l’anomalie de la Lune avec l’anomalie au moment en question, prenons la prostaphérèse [correction] correspondante et déterminons l’incrément correspondant à un incrément de 1° en anomalie. Nous multiplions cet incrément par le mouvement moyen en anomalie en une heure, soit 0° 32′ 40″, et, si l’anomalie [que nous avons entrée dans le tableau] comme argument est dans les lignes au-dessus de la plus grande prostaphérèse, nous soustrayons le produit du mouvement horaire moyen en longitude, 0° 32′ 56″ ; mais si [l’anomalie] est dans les lignes en dessous de [la plus grande prostaphérèse], nous ajoutons le produit à 0° 32′ 56″. Le résultat sera le mouvement vrai de la Lune en longitude en une heure équinoxiale à cette position.

Nous obtenons ainsi l’heure de la syzygie vraie pour Alexandrie, puisque toutes les époques ont été définies en termes de temps exprimés en heures [depuis midi] par rapport au méridien d’Alexandrie, mais il est facile de trouver l’époque d’une syzygie donnée pour un autre lieu depuis l’époque de cette syzygie d’Alexandrie. De la différence de position entre les deux lieux, nous déterminons l’intervalle, en degrés, entre le méridien du lieu recherché et le méridien d’Alexandrie ; si le méridien de l’endroit recherché est à l’est de celui d’Alexandrie, le phénomène sera observé là cette quantité (en degrés de temps) plus tard, mais s’il est à l’ouest, cette quantité plus tôt. Dans tous les cas, 15 degrés de temps égalent 1 heure équinoxiale.

5. Des limites écliptiques du Soleil et de la Lune

Après ce qui précède, l’étape suivante est de déterminer les limites entre lesquelles le Soleil et la Lune peuvent produire une éclipse. Ainsi, si nous décidons de ne pas calculer toutes les syzygies moyennes [d’une année], mais seulement celles qui peuvent tomber dans les points concernant les pronostics d’éclipse, nous aurons une méthode pratique pour décider lesquelles, à partir de la position moyenne de la Lune en latitude à chaque syzygie moyenne.

Nous avons démontré, dans le livre précédent, que le diamètre de la Lune sous-tend un arc de 31′ 20″ du grand cercle tracé autour du centre de l’écliptique, à la plus grande distance de la Lune — cela ayant été calculé au moyen de deux éclipses qui se sont produites près de l’apogée de l’épicycle [de la Lune]. Maintenant, puisque nous nous proposons de déterminer les limites maximales des syzygies écliptiques, ayant lieu lorsque la Lune est au périgée de son épicycle, nous démontrerons, au moyen de deux éclipses parmi celles ayant été observées près du périgée [de l’épicycle], de la même façon la grandeur de l’arc sous-tendu par le diamètre de la Lune — car il est plus sûr de démontrer ce genre de paramètre à partir des phénomènes réels.

La septième année de Philométor, qui est la 574^e depuis Nabonassar, du début de la huitième heure jusqu’à la fin de la dixième du 27 au 28 du mois égyptien de phaminoth [0/1 mai −173], a été observée à Alexandrie une éclipse de Lune d’un obscurcissement maximal de 7 doigts depuis le nord. Le milieu de l’éclipse s’est donc produit 2⁠1⁄2 heures saisonnières après minuit, ce qui correspond à 2⁠1⁄3 heures d’équinoxe, puisque la vraie position du Soleil était de 6⁠1⁄4° du Taureau. Le temps écoulé entre l’époque et le milieu de l’éclipse est donc de 573 années égyptiennes, 206 jours, 14⁠1⁄3 heures équinoxiales comptées simplement, 14 heures équinoxiales comptées en jours solaires moyens. À ce moment, la position du centre de la Lune était la suivante :

Il est évident que, le centre de la Lune étant à 8° 20′ du nœud sur l’orbite inclinée, alors que la Lune est près de sa moindre distance [à la syzygie] et que le centre de l’ombre est sur le grand cercle passant par le centre de la Lune perpendiculairement à son orbite inclinée, lors du plus grand obscurcissement, (1⁄2 + 1⁄12)^e du diamètre de la Lune était dans l’ombre.

Ensuite, dans la 37^e année du troisième cycle callippique — la 607^e depuis Nabonassar —, au début de la cinquième heure dans la nuit du 2 au 3 du mois égyptien de tybi [27/28 janvier −140], à Rhodes, la Lune a commencé à s’éclipser, de 3 doigts au maximum, et depuis le sud. Puisqu’ici, le début de l’éclipse a eu lieu 2 heures saisonnières avant minuit, ce qui correspond à 2⁠1⁄3 heures équinoxiales à Rhodes et à Alexandrie, la vraie position du Soleil était de 5° 8′ du Verseau, alors le milieu de l’éclipse, moment du plus grand obscurcissement, a eu lieu environ 1⁠5⁄6 heure équinoxiale avant minuit. Le temps écoulé entre l’époque et le milieu de l’éclipse était de 606 années égyptiennes, 121 jours, 10⁠1⁄6 heures équinoxiales, qu’elles soient calculées simplement ou en jours solaires moyens. À ce moment, la position du centre de la Lune était la suivante :

Il est donc clair que, lorsque le centre de la Lune est à 10° 36′ du nœud sur l’orbite inclinée, alors que la Lune est (comme avant) près de sa plus petite distance, et que le centre de l’ombre est à l’intersection du écliptique et le grand cercle passant par le centre de la Lune et perpendiculaire à son orbite inclinée, alors un quart du diamètre de la Lune sera immergé dans l’ombre.

Quand le centre de la Lune est à 8⁠1⁄3°  du nœud sur son orbite inclinée, il est de 43⁠1⁄20′ de l’écliptique sur le grand cercle passant par les pôles [de l’orbite inclinée] ; et quand le centre de la Lune est à 10⁠3⁄5° du nœud sur son orbite inclinée, il est à 54⁠5⁄6′ de l’écliptique sur le grand cercle passant par les pôles de l’orbite inclinée. Puisque la différence [en magnitude] entre les deux éclipses est du tiers du diamètre de la Lune, et que la différence entre les deux distances de son centre, sur le même grand cercle et depuis le même point de l’écliptique, c’est-⁠à-⁠dire le centre de l’ombre, est de 11′ 47″, il est évident que le diamètre entier de la Lune sous-tend un arc d’environ 35′ 20″ du grand cercle tracé autour du centre du zodiaque au périgée de la Lune [à la syzygie].

Maintenant, lors de la seconde éclipse, au cours de laquelle 1⁄4 du diamètre de la Lune était obscurci, le centre de la Lune était à 54⁠5⁄6′ du centre de l’ombre et à 1⁄4 du diamètre de la Lune (c’est-à-dire 8⁠5⁄6′) du point auquel la ligne joignant les centres [de la Lune et de l’ombre] coupe le périmètre de l’ombre, il est clair que [par soustraction] le rayon de l’ombre à la plus petite distance de la Lune est de 46′. Ceci est à peine plus que 2⁠3⁄5 fois le rayon de la Lune, qui est de 17⁠2⁄3′. Aussi, le rayon du Soleil sous-tend 15′ 40″ du grand cercle qu’il décrit autour du centre de l’écliptique ; car nous avons démontré que le Soleil couvre la même quantité de son cercle [sous-tend le même angle] que la Lune lorsqu’elle est à sa plus grande distance à la syzygie. Par conséquent, lorsque le centre apparent de la Lune est à [17′ 40″ + 15′ 40″ = ] 33′ 20″ du centre du Soleil, de part et d’autre du écliptique [à angle droit par rapport à l’orbite lunaire], il sera alors possible que la Lune commence à être en contact apparent avec le Soleil.

Supposons un arc AB de l’écliptique et un arc GD de l’orbite inclinée de la Lune ; ceux-⁠ci sont sensiblement parallèles entre eux, au moins au moment des éclipses. Traçons l’arc AEG du grand cercle passant par les pôles de l’orbite inclinée [de la Lune], et imaginons le demi-cercle du Soleil au centre A, et le demi-cercle de la Lune apparente au centre E, de sorte qu’il touche tout juste le Soleil au point Z. Ainsi l’arc AE, qui est la distance entre E, le centre apparent de la Lune, et A, le centre du Soleil, peut atteindre 0° 33′ 20″, tel qu’établi ci-⁠dessus. Or, dans les régions qui s’étendent de Méroé — où le jour le plus long est de 13 heures équinoxiales — jusqu’aux bouches du Borysthène — où le jour le plus long est de 16 heures équinoxiales —, la plus grande parallaxe lunaire vers le nord, à la distance minimale des syzygies et si nous soustrayons la parallaxe solaire, est d’environ 0° 08′, et l’effet maximal vers le sud, dans les mêmes conditions, est de 0° 58′. Lorsque la parallaxe [latitudinale] est de 0° 08′ vers le nord, [la Lune] a une parallaxe longitudinale maximale d’environ 0° 30′, près du Lion ou des Gémeaux ; et lorsque sa parallaxe [latitudinale] est de 0° 58′ vers le sud, elle a une parallaxe longitudinale maximale d’environ 0° 15′, près du Scorpion ou des Poissons. Donc, si nous supposons que le vrai centre de la Lune est en D, et que nous traçons la ligne DE, qui représente la parallaxe totale, DG sera à peu près égal à la parallaxe en longitude, et GE à la parallaxe en latitude.

Ainsi, quand la Lune est plus au nord que le Soleil et que sa parallaxe maximale est vers le sud, l’arc DG sera de 0° 15′ et l’arc AEG [0° 33′ 20″ + 0° 58′ =] d’environ 1° 31′. Le rapport entre l’arc allant du nœud à G et l’arc GA de la distance entre les limites des éclipses est d’environ 11⁠1⁄2 : 1 : cela peut facilement être vu à partir de notre démonstration précédente de l’inclinaison de l’orbite lunaire. Ainsi, l’arc allant du nœud à G sera de 17° 26′, et avec GD [ajouté], cela donne 17° 41′. Lorsque la Lune est au sud que le Soleil et que sa parallaxe maximale est vers le nord, l’arc DG sera de 0° 30′, et l’arc entier AEG, de [0° 33′ 20″ + 0° 08′ ≈] 0° 41′. Ainsi, l’arc allant du nœud à G sera de 7° 52′, et avec GD, de 8° 22′. Par conséquent, si le centre de la Lune est à une distance vraie de l’un ou l’autre des nœuds de son orbite inclinée de 17° 41′ vers le nord ou de 8° 22′ vers le sud, alors la Lune pourra sembler être tout juste en contact apparent avec le Soleil, pour les régions ci-⁠dessus mentionnées de notre partie du monde habité.

De plus, puisque l’équation maximale de l’anomalie est de 2° 23′ pour le Soleil et de 5° 01′ pour la Lune près des syzygies, comme nous l’avons démontré, il sera parfois possible que la vraie distance de la Lune au Soleil aux syzygies moyennes atteigne 7° 24′ ; mais pendant que la Lune parcourt cette distance [7° 24′], le Soleil parcourt une distance supplémentaire d’environ 1⁄13^e de cette distance, c’est-à-dire 0° 34′ ; et encore, pendant que la Lune traverse ce 0° 34′ supplémentaire, le Soleil parcourt 1⁄13 supplémentaire, soit environ 0° 03′ (dont ensuite 1⁄13 est négligeable). Donc, si nous ajoutons la somme, 0° 37′ (qui est 1⁄12^e des 7° 24′ d’origine) aux 2° 23′ de l’anomalie solaire, nous obtenons 3°, qui est la différence maximale approximative en longitude et en [argument de] latitude entre la position moyenne [du Soleil et de la Lune] à la syzygie moyenne et leur position vraie [à la syzygie vraie]. Conséquemment, lorsque la Lune est à 20° 41′ au nord, ou 11° 22′ au sud d’un ou l’autre des nœuds de son orbite inclinée, elle peut sembler être tout juste en contact avec le Soleil, pour les régions mentionnées ci-⁠dessus. Ainsi donc, ce n’est que lorsque la distance de la Lune à la limite nord correspondant à la syzygie moyenne tombe entre 69° 19′ et 101° 22′, ou entre 258° 38′ et 290° 41′, que pourra se produire, pour les lieux précédemment mentionnés, le contact apparent dont nous avons parlé.

Voyons ce qui en est des limites des éclipses lunaires, maintenant. Puisque, comme nous l’avons démontré, le rayon de la Lune à sa plus petite distance [à la syzygie] sous-tend un arc de 0° 17′ 40″, et que le rayon de l’ombre est environ 2⁠3⁄5 fois celui-⁠ci (soit 0° 45′ 56″), il est donc clair que, lorsque la vraie distance du centre de la Lune est de 1° 03′ 36″ du centre de l’ombre le long de l’écliptique (telle que mesurée le long du grand cercle passant par les pôles de l’orbite inclinée de la Lune), soit environ 12° 12′ de l’un ou l’autre des nœuds sur son orbite inclinée (selon le rapport 1 : 11⁠1⁄2), il deviendra possible que la Lune touche tout juste l’ombre. Par le même argument que celui qui vient d’être déduit de l’anomalie, quand le centre moyen de la Lune est à 15° 12′ de mouvement moyen d’un ou l’autre des nœuds de son orbite, alors seulement la Lune pourra-t-elle toucher à l’ombre, c’est-à-dire lorsque la distance [de la Lune moyenne] à la limite nord est entre 74° 48′ et 105° 12′, ou entre 254° 48′ et 285° 12′.

C’est pourquoi nous avons inclus ces nombres pour [l’argument de] latitude de la Lune aux limites solaires et lunaires [d’éclipse] dans le tableau précédent des syzygies, afin de permettre de savoir rapidement si une éclipse est susceptible de se produire.

6. De l’intervalle en mois entre les éclipses

Il sera également utile de discuter de l’intervalle après lequel il est possible que des syzygies se reproduisent pour produire une éclipse, en partant d’un [seule] syzygie écliptique, nous ne prendrons pas toutes les syzygies suivantes, mais seulement celles qui sont séparées [de la première] par un intervalle de mois au cours duquel il est possible qu’une éclipse se reproduise.

Les éclipses de Soleil et de Lune peuvent se reproduire après six mois, puisque l’augmentation du mouvement moyen de la Lune en [argument de] latitude sur six mois est de 184° 01′ 25″, et les arcs entre les limites écliptiques [aux nœuds opposés], tant pour le Soleil que pour la Lune, contiennent moins que cela pour celles sont inférieures à un demi-⁠cercle, et plus que cela pour celles qui sont supérieures à un demi-cercle. Dans le cas du Soleil, en effet, les limites écliptiques sont à 20° 41′ (tel que démontré) au nord des deux nœuds sur l’orbite inclinée de la Lune, et 11° 22′ au sud. Ainsi les arcs sur lesquels les éclipses ne peuvent pas se produire mesurent 138° 38′ au nord [des nœuds], et 157° 16′ au sud. Dans le cas de la Lune, les limites de l’écliptique sont à 15° 12′ [au-dessus] des nœuds sur l’orbite inclinée, des deux côtés de l’écliptique. Ainsi, chacun des arcs sur lesquels les éclipses ne peuvent se produire mesure donc 149° 36′.

Je vais prouver que, par conséquent, il est possible que les éclipses lunaires se reproduisent à un intervalle de cinq mois qui est le plus long possible, c’est-à-dire un intervalle dans lequel le Soleil a le plus de mouvement possible et la Lune le moins. Nous pouvons voir cela comme suit.

En cinq mois moyens, nous trouvons les mouvements suivants :

Ces 145° 32′ du Soleil, lorsque son mouvement [vrai] est le plus grand, [soit] de part et d’autre du périgée, ajoutent 4° 38′ au mouvement moyen, et les 129° 05′ d’anomalie de la Lune sur son épicycle, lorsque son mouvement [vrai] est le plus faible, [soit] de part et d’autre de l’apogée, enlèvent 8° 40′ au mouvement moyen. Par conséquent, sur la période de cinq mois synodiques moyens au cours desquels le Soleil a son plus grand mouvement possible et la Lune son moindre, la Lune sera toujours en avance sur le Soleil de la somme des deux [équations d’]anomalie, c’est-à-dire de 13° 18′. Nous en prenons 1⁄12^e (pour les raisons démontrées ci-⁠dessus), et nous obtenons environ 1° 06′ pour le mouvement supplémentaire du Soleil avant que la Lune ne le rattrape. Ainsi, puisqu’il a un mouvement supplémentaire de 4° 38′ à partir de sa propre anomalie, et un autre 1° 06′ d’avance en syzygie vraie, le plus grand intervalle possible en 5 mois sera plus grand que le moyen par 5° 44′ en longitude. Par conséquent, le mouvement supplémentaire de la Lune en [argument de] latitude sur son orbite inclinée sera d’environ la même quantité [5° 44′] sur le mouvement moyen en latitude sur cinq mois, qui est d’environ 153° 21′. Ainsi, le véritable mouvement en [argument de] latitude sur le plus grand intervalle possible de cinq mois est de 159° 05′.

Mais les limites écliptiques de la Lune, de chaque côté de l’écliptique et pour la distance moyenne de la Lune, sont d’environ 1° du grand cercle passant par les pôles de l’orbite inclinée de la Lune, puisqu’à la plus petite distance de la Lune elles sont de 1° 03′ 36″, et à sa plus grande distance de 0° 56′ 24″, et donc [les limites écliptiques sont] de 11° 30′ de l’orbite inclinée de part et d’autre des nœuds. L’arc anécliptique  entre eux comprend 157° 00′, soit 2° 05′ de moins que les 159° 05′ de l’orbite inclinée [de la Lune] sur le plus grand intervalle de cinq mois possible. Il est donc évident par là que, si nous prenons l’intervalle de cinq mois le plus long possible, la pleine lune peut être éclipsée au début de cet intervalle quand elle s’éloigne de l’un des nœuds, puis être éclipsée à nouveau à l’opposition [pleine lune] à la fin de l’intervalle, alors qu’elle se rapproche du nœud opposé. L’obscurcissement aura lieu du même côté de l’écliptique, et non pas du côté opposé, dans les deux éclipses.

Nous avons donc démontré qu’il peut y avoir deux éclipses lunaires après l’intervalle de cinq mois qui est le plus long possible. Nous allons maintenant prouver qu’il est impossible que cela se produise après sept mois, même si nous supposons l’intervalle de sept mois le plus court possible, à savoir celui dans lequel le Soleil a son moindre mouvement et la Lune son plus grand. Nous pouvons voir cela par la même méthode que ci-⁠dessus.

Dans l’intervalle moyen de sept mois, les mouvements sont les suivants :

Les 203° 45′ du Soleil, lorsque son mouvement [vrai] est le plus lent et de part et d’autre de l’apogée, enlèvent 4° 42′ au mouvement moyen, tandis que les 180° 43′ [d’anomalie] de la Lune sur son épicycle, lorsque son mouvement [vrai] est le plus rapide et de part et d’autre du périgée, ajoutent 9° 58′ à son mouvement moyen. Il s’ensuit que, sur les sept mois [synodiques] moyens au cours desquels le Soleil a son mouvement le plus lent possible et la Lune son plus rapide, la Lune sera en avance du du Soleil par la somme des deux anomalies [ci-⁠dessus], soit 14° 40′. Pour la même raison [que précédemment], nous en prenons 1⁄12^e [soit 1° 13′] et l’ajoutons aux 4° 42′ manquants d’anomalie du Soleil : cela nous donne 5° 55′, soit la différence approximative en longitude entre l’intervalle de sept mois le plus court possible et l’intervalle moyen de sept mois. De même, le mouvement de la Lune en [argument de] latitude sera inférieur à celui de l’intervalle moyen de sept mois, soit 214° 42′, du même montant [soit 5° 53′]. Ainsi, dans l’intervalle de sept mois le plus court possible, la Lune aura avancé de 208° 47′ en [argument de] latitude sur son orbite inclinée. Mais puisque le plus grand arc entier de l’orbite entre les limites écliptiques de la Lune à distance moyenne , c’est-à-dire entre la limite précédant un nœud et la limite suivant l’autre nœud, n’est que de [180° + 2 × 11° 30′ =] 203°. Il est donc impossible que la Lune s’éclipse à la première opposition d’un intervalle de sept mois puis s’éclipse à nouveau, de quelque manière que ce soit, à la dernière opposition de cet intervalle, même s’il est le plus court possible.

Il faut maintenant prouver que le Soleil aussi peut s’éclipser deux fois pour les mêmes régions de la Terre quelles qu’elles soient, sur le plus grand intervalle possible de cinq mois. Nous avons en effet démontré que, dans l’intervalle de cinq mois le plus long possible, le mouvement de la Lune en [argument de] latitude est de 159° 05′ et que l’arc non écliptique du Soleil, pour la distance moyenne de la Lune, est de 167° 36′, parce que les limites écliptiques du Soleil sont de 0° 32′ 20″ par rapport à l’écliptique, le long du grand cercle passant par ses pôles, et d’environ 6° 12′ le long de l’orbite inclinée de la Lune. Il est donc évident que, si la Lune n’a pas de parallaxe, l’éclipse [solaire après cinq mois] sera impossible, puisque l’ arc non écliptique est plus grand que que le mouvement sur le plus long intervalle possible de cinq mois, de 8° 31′ le long de l’orbite inclinée [de la Lune], soit environ 0° 45′ sur le cercle perpendiculaire à l’écliptique. Cependant, aux endroits pour lesquels la Lune peut avoir une parallaxe, à l’une des conjonctions extrêmes [de l’intervalle] ou au total des deux à la fois, dépasse 0° 45′, il est possible que les conjonctions extrêmes produisent une éclipse pour ces endroits.

Nous avons démontré que, sur les cinq mois pendant lesquels la Lune est à son mouvement le plus lent possible et le Soleil à son plus rapide, soit des deux tiers de la Vierge aux deux tiers du Verseau, la Lune est toujours en avance sur le Soleil de la somme des deux [équations d’]anomalie, soit 13° 18′. Puisqu’il faut à la Lune, pour couvrir cet arc et son douzième [soit 13° 18′ + 1⁄12 × 13° 18′] en mouvement moyen, 1 j 2⁠1⁄4 h, il est donc évident, puisque l’intervalle moyen de cinq mois est d’environ 147 j 15⁠3⁄4 h, que l’intervalle de cinq mois le plus long possible durera 148 j 18 h. Par conséquent, la dernière conjonction, qui a lieu environ aux deux tiers du Verseau, sera plus tôt [dans la journée] que la première (qui a lieu environ aux deux tiers de la Vierge), de six heures [différence entre 148 j 18 h et 149 j exactement]. Nous devons donc chercher où et quand la Lune, dans l’un ou l’autre de ces signes ou dans les deux, a une parallaxe plus grande que les 0° 45′ précédemment mentionnés entre sa position dans le Verseau et celle qu’elle avait six heures plus tôt [et 149 j plus tard] dans la Vierge.

La parallaxe de la Lune n’atteint jamais cette valeur vers le nord, pour aucun endroit du monde [considéré comme habitable par Ptolémée]. Il est donc impossible que le Soleil soit éclipsé deux fois dans le plus long intervalle possible de cinq mois lorsque la Lune est au sud de l’écliptique, c’est-à-dire lorsqu’elle s’éloigne du nœud descendant à la première conjonction et s’approche du nœud ascendant à la deuxième. Mais elle peut avoir une telle parallaxe vers le sud pour toutes les régions — depuis presque l’équateur jusqu’au nord — dans les deux signes mentionnés ci-⁠dessus avec une différence de 6 heures [de moins que 149 j]. Cela se produit lorsque les deux tiers de la Vierge sont sur le point de se coucher à la première conjonction, et que les deux tiers du Verseau sont au méridien à la seconde conjonction, puisque dans ces positions, nous trouvons les parallaxes approximatives suivantes vers le sud, pour la Lune à distance moyenne (et en faisant abstraction de la parallaxe solaire) :

La somme des parallaxes dépasse déjà les 0° 45′ en question, de 4′. Or, puisque la parallaxe vers le sud est plus grande pour les régions situées plus au nord, il est évident qu’il y aura une possibilité croissante en allant vers le nord que le Soleil soit éclipsé deux fois dans le plus long intervalle de cinq mois possible, mais seulement lorsque la Lune est au nord de l’écliptique, c’est-à-dire lorsqu’elle s’éloigne du nœud ascendant à la première éclipse et s’approche du nœud descendant à la seconde.

J’affirme aussi qu’il est possible que le Soleil soit éclipsé deux fois pour ces mêmes parties du monde dans le plus court intervalle de sept mois. En effet, nous avons montré que le mouvement de la Lune en [argument de] latitude sur l’intervalle le plus court de sept mois est de 208° 47′ et que le plus grand arc de l’orbite inclinée [de la Lune] entre les limites écliptiques (soit entre la limite précédant un nœud et la limite suivant le nœud opposé) est, pour le Soleil lorsque la Lune est à distance moyenne, de 192° 24′, il est évident que, si la Lune n’a pas de parallaxe, il sera impossible que deux éclipses se produisent, parce que l’arc de l’orbite inclinée [de la Lune] parcouru dans l’intervalle le plus court de sept mois est plus grand que le plus grand arc entre les limites écliptiques du Soleil, par 16° 23′ le long de l’orbite inclinée, [soit] 1° 25′ sur le cercle passant par les pôles de l’écliptique. Mais pour les endroits où la parallaxe lunaire est suffisamment grande, à l’une ou l’autre des conjonctions extrêmes ou en combinant les deux parallaxes, pour dépasser 1° 25′, il est possible que les conjonctions extrêmes produisent une éclipse pour ces endroits.

Puisque, tel que nous l’avons démontré, pendant cet intervalle moyen de sept mois au cours duquel la Lune a son plus mouvement [vrai] le plus rapide, et le Soleil son plus lent, [soit] de la fin du Verseau au milieu de la Vierge, la Lune, en mouvement vrai, a déjà dépassé le Soleil de 14° 40′, et que de la Lune parcourt cet angle et son douzième [soit 14° 40′ + 1⁄12 × 14° 40′] en 1 j 5 h, il est évident que, puisque l’intervalle moyen de sept mois compte environ 206 j 17 h, l’intervalle de sept mois le plus court possible durera [206 j 17 h − 1 j 5 h =] 205 j 12 h. Par conséquent, la seconde conjonction dans le milieu de la Vierge aura lieu 12 heures plus tard [dans la journée] que la première conjonction à la fin du Verseau. Il faut donc chercher où et quand parallaxe lunaire peut dépasser 1° 25′, soit dans l’un ou l’autre de ces signes, soit en combinant les deux, lorsque les deux signes sont séparés de 12 heures, c’est-à-dire qu’un se couche et que l’autre se lève — sinon, les deux éclipses ne pourront pas se produire au-⁠dessus de l’horizon.

Il est encore une fois impossible pour la Lune d’avoir une parallaxe nord aussi grande, pour quelque région du monde habité que ce soit — même directement sous l’équateur, la parallaxe en latitude à la distance moyenne  de la Lune ne dépasse jamais 23 minutes. Il est donc impossible que le Soleil soit éclipsé deux fois dans les sept mois les plus courts lorsque la Lune est au sud de l’écliptique, c’est-à -dire quand elle s’approche du nœud ascendant à la première conjonction et qu’elle s’éloigne du nœud descendant à la seconde. Mais nous trouvons qu’une aussi grande parallaxe vers le sud [soit > 1° 25′] se produit à peu près au parallèle de Rhodes [et vers le nord], lorsque la fin du Verseau se lève et que le milieu de la Vierge se couche. En effet, au parallèle de Rhodes, la parallaxe de la Lune à distance moyenne (en faisant abstraction de la parallaxe solaire) est d’environ 0° 46′ vers le sud dans l’une et l’autre de ces positions, et la somme des parallaxes aux deux conjonctions est donc supérieure à 1° 25′. Puisque, pour les régions encore plus au nord, la parallaxe sud est plus grande, il est évident que pour ces régions, une éclipse de Soleil peut être observée deux fois dans l’intervalle de sept mois le plus court, mais seulement quand la Lune est au nord de l’écliptique, c’est-⁠à -⁠dire lorsqu’elle s’approche du nœud descendant à la première éclipse et s’éloigne du nœud ascendant à la seconde.

Il nous reste à démontrer qu’il est impossible que le Soleil s’éclipse deux fois à un mois d’intervalle dans notre partie du monde habité, ni pour une même latitude ni pour des latitudes différentes, même si nous supposons une combinaison de facteurs qui ne peuvent pas tous être vras en même temps, mais qui pourraient être regroupées dans une vaine tentative de rendre l’événement possible. Ces hypothèses sont que la Lune soit à son plus proche (rendant sa parallaxe plus grande) ; que le mois soit le plus court possible (afin que le mouvement en latitude dépasse d’aussi peu que possible la distance entre les limites écliptiques du Soleil) ; et que nous utilisons, sans analyse [pour savoir s’il s’agit d’une situation possible], les heures et les signes du zodiaque dans lesquels la parallaxe apparente de la Lune est la plus grande. Ainsi, dans un mois synodique moyen, les mouvements moyens des corps sont les suivants :

Mais les 29° 06′ du mouvement du Soleil, [répartis symétriquement] de part et d’autre de l’apogée, pour produire son mouvement [vrai] le plus lent, enlèvent 1° 08′ au mouvement moyen, et les 25° 49′ du mouvement de la Lune, [répartis symétriquement] de part et d’autre du périgée, pour produire son plus mouvement [vrai] le plus rapide, ajoutent 2° 28′ au mouvement moyen. Tel que démontré précédemment, nous prenons la somme des deux équations d’anomalie, 3° 36′, et y ajoutons 1⁄12^e, soit 0° 18′, au retard du Soleil [de 1° 08′], cela nous donne 1° 26′ pour le mouvement accompli en longitude pendant le mois le plus court de moins que [l’argument de] latitude en 1 mois synodique moyen. Donc, puisque le mouvement en latitude pendant un mois synodique moyen est de 30° 40′, celui du mois le plus court est de 29° 14′, ce qui correspond à environ 2° 33′ sur le grand cercle perpendiculaire au zodiaque. Mais l’intervalle total des limites écliptiques du Soleil, lorsque la Lune est à sa moindre distance, est de 1° 06′, de sorte que le trajet du mois le plus court est plus grand de 1° 27′. Donc, si le Soleil devait s’éclipser deux fois en un mois, il faudrait absolument soit que [a] la Lune n’ait pas de parallaxe à une conjonction et plus de 1° 27′ à l’autre, soit que [b] la parallaxe aux deux conjonctions soit dans la même direction et que la différence entre les deux soit de plus de 1° 27′, soit que [c] la parallaxe à une conjonction soit vers le nord et la parallaxe à l’autre soit vers le sud, et que leur somme dépasse cette quantité [1° 27′]. Mais pour nulle part sur la Terre, la Lune à la syzygie, même à son plus proche, n’a de parallaxe latitudinale de plus de 1° (en faisant abstraction de la parallaxe solaire). Ainsi, il ne sera pas possible qu’une éclipse solaire se produise deux fois en un mois puisque, que la Lune n’ait pas de parallaxe à une conjonction ou que sa parallaxe soit dans la même direction aux deux conjonctions, la différence entre les parallaxes ne dépassera jamais 1°, et il nous faut 1° 27′. L’événement en question ne pourrait donc se produire que si les deux parallaxes sont en sens opposés et que la somme des deux dépasse 1° 27′, ce qui pourrait se produire pour des écoumènes situés dans différentes parties de la Terre, puisque la parallaxe sud de la Lune pour les régions de l’hémisphère nord et la parallaxe nord pour les régions de l’hémisphère sud (les soi-disant « antipodes » ou « antichthones » [ἀντιχθόνων]), peuvent [chacune] atteindre jusqu’à 1° (en faisant abstraction de la parallaxe solaire) — mais cela ne pourrait jamais arriver dans le même écoumène, puisque dans une comme l’autre, la parallaxe maximale de la Lune, tant au nord qu’au sud, ne dépasse pas 25′ pour les habitants de l’équateur ou 1° pour les écoumènes de l’hémisphère nord ou de l’hémisphère sud, de sorte que même dans ce cas [c’est-⁠à-⁠dire en prenant l’équateur et les limites extrêmes nord ou sud] la somme des parallaxes est toujours inférieure à 1° 27′. Et puisque les deux parallaxes opposées sont de plus en plus petites dans les régions situées entre l’équateur et l’autre extrême [de chaque oikoumene], l’événement devient de plus en plus impossible pour ces régions. Il est donc impossible que le Soleil soit éclipsé deux fois en un mois, que ce soit pour les mêmes observateurs n’importe où sur la Terre, ou que ce soit pour des observateurs différents dans le même écoumène. C’est ce que nous voulions prouver.

7. Construction des tableaux des éclipses

Avec ce qui précède, nous avons vu quels intervalles prendre entre les syzygies pour chercher des éclipses. Maintenant, après avoir déterminé leur temps de mi-éclipse et calculé les positions de la Lune à ce moment (ce qui nous donne les positions apparentes aux synodes ou conjonctions et les positions vraies aux pleines lunes [oppositions]), nous voulons avoir un moyen pratique de déterminer, à partir de la position de la Lune en latitude, quelles syzygies produiront définitivement une éclipse, de même que la magnitude et la durée totale de chaque éclipse. Nous avons donc construit des tableaux, deux pour les éclipses solaires et deux pour les éclipses lunaires ; un [de chaque] pour la plus grande distance de la Lune et un autre pour sa plus petite distance. [L’intervalle entre chaque ligne étant déterminé par] l’obscurcissement mesuré en douzièmes du diamètre éclipsé de chaque luminaire.

Le premier tableau des éclipses solaires, qui comprend les limites des éclipses à la plus grande distance de la Lune, sera de 25 lignes et 4 colonnes ; les deux premières contiendront la position apparente de la Lune en [argument de] latitude sur son orbite inclinée pour chaque [unité d’]obscurcissement. Puisque le diamètre du Soleil est de 0° 31′ 20″, et, comme cela a été prouvé, le diamètre de la Lune à sa plus grande distance est aussi de 0° 31′ 20″, quand le centre apparent de la Lune est à 0° 31′ 20″ du centre du Soleil sur le grand cercle passant par leurs deux centres (et qui est à 6° du nœud le long de son orbite inclinée, selon la proportion de 11;30 : 1 précédemment mentionnée), [le disque de] la Lune commence tout juste à toucher le [disque du] Soleil. Nous mettons donc, dans la première ligne de la première colonne, 84°, et dans la première ligne de la deuxième colonne, 276° ; dans la dernière ligne de la première colonne, 96°, et dans la dernière ligne de la deuxième colonne, 264°.

Puisque le douzième du diamètre solaire correspond à environ 0° 30′ du cercle oblique, nous augmenterons ou diminuerons les entrées dans les deux colonnes susmentionnées de cette quantité, en commençant par les lignes aux deux extrémités et en allant vers le milieu, où nous mettons 90° et 270°.

La troisième colonne contiendra l’ampleur de l’obscurcissement. Sur les deux lignes du haut et du bas, nous mettrons 0 pour marquer le [premier ou dernier] contact ; et puisqu’un doigt correspond à un douzième du diamètre, l’incrément des autres lignes sera de 1 doigt jusqu’au milieu, où tombera le nombre de 12 doigts.

La quatrième colonne contiendra le mouvement du centre de la Lune pour chaque obscurcissement, sans toutefois tenir compte du mouvement du Soleil ni de l’épiparallaxe de la Lune [c’est-⁠à-⁠dire le changement de la parallaxe de la Lune].

Le deuxième tableau des éclipses solaires, qui contient leurs limites à la plus petite distance de la Lune, sera dressé de la même manière que le premier, mais sur 27 lignes et 4 colonnes, parce que le rayon de la Lune à sa plus petite distance est, comme nous l’avons démontré, de 0° 17′ 40″ tandis que celui du Soleil est de 0° 15′ 40″. Ainsi, lorsque la Lune commence tout juste à toucher le Soleil, son centre apparent est à 0° 33′ 20″ du centre du Soleil et à 6° 24′ du nœud le long de son cercle incliné. Ainsi, les lignes du haut et du bas pour pour [l’argument de] latitude sont 83° 36′ et 276° 24′ ainsi 96° 24′ et 263° 36′ [respectivement], et la ligne du milieu, dans la colonne des doigts, sera de 12⁠4⁄5, parce que le diamètre de la Lune dépasse celui du Soleil de cette fraction. Pour cette entrée il y aura aussi une durée de totalité .

Chacune des tables [des éclipses] lunaires, quant à elles, sera composée de 45 lignes et 5 colonnes. Dans le premier tableau, nous mettrons [l’argument de] la latitude pour la plus grande distance de la Lune ; puisque le rayon de la Lune à sa plus grande distance est, comme nous l’avons démontré, de 0° 15′ 40″, et le rayon de l’ombre, de 0° 40′ 44″, lorsque la Lune commence tout juste à toucher à l’ombre, le centre de la Lune est à 0° 56′ 24″ du centre de l’ombre le long du grand cercle passant par les deux centres, et à 10° 48′ du nœud le long de son orbite inclinée. Nous mettrons donc, sur la première ligne, 79° 12′ [dans la première colonne] et 280° 48′ [dans la deuxième colonne], et sur la dernière ligne, 100° 48′ et 259° 12′ [respectivement]. Par le même raisonnement que précédemment [dans le tableau solaire], nous augmenterons ou diminuerons chaque ligne de 0° 30′, ce qui correspond à un douzième du diamètre lunaire pour cette distance.

Dans le deuxième tableau, nous mettrons l’[argument de] latitude pour la Lune à sa moindre distance où, comme nous l’avons démontré, son rayon est de 0° 17′ 40″ et le rayon de l’ombre est de 0° 45′ 56″. Par conséquent, lorsque la Lune commence tout juste à toucher l’ombre, son centre est, par le même argument que précédemment, à 1° 03′ 36″ du centre de l’ombre, et à 12° 12′ du nœud le long du cercle incliné. Nous mettrons donc, sur la première ligne, 77° 48′ et 282° 12′, et, sur la dernière ligne, 102° 12′ et 257° 48′, et augmenterons ou diminuerons encore les entrées du montant correspondant au douzième du diamètre lunaire pour cette distance, [soit] 0° 34′.

La troisième colonne [de chaque tableau], pour les doigts [d’obscurcissement], sera disposée de la même manière que celle des tableaux solaires. Il en sera de même pour les colonnes suivantes, qui contiennent le mouvement de la Lune pour chaque obscurcissement, à savoir [la quatrième colonne] pour l’immersion et l’émersion, et aussi [la cinquième colonne] pour la moitié de la durée de la totalité.

Nous avons calculé géométriquement le parcours de la Lune tabulé pour chaque obscurcissement, mais [seulement] avec des plans et des lignes droites, puisque de si petits arcs ne diffèrent pas sensiblement des cordes correspondantes et que, de plus, le mouvement de la Lune sur son cercle incliné n’est pas sensiblement différent de son mouvement par rapport à l’écliptique [pendant une éclipse]. Mais ne pensez pas que nous ignorons que le mouvement de la Lune en longitude sur le cercle incliné est généralement différent de celui sur l’écliptique, ni que nous ignorons que le moment de la syzygie n’est pas exactement le même que le moment de la mi-éclipse.

[Pour illustrer cela], prenons depuis le nœud A deux arcs égaux (AB et AG) de ces cercles [l’orbite et écliptique]. Joignons BG et, depuis B, traçons BD perpendiculaire à AG. Il est ainsi évident que, si nous supposons la Lune en B, si nous prenons l’arc AG de l’écliptique au lieu de l’arc AD [de l’orbite], alors, puisque le mouvement par rapport à l’écliptique est déterminé par [le grand cercle] passant par ses pôles pour les mouvements ayant lieu au-⁠dessus de lui, la différence [de longitude] due à l’inclinaison de l’orbite lunaire sera GD. En outre, si nous imaginons le Soleil ou le centre de l’ombre en B, le temps de syzygie se produira lorsque la Lune sera en G (puisque la différence due aux deux cercles [écliptique et orbite] est négligeable), mais le temps du milieu de l’éclipse sera lorsque la Lune est en D, puisque, encore une fois, celui-⁠ci est défini par le cercle passant par les pôles de l’orbite de la Lune, et le moment de la syzygie différera [donc] du moment du milieu de l’éclipse par l’arc GD.

La raison pour laquelle nous n’avons pas pris en compte ces arcs dans nos calculs individuels est que les différences qu’ils provoquent sont petites et imperceptibles. Bien qu’il soit peu raisonnable de les ignorer, ils ont volontairement été omis parce que les calculs seraient rendus très complexes, ce qui n’en vaut pas la peine par rapport à la petitesse de leur effet. Nous avons en effet constaté que l’arc correspondant à GD ne dépasse pas, en général, 0° 05′ — ce qui peut être démontré au moyen du même théorème que nous avons utilisé pour calculer la différence entre les arcs de l’équateur et les arcs [correspondants] de l’écliptique sur un [grand] cercle passant par les pôles de l’équateur. Pour les éclipses, [l’arc correspondant à GD] ne dépasse pas 2′  ; en effet, si nous prenons l’arc AB = arc AG = 12°, qui est le trajet maximal de la Lune [depuis le nœud] pendant une éclipse, alors BD mesure environ 1°. Donc, AD vaut environ 11° 58′, et, par soustraction, GD vaut 2′, soit moins de 1⁄16^e d’heure équinoxiale. D’accrocher sur une si petite différence serait un signe de condescendance plutôt que de rigueur d’esprit.

Nous avons donc calculé le mouvement de la Lune pendant les obscurcissements en question comme si les cercles [de l’écliptique et de l’orbite] étaient sensiblement identiques, méthode qui nous est permise par un ou deux exemples que voici.

Soit A le centre du Soleil ou de l’ombre, et BGD l’arc du cercle [incliné] de la Lune. Soit aussi B, le centre de la Lune lorsqu’elle commence tout juste à toucher le Soleil ou l’ombre soient, et D lorsqu’elle finit tout juste d’en sortir D. Joignons AB et AD, et traçons, depuis A, la droite AG perpendiculaire à BD.

Maintenant, il est clair que l’obscurcissement moyen et le maximum de l’éclipse se produisent quand le centre de la Lune est en G, parce que AB est égal à AD, donc les distances parcourues, BG et GD, sont également égales, et parce que AG est la plus courte des lignes entre les deux centres [quand la Lune est] sur BD. Il est également clair que AB et AD sont chacune égales à la somme des rayons de la Lune et du Soleil ou [de la Lune et] de l’ombre, et que chacun est plus long qu’AG de la partie du diamètre du corps éclipsé qui est obscurcie.

Cela étant posé, supposons que l’obscurcissement est, par exemple, de trois doigts, et que A représente le centre du Soleil. Par conséquent, quand la Lune est à sa plus grande distance,

C’est le montant que nous inscrirons dans la quatrième colonne du premier tableau pour les [éclipses] solaires vis-à-vis de « 3 doigts ».

Pour la moindre distance de la Lune,

C’est le montant que nous inscrirons dans la quatrième colonne du deuxième tableau pour les [éclipses] solaires en face de « 3 doigts ».

Supposons maintenant que A soit le centre de l’ombre et que l’obscurcissement est [encore] du quart, [mais maintenant] du diamètre lunaire. Ainsi donc, à la plus grande distance de la Lune,

C’est le montant que nous inscrirons dans la quatrième colonne du premier tableau pour les [éclipses] lunaires en face de « 3 doigts ». Il représente le trajet de l’astre dans l’ombre pendant l’immersion, qui est sensiblement le même que celui pendant l’émersion.

Pour la moindre distance [de la Lune],

C’est le montant que nous inscrirons en face de « 3 doigts », comme précédemment, dans la quatrième colonne du deuxième tableau des [éclipses] lunaires.

Maintenant, pour représenter les éclipses lunaires comprenant une totalité, soit A le centre de l’ombre, et BGDEZ [une portion de] l’arc du cercle incliné de la Lune. Soit B le lieu du centre de la Lune lorsqu’il est commence tout juste à toucher à l’ombre, à l’approche, G lorsqu’il est tout juste au complet dans l’ombre au début de la totalité, E [juste avant qu’il ne commence à sortir de la totalité], et Z lorsqu’il finit tout juste de toucher à l’ombre à la fin [de l’éclipse]. Traçons, à partir de A, la droite AD perpendiculaire à BZ. Les mêmes conclusions que précédemment restent valables, et il est évident que chacune des droites AG et AE comprend la quantité par laquelle le rayon de l’ombre dépasse le rayon de la Lune. Ainsi donc, la droite GD est égale à DE, et chacune représente la moitié de la totalité, tandis que la droite BG, le reste [de BD − GD], qui représente l’immersion, est égale à EZ, le reste [de DZ − DE], qui représente l’émersion. Supposons donc une éclipse de 15 doigts lunaires, c’est-⁠à-⁠dire une dans laquelle D, le centre de la Lune [au milieu de l’éclipse], se trouve à 1⁠1⁄4 diamètres lunaires à l’intérieur des limites écliptiques. C’est-à-dire quand

Nous mettrons donc, en face de l’entrée « 15 doigts », dans la quatrième colonne du premier tableau des éclipses lunaires, 35′ 30″ pour l’immersion, qui sera la même quantité pour l’émersion, et dans la cinquième colonne, 18′ 12″ pour la moitié de la durée de la totalité .

Pour la plus petite distance de la Lune, comme avant,

Nous mettrons donc, en face de l’entrée « 15 doigts », dans la quatrième colonne du deuxième tableau des éclipses lunaires, 40′ 02″ pour l’immersion, qui sera encore la même quantité pour l’émersion, et dans la cinquième colonne, 20′ 32″ pour la moitié de la durée de la totalité.

Afin d’avoir sous la main les différences [entre les valeurs des premier et deuxième tableaux] proportionnelles aux positions de la Lune sur son épicycle entre la plus grande et la plus petite distances, [ce que nous faisons] par la méthode des soixantièmes [d’interpolation], nous avons dressé, suite aux tableaux [mentionnés] ci-⁠dessus, un autre petit tableau, qui contient, en argument, la position [en anomalie] sur l’épicycle, et [en fonction] le nombre de soixantièmes correspondant à appliquer [en coefficient d’interpolation] à chaque différence [entre les valeurs] dérivée des premier et deuxième tableaux des éclipses. Nous avons calculé tous ces soixantièmes pour le tableaux de la parallaxe lunaire : ils sont donc portés dans la septième colonne [de ce tableau], l’épicycle étant supposé à l’apogée de l’excentrique pour les syzygies.

Mais puisque la plupart de ceux qui observent les éclipses mesurent l’obscurcissement, non pas par le diamètre des disques [du Soleil et de la Lune], mais par la surface totale [obscurcie] des disques , puisque, quand on aborde le problème grossièrement, l’œil compare la surface visible avec la surface invisible. Pour cette raison, nous avons ajouté aux tableaux [mentionnés] ci-⁠dessus un autre petit tableau, de 12 lignes et 3 colonnes, dans la première desquelles nous mettrons les chiffres de 1 à 12, représentant les douzièmes du diamètre de chaque luminaire, comme dans les tableaux d’éclipses. Les deux autres colonnes contiendront les douzièmes de la surface totale correspondant à ces [chiffres linéaires], ceux du Soleil dans la seconde et ceux de la Lune dans la troisième. Nous n’avons calculé ces quantités que pour les tailles apparentes quand la Lune est à sa distance moyenne, puisqu’il en résultera à peu près le même rapport [à d’autres distances], compte tenu d’une si petite variation des diamètres. De plus, nous avons supposé que le rapport de la circonférence au diamètre est de 3;08,30 : 1, puisque ce rapport est à peu près à mi-chemin entre 3⁠1⁄7 : 1 et 3⁠10⁄71 : 1, qu’Archimède utilisait comme limites approximatives [dudit rapport].

Commençons par les éclipses solaires. Soit le disque solaire ABGD de centre E, et le disque de la Lune à sa distance moyenne AZGH et de centre Θ, coupant le disque solaire aux points A et G. Joignons BEΘH, et supposons que le quart du diamètre du Soleil est éclipsé. Ainsi, ZD = 3 où diamètre BD = 12, et le diamètre de la Lune, ZH ≈ 12;20 dans les mêmes unités, selon le rapport 15;40 : 16;40. Il s’ensuit donc que

EΘ = [1⁄2(12 + 12;20) − 3 = ] 9;10 dans les mêmes unités.

Donc les circonférences des disques sont, selon le rapport 1 : 3;08,30,

circonférence du Soleil : 37;42^p
circonférence de la Lune : 38;46^p.

De même, puisque le produit du rayon et de la circonférence est le double de la surface du cercle, les surfaces des disques entiers sont :

surface du Soleil:113;06^p,
surface de la Lune:119;32^p.

Ceci donné, nous cherchons la mesure de la surface entourée par ADGZ, où la surface du Soleil est de 12 parties. Joignons d’abord AE, AΘ, GE, et GΘ, et traçons également la perpendiculaire AKG. Maintenant, où EΘ = 9;10^p,

Ainsi, puisque le rapport d’un cercle à l’un de ses arcs est égal au rapport de la surface entière du cercle à la surface du secteur déterminé par cet arc, la surface du secteur AEGD = 26;16^p, où la surface du cercle ABGD = 113;06^p, comme cela a été démontré, et, dans les mêmes unités, la surface du secteur AΘGZ = 26;51^p, où la surface du cercle AZGH = 119;32^p).

Et nous avons démontré que

C’est le montant que nous inscrirons dans la seconde colonne du tableau mentionné ci-⁠dessus, sur la ligne « 3 doigts ».

Maintenant, dans le même diagramme, pour représenter les éclipses lunaires, soit ABGD, le disque de la Lune, et AZGH, le disque de l’ombre [terrestre] à la distance [lunaire] moyenne. Comme précédemment, supposons que le quart du diamètre de la Lune soit éclipsé. Donc, où le diamètre BD = 12^p, la section éclipsée, ZD = 3^p et, selon le rapport 2;36 : 1, le diamètre de l’ombre ZH = 31;12^p. Donc EKΘ est égal à [1⁄2(12 + 31;12) − 3 = ] 18;36^p.

Les circonférences sont donc les suivantes :

disque de la Lune : 37;42^p
disque de l’ombre : 98;01^p

Les surfaces sont :

disque de la Lune : 113;06^p
disque de l’ombre : 764;32^p.

Maintenant, où EΘ = 18;36^p,

Par conséquent, où la surface du disque lunaire est de 12^p, la surface comprise par sa section éclipsée sera d’environ 2⁠1⁄15^p. C’est le montant que nous inscrirons dans la troisième colonne du tableau mentionné ci-⁠dessus, sur la ligne des « 3 doigts » [en argument].

Les tableaux sont les suivants.

8. Tableaux des éclipses de Soleil et de Lune, de la correction, et de la grandeur du Soleil et de la Lune

[NdT : La rangée et la colonne de couleur crème n’apparaissent ni dans les manuscrits, ni dans les traductions que j’ai consultées ; je les ai ajoutées pour aider à identifier les valeurs présentées. Les valeurs en bleu (avec fond crème) ont été calculées par logiciel suivant la méthode de Ptolémée ; je juge que celles-⁠ci sont assez faibles (et symétriques) pour ne pas mériter de page séparée à leur sujet.]

9. Calcul des éclipses de Lune

Après avoir exposé ce qui précède, voici comment nous pouvons prédire les éclipses lunaires. Partant des montants en degrés nous avons calculés pour le moment du milieu de la syzygie à Alexandrie, de l’anomalie [comptée] depuis l’apogée de l’épicycle, et de [l’argument de] la latitude [compté] depuis la limite nord, ce dernier corrigé au moyen de la prostaphérèse, nous entrons d’abord avec [l’argument de] la latitude corrigé dans les tableaux des éclipses lunaires. S’il tombe parmi les nombres des deux premières colonnes, nous prenons les montants correspondant à [l’argument de] la latitude dans la colonne du mouvement [lunaire] et celle des doigts, et les notons séparément. Puis, nous entrons dans le tableau de la correction avec l’anomalie comme argument, et nous prenons le nombre de soixantièmes correspondant. Nous prenons ensuite cette fraction de la différence entre les [deux ensembles de] valeurs, [dérivés] des deux tableaux, que nous avons notés, ainsi que de la différence entre les [deux ensembles de] minutes de trajet, et additionnons les résultats aux montants issus du premier tableau. Si, cependant, l’argument de latitude tombe seulement dans la plage du deuxième tableau, nous en prendrons les soixantièmes des doigts et des degrés correspondants dans le second tableau seul. Le nombre de doigts que nous trouvons à la suite de la correction ci-⁠dessus nous donnera la grandeur de l’obscurcissement, en douzièmes du diamètre lunaire, à mi-⁠éclipse. Quant aux minutes [de trajet] résultant de la même correction, nous les augmentons toujours de 1⁄12^e, pour tenir compte du mouvement supplémentaire du Soleil [pendant cette phase de l’éclipse], et nous divisons le résultat par le mouvement horaire anomalistique de la Lune à ce point. Le quotient nous donnera la durée de chaque phase de l’éclipse en heures d’équinoxe ; le résultat dérivé de la quatrième colonne donnera la durée de l’immersion (et celle de l’émersion) ; et le résultat dérivé de la cinquième colonne donnera la durée de la moitié de la totalité. Les moments d’entrée et de sortie au début et à la fin [des différentes phases] peuvent être déduits immédiatement en ajoutant ou en soustrayant les durées individuelles au ou depuis le temps du milieu de la totalité, c’est-à-dire, approximativement, le temps de la véritable opposition. Nous pouvons également trouver immédiatement les doigts de surface en entrant avec les doigts de diamètre dans le petit tableau final et en prenant le montant correspondant dans la troisième colonne (et de même pour les éclipses solaires en prenant le montant correspondant dans la deuxième colonne).

Bien sûr, l’intervalle de temps entre le début d’une éclipse et son milieu n’est pas toujours égal à l’intervalle de temps entre le milieu et la fin de l’éclipse, à cause des anomalies solaires et lunaires, dont l’effet est que des distances égales sont parcourues [par les luminaires] en des temps inégaux. Cependant, aucune erreur notable ne résultera de la supposition que ces intervalles sont égaux dans le temps, puisque même quand [les luminaires] sont proches de la vitesse moyenne, où le changement [de vitesse] résultant d’un incrément [égal] [dans l’argument] est plus grand [qu’ailleurs], le mouvement sur le nombre d’heures de la durée totale de l’éclipse, même la plus longue possible, ne présente pas de différence notable [de durée] due au changement [de vitesse].

De plus, nous pouvons [maintenant] voir, en examinant la question sur la base ci-dessus, que nous avions tout à fait raison de rejeter comme erronée la période de [retour en] latitude de la Lune démontrée par Hipparque. [Comme nous l’avons vu,] l’incrément [en argument de latitude] entre les [deux] éclipses qu’il exposait apparaissait plus petit selon son hypothèse, alors que selon nos calculs, il s’avérait plus grand.

Pour sa démonstration, [Hipparque] a choisi deux éclipses espacées de 7 160 mois [synodiques], dans chacune desquelles un quart du diamètre de la Lune a été éclipsé, alors qu’elle était à la même distance du nœud ascendant. La première a été observée dans la deuxième année de Mardokempad et la seconde dans la trente-septième année du troisième cycle callippique. Pour démontrer le retour [en latitude] de la pleine lune, il s’est basé sur le fait que chaque éclipse était à la même position en [argument moyen de] latitude, la première éclipse ayant eu lieu avec la Lune à l’apogée de l’épicycle, et la seconde quand elle était au périgée — en sorte qu’il a pensé que l’anomalie n’avait aucun effet. Cependant, sa première erreur est exactement là, car l’anomalie avait en fait un effet considérable : le mouvement moyen était supérieur au vrai aux deux éclipses, non pas d’une quantité égale, mais d’environ 1° dans la première éclipse, et de 1⁄8° dans la seconde éclipse. Ainsi, le mouvement en latitude [entre les deux éclipses] est inférieur à un nombre entier de retours de 7⁄8° de l’orbite inclinée (de 360°) de la Lune.

De plus, il [Hipparque] n’a pas tenu compte de l’effet de la distance lunaire sur la taille de l’obscurcissement, bien qu’elle ait été très grande entre ces éclipses, puisque la première s’est produite lorsque la Lune était à sa plus grande distance, et la seconde lorsqu’elle était à son plus proche — en effet, le même obscurcissement, du quart [du diamètre], a dû arriver à une moindre distance du nœud ascendant dans la première éclipse, et à une plus grande distance dans la seconde. Or, nous avons démontré que la différence entre ces distances est de 1⁠1⁄5° ; par conséquent, la période de [retour en] latitude dépasse un nombre entier de retours de ce montant [1⁠1⁄5°]. Ainsi, par rapport à l’erreur absolue, le retour en latitude aurait été d’environ deux degrés différent du vrai, si l’effet des deux avait été soustractif ou additif ; cependant, puisque l’une avait pour effet de manquer un retour [le rendant plus court] et l’autre de dépasser un retour [le rendant plus long], Hipparque a peut-être supposé que ces effets se contrebalancent quelque peu, et que le [mouvement en latitude] dépassait un retour [exact] de la différence entre les [deux] erreurs, [soit] un tiers de degré, mais son résultat était plus grand que la réalité.

10. Calcul des éclipses de Soleil

Une prédiction correcte des éclipses lunaires ne peut être obtenue, par ce qui précède, qu’en effectuant les calculs avec précision de la manière décrite. Cependant, les éclipses solaires, dont nous traiterons maintenant, sont plus compliquées à prévoir en raison de la parallaxe lunaire. Nous le ferons comme suit.

Nous déterminons le nombre d’heures équinoxiales avant ou après midi de la vraie syzygie à Alexandrie. Ensuite, si le lieu diffère du méridien d’Alexandrie, nous ajoutons ou soustrayons la différence de longitude entre les deux méridiens, exprimée en heures équinoxiales, et déterminons le nombre d’heures avant ou après midi la vraie syzygie s’est produite pour cet endroit aussi. Ensuite, nous déterminons le moment de la syzygie apparente (approximativement le même que celui du milieu de l’éclipse) pour l’emplacement requis, en appliquant la méthode de calcul des parallaxes que nous avons expliquée précédemment.

Nous entrons dans le tableau des angles et le tableau des parallaxes, en utilisant [comme arguments] la latitude appropriée, la distance en heures du méridien, le point de l’écliptique où la conjonction s’est produite, ainsi que la distance de la Lune. Nous trouvons ainsi la parallaxe de la Lune le long du grand cercle passant par son centre et par le zénith. Nous en soustrayons toujours la parallaxe solaire qui est sur la même ligne, et du résultat nous déterminons, comme nous l’avons démontré, la composante de la parallaxe en longitude qui est calculée au moyen de l’angle que nous avons trouvé [dans le tableau] entre l’écliptique et le grand cercle passant par le zénith. Nous ajoutons toujours à cette [parallaxe longitudinale] l’excès d’« épiparallaxe » correspondant au nombre d’heures équinoxiales représentées par la parallaxe en longitude : nous prenons la différence (telle que déterminée à partir du même tableau) entre la parallaxe correspondant à la distance zénithale d’origine et la parallaxe correspondant à la distance zénithale après le passage du nombre d’heures équinoxiales [représentée par la parallaxe en longitude]. Nous prenons la composante en longitude de celle-⁠ci, plus une quantité supplémentaire, si elle est significative, qui est la même proportion de cette dernière que celle-⁠ci est de la parallaxe [en longitude] d’origine . À la parallaxe totale en longitude, calculée ainsi, nous ajoutons 1⁄12^e d’elle-même, pour tenir compte du mouvement supplémentaire du Soleil, et convertissons le total en heures équinoxiales en le divisant par le vrai mouvement horaire de la Lune au moment de la conjonction. Si la parallaxe longitudinale que nous avons trouvée est vers l’arrière [c’est-à-dire dans l’ordre] des signes (nous avons expliqué précédemment comment déterminer cela), nous soustrayons la quantité en degrés que nous avions convertie en heures équinoxiales de la position de la Lune, telle que déterminée précédemment, au moment de la conjonction vraie, en longitude, latitude, et anomalie (chacune séparément). Nous aurons ainsi les vraies positions [correspondantes] de la Lune au moment de la conjonction apparente, et le nombre d’heures [résultant du calcul ci-⁠dessus] nous dira de combien la conjonction apparente précède la vraie. Mais si la parallaxe en longitude que nous avons trouvée est en avance [c’est-à-dire dans l’ordre inverse] des signes, au contraire, nous ajoutons la quantité en degrés à la position, comme précédemment déterminée, au moment de la conjonction vraie, en longitude, latitude, et anomalie (chacune séparément) ; et le nombre d’heures nous dira de combien la conjonction apparente est après la vraie.

Ensuite, en utilisant les mêmes méthodes, nous déterminons d’après la distance en heures équinoxiales de la conjonction apparente au méridien, d’abord, la parallaxe de la Lune mesurée le long du grand cercle passant par la Lune et le zénith. Du résultat, nous soustrayons la parallaxe solaire pour le même argument, et nous utilisons ce résultat pour déterminer, comme précédemment (par l’angle formé entre les cercles [de l’écliptique et vertical] à ce moment), la parallaxe en latitude le long d’un cercle orthogonal à l’écliptique. Nous convertissons le résultat en une distance le long de l’orbite inclinée [de la Lune], c’est-à-dire que nous le multiplions par 12 . Si la parallaxe en latitude est vers le nord par rapport à l’écliptique, nous ajoutons le résultat à la position vraie déterminée précédemment en [argument de] latitude au moment de la conjonction apparente lorsque la Lune est près du nœud ascendant, mais nous la soustrayons lorsque la Lune est près du nœud descendant. Au contraire, si l’effet de la parallaxe latitudinale est vers le sud par rapport à l’écliptique, nous soustrayons la distance dérivée de la parallaxe de la position précédemment déterminée en [argument de] latitude au moment de la conjonction apparente lorsque la Lune est proche du nœud ascendant, mais l’ajoutons lorsque la Lune est proche du nœud descendant.

Nous obtenons ainsi l’[argument de] latitude apparente au moment de la conjonction apparente, que nous entrerons dans les tableaux d’éclipses solaires. S’il tombe parmi les nombres des deux premières colonnes, nous dirons qu’il y aura une éclipse solaire, dont le milieu coïncidera approximativement avec la conjonction apparente. Nous inscrirons donc séparément les montants des doigts et des minutes d’immersion et d’émersion correspondant à l’argument de latitude, obtenus de chacun des deux tableaux, puis nous entrerons la distance en anomalie de la Lune à l’apogée [de l’épicycle] au moment de la conjonction apparente, dans le tableau des corrections, prendrons le nombre de minutes correspondant, et prendrons la fraction correspondante de la différence entre chaque [paire de] résultats que nous avons notés. Dans tous les cas, nous ajouterons le résultat au nombre dérivé du premier tableau. Les chiffres trouvés par cette procédure nous donneront, encore une fois, la quantité approximative, en douzièmes du diamètre du Soleil, qui sera obscurcie au milieu de l’éclipse. Nous augmenterons les minutes de trajet [trouvées ainsi] pour les deux [périodes, c’est-à-dire l’immersion et l’émersion] de 1⁄12^e, pour tenir compte du mouvement supplémentaire du Soleil, et nous convertirons le résultat en heures équinoxiales [en divisant] par le vrai mouvement [horaire] de la Lune. Ainsi, nous avons la durée à la fois d’immersion et d’émersion — en supposant cependant que le [changement de] parallaxe n’a aucun effet sur ces intervalles de temps.

Mais il y a en fait une différence notable dans ces intervalles, due non pas au mouvement en anomalie des luminaires, mais à la parallaxe de la Lune, avec pour résultat de rendre chacun des deux intervalles [immersion et émersion] toujours plus grands que la quantité dérivée par la méthode ci-⁠dessus, et, généralement, inégaux entre eux. Nous ne négligerons pas d’en tenir compte, même si [cette différence] est faible. Ce phénomène est dû au fait que l’effet de la parallaxe sur le mouvement apparent de la Lune est toujours de produire l’apparence d’un mouvement de rétrocession (si nous ne tenons pas compte du mouvement propre de la Lune vers l’arrière [des signes / vers l’est]). Car quand Lune est avant [à l’est du] méridien, à mesure qu’elle s’élève progressivement plus haut [dans le ciel], sa parallaxe vers l’est devient de plus en plus petite, et son mouvement vers l’arrière [dans l’ordre des signes / vers l’est] paraît ainsi plus lent. Quand elle est après [à l’ouest du] méridien, à mesure qu’elle descend progressivement [vers l’horizon], sa parallaxe vers l’ouest devient de plus en plus grande, et ainsi, comme auparavant, son mouvement vers l’arrière semble plus lent. C’est pourquoi les intervalles en question sont toujours plus grands que ceux dérivés par la procédure décrite ci-⁠dessus. De plus, la différence entre les parallaxes successives [à intervalles de temps égaux] devient plus grande à mesure que [la Lune ] se rapproche du méridien ; par conséquent, les intervalles [d’immersion ou d’émersion] qui sont plus proches du méridien seront nécessairement plus longs. Pour cette raison, le temps d’immersion est approximativement égal au temps d’émersion seulement lorsque le milieu de l’éclipse se produit précisément au méridien [à midi], car l’effet de la parallaxe sera à peu près égal des deux côtés. Mais lorsque le milieu de l’éclipse se produit avant midi, alors l’intervalle d’émersion est plus proche du méridien et [donc] plus long, tandis que si le milieu de l’éclipse se produit après midi, alors l’intervalle d’immersion est plus proche du méridien, donc plus long.

Ainsi, pour corriger les intervalles de temps en conséquence, nous déterminerons [d’abord], comme expliqué précédemment, la longueur non corrigée de chacun des intervalles en question, et la distance zénithale au milieu de l’éclipse. Supposons, par exemple, que chaque intervalle soit d’une heure équinoxiale et que la distance au zénith soit de 75°. Nous chercherons donc, dans le tableau des parallaxes, les minutes de parallaxe correspondant à l’argument 75°. Par exemple, si la Lune est à sa plus grande distance, nous prendrons les entrées de la troisième colonne, soit, pour 75°, 52′. Puisque nous avons supposé les intervalles de temps d’immersion et d’émersion d’une heure équinoxiale en moyenne (15 degrés de temps), nous soustrairons ces 15° des 75° de la distance zénithale, et trouverons les minutes de parallaxe dans la même colonne correspondant au 60° résultant, soit 47′. Ainsi, l’avance résultant de la parallaxe à la position (moyenne) la plus proche du méridien est de [75′ − 47′ =] 5′. Nous ajouterons également [les 15°] aux 75°, et trouverons les minutes de parallaxe totale correspondant au 90° résultant dans la même colonne, soit 53⁠1⁄2′. Ainsi ici le déplacement vers l’horizon résultant est de 1⁠1⁄2′. Nous prendrons les composantes en longitude de cela, et nous convertirons chacune [séparément] en une fraction d’heure équinoxiale au moyen du vrai mouvement de la Lune, comme nous l’avons décrit, puis nous ajouterons chaque résultat à l’intervalle moyen approprié, calculé simplement, d’immersion ou d’émersion. C’est-à-dire que nous ajouterons le plus grand à l’intervalle de la position la plus proche du méridien, et le plus petit à l’intervalle de la position la plus proche de l’horizon. Il est évident que la différence entre les deux intervalles dans l’exemple ci-dessus est de 3⁠1⁄2′, soit environ 1⁄9 d’une heure équinoxiale, qui est le temps mis par la Lune pour parcourir cette distance en mouvement moyen.

Il ne reste plus, si nous voulons, qu’à convertir le temps en heures équinoxiales de chaque intervalle en heures saisonnières particulières [à la latitude et à la date], par la méthode expliquée précédemment.

11. Des angles d’inclinaison des éclipses

Vient maintenant l’examen des inclinaisons  formées, pendant les éclipses, par la partie éclipsée [de l’astre] par rapport à l’écliptique ainsi que l’inclinaison de l’écliptique lui-⁠même sur l’horizon. Ces deux angles varient grandement, au cours de chaque phase d’éclipse, suite au changement de position [des corps], de sorte que la tâche de calculer les inclinaisons tout au long toute la durée [de l’éclipse] serait difficile — elle est de toute façon superflue, puisque des prédictions à une telle échelle ne sont nullement nécessaires ni utiles. Car, l’angle de l’écliptique sur l’horizon étant déterminé par la position sur l’horizon de ses points de lever ou de coucher, il doit nécessairement changer continuellement au cours d’une éclipse, puisque les points de l’écliptique qui se lèvent ou se couchent changent aussi continuellement. De même, puisque l’angle de la partie éclipsée [du corps] par rapport à l’écliptique est celle du grand cercle tracé par les deux centres — de la Lune et de l’ombre ou de la Lune et du Soleil —, et puisque le mouvement du centre de la Lune au cours d’une éclipse fait en sorte que le cercle passant par les deux centres change continuellement d’orientation par rapport à l’écliptique, l’angle formé à leur intersection varie donc continuellement. Par conséquent, nous ne nous attarderons qu’aux phases de l’éclipse ayant une certaine signification, et seulement grossièrement pour les inclinaisons par rapport à l’horizon. Les personnes qui observent réellement l’éclipse lorsqu’elle se produit pourraient, simplement à l’œil nu, estimer les directions importantes en observant les positions relatives dans les deux cas [à l’éclipse et à l’horizon], puisque, comme nous l’avons dit, une notion approximative [du montant] est suffisante en pareilles matières. Néanmoins, pour ne pas négliger complètement ce sujet, nous essaierons de donner quelques moyens d’effectuer cette opération aussi facilement que possible.

Les phases de l’éclipse que nous prenons en considération comme méritant d’être considérés comme significatifs sont donc les suivants :

• le début de l’obscurcissement, qui coïncide avec le tout début de toute l’éclipse ;
• la fin de l’obscurcissement, qui coïncide avec le début de la phase de totalité ;
• le plus grand obscurcissement, qui coïncide avec le milieu de la totalité ;
• le début de l’émersion, qui coïncide avec la fin de toute la phase totale ;
• la fin de l’émersion, qui coïncide avec la fin de toute l’éclipse.

Les directions que nous considérons comme plus raisonnables et plus faciles à calculer sont délimitées par le méridien ou par les points de lever et de coucher de l’écliptique aux équinoxes et aux solstices d’été et d’hiver. Les différentes « directions du vent » peuvent être comprises de bien des manières différentes par de nombreuses personnes ; mais nous pouvons les désigner par des angles de l’horizon.

Considérant les intersections du méridien avec l’horizon, donnons les définitions suivantes :

• l’intersection nord est le « point nord »  ;
• l’intersection sud est le « point sud » .

Considérant le lever et le coucher [des points de l’écliptique, donnons les définitions suivantes]:

• les intersections du début du Bélier ou de la Balance avec l’horizon sont appelées « lever équinoxial » et « coucher équinoxial » ; elles sont toujours à la même distance d’un quadrant du point où le méridien coupe [l’horizon] ;
• les intersections du début du Cancer sont le « lever estival » et le « coucher estival », et les intersections du début du Capricorne sont le « lever hivernal » et le « coucher hivernal » .

Les distances entre ces points varient selon la latitude considérée, mais pour indiquer les directions, il est suffisant de dire vers lesquelles ci-⁠dessus elles pointent ou tendent.

Pour permettre de déterminer en tout temps la position de l’écliptique par rapport à l’horizon, nous avons calculé, par la méthode indiquée dans les premiers livres de ce traité, la distance le long de l’horizon, au lever et au coucher, du début de chaque signe zodiacal à partir des points d’intersection où l’équateur croise [l’horizon, en les calculant] de chaque côté de celui-⁠ci [nord ou sud]. Nous avons fait cela pour chaque latitude de Méroé au Borysthène pour lesquelles nous avons indiqué les angles. Pour mieux les exposer, au lieu d’un tableau, nous avons dessiné 8 cercles concentriques, supposés être dans le plan de l’horizon, et contenant les distances et les noms des 7 climats. Ensuite, nous avons tracé deux droites, perpendiculaires l’une à l’autre, à travers tous ces cercles : une horizontale représentant l’intersection des plans d’horizon et de l’équateur, et une autre verticale représentant l’intersection des plans de l’horizon et du méridien. Sur le cercle intérieur , nous avons écrit, aux extrémités de la ligne horizontale « lever équinoxial » et « coucher équinoxial », et aux extrémités de la ligne verticale, « nord » et « sud ». De même, nous avons tracé des droites à travers tous les cercles à des inclinaisons égales de chaque côté de l’équateur [la ligne horizontale], et écrit le long de ceux-⁠ci, dans les sept intervalles, la distance du point solsticial à l’équateur, mesurée sur l’horizon, que nous avons trouvée pour chaque latitude (en degrés dont un quadrant en contient 90°). Aux extrémités où ces lignes rencontrent le cercle interne, nous avons écrit, au sud, « lever hivernal » et « coucher hivernal » ; et au nord, « lever estival » et « coucher estival ». Pour les signes intermédiaires [entre les équinoxes et les solstices], nous avons ajouté deux lignes à chaque segment, et marqué la distance, mesurée sur l’horizon, de l’équateur au [début] de chaque signe ainsi que le nom de chaque signe sur le cercle extérieur. Nous avons également écrit, sur la ligne méridienne, le nom des parallèles, leur longueur [du jour le plus long] en heures, et leur hauteur du pôle [dans le ciel], à partir du plus grand cercle extérieur.

Enfin, pour avoir les directions apparentes des phases d’obscuration par rapport à l’écliptique — ou les angles formés entre l’écliptique et le grand cercle joignant les deux centres mentionnés ci-⁠dessus —, nous avons calculé ceux-⁠ci les éclipses de toutes magnitudes de doigt en doigt — mais seulement pour la distance moyenne de la Lune, et supposant que les arcs de l’écliptique et de l’orbite inclinée de la Lune que nous considérons pour les obscurcissements sont sensiblement parallèles entre eux.

Soit par exemple la droite AB représentant l’arc de l’écliptique, avec A comme centre du Soleil ou de l’ombre, et la droite GDE, représentant l’orbite inclinée de la Lune, avec G comme centre de la Lune au milieu de l’éclipse et D lorsqu’elle est tout juste totalement éclipsée ou sur le point de commencer à émerger de la totalité (quand la Lune est intérieurement tangente au cercle de l’ombre). Soit aussi E, le centre de la Lune lorsque le Soleil ou la Lune commence tout juste à s’éclipser ou vient de terminer son émersion (lorsque les cercles sont extérieurement tangents). Joignons AG, AD, et AE.

Il est évident que les angles BAG et AGE, qui correspondent au milieu de l’éclipse, sont droits, et que l’angle BAE représente les angles au début et à la fin de l’éclipse, tandis que l’angle BAD représente les angles à la fin de [la phase partielle de] l’éclipse et au début de l’émersion. Il est ainsi clair que AE représente la somme des rayons des deux cercles, et AD leur différence.

Prenons alors comme exemple une éclipse au milieu de laquelle la moitié du diamètre du Soleil est obscurcie. Soit A le centre du Soleil ; ainsi, puisqu’on suppose la Lune à distance moyenne, AE vaut [15′ 40″ + 16′ 40″ =] 32′ 20″, et AG, qui est plus petit que cela de la moitié du diamètre du Soleil, mesure 16′ 40″.

Dans le cas d’une éclipse lunaire, soit A le centre de l’ombre, et nous supposons encore la Lune à distance moyenne ; ainsi, AE sera toujours de [43′ 20″ + 16′ 40″ =] 60′, et AD de [43′ 20″ − 16′ 40″ =] 26′ 40″. [Supposons aussi] que la Lune est éclipsée de 18 doigts. Ainsi, AG est à nouveau inférieur à AD de la moitié du diamètre [de la Lune] et, par soustraction [26′ 40″ − 16′ 40″], AG = 10′. Alors, où l’hypoténuse AE = 120^p, AG = 20;0^p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle AGE, l’arc AG = 19° 12′. Conséquemment, l’angle AEG et l’angle BAE = 19;12^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 9° 36′ où quatre angles droits font 360°. De même, où l’hypoténuse AD = 120^p, AG = 45^p et, dans le cercle circonscrit au triangle rectangle AGD, l’arc AG = 44° 02′. Conséquemment, l’angle ADG et l’angle BAD = 44;2^ꝏ où deux angles droits font 360^ꝏ, ou 22° 01′ où quatre angles droits font 360°.

De la même manière, nous avons calculé les tailles des angles pour les autres doigts, l’angle inférieur à un angle droit de 90°, pour chaque quadrant de l’horizon. Nous avons formé un tableau de 22 lignes et 4 colonnes, dont la première contient les doigts d’obscurcissement réel, mesurés le long du diamètre, pour le milieu de l’éclipse ; la seconde, les angles formés par les éclipses solaires au début de l’éclipse et à la fin de l’émersion ; la troisième, les angles formés par les éclipses lunaires au début de l’éclipse et à la fin de l’émersion ; et la quatrième, les angles formés par les éclipses lunaires à la fin [de la phase partielle] de l’éclipse et au début de l’émersion. Le tableau et le diagramme sont les suivants.

12. Tableau et diagramme des inclinaisons

[NdT : Les erreurs du tableau suivant sont seulement de ± 1′ et sont dues à la façon dont Ptolémée a arrondi les valeurs. Le diagramme peut être en bas du tableau sur certains écrans.]

13. Détermination des directions

D’après les temps de chaque phase significative [de l’éclipse] ainsi déterminés, nous pourrons trouver les points de l’écliptique qui se lèvent et se couchent à ces moments, et, d’après le diagramme, leur position par rapport à l’horizon. Ensuite, quand le centre de la Lune (apparent pour les éclipses solaires et vrai pour les éclipses lunaires) est exactement sur l’écliptique, nous obtiendrons la direction du début de l’obscuration pour une éclipse solaire, et la direction [de l’ombre terrestre] pour la fin de l’éclipse partielle et la fin de l’émersion, [à partir] de la direction du point de l’écliptique qui se couchera à l’horizon à ce moment. Nous aurons aussi l’angle de position [du disque lunaire] à la fin d’une éclipse solaire, et celui du début [de l’obscuration] ainsi qu’au début de l’émersion lors d’une éclipse lunaire, à partir du point de l’écliptique qui se lèvera. Toutefois, lorsque le centre de la Lune n’est pas exactement sur l’écliptique, nous prendrons dans le tableau les angles correspondant à la magnitude en doigts, et appliquerons ces angles à l’intersection de l’horizon et de l’écliptique. Si le centre de la Lune est au nord de l’écliptique, nous appliquerons l’angle au nord du point de coucher pour le début d’une éclipse solaire et pour la fin de la phase partielle d’une éclipse lunaire, et au nord du point de lever pour la fin de l’émersion d’une éclipse solaire et au début de l’émersion d’une éclipse lunaire ; mais nous l’appliquerons au sud du point de lever du début d’une éclipse lunaire, et au sud du point de coucher pour la fin d’une éclipse lunaire. Si le centre de la Lune est au sud de l’écliptique, nous appliquerons l’angle au sud du point de coucher pour le début d’une éclipse solaire et pour la fin de la phase partielle d’une éclipse lunaire, et au sud du point de lever pour la fin d’une éclipse solaire et le début de l’émersion d’une éclipse lunaire ; mais au nord du point de lever pour le début d’une éclipse lunaire, et au nord du point de coucher pour la fin d’une éclipse lunaire. Nous aurons ainsi le point de l’horizon vers lequel (en gros, comme nous l’avons dit) sont dirigés les points des luminaires lors des phases significatives, soit le début et la fin de l’éclipse ainsi que de la phase totale.

Fin du sixième livre de la Synthèse Mathématique de Ptolémée.

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Dernière mise à jour : 2024-07-17 à 00 h 50 UTC